線形代数 I
第5回 ベクトルの外積
担当： 松野 崇
大学院工学研究科，機械宇宙工学
専攻
前回小テストの答え
(1) 1 0 3 を通りy軸に平行な直線
(2) x  y  4  2 の単位法線ベクトル
(z方向の成分も書くこと)
(3) x  y  4  2 と原点との距離
(1) 1 0 3 を通りy軸に平行な直線
前回小テストの答え
1
1 
0
 
 3
0 3
1   0 
 0   1 
   t
 3  0 
(1) 1 0 3 を通りy軸に平行な直線
前回小テストの答え
1
1 
0
 
 3
0 3
or x  1, z  3
前回小テストの答え
(2) x  y  4  2 の単位法線ベクトル
(z方向の成分も書くこと)
1 
1  2 
 1 
2
2
aa 1  a  1  1  2
 2
0  


0




(3) x  y  4  2 と原点との距離
前回小テストの答え
x y60
h
6
2
今回の内容
• ベクトルの外積
外積の定義
a´b
θ
テキスト pp.21
a ´ b  a b sin q
外積の定義
b
θ
テキスト pp.21
b sin q
a
b
テキスト pp.21
外積の定義
æ 0 ö
ç
÷
a´bç 0 ÷
ç 0 ÷
è
ø
´
1
´
2
例１
3
テキスト pp.21
2
2
1
1
 3
 3
a ´ b  b ´ a
公式
a1  a 2 ´ b  a1 ´ b  a 2 ´ b
c a ´ b  ca ´ b  a ´ cb
テキスト pp.22
a ´ b  a ´ b a  cb  a
分配則の証明（準備）
a a
θ
テキスト pp.22
cb
b
 a1  a2  ´ b  a1 ´ b  a2 ´ b
分配則の証明
a1  c1b  a1
a 2  c2b  a2
a1  a 2   c1  c2  b   a1  a2 
テキスト pp.22
 a1  a2  ´ b  a1 ´ b  a2 ´ b
分配則の証明
a1  c1b  a1
a 2  c2b  a2
a ´ b  a ´ b
テキスト pp.22
a1 ´ b  a1 ´ b
a 2 ´ b  a2 ´ b
公式(分配則）
 a1  a2  ´ b  a1 ´ b  a2 ´ b

a
´
b
a2 1
 a1  a2  ´ b
a1  a2
bを法線にもつ平面
a1
テキスト pp.22
a2 ´ b
成分表示
とにかく暗記する
æ a ö
æ b ö
ç 1 ÷
ç 1 ÷
a  ç a2 ÷, b  ç b2 ÷
çç
÷÷
çç
÷÷
a
b
3
è
ø
è 3 ø
テキスト pp.23
æ a2 b3  a3b2 ö
ç
÷
a ´ b  ç a3b1  a1b3 ÷
çab a b ÷
2 1 ø
è 1 2
a ´ b  c
３重積
c
b
テキスト pp.24
a
a ´ b   c  a ´ b
a´b
c cos q
テキスト pp.24
q
定理6.2
c cos q
c
b
a
問題１
 2   1  22221133 

 2  ´  3   
1


1

2

2




   
 1   2   22332211
テキスト pp.25 問題１
 7 


3
10
2

 2
2
   7 5 5  4


3
10


 4 
 3 10


 3 10 
問題１
 7 
 5 
 
 4 
テキスト pp.25 問題１
問題１
 7 
 5  
 
 4 
 7 
 3 10
テキスト pp.25 問題１
2
  5  4
2
2
問題2
a  b  ´ a  b 
 a´a  a´b b´a b´b
 a´b b´a
 2 a´b
テキスト pp.25 問題2
問題2
a a´b  0
a  a´b
テキスト pp.25 問題2
a´ b´c
問題4
b
a23bc22c1  a3b3 c1 
aa2 c1 2b1 ab32cc3b31 






  aa3 c3b2´ ab1c1cb2 
b
a3bc3c2  a1b1c2 
2
3 1
1 3 


 a1c1b3  a2 c2b3  a1b1c3  a2 b2 c3 
a   b c  b c 
 3 
テキスト pp.25 問題4
1 2
2 1

a´ b´c
問題4
ab312cc13b31 
b
a23bc22c1  a3b3 c1 
aa2c1 21b1 








 aa3c23b2´

ab12cc1c2b2 
b
a3bc3c2  a1b1c2 
2
3 1
1 3 


 a1c13bb33  a23cc23b3  a1b1c3  a2 b2 c3 
 a3   b1c2  b2 c1 
テキスト pp.25 問題4
a´ b´c
問題4
b312
1a
cc131b3b11
b
aa231bc
aa2c1a211bc11b
b212c11  a31bc13 c1












ab122ccc1c22bb22
b
a3bc
c

a
b
c
 aa3
c2223bb22´
c

a
b
c
3
2
1
1
2
2
2
2
2
2
3 1
1 3 





 a1

b


c
c
b

a
c
b

a
b
c

a
b
c

 133b333  a233 c233b33  1 31c33  a32b3 c2 3 3
 a3   b1c2  b2 c1 
テキスト pp.25 問題4
問題4
a´ b´c
 b1 



a
c

a
c

a
c
b


1
1
2
2
3
3
2c
b
c

b
c
c
b

a
b
aa2ac1a211bcc11bb1a



312a
1313b
11b ca231b212 11  a31bc13c1
b3 












ab122ccc1c22bb22
b
a3bc
c

a
b
c
 aa3
c2223bb22´
c

a
b
c
3
2
1
1
2
2
2
2
2
2
3 1
1 3 c




 1

 a1

b


c
c
b

a
c
b

a
b
c

a
b
c

a3133b3a331b1ab233a1cc2233b2b233ab3b1233c1c133c2 a32b3c2 3 3
テキスト pp.25 問題4
 c3 
æ b1 ö
æ c1 ö
æ c2 ö
ç ÷
ç ÷
ç
÷
a  ç c1 ÷ , b  ç b2 ÷ , c  ç c2 ÷
ç 0 ÷
çb ÷
çc ÷
è
ø
è 3ø
è 3ø
小テスト
1 b ´ c  ?
 2 0.25c ´ 4b  ?
3 a ´  b ´ c  ?

線形代数Ⅰ 第四回

線形代数Ⅰ 第三回

線形代数 I 第6回 行列の演算和，スカラー倍