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７．n次の行列式
一般的な（n次の）行列式の定義には、数学的な概念が
いろいろ必要である。まずそれらを順に見ていく。
1
余因子
定義（余因子）
n  2 とする。
n 次の正方行列 A   aij  とその要素 ij に対して、
第 i 行と第 j 列を取り除いた n 1 次の
正方行列 aij を考え、符号を次のように設定
したスカラーを、
a
aij  (1)
i j
aij
行列 A の (i, j ) 余因子という。
n - 1次の行列式。
行列式の定義は
帰納的に定義される
2
余因子の形
aij  (1)
i j
a1,1
a1, j 1
a1, j 1
a1,n
ai 1,1
ai 1, j 1
ai 1, j 1
ai 1,n
ai 1,1
ai 1, j 1
ai 1, j 1
ai 1,n
an ,1
an , j 1
an, j 1
an,n
aij  R
すなわち、余因子は(単一の）スカ
ラーであることに注意すること。
3
余因子の求め方その1
 a11


A   ai1


a
 n1
a1 j
aij
an1
a1n 


ain 


ann 
A は
n n
行列
削除
 a11


aij  


a
 n1
a1n 





ann 
aij は
(n  1)  (n  1)
行列
4
余因子の求め方その２
（余因子の符号）
（1，1）成分
a11
























































( n, n )
ann
成分
左上がプラスのチェスボードを考えればよい。
5
1

2
A   aij    3

4
5

2
3
4
5
4
例題１
3
4
5
4
3
4
5
4
3
2
5

4
3

2
1 
とする。
このとき、次の余因子を n - 1 次の行列式を
用いて表せ。
（２） (3, 3)-余因子
1
（１） (1,1)-余因子
a11  (1)11 a11
3
4

5
4
5
4
5
4
3
4
3
2
4
3
2
1
a33  ( 1)33 a33 
4
5
3
5
4
2
5
4
2
1
（４） (2, 3)-余因子
（３） (1, 2)-余因子
a12  ( 1)1 2 a12
2
4
2
3
5
2
3

4
4
5
4
5
4
3
4
3
2
5
3
2
1
a23  (1) 2 3 a23
1
3

4
2
4
5
4
4
3
5
3
2
5
4
2
1
6
例題２
1

A   aij    4
7

2
5
8
3

6
9 
とする。
このとき、次の成分の余因子を求めよ。
（１）
a11
（２）
a22
11
a11  (1)
a22  (1)
2 2
a11
a22
5

8
1

7
6
 45  48  3
9
3
 9  21  12
9
（３） a12
1 2
a12  (1)
a12
4

7
6
 (1)(36  42)  6
9
a23
1

7
2
 (1)(8  14)  6
8
（４）a23
a23  (1)
2 3
7
練習
4

5
A   aij   
6

7
3
5
6
2
4
7
8
9
1

3
2

1 
とする。
このとき、次の余因子を求めよ。
（１）
（２）
a11
（３） a12
（４）
a33
a23
8
行列式の定義（重要）
定義（行列式）
n
次の正方行列 A = [aij ] に対し、
行列式 A を次のように再帰的に定義する。
（i） n = 1 のとき
1次正方行列 A = [a ] に対し、 A = a
とする。
（ii） n ³ 2 のとき（i行による余因子展開）
A = ai 1a±i 1 + ai 2a±i 2 + L + ain a±in =
n
å
aij a±ij
j=1
余因子展開では、右辺に n - 1 次の
行列式しか出現しないことに注意する。
9
行列式の余因子展開公式
性質：（余因子展開公式）
A = [aij ] を n 次の正方行列とする。
このとき、次式が成り立つ。
（1）（
行に関する余因子展開）
i
A = ai 1a±i 1 + ai 2a±i 2 + L + ain a±in =
n
å
aij a±ij
j=1
（２）（
j
列に関する余因子展開）
A = a1j a±1j + a2 j a±2 j + L + anj a±nj =
n
å
aij a±ij
i= 1
これらは、すべての同じ値（スカラー）になる。
（証明略）
10
例題１
次の行列式を指定された余因子展開により求めよ。
2 3
5 7
= 14 - 15 = - 1
解）（１）第１行で展開
2 3
= 2 ´ 7 + 3 ´ (- 1) 5 = 2 ´ 7 - 3 ´ 5 = - 1
5 7
（２）第２行で展開
2 3
= 5 ´ (- 1) 3 + 7 ´ 2 = - 5 ´ 3 + 7 ´ 2 = - 1
5 7
（３）第１列で展開
2 3
= 2 ´ 7 + 5 ´ (- 1) 3 = 2 ´ 7 - 5 ´ 3 = - 1
5 7
（４）第２列で展開
2 3
= 3 ´ (- 1) 5 + 7 ´ 2 = - 3 ´ 5 + 7 ´ 2 = - 1
5 7
11
例題２
次の行列式を指定された方法により求めよ。
解）
2
- 1
2
4
0
- 3
- 1
2
1
（１）サラスの方法
2
- 1
2
4
0
- 3
- 1
2
1
= 2g0g1 + (- 1)g(- 3)g(- 1) + 2g4g2
- {2g(- 3)g2 + (- 1)g4g1 + 2g0g(- 1)}
= - 3 + 16 - (- 12 - 4)
= 13 + 16
= 29
12
（2）第２行で展開
2
- 1
4
0
- 1
2
2
- 3 = 4g(- 1)
2+ 1
- 1 2
2
1
+ (- 3)g(- 1)
2+ 3
2
- 1
- 1
2
2
2
1
= - 4(- 1 - 4) + 3(4 - 1) = 29
（3）第２列で展開
2
- 1
4
0
- 1
2
2
- 3 = (- 1)(- 1)
2+ 1
4
- 3
- 1
1
+ 2(- 1)
3+ 2
4 - 3
1
= (4 - 3) - 2(- 6 - 8) = 29
13
練習
次の行列式を指定された余因子展開により求めよ。
- 4 - 3
- 2 - 1
（1）第１行で展開
（2）第２行で展開
（3）第１列で展開
（4）第２列で展開
14
例題３
次の行列式を求めよ。
0 2
0 2 5
0 3
0 0 1
A = 7 - 3 2 8 - 7
6 - 4 0 7 2
0 5
解）
0 0 1
第３列で展開する。
0 3
0 1
0 2
2 5
0 2
2 5
7 - 3 8 - 7
7 - 3 8 - 7
0 3
0 1
A = 0g
- 0g
+ 2g
6 - 4 7 2
6 - 4 7 2
6 - 4 7 2
0 5
0 1
0 5
0 2
2 5
0 3
0 1
0 5
0 1
0 1
0 2
0 5
2 5
0 3
0 1
- 0g
+ 0g
7 - 3 8 - 7
7 - 3 8 - 7
6 - 4 7 2
0 1
0 2
2 5
0 3
0 1
= 2g
6 - 4 7 2
0 5
0 1
15
さらに、第１列で展開する。
2 2 5
A = 2g6g3 0 1
5 0 1
さらに、第２列で展開する。
3 1
A = 2g6g2g(- 1)
5 1
= 2g6g2g(- 1)(3 - 5) = 48
16
練習
次の行列式を求めよ。
A =
0 1
0
2
3 5
0
1
0 2
0
0
1 - 1 - 3 2
17
行列式の性質１
性質１：（
a11
L
i
行のスカラー倍）
a1n
a11
M
M
kai 1 L
ka in
M
= k ai 1
M
an 1
M
ann
L
L
a1n
L
M
ain
M
M
an 1 L
ann
A k´ ( i ) = k A
18
i
証明
a11
L
行で展開する。
a1n
a12
M
M
M
kai 1 L
kain = (- 1)i + 1 kai 1
M
an 1
M
ann
L
L
a1n
M
= k ai 1 L
M
an 1 L
M
ain
M
ann
a1n
a11
M
M
M
ann
a1n
a11
M
M
a1n
a11
L
M
M
M
M
an 1 L
M
an (n - 1)
M
ann
a1n
a11
M
M
L
+ L + (- 1)i + n ain
M
an 1 L
M
ann
L
a1( n - 1)
+ L + (- 1)i + n kain
M
an 1 L
+ (- 1)i + 2 ai 2
M
ann
L
+ (- 1)i + 2 kai 2
M
an 2 L
a12 L
ïìï
ïï
M
ïï
ï
= k ïí (- 1)i + 1ai 1
ïï
M
ïï
ïï
an 2 L
ïîï
a11
L
M
an 1 L
a1( n - 1) ü
ïï
ïï
M
ïï
ïï
ý
ïï
M
ïï
ï
an (n - 1) ïï
ï
þ
QED
19
例題
次の２つの行列式を比べよ。
1
2
3
1 2 3
- 1 0 - 1
2
3
3 0 3
4
2 3 4
解）
1
2
1 2 3
3
3 0 3
- 1 0 - 1
2
3
2 3 4
4
= 2g(- 1)g2 + 3g(- 1)g3 - {1g(- 1)g3 + 2g(- 1)g4}
= 2g3g2 + 3g3g3 - {1g3g3 + 2g3g4}
= - 4 - 9 - {- 3 - 8}
= 12 + 27 - {9 + 24}
= - 13 + 11
= 39 - 33
= - 2
= 6
1 2 3
1
2
3
\ 3 0 3 = - 3- 1 0 - 1
2 3 4
2
3
4
20
行列式の性質２
性質２：（
a11
L
M
ai 1 + bi 1 L
M
an 1
i
行における加算分解）
a1n
a11 L
M
M
= ai 1 L
ain + bin
M
L
ann
M
an 1 L
a11 L
a1n
M
M
ain + bi 1 L
M
a1n
M
ann
M
an 1 L
bin
M
ann
A (i )+ ( i ') = A ( i ) + A ( i ')
21
証明
i
a11
行で展開する。
L
M
M
ai 1 + bi 1 L
M
an 1
a1n
ain + bin
M
L
ann
a12
L
M
a1n
M
L
= (- 1)i + 1(ai 1 + bi 1 )
a11 L
M
an 2 L
M
+ (- 1)i + 1(ai 2 + bi 2 )
M
a11 L
M
+ (- 1)i + n (ain + bin )
L
+L
M
ann
a1(n - 1)
M
L
M
an 1 L
= L
M
M
an 1 L
ann
a1n
M
an (n - 1)
22
ìï
ïï
ïï
ïï
ïí (- 1)i + 1a
i1
ïï
ïï
ïï
ïîï
a12
L
M
= ai 1 L
M
an 2 L
a1n
M
a11 L
M
L
M
M
an 2 L
a12
a1n
M
L
M
M
an 2 L
a1n
M
M
ain + bi 1 L
M
M
ann
a12
M
an 2 L
a1n
L
an 1 L
L
a1n
an 1 L
a1(n - 1) ü
ïï
ï
M ïï
ïï
ïý
ïï
M ïï
ï
an (n - 1) ïï
ï
þ
a11 L
M
M
ann
M
ann
M
+ (- 1)i + 2bi 2
L
+ L + (- 1)i + n ain
a11 L
M
M
M
an 1 L
L
a11 L
M
M
ann
a1n
L
+ (- 1)i + 2 ai 2
M
ìï
ïï
ïï
ïï
+ ïí (- 1)i + 1bi 1
ïï
ïï
ïï
ïîï
a12
L
M
L
+ L + (- 1)i + n bin
M
ann
M
an 1 L
a1(n - 1) ü
ïï
ï
M ïï
ïï
ïý
ï
M ïïï
ï
an (n - 1) ïï
ï
þ
bin
M
ann
QED
23
例題
次の３つの行列式を比べよ。
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 0 1
2 0 2
3 0 3
2 3 4
2 3 4
2 3 4
解）
1 2 3
1 0 1
2 3 4
= 2g1g2 + 3g1g3 - {1g1g3 + 2g1g4}
= 4 + 9 - {3 + 8}
= 13 - 11
= 2
1 2 3
2 0 2
2 3 4
= 2g2g2 + 3g2g3 - {1g2g3 + 2g2g4}
= 8 + 18 - {6 + 16}
= 26 - 22
= 4
24
1 2 3
3 0 3
2 3 4
= 2g3g2 + 3g3g3 - {1g3g3 + 2g3g4}
= 12 + 27 - {9 + 24}
= 39 - 33
= 6
1 2 3
1 2 3
1 2 3
\ 3 0 3 = 1 0 1+ 2 0 2
2 3 4
2 3 4
2 3 4
25
行列式の性質３
性質３：（行交換の交代性）
a11 L
a1n
a11 L
a1n
M
ai 1 L
M
ain
M
aj1 L
M
a jn
M
aj1 L
M= - M
a jn
ai 1 L
M
ain
M
an 1 L
M
ann
M
an 1 L
A = - A ( i )« ( j )
M
ann
26
証明
２段階に分けて証明する。
場合１：隣接する行の交換時
a11
M
ai 1
L
a1n
L
M
ain
a(i + 1)1 L
M
an 1
L
a(i + 1)n
a11
L
M
= -
M
a(i + 1)1 L
ai 1
M
M
ann
an 1
a1n
L
a(i + 1)n
ain
M
L
ann
この式が成り立つことを示せばよい。
27
左辺を
a11
L
M
ai 1
a(i + 1)1
M
an 1
行で展開
i
a1n
M
L
L
ain
a( i + 1)n
M
L
ann
a12
L
M
= (- 1)i + 1ai 1 a(i + 1)2 L
M
an 2
a1n
a11
M
M
L
M
a( i + 1)n + (- 1)i + 2 a a( i + 1)1 L
i2
M
M
L
ann
a11
L
M
L
a( i + 1)n + L
M
ann
a1( n - 1)
M
+ (- 1)i + n ain a(i + 1)1 L
M
an 1
an 1
a1n
a( i + 1)( n - 1)
M
L
an (n - 1)
28
右辺中の行列式を i
a11
L
M
M
a(i + 1)1 L
ai 1
L
M
an 1
a1n
L
+ 1 行で展開
a12
L
M
a( i + 1)n
( i + 1)+ 1
=
(
1)
ai 1 a(i + 1)2 L
ain
M
M
an 2 L
ann
a1n
a11
M
M
ann
an 1
L
M
L
a( i + 1)n + L
M
ann
a1( n - 1)
M
+ (- 1)(i + 1)+ n ain a(i + 1)1 L
M
an 1
a1n
M
a( i + 1)n + (- 1)( i + 1)+ 2 a a( i + 1)1 L
i2
M
M
a11
よって、左辺と右辺では、
符号が反転する。
L
a( i + 1)( n - 1)
M
L
an (n - 1)
チェスボードにしたがって符
号を考えれば、隣接する行
では符号は反転する。
29
場合２：一般の行の交換時
a11 L
a1n
a11 L
a1n
M
ai 1 L
M
ain
M
aj1 L
M
a jn
M
aj1 L
M= - M
a jn
ai 1 L
M
ain
M
an 1 L
M
ann
M
an 1 L
M
ann
30
隣接する行の交換を繰り返し適用して、
望みの交換を実現する。
i « (i + 1)
(i + 1) « (i + 2)
この一連の交換により、
右の行列式が得られる。
（ j - i + 1 回の交換が
行われることに注意する。）
L
M
(- 1)
j- i+ 1
M
aj1
ai 1
M
an 1
a1n
M
a(i + 1)1 L
M
( j - 1) « j
a11
L
L
a( i + 1)n
M
a jn
a in
M
L
ann
31
次に、逆方法に交換を繰り返す。
a11
M
aj1
( j - 1) « ( j - 2)
M
(i + 1) « i
(- 1)
この一連の交換により、
右の行列式が得られる。
（ j - i 回の交換が
行われることに注意する。）
以上より、命題が成り立つ。
2( j - i )+ 1
L
a1n
L
M
a jn
M
M
a( j - 1)1 L
ai 1
L
M
an 1
a( j - 1)n
ain
M
L
ann
QED
32
例題
次の２つの行列式を比べよ。
解）
1 2 3
2 3 4
3 0 3
3 0 3
2 3 4
1 2 3
1 2 3
2 3 4
3 0 3
3 0 3
2 3 4
1 2 3
= 2g3g2 + 3g3g3 - {1g3g3 + 2g3g4}
= 3g3g1 + 4g3g2 - {2g3g2 + 3g3g3}
= 12 + 27 - {9 + 24}
= 9 + 24 - {12 + 27}
= 39 - 33
= 33 - 39
= 6
= - 6
2 3 4
1 2 3
\ 3 0 3 = - 3 0 3
1 2 3
2 3 4
33
行列式の性質４
性質４：（同一行を持つ行列式）
a11 L
a1n
(i )
M
ai 1 L
M
ain
(j)
M
ai 1 L
M= 0
ain
M
an 1 L
M
ann
A ( i )= ( j ) = 0
34
証明 i
行と j 行が等しい行列を
とし、
その行列 A に対して、
i 行と j 行を交換して得られる行列を
A
A ( i )« ( j )
とする。
A =
a11 L
a1n
a11 L
a1n
M
ai 1 L
M
a in
(i )
M
ai 1 L
M
a in
M
ai 1 L
M
a in
(j)
M
ai 1 L
M = A ( i )« ( j )
a in
M
an 1 L
M
ann
M
an 1 L
M
ann
35
このとき、明らかに次が成り立つ。
A = A ( i )« ( j )
\ A = A ( i )« ( j )
一方、行の交換の性質（交代性）より、
A = - A ( i )« ( j )
が成り立つ。
したがって、
A = A ( i )« ( j ) = - A ( i ) « ( j )
\ 2 A ( i )« ( j ) = 0
\ A ( i )« ( j ) = A = 0
QED
36
例題
次の２つの行列式を求めよ。
解）
1 2 3
2 3 4
3 0 3
3 0 3
1 2 3
2 3 4
1 2 3
2 3 4
3 0 3
3 0 3
1 2 3
2 3 4
= 2g3g1 + 3g3g2 - {1g3g2 + 2g3g3}
= 3g3g2 + 4g3g3 - {2g3g3 + 3g3g4}
= 6 + 18 - {6 + 18}
= 18 + 36 - {18 + 36}
= 24 - 24
= 54 - 54
= 0
= 0
37
行列式の性質５
性質５：（他の行への加法）
a11 L
a1n
a11
M
ai 1 L
M
ain
M
M
aj1 L
M=
a jn
M
an 1 L
L
M
ai 1 + ka j 1 L
M
aj1
M
M
ann
an 1
A = A ( i )+ k´ ( j )
a1n
ain + ka jn
M
L
a jn
M
L
ann
38
証明
行を分解し、スカラー倍、同一行の性質を用いる。
a11
L
M
ai 1 + ka j 1 L
M
aj1
a11 L
a1n
a11
M
M
ai 1 L
M
ain
M
ka j 1 L
ka jn
M
aj1 L
M+ M
a jn
aj1 L
M
ain + ka jn
M
L
M
an 1
a1n
a jn
M
L
ann
=
M
an 1 L
M
M
ann
an 1
L
a1n
M
a jn
M
L
ann
39
=
a11 L
a1n
a11 L
a1n
a11 L
a1n
M
ai 1 L
M
ain
M
aj1 L
M
a jn
M
ai 1 L
M
ain
M
aj1 L
M+k M
a jn
aj1 L
M
an 1 L
M
ann
M
an 1 L
M= M
a jn
aj1 L
M
ann
以上より、左辺＝右辺、が示せた。
M
an 1 L
M + k g0
a jn
M
ann
QED
40
例題
次の３つの行列式を求めよ。
1 2 3
4 2 6
A = 3 0 3
A (1)+ 1´ (2) = 3 0 3
2 3 4
2 3 4
A (3)+ (- 1)´ (2) =
1
2 3
3
0 3
- 1 3 1
解）
1 2 3
4 2 6
3 0 3
3 0 3
2 3 4
2 3 4
= 2g3g2 + 3g3g3 - {1g3g3 + 2g3g4}
= 2g3g2 + 6g3g3 - {4g3g3 + 2g3g4}
= 12 + 27 - {9 + 24}
= 12 + 54 - {36 + 24}
= 39 - 33
= 66 - 60
= 6
= 6
41
1
2 3
3
0 3
- 1 3 1
= 2g3g(- 1) + 3g3g3 - {1g3g3 + 2g3g1}
= - 6 + 27 - {9 + 6}
= 21 - 15
= 6
42
行列式の性質のまとめ（重要）
行列式の性質：（多重線形性）
（１）
A k´ ( i ) = k A
（２）
A (i )+ ( i ') = A ( i ) + A ( i ')
（３）
A = - A ( i )« ( j )
（４）
A ( i )= ( j ) = 0
（５）
A = A ( i )+ k´ ( j )
行列の基本変形Ｉ
に対応(行のスカラ倍）
行列の基本変形ＩＩＩ
に対応（行の交換）
行列の基本変形ＩＩ
に対応（行の他の行
へのスカラ倍加算）
43
行列式の性質のまとめ（列）
行列式の定義において、行と列の対称性から、
列に関する性質も同様に成り立つ。
列のスカラ倍
（１）
（２）
（３）
（４）
（５）
A
A
k´ ( j )
= kA
( j )+ ( j ')
= A
A = - A
A
( i )= ( j )
A = A
(j)
( i )« ( j )
= 0
( i )+ k´ ( j )
列の分解
+ A
( j ')
列の交換
同じ列の出現
他列へのスカラ倍加算
（各記号は、行に関するスライドからの類推で用いている。）
44
例
次の行列式を求めよ。
a
a
a a+ x
a
a
a
a
a
a
a
a
a+y
a
a
a+z
解）
１列を他の列から引く。
a
与式＝
0 0 0
a x
0 0
a
0 y
0
a
0 0 z
第１行で展開する。
x
与式＝ a
0 0
0 y
0 = axyz
0 0 z
45
練習
次の行列式を求めよ。
（１）
3
1
1
0
- 4 2
（２）
1
3
- 1 - 1
5
0
0 - 1
3
0
3
3
2
4
5
- 1
3
4
- 1
3
3
3
- 1 - 1
1
3
46
行列式の応用
47
単位行列の行列式
性質：（単位行列の行列式）
単位行列
I
の行列式は、
1
である。すなわち、任意の次数
次が成り立つ。
n
に対して、
I = In = 1
証明略
48
例
I1 = 1 = 1
1 0
I2 =
0 1
= 1
1 0 0
I3 = 0 1 0 = 1
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
I4 =
0 0 1 0
0 0 0 1
= 1
49
転置行列の行列式
性質：（転置行列の行列式）
行列式は転置しても変わらない。すなわち、
t
A = A
証明略
50
例題
次の２つの行列式を求めよ。
1 2 3
1 3 2
3 0 3
2 0 3
2 3 4
3 3 4
解）
1 2 3
1 3 2
3 0 3
2 0 3
2 3 4
3 3 4
= 2g3g2 + 3g3g3 - {1g3g3 + 2g3g4}
= 3g3g3 + 2g2g3 - {1g3g3 + 3g2g4}
= 12 + 27 - {9 + 24}
= 27 + 12 - {9 + 24}
= 39 - 33
= 39 - 33
= 6
= 6
51
行列の演算と行列式
性質：（行列の演算と行列式）
を n 次の正方行列とする。
このとき次が成り立つ。
A,B
（１）
det (A B ) = det (A ) det (B )
（２） A
が正則行列ならば、
det (A ) ¹ 0
であり
det (A
- 1
- 1
) = (det (A ))
が成り立つ。
証明略
52
例題
次の行列式を比べよ。
1 2
2 3
3 4
4 5
æ1 2öæ
2 3ö
10 13
÷
÷
çç
çç
÷
÷
=
÷
çç3 4÷
ç
÷
÷
4
5
÷ç
÷ 22 29
è
øè
ø
æ2 3öæ
1 2ö
11 16
÷
÷
çç
ç
÷ç
÷
=
÷
çç4 5÷
ç
÷
÷
3
4
÷
÷
ç
è
øè
ø 19 28
解）
10 13
1 2
3 4
= 4- 6 = - 2
= 290 - 286 = 4
11 16
2 3
4 5
22 29
= 10 - 12 = - 2
19 28
= 308 - 304 = 4
æ1 2öæ
2 3ö
10 13
1 2 2 3
÷
÷
ç
ç
÷
÷
çç
\ çç
=
=
= (- 2)(- 2) = 4
÷
÷
÷
÷
3 4 4 5
÷ç4 5ø
÷ 22 29
çè3 4øè
æ2 3öæ
1 2ö
11 16
2 3 1 2
÷
÷
ç
ç
÷
÷
çç
\ çç
=
=
= (- 2)(- 2) = 4
÷
÷
÷
÷
4 5 3 4
÷ç3 4ø
÷ 19 28
çè4 5øè
53
例
1 2
3 4
= 4- 6 = - 2
- 1
æ1 2ö÷
çç
÷
çç3 4÷
÷
è
ø÷
4 - 2ö÷ - 2 1
1 æ
3
1
çç
÷
=
=
=
1
=
÷
3
1
÷
- 2 èçç- 3 1 ø÷
2
2
2
2
- 1
æ1 2ö
÷
÷
\ ççç
÷
çè3 4÷
÷
ø
=
1
1 2
=
1
1
= - 2
2
3 4
54
練習
行列式の性質を利用して次の行列式を求めよ。
2 1 2 
A   3 0 2 
1 1 1
（１）
1 2 1
B   3 5 1 
 4 0 1
（２）
t
A
B
1
（４）
（３）
AB
  AB 
t
1
55
展開定理
性質：（展開定理）
A = [aij ] を n 次の正方行列とする。
このとき、次式が成り立つ。
（１）（行に関する展開定理）
ìï A
ï
ai 1a±j 1 + ai 2a±j 2 + L + ain a±jn = í
ïï 0
ïî
(i = j )
(i ¹ j )
（２）（列に関する展開定理）
ìï A
ï
a1i a±1j + a2i a±2 j + L + ani a±nj = í
ïï 0
ïî
(i = j )
(i ¹ j )
56
証明
（１）だけを証明する。（２）は転置をすることによって同様に
証明できる。
i = j のときは、余因子展開より成り立つ。
i ¹ j のときには、
i 行a i と j 行a j が同じ成分の行列の行列式と等しい。
よって、0である。
Q ED
57
クロネッカーのδ
定義（クロネッカーのδ）
次の関数をクロネッカーのδという。
ìï 1 (i = j )
ï
dij = í
ïï 0 (i ¹ j )
ïî
この関数は数学の様々な場面ででてくる。
58
クロネッカーのδを用いると、
展開定理が次のように簡潔に表現できる。
n
（１）
å
aik a±jk = dij A
k= 1
n
（２）
å
aki a±kj = dij A
k= 1
59
クロネッカーのδと単位行列
単位行列 I n もクロネッカーのδを用いると
簡潔に表現できる。
é1 0 L
ê
ê0 1
ê
In = ê
O
êM
ê
ê0
êë
0ù
ú
ú
ú é ù
ú= ëdij û
ú
ú
1úú
û
60
行列式と逆行列の関係
定義：（余因子行列）
n 次の正方行列 A
に対して、
その (i, j ) 余因子 a±ij を基に
次のように構成される行列
°=
A
t
éa±11 a±21 L
ê
êa± O
12
ê
éa±ij ù= ê
ë û êM
ê
êa±
êë 1n
a±n 1 ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
a±
nn ú
û
を A の余因子行列という。
61
余因子行列の性質
余因子行列に関して次の命題が成り立つ。
性質：（余因子行列の性質）
° = AA
° = A In
AA
証明
éa±11 a±21 L
ê
êa± O
ê 12
°
AA = ê
êM
ê
êa±
êë 1n
a±n 1 ùéa11 a12 L
úê
úêa
úê 21 O
úê
úê M
úê
úêan 1
a±
nn úê
ûë
a1n ù
ú
ú
ú= éb ù= B
ú ë ij û
ú
ú
ann ú
ú
û
とする。
62
このとき、行列の積より、
n
å
bij =
a±kjaki
k= 1
である。
一方、列に関する展開定理より、
n
å
aki a±kj = A dij
k= 1
よって、
° = ébij ù= éA dij ù= A édij ù= A I n
AA
ë û ë
û
ë û
63
また、
éa11 a12 L a1n ùéa±11 a±21 L
ê
úê
êa 21 O
úêa±12 O
ê
ê
ú
°
AA = ê
úê
êM
úê M
ê
úê
êa±
ann ú
êêëan 1
ú
ûêë 1n
とおく。行列の積より、
n
cij =
å
a±n 1 ù
ú
ú
ú é ù
ú= ëcij û= C
ú
ú
ú
a±
nn ú
û
aik a±jk
k= 1
である。
一方、行に関する展開定理より、
n
å
aik a±jk = A dij
k= 1
° = écij ù= A édij ù= A I n = AA
°
\ AA
ë û
ë û
Q ED
64
練習
次の行列
A
の余因子行列
A
を求めよ。
 2 1 3


A  1 1 1
 3 2 1
65
正則行列と行列式（重要）
（正則行列と行列式）
正方行列 A
が正則であるための必要十分条件は、
det (A ) ¹ 0
である。
証明
A ¹ 0 Þ 正則
A ¹ 0 とする。
このとき、余因子行列を用いて、
B =
とおく。
1 °
A
A
66
A B = BA = In
である。よって、 B は逆行列 B = A よって、
は正則行列。
1
である。
正則 Þ A ¹ 0
は正則行列とする。
このとき、逆行列 B = A -
A
1
が存在する。
AB = In
である。両辺の行列式を考える。
|左辺| = A B = A B
|右辺| = I n = 1
よって、
A B = 1
\ A ¹ 0
Q ED
67
余因子行列と逆行列
性質：（余因子行列と逆行列）
正方行列 A に対して、 A ¹ 0 であるとき
° を
逆行列 A - 1 が存在して、余因子行列 A
用いて、
A
- 1
1 °
=
A
A
と表せる。
68
練習
次の行列 A に対して、
余因子行列 A を利用して、逆行列
A
1
を求めよ。
 2 1 3


A  1 1 1
 3 2 1
69

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