Advanced Topics in Economics I

上級価格理論ＩＩ
第13回
2011年後期
中村さやか
今日やること
4. 不完備情報の動学ゲーム
• 4.2 シグナリング・ゲーム
– 4.2.B 就職市場のシグナリング続き
Spence (1973)のモデル
プレーヤー：労働者と2つの企業
1. 自然が労働者の生産能力ηを決める
ηは確率qでH（高い）、確率1-qでL（低い）
２．労働者は自分の能力を知って、教育水準e≧0を選ぶ
３． 2企業は労働者の教育水準を知ったのち（しかし労働者の
能力は知らずに）同時に労働者に対して賃金を提示する
４．労働者はこれら２企業が提示した賃金のうち高い方を受け
入れ、もしそれらが等しければコインを投げて、就職先を決
める
労働者の受け入れる賃金をωと書く
利得
労働者の利得 = ω - c(η, e)
c(η, e)=能力がηの労働者が教育水準eを得るのにかかる費用
労働者を雇う企業の利得 = y(η, e) - ω
y(η, e)=能力がηで教育水準がeの労働者の生産性
労働者をやとわない企業の利得 = 0
ここで、任意のηと eに対して ye(η, e) ≧0 と仮定
つまり、教育は労働生産性を上げるか、もしくは変化させない
主要な仮定①: single crossing condition
∀e, ce(L, e) > ce(H, e)
• いかなる教育水準におい
ても、能力の高い労働者
より能力の低い労働者の
ほうが教育の限界費用が
大きい
⇒ 教育水準をe1からe2へ上
昇させる費用を補償する
ために必要な賃金上昇
分は、能力の高い労働者
より能力の低い労働者の
ほうが大きい
ω
無差別曲線は高々
１回しか交差しない
IL
IH
ωL
ωH
ω1
0
e1 e2
e
主要な仮定②：企業の期待利得はゼロ
仮定：
• 2企業の間のベルトラン競争によって企業の期待利得はゼロ
• eという教育水準を観察した後で、両企業は労働者の能力が
Hである確率について同じ信念 μ(H|e) を持つ
（均衡経路上の信念は当然同じになるが、均衡経路上にな
い e の選択を観察した後の信念も同じと仮定）
⇒ μ(H|e) を所与として、両企業とも教育水準 e の労働者の期
待生産性に等しい賃金を提示する
ω(e)=μ(H|e)y(H,e)+[1-μ(H|e)]y(L,e)
3種類の完全ベイジアン均衡
一括均衡：
• どちらのタイプの労働者も同じ教育水準を選ぶ
分離均衡：
• 労働者がタイプによって異なる教育水準を選ぶ
混成均衡：
• 片方のタイプの労働者は確率1で同じ教育水準を選ぶが、も
う一方のタイプの労働者は一括均衡を作る戦略と分離均衡
を作る戦略の間でランダマイズする
• タイプLがランダマイズする混成均衡について講義で解説す
るが、タイプHがランダマイズする混成均衡もある
どれについても数多くの均衡が存在する
完備情報の場合
注：
以降、図ではye(η, e)>0
だが、ye(η, e)=0でも議論
の本質には影響なし
労働者の能力が労働者の私
ω
的情報ではなく、全プレー
ヤーの共有知識になっている
と仮定
⇒ 企業はω(e)=y(η,e)を提示
能力ηの労働者の
⇒能力がηの労働者は次式を
無差別曲線
最大化するようにeを選択：
y(η,e) - c(η,e)
この解をe*(η)と書き、この努
力水準の下での賃金を
ω*(η)
ω*(η)=y[η, e*(η)] と定義
ω＝y(η, e)
0
e*(η)
e
もし不完備情報の下でω(e)=y(η,e) だったら
ω
能力Lの労働者が
能力Hのふりをする
IH
誘因がない場合
（妬みのないケース）
ω
IL
能力Lの労働者が
能力Hのふりをする
誘因がある場合
IH
（妬みのあるケース）
IL
ω*(H)
ω*(H)
ω＝y(H, e)
ω＝y(L, e)
ω*(L)
ω*(L)
0
e*(L)
e*(H) e
0
ω＝y(H, e)
ω＝y(L, e)
e*(L) e*(H)
e
妬みのないケースの分離均衡における
労働者の最適反応
能力Lの労働者が
ω 能力Hのふりをする IH
誘因がないケース
IL
ω*(H)
ω＝y(H, e)
ω＝y(L, e)
このような企業の戦略（赤
の二重点線）を所与として、
タイプHの労働者にとって
e*(H)、タイプLの労働者に
とってe*(L) が、それぞれ最
適反応になっているか？
⇒なっている
ω*(L)
0
ω(e) = y(L,e) if e<e*(H)
= y(H,e) if e≧e*(H)
e*(L)
e*(H) e
妬みのあるケースでの分離均衡
タイプHの労働者は教育水準
e*(H) を、タイプLの労働者は
教育水準 e*(L) を選ぶような
分離均衡は維持できない
←タイプLの労働者もe*(H)を
選ぶ（タイプHのふりをする）
ほうが効用水準が高い
ω
能力Lの労働者が
能力Hのふりをする
誘因がある場合
IL
ω*(H)
IH
⇒分離均衡ではタイプHの労
働者はes以上の教育水準を
選ばないと分離均衡が維持
できない
ω＝y(H, e)
ω＝y(L, e)
ω*(L)
0
e*(L) e*(H) es
e
妬みのあるケースの分離均衡における
企業の信念と戦略
• タイプHの労働者は教育水準 es を、タイプLの労働者は
教育水準 e*(L) を選ぶ
⇒ 均衡経路上での企業の信念は
μ(H| es)=1,
μ(H| e*(L))=0
⇒ 均衡経路上で企業が提示する賃金は
ω(es)=y(H, es),
ω(e*(L))=ω*(L)
• 均衡経路上にない教育水準に対する信念と戦略は？
仮定：
μ(H| e)= 1
if e≧es
=0
if e＜es
ω(e) = y(H, e)
if e≧es
= y(L, e)
if e＜es
妬みのあるケースの分離均衡における
労働者の最適反応
ω(e) = y(L,e) if e<es
= y(H,e) if e≧es
このような企業の戦略（赤の
二重点線）を所与として、タイ
プHの労働者が es を、タイプ
Lの労働者がe*(L) を選ぶの
は、それぞれ最適反応になっ
ているか？
⇒なっている
ω
IH
ω＝y(H, e)
IL
ω*(L)
ω＝y(L, e)
0
e*(L)
es
e
妬みのあるケースの分離均衡において
タイプHが選ぶ教育水準は一意ではない
均衡においてタイプHが es
ではなく、es より大きくe’より
小さい教育水準e’’を選び、
企業の信念と戦略は
μ(H| e)= 1
if e≧e’’
=0
if e＜e’’
ω(e) = y(H,e) if e≧e’’
= y(L,e) if e＜e’’
となる分離均衡が存在
ω
IH
ω＝y(H, e)
ω*(L)
ω＝y(L, e)
0
e*(L)
IL
e’’
es e’ e
妬みのあるケースで分離均衡が成立する
別の信念
e*(H)からesの範囲の努力
水準についてμ(H| e)が0で
はなく小さい正の値で、企業
の戦略が赤の二重点線では
なく青の二重線であっても、
タイプHの労働者はesを、タ
イプLの労働者はe*(L)を選
ぶ分離均衡が成立
ω
IH
ω＝y(H, e)
ω*(L)
0
IL
ω＝y(L, e)
e*(L) e*(H) es
e
タイプLがランダマイズする混成均衡での
均衡経路上の企業の信念
• タイプHの労働者は eh を選び、タイプLの労働者は確率
πでeh、確率(1-π)でe*(L) を選ぶ
⇒ ベイズの法則より、
P(H|eh)=P(H, eh)/P(eh)=P(eh|H)P(H)/P(eh)
P(eh|H)=[タイプHがehを選ぶ確率]=1
P(eh|L)=[タイプLがehを選ぶ確率]=π
P(H)=q, P(L)=1-q
P(eh)=P(H)P(eh|H)+P(L)P(eh|L)=q+(1-q)π
⇒ 均衡経路上での企業の信念は
μ(H|eh)=q/[q+(1-q)π], μ(H|e*(L))=0
⇒ μ(H|eh)>q, π→0 μ(H|eh)→1, π→1 μ(H|eh)→q
タイプLがランダマイズする混成均衡での
均衡経路上の企業の戦略
⇒ 均衡経路上での企業の信念は
μ(H|eh)=q/[q+(1-q)π], μ(H|e*(L))=0
⇒ 均衡経路上で企業が提示する賃金は
ω(e*(L))=ω*(L)
ω(eh)=μ(H|eh)y(H,e)+[1-μ(H|eh)]y(L,e)
={q/[q+(1-q)π]}y(H,eh)+{(1-q)π/[q+(1-q)π]}y(L,eh)
(1)
タイプLの労働者にとってehとe*(L)は無差別
⇒ ω*(L)-c(L, e*(L))=ω(eh)-c(L, eh) (2)
⇒ 均衡においては(1)(2)が満たされていなければならない
⇒ ehが与えられればπの値は一意に決まる
タイプLがランダマイズする混成均衡での
企業の信念と戦略
仮定：
μ(H|e)=0
if e<eh
=r
if e≧eh
⇒企業はe≧ehを観察すると、確率rでタイプH、確率1-rでタイプ
Lだと解釈
ω(e)= y(L,e)
if e<eh
= ry(H,e)+(1-r)y(L,e) if e≧eh
rは均衡経路での信念μ(H|eh)と一致していなければならない
⇒ r= μ(H|eh)= q/[q+(1-q)π]
⇒ ehを所与とすると、πの値が一意に決まるので、rの値も一意
に決まる
混成均衡での労働者の最適反応
IL
ω
ω(e)= y(L,e) if e<eh
= ry(H,e)+(1-r)y(L,e)
if e≧eh
IH
ω(e)=ry(H,e)+(1-r)y(L,e)
ωh
ω＝y(L, e)
ω*(L)
0
e*(L)
eh
e
このような企業の戦略（赤
の二重点線）を所与とする
と、タイプLの最適反応は
e*(L)とeh両方であり、タイプ
Hの最適反応はehである

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