n x の微分 順列と組合せ 二項定理 1 (a+b)nの展開 二項定理 2 順列 • n個の異なった文字 a1 , a2 , a3, ・・・, an から r 個とってきて並べるとき、異なった並べ 方の個数を調べる。 • 最初の1つは何でもいいので選び方は n 個 • 2番目は残りの(n-1)のうちのどれかなので、 最初のn個に対してそれぞれ(n-1)個ある。 • したがって最初と2つ目の文字を選ぶ選び方 はn (n-1)通り 3 n 個から r 個とってきて並べる並べ方の総数 • r 個まで繰り返すと、最初から r 番目までの 並べ方の総数は n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1) である。 • いくつかのものを1列に並べた配列を順列と 呼ぶ。 • n個の異なった文字の中からr個を選んで並 べるとき、異なる並べ方の総数を nPr という記号で表す。 4 nPn=n! • • • • nPn= n(n-1)(n-2)・・・×(3)×(2)×(1) この値をnの階乗といい n! で表す。 特に n = 0の場合、0! = 1 と定義する。 この記号を使いnPrを表すと以下のようにな る。 n! n Pr n r ! 5 問題 以下の値を求めなさい。 3! 3 2 1 6 3 P3 0! 3! 3 2 1 6 3 P2 1! 1 3! 3 2 1 3 3 P1 2! 2 1 3! 1 3 P0 3! 6 組み合わせの数 • n 個から r 個を選び出す選び方を組み合わせ と呼び、nCrで表す。 • n 個の異なるものの中から r 個を選んで並べ る並べ方の個数は nPr である。 • n 個から r 個を選ぶ選び方は、 nCrである。 • これにはそれぞれr個の成分がありこれを並 べ替えると並べ方は r!個ある。 • したがって nPr = nCr×r! と表すことができる。 7 n Pr n Cr r! を整理する。 n! ここでn Pr なので n r ! n! n Cr r!n r ! ※ r = 0のとき、「何も並べない」という一通りがある と考える。 8 問題 以下の値を求めなさい。 3! 3 2 1 1 3 C3 0!3! 3 2 1 3! 3 2 1 3 3 C2 1!2! 1 2 1 3! 3 2 1 3 3 C1 2!1! 2 11 3! 3 2 1 1 3 C0 3!0! 3 2 1 9 展開後の式 二項定理 10 (a + n b) の値 ( a + b )n = ( a + b ) ( a + b ) ・・・( a + b ) なので、これを求めるには右辺を展開すれ ばよい。 すると n 個ある ( a + b ) から a または b を 選んで掛け合わせた an-r br (r = 0,1,2,・・・,n) という形の和が得られる。 11 an-r br の個数を数える それぞれの an-r br は n 個の ( a + b ) のう ち、 r 個は b をとり n-r 個は a をとって掛け 合わせたものである。 したがって、そのような積は n 個の因子か ら b の方を r 個を選ぶ選び方の総数だけ あり、その数は nCr である。 12 2項定理 n-r br を r = 0,1,2,・・・,n について加えたもの C a n r が(a + b)n となる。 従って (a + b)n= nC0 an b0 + nC1 an-1 b1 + nC2 an-2 b2 +・・・ + nCn-1 an-(n-1) b(n-1) + nCn an-(n) b(n) となる。 13 問題 以下の式を展開しなさい a b 3 C0 a b 3 3 0 3 C1a b 3 C2 a b 3 C3a b 2 1 a 3a b 3ab b 3 2 2 1 2 0 3 3 14 微分の復習 f (x) = xn の微分 15 f (x) = xn の微分 df x h x n lim dx h0 h n lim Cx n h 0 lim h 0 0 n n C1 x n 1h n Cn 1 xhn 1 n Cn h n x n h x n nx n 1h n Cn 1 xhn 1 n Cn h n x n h hnx n 1 n Cn 1 xhn 2 n Cn h n 1 lim h h 0 lim nx n1 n Cn1 xhn2 n Cn hn1 nx n1 h0 16 問題 以下の式を x で微分しなさい。 f x x f x 3x 2 f x ax b (a , b は定数) df 0 x 1 dx df 6x dx df b 1 abx dx 17 指数と対数 指数法則 指数関数と対数関数 対数変換 18 累乗の指数と指数法則 指数 19 累乗の指数 a をn 回かけることを累乗といい、 このときの n を累乗の指数という。 a a a a n n個 20 指数法則1 n,mはともに自然数とする a a a a a a a a n m n個 m個 a a a a a a nm n+m個 21 指数法則2 n,mはともに自然数 n > m とする m個 n個 n-m個 a a a a a a m a a a a n m個 a nm 22 指数法則2-1 n = m とすると指数法則2により a n-m ここで a nm a 0 の値を求める a a a a 1 m a a a a n a 1 0 23 指数法則2-2 n = 0 , m は自然数とすると指数法則2により a 0 m a m 0 1 a m m a a a m 1 m a 24 指数法則3 n,mはともに自然数とする a a a a n m n n n (an)がm個 a a a a a a aがn個 a a a a n×m個 mn 25 指数法則4 nは自然数とする a a 1 n n 1 n n a a 1 a1/n は n 乗したら a になる値である。 つまり a の n 乗根 1 n a a n 26 指数法則 a a a n a n m m a nm a n nm 1 n a 1 1 n a a a n 0 27 対数変換 指数関数と対数関数 28 指数関数 a > 0 と任意の有理数x,yに対して axay=ax+y ax/ay=ax-y (ax)y=axy が成立する。このように定義され た ax を指数関数と呼ぶ 29 指数関数の性質 y= x a において 1 < a ならば増加関数 0 < a < 1 ならば減少関数 30 a > 1 のグラフ (a = 2.0) 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 31 0 < a < 1 のグラフ(a = 0.5) 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 32 対数の意味 a > 0 かつ a ≠ 1 ならば y > 0 の値を 指定すれば y = ax を満たす x の値は ただ一つ決まる。そこで y = a x を x に ついて解いた式を x = loga y という記号で表す。 33 対数における各部の名称 x = loga y において a を 底 (てい) y を 真数 (しんすう) と呼ぶ。 34 対数関数 x,y を入れ替えて表記した関数 y = log a x を対数関数と呼ぶ。 対数関数の定義域は (0, ∞) であ り、値域は (-∞, +∞) である。 特に a = e のときは自然対数と呼 び log x と表す 35 自然対数 y = log x のグラフ 2.0 1.0 0.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0 36 指数関数と対数関数の関係 y = log x は x = の逆関数で あるから y = log x と x = ey は x と y の関 係式としては同じものである。 y e 37 問題 x= とする。 対数関数で表しなさい。 m e m log x 38 問題 y = とする。 対数関数で表しなさい。 n e n log y 39 対数における指数法則 対数の話 40 問題 対数関数で表しなさい 1 a 0 log a 1 0 41 問題 対数関数で表しなさい aa 1 log a a 1 42 問題 対数関数で表しなさい xa log a x m m ya log a y n n xy a a a m n m n log a xy m n log a x log a y 43 問題 対数関数で表しなさい xa m x a y my log a x m log a x my y y log a x 44 対数の公式 (まとめ) log a 1 0 log a a 1 log a xy log a x log a y log a x y log a x y 45 対数変換 y = f (x) とする。 ここで両辺の値を真数とする対 数をとると、以下の式が成り立つ。 log y=log f (x) この変換を対数変換という。 46
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