代数学XC（本郷）補足プリント2

代数学 XC（本郷）補足プリント 2
高木俊輔（東大数理）
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このプリントでは G は有限群とし，G の表現といえば G の複素数体 C 上の表現を意味す
るものとする．
定理. V, W を G の有限次元表現とすると，
⟨χV , χW ⟩ = dimC HomG (V, W )
が成り立つ．
定義. (V, ρ) を G の有限次元表現とする．このとき
V G := {v ∈ V | 任意の g ∈ G に対し，ρ(g)(v) = v}
と定義する．
補題 1. (V, ρ) を G の有限次元表現としたとき，
dimC V G =
1 ∑
χV (g).
|G|
g∈G
証明.
π :V →VG
v 7→
1 ∑
ρ(g)(v)
|G|
g∈G
という C 線形写像を考える．任意の w ∈ V G に対し π(w) = w が成り立つので，π は全射．よっ
π
て U = ker π とおくと，V = V G ⊕ U が成り立つ．V −
→ V G ,→ V を同じ記号 π で表すことに
する．w1 , . . . , wm を V G の基底，u1 , . . . , ul を U の基底とすると，w1 , . . . , wm , u1 , . . . , ul に関
する π の表現行列は
(
)
Em 0
0 0l
となるので，tr(π) = m = dim V G . 一方，v1 , . . . , vn を V の基底とすると，
tr(π) =
n
∑
i=1
vi∗ (π(vi ))
n
1 ∑∑ ∗
1 ∑
=
vi (ρ(g)(vi )) =
χV (g).
|G|
|G|
g∈G i=1
g∈G
□
補題 2. (V, ρV ), (W, ρW ) を G の有限次元表現とし，HomC (V, W ) に次のように C[G] 加群の構
造を入れる: 任意の g ∈ G と f ∈ HomC (V, W ) に対し，
g · f := ρW (g) ◦ f ◦ ρV (g)−1 ∈ HomC (V, W ).
このとき
HomG (V, W ) = HomC (V, W )G .
証明.
f ∈ HomC (V, W ) が C[G] 準同型 ⇔ 任意の g ∈ G に対し，f ◦ ρV (g) = ρW (g) ◦ f
⇔ 任意の g ∈ G に対し，ρW (g) ◦ f ◦ ρV (g)−1 = f
⇔ 任意の g ∈ G に対し，g · f = f.
□
補題 3. (V, ρV ), (W, ρW ) を G の有限次元表現としたとき，次の C[G] 同型が存在する．
HomC (V, W ) ∼
=V∗⊗W
証明.
φ : V ∗ ⊗ W → HomC (V, W ) f ⊗ w 7→ (v 7→ f (v)w)
という C 線形写像を考える．v1 , . . . , vm を V の基底，w1 , . . . , wn を W の基底とすると，{vi∗ ⊗
wj }i,j は V ∗ ⊗ W の基底，{fji : vi 7→ δij wj }i,j は HomC (V, W ) の基底であることに注意する．
φ(vi ⊗ wj ) = fij なので，φ は C 線形写像として同型．後は φ が C[G] 準同型であることを確か
めれば良い．任意の g ∈ G, f ∈ V ∗ , w ∈ W に対し，
g · (φ(f ⊗ w)) = ρW (g) ◦ (v 7→ f (v)w) ◦ ρV (g)−1
= (v 7→ ρV (g)−1 (v) 7→ f (ρV (g)−1 (v))w 7→ f (ρV (g)−1 (v))ρW (g)(w))
= φ((f ◦ ρV (g)−1 ) ⊗ ρW (g)(w)) = φ(g · (f ⊗ w))
より，φ は C[G] 準同型である．
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定理の証明. χW (g) = χW (g −1 ) より，⟨χV , χW ⟩ = ⟨χW , χV ⟩ であることに注意する．
dimC HomG (V, W ) = dimC HomC (V, W )G （∵ 補題 2）
= dimC (V ∗ ⊗ W )G （∵ 補題 3）
1 ∑
χV ∗ ⊗W (g) （∵ 補題 1）
=
|G|
g∈G
1 ∑
=
χV ∗ (g)χW (g)
|G|
g∈G
1 ∑
=
χV (g)χW (g)
|G|
g∈G
= ⟨χW , χV ⟩.
□

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