線形代数 I
第2回 平面と空間ベクトル
担当： 松野 崇
大学院工学研究科，機械宇宙工学
専攻
本日の講義内容
• ベクトルとは？
• ベクトルのスカラー倍
• ベクトルの和と差
スカラーとベクトル
状態を表現する方法
スカラー
15L
ベクトル
15L, 40℃
幾何学平面(空間）上のベクトル
原点を始点とした矢印。長さと向きを持つ。
y
 ax 
a 
ay 
ay
ax
テキスト pp.4
x
幾何学平面(空間）上のベクトル
原点を始点とした矢印。長さと向きを持つ。
y
長さ
a = ax2 + ay2
æ ay ö
q = tan ç ÷
è ax ø
 ax 
a 
ay 
-1
テキスト pp.4
x
幾何学平面(空間）上のベクトル
向きと長さだけ（位置とかは考えない）
y
同じベクトル
x
テキスト pp.3, 4
幾何学平面(空間）上のベクトル
３次元でも基本的には同じ。
z
az
x
ax
テキスト pp.3
 ax 
a   a y 
 az 
長さ?
a = a +a +a
2
x
ay
y
2
y
2
z
幾何学平面(空間）上のベクトル
ベクトルの長さしか決まってない場合は?
z
a  x y z
2
r
x
テキスト pp.4
r
2
y
2
ベクトルのスカラー倍
かけ算したスカラーに応じて長さが変化する。
y
0 
0 
0 
テキスト pp.7
 ax 
a 
ay 
1 
ax 

1
a  2 
1 a 
2
 2 y 
x
ベクトルのスカラー倍
マイナスをかけると逆方向になる
y
1
- a
2
 ax 
a 
ay 
1
a
2
x
テキスト pp.7
ベクトルの和
足す方の始点を足される方の終点に移動
y
a+b
a
b
x
テキスト pp.6
ベクトルの和
成分で書くと簡単（こちらの方が一般的）
y
 ax 
a 
ay 
 ax  bx 
ab  

a

b
y
 y
 bx 
b 
 by 
x
テキスト pp.6
ベクトルの差
-1をスカラー倍して足し算
y
-b
a-b
a
b
テキスト pp.7
x
ベクトルの差
引く方の終点から引かれる方の終点
y
a
a-b
b
テキスト pp.7
x
ベクトルの差
成分で書くと簡単（こちらの方が一般的）
y
 ax 
a 
ay 
a-b
 bx 
b 
 by 
テキスト pp.7
x
 ax  bx 


a

b
y
 y
公式(定理）
cd a  cda 
c  d a  ca  da
ca  b   ca  cb
テキスト pp.7
基本ベクトル
1 
0
0






e1  0  , e 2  1  , e3  0 
0 
0 
1 
 ax 
 
a

a
e

a
e

a
e
y
x
1
y
2
z
3
 
 az 
テキスト pp.8
問題
 1
2
8
a   , b   , c   
1
1 
1
888  
rr122ss 2 s2 
 r  s   
11 
  1  rrr1s s  s1 
テキスト pp.10 問題３
c  ra  sb
である時、
となるr, s
問題
1 
1 
0
a  1  , b  0  , c  1 
0 
1 
1 
311   21 









3a  2b  3? 313  200 
   

002   21 
テキスト pp.10 問題5
問題
1 
1 
0
a  1  , b  0  , c  1 
0 
1 
1 
c  ra  sb
テキスト pp.10 問題5
1   r  s 
1    r 
  

0   s 
小テスト
æ 2y ö
æ 2x ö
ç
÷
ç
÷
a = ç 4y ÷, b = ç 3y ÷
çç
÷÷
ç z ÷
5x
è
ø
è
ø
である時、
(1) a + 2b = ?
(2) 2a - b = ?
(3) 5 ( 2b + a) = ?

線形代数Ⅰ 第四回

線形代数 I 第13回 行列式の性質(2)(3)

線形代数Ⅰ 第三回

線形代数 I 第6回 行列の演算和，スカラー倍