空気抵抗と平衡する落下運動

工学基礎物理
解説
1-4 平衡速度に達する落下運動（高専の応用物理 p 16）
Jul. 2016 ©T. Hasegawa
平面の運動（斜方投射など）では空気抵抗を考えない場合が多いが、実際には空気抵抗は重要な役割を果たす。
雨粒の落下速度は空気抵抗により一定値で落ち着くため、我々は安心して雨の中でも歩くことができる。そして、
物体が落下するとき、その速度に比例する空気抵抗を受ける、というモデルは比較的よく実際を表している。一
般に、ある量が、その量に比例した変動を受けるとき（この問題では速度が、速度に比例して変化する）
、解は指
数関数を含む場合が多い。このような指数関数的振る舞いは、あらゆる工学の分野で出現するため、解法に慣れ
ておくことが必要と思われる。この問題を例に考えてみよう。
図のように、質量 m の物体が重力加速度 g によって落下している。y 軸を下向き正に取る。速度は下向きに v で
ある。速度に比例した抵抗、Cv を受けている。
1. 平衡速度「だけ」を求める。
最終的な平衡速度を求めるだけであれば、つり合いの式、
−
から、
=0
(1)
=
を得ることができる。ただし、この解き方では、途中経過は全く分からない。
2. 運動方程式を解き、時間 t の関数として v(t)を求める
運動方程式を微分方程式として解けば、位置や速度が時間 t の関数として求めることができる。そこで、この速
度 v(t)を運動方程式から解いてみよう。物体にかかる力は、mg と、Cv(t) であるから、運動方程式は、
( )
=
−
である。
1
( )
(2)
この式を次のように、左辺に v(y)だけ、右辺を y だけの式に整理する。
( )
=−
( )−
これを変数分離という。変数分離すれば、左辺、右辺をそれぞれ積分することができる1。
( )
=−
( )−
log
( )−
=−
ここで、C’は積分定数である。(3)式を、v(t)の式に書き直すと、
( ) = ±e
となる。最後の変形では、±
+
= ±e e
(3)
+ ′
+
=
e
+
(4)
を ′′とした。この ′′は、初期条件から求めることができて、t = 0 で v(0)=0 から、
(0) =
+
=0
であるので、
=−
である。まとめると、
( )=−
e
+
=
(5)
1−e
となる2。v’(t)は、
となる。増減表は下のようになるであろう。
t
v’(t)
v (t)
′( ) = e
0
・・・
0
↗

g
∞
0
⁄
つまり、この関数は、t = 0 のとき、v = 0 から始まって、その傾きは g である。傾きは常に正であるが、徐々に減
少し、無限遠の時間で傾きがゼロとなる。その時、v(t) = mg / C であり、式(1)で示した速度の平衡値と一致する。
グラフは、まさに文頭で示した、教科書の図 1.12 のようになる。
(5)式が、速度に比例した抵抗を受ける落下運動の速度を表す式となる。ちなみに、曲線の傾きを表す v’ (t)は、
速度の一回微分なので、加速度に相当する。t = 0 で傾き（加速度）が g であるのは、速度が小さすぎて、抵抗を
受けていないこと、を意味する。また、t = ∞で、傾き（加速度）がゼロになっているのは、重力と抵抗がつりあ
っていることを意味している。
1
ここでの説明は、解法の説明を目的とし、数学的厳密性を意識せず式を変換している。厳密性が気になる人は
2
自然対数 e の肩にたくさんの文字式が乗ると、たいへん見苦しくなる。e をexp( )と書くと見やすいし、かっ
数学の教科書等で、自分で調べてほしい。
こいいので、慣れてほしい。
2
3. 付録：簡単な例（レッサーパンダ vs. 人間）
指数関数を使った簡単な例を考えてみよう。西山動物園にはかわいいレッサーパンダが飼育されている。繁殖実
績は日本一らしい。そこで、レッサーパンダの数が、今後どう増えていくか計算してみよう。レッサーパンダの
数を N とする。そして、N 頭のレッサーパンダからの割合で子供が生まれ、の割合でレッサーパンダが死ぬと
仮定しよう。数が多ければ、たくさん生まれ、死に、数が少なければ、少し生まれ、少し死ぬ、ことになる。先
の問題で、速度に比例して抵抗が生まれ、それによって速度が変化する、ことに類似している。
時間 t におけるレッサーパンダの数を N(t)とすると、t から t+t の間のレッサーパンダ増減数N(t)は、
∆
( +∆ )− ( )
∆
=
である。t が大きいと、その区間内で増減数が一定ではない（レッサーパンダ数が刻々と変わるので）
。しかし、
このt が十分小さければ、この増減数は、時間 t の瞬間の増減数N(t) – N(t)と等しくなると考えてよい。すなわ
ち、
lim
∆ →
である。整理すると、
( +∆ )− ( )
=
∆
( )
この式は簡単に解くことができて、
( )
=
( )−
( )
= ( − ) ( )
( ) = e(
)

(5)
となる。C は積分定数である。レッサーパンダの数が、指数関数的な振る舞いをすることがわかる。当たり前で
あるが、出生率が死亡率より大きければ、N(t)は単調増加し、その逆であれば、単調減少する。
西山公園の HP によると、1985 年に 5 頭でスタートしたレッサーパンダは、60 頭が生まれ 2015 年で 43 頭が
生育中だそうである（寿命は 10～15 年ぐらいらしい）
。1985 年を t = 0 とすると、N(0) = C = 5 である。
年、すなわち tのとき、 (30) = 5e
(
サーパンダの数は、t を年から数えた年とし
て、
となる。
( ) = 5e
.

( ) = 5e(
)
)
= 43 である。ここから、を得る。すなわち、レッ
(6)
(6)式をグラフにしたものが右図である（対数グ
ラフに注意）
。100 年後にはレッサーパンダの数
が１万頭近くに達することが推定される。その頃
には鯖江市の人口がどうなっているかわからな
いが、ひょっとすると人間の数より多くなってい
るかもしれない3。
（おわり）
3

この結果を信じるか信じないかは、みなさんにお任せする。
3

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