線形代数Ⅰ 第三回

線形代数 I
第3回ベクトルの内積
担当：松野崇
大学院工学研究科，機械宇宙工学
専攻
æ 2y ö
æ 2x ö
ç
÷
ç
÷
a = ç 4y ÷, b = ç 3y ÷
çç
÷÷
ç z ÷
è
ø
è 5x ø
前回小テストの答え
である時、
(1) a + 2b = ?
(2) 2a - b = ?
(3) 5 ( 2b + a) = ?
æ 2y ö
æ 2x ö
ç
÷
ç
÷
a = ç 4y ÷, b = ç 3y ÷
çç
÷÷
ç z ÷
è
ø
è 5x ø
前回小テストの答え
æææ
ççç
aa ++ 2b
2b == ççç
ççç
èèè
である時、
æ
ö
æ
ö
ö
2x + 4y 4y
2y
2x
2x
÷÷ ç ç÷
4y
3y
4y10y
÷÷++ 2ç ç÷6y
çç çç÷÷
÷
÷
zz+10x
5x
øø è èø10x
ö
÷
÷
÷÷
ø
æ 2y ö
æ 2x ö
ç
÷
ç
÷
a = ç 4y ÷, b = ç 3y ÷
çç
÷÷
ç z ÷
è
ø
è 5x ø
前回小テストの答え
である時、
æ
æ
ö
ææ æ4x
ö
ö
2y
4x
- 2y 4y
2x
çç ç
÷ ÷ ç ç÷
2a
3y
2a --bb ==ç2ç ç8y4y
5y÷ -÷ -ç ç÷6y
çç çç÷÷
ççç ç2z
÷
÷
5x
èè è 2zz-ø5x
ø è è10x
ø
öö
÷÷
÷÷
÷÷÷÷
øø
æ 2y ö
æ 2x ö
ç
÷
ç
÷
a = ç 4y ÷, b = ç 3y ÷
çç
÷÷
ç z ÷
è
ø
è 5x ø
前回小テストの答え
である時、
ö
æ æ 10x
ö
2x + 20y
4y
÷÷
çç
555( 2b
2b
+
a
=
5
a
+
2b
)
(
)
50y ÷ ÷
(( 2b++aa)) == 5ç ç 10y
æ 2x + 4y ö
÷÷ ÷÷÷
çç çç
ç
z
+10x
5z
+
50x
a
+
2b
=
10y ø ø÷
ç
èè
çç
÷÷
z
+10x
è
ø
今回の内容
• ベクトルの内積
内積の表記について
テキスト
このスライド
内積： a × b = a b cosq で定義されるスカラー
ベクトルの内積の定義
b
q
テキスト pp.11
b cosq
a
内積： a × b = a b cosq で定義されるスカラー
ベクトルの内積の定義
b
テキスト pp.11
a×b = 0
a
内積： a × b = a b cosq で定義されるスカラー
ベクトルの内積の定義
b
テキスト pp.11
a
例1 基本ベクトルの内積
0
e2 =  
1
 
e1 × e 2 = 0
e1 × e1 = 1
1  e × e =
e1 =   2 2 1
0
 
テキスト pp.12
内積の基本性質
a×b = b×a
( a1 + a2 ) × b = a1 × b + a 2 × b
( ca ) × b = a × ( cb ) = ca × b
テキスト pp.12
( a1 + a2 ) × b = a1 × b + a 2 × b
分配則の補足説明
a2
a1
q
テキストにはありません
a1 + a 2
b
式（３．２）の導出
b - a = (b - a) × (b - a )
2
= b × b - b × a - a × b + a × a
= a × a - 2a × b + b × b
= a + b - 2a × b
2
テキスト pp.11
2
ベクトルの内積（成分表示）
各成分同士を掛けたものの和
 ax 
 bx 
a =   , b =  
ay 
 by 
平面ベクトルの場合
a × b = ax bx + ay by
テキスト pp.11
ベクトルの内積（成分表示）
各成分同士を掛けたものの和
 ax 
 bx 




a =  a y  , b = by 
 az 
 bz 
空間ベクトルの場合
a × b = ax bx + ay by + az bz
テキスト pp.11
a × b = ax bx + ay by
ベクトルの内積（成分表示）
 ax 
 bx 
a =   , b =  
a
b
y
 
 y
(
(
b - a = a + b - 2a × b
2
(
) (
2
)
2
) (
1 2
2
22
2
1
a × b = -a × b( b=x -- ax )b +- aby - aay --b ax2 + a y2 - bx2 + by2
2
2
テキスト pp.11
))
a × b = ax bx + ay by
ベクトルの内積（成分表示）
 ax 
 bx 
a =   , b =  
ay 
 by 
別の証明
1 
0 
e1 =   , e 2 =  
0
1 
aa == aaxxee11 ++ aayyee22, , bb == bbxxee11 ++ bbyyee22
aa××bb == a( ax bx ex ex x+× eaxy e+y a) ×x (bby ex ex x× e+yb+y eayy)bx e y × e x + ay by e y × e y
シュワルツの不等式
a × b  a b
a × b = a b cos q
テキスト pp.13
例題１
1
1




a =  -2  , b =  1  である時のaとbの為す角
 3 
 -1
a × b (1 ×1 + ( -2 ) ×1 + 3 × ( -1) )
cos
a ×qb== a b =cosq
a b
14 3
テキスト pp.13
問題2
1
 -2 




a =  -2  b =  1 
 2 
 1 
a × b = 1 × -2 + -2 ×1 + 2 ×1
= -2
テキスト pp.13 問題2
問題2
1
 -2 




a =  -2  b =  1 
 2 
 1 
a =
テキスト pp.13 問題2
1 ×1 + -2 + 2 = 3
2
2
問題2
1
 -2 




a =  -2  b =  1 
 2 
 1 
b =
テキスト pp.13 問題2
-2 + 1 + 1 = 6
2
2
2
問題2
1
 -2 




a =  -2  b =  1 
 2 
 1 
a ×b
cos q =
a b
テキスト pp.13 問題2
=
-2
3 6
問題3
1


a =  -2  ，単位ベクトル：長さが１のベクトル
 2 
a = 1 + ( -2 ) + 2 = 3
2
テキスト pp.13 問題3
2
2
問題3
1
，単位ベクトル：長さが１のベクトル


a =  -2 
 2 
1
a 1 
=  -2 
a 3
 2 
a = 1 + ( -2 ) + 2 = 3
2
テキスト pp.13 問題3
2
2
問題3
1
，単位ベクトル：長さが１のベクトル


a =  -2 
 2 
1

X
a
X×a
a


== 0 ××
cos  =
X  aa
X a
0 
テキスト pp.13 問題3
 1 
0
 


a =  0  , b =  1 
 
 2 
 2
小テスト
(1) a × b = ?
( 2) aとbのなす角度は？

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