線形代数Ⅰ 第四回

線形代数 I
第4回空間の直線と平面
担当：松野崇
大学院工学研究科，機械宇宙工学
専攻
æ 0 ö
æ 1 ö
ç
÷
ç
÷
a = ç 0 ÷, b = ç 1 ÷
ç 2 ÷
ç 2 ÷
è
ø
è
ø
前回小テストの答え
(1) a × b = ?
( 2) aとbのなす角度は？
æ 0 ö
æ 1 ö
ç
÷
ç
÷
a = ç 0 ÷, b = ç 1 ÷
ç 2 ÷
ç 2 ÷
è
ø
è
ø
前回小テストの答え
(1) a × b = 0 ×1+ 0 ×1+ 2 ×
2 =2 2
æ 0 ö
æ 1 ö
ç
÷
ç
÷
a = ç 0 ÷, b = ç 1 ÷
ç 2 ÷
ç 2 ÷
è
ø
è
ø
前回小テストの答え
( 2)
aとbのなす角度は？
a × b = a bacos
× bq
2 2
1
=
=
cosq =
2
a b 2×2
q = 45
今回の内容
• ベクトルを使った直線の表現
• ベクトルを使った面の表現
t
P
直線の方程式
0
テキスト pp.14
(0
0 0)
0
t
t =xx x0 x at a
0
x yx0 y y  bt
y0 z  z 0
y = 0 y0 = b t
a
b
c
直線の方程式（成分表記）
z
テキスト pp.14
z0 z0ct
c
t
P
直線の方程式
0
テキスト pp.14
(0
0 0)
0
t
t
P
直線の方程式
0
テキスト pp.14
(0
0 0)
0
t
P
テキスト pp.14
t
直線の方程式
(0
0
0
0 0)
t
( a1 b1 c1 )
 a1 
b 
 1
 c1 
テキスト pp.15
(0
例題1
0 0)
( a2
b2
 a2 
b 
 2
 c2 
c2 )
例題1
 a1 
b 
 1
 c1 
テキスト pp.15
 a2  a1 
b  b 
 2 1
 c2  c1   a2 
b 
 2
 c2 
( 0, 0, 0 )
方向余弦
テキスト pp.15
方向余弦
z
y
テキスト pp.15
x
a × ex = ?
a ×ey = ?
a × ez = ?
例題2
x  2 y +1 z  3
=
=
3
2
1
3 + 2 + 1 = 14
2
テキスト pp.16
2
2
例題2
x  2 y +1 z  3
=
=
3
2
1
 
3
   = 1  2 
 


14
 
 1 
テキスト pp.16
例題2
x  2 y +1 z  3
=
=
3
2
1
 
3
   = 1  2 
 


14
 
 1 
テキスト pp.16
x  x0 × a = 0
平面の方程式
0
テキスト pp.17
x  x0 × a
平面の方程式（成分表記）
d
= x × a  x0 × a
= xax× a++byd + cz + d
=0
テキスト pp.17
1
 p
 
1
 
q
 
1 
 
r 
例題１
 p
0
 
 0 
テキスト pp.18
 p 
q 
 
 0 
 p
 0 
 
  r 
点と平面の距離
x0
x0 × a = d
x 0 × a =  x1 a
( 0 0 0)
テキスト pp.19
点と平面の距離
x0 a = d
テキスト pp.19
(0
x0
0 0)
例題2
x0
( x1
y1
テキスト pp.20
z1 )
(0
0 0)
x 1 × a =  d
例題2
( x 1  x 1 ) × a x= 
x1
テキスト pp.20
1
(0
0 0)
x 1  x 1 a
x 1 × a =  d
例題2
( xxx1  xxx1 ) =×=a (x=xx11d1××aaxx+1 11xd)×1×ax×a1a a
x 111  x 111 =
テキスト pp.20
aaaa
( 2
 2 
1
 
 3 
テキスト pp.16
1 3)
問題１  1 
2
 
 2 
 2   1 
 1 + 2 t
   
 3   2 
( 2
 2 
1
 
 3 
テキスト pp.16
1 3)
問題１ 1 
0 
 
0 
 2  1 
 1  + 0 t
   
 3  0 
問題１
( 2
 2 
1
 
 3 
テキスト pp.16
1 3)
1 
4
 
 3 
 2  1 
 1  + 4 t
   
 3   3 
2x  y  z + 1 = 0
問題１
 2

 2 6 
  
aa == 11 
6




1
1  

6 
テキスト pp.20
2x  y  z + 1 = 0
問題１
d
テキスト pp.20
=
2x  y  z + 1 = 0
問題１
   +
テキスト pp.20
=
小テスト
(1) (1 0 3) を通りy軸に平行な直線
(2) x + y  4 = 2 の単位法線ベクトル
(z方向の成分も書くこと)
(3) x + y  4 = 2 と原点との距離

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