D-brane

３パラメーター解の
相対論的・弦理論的解釈と
タキオン凝縮について
東京大学ビッグバンセンター
小林晋平
２００４年９月１日
於関東ゼミ
0. String Theory

開弦、閉弦を物質の基本要素とする理論
超対称性から10次元時空を示唆
 量子重力理論として無矛盾


D-brane (boundary state)という高次元オブジェ
クトも存在
開弦
閉弦
D-brane
1. 動機

D/anti D-brane系のような非ＢＰＳ状態の
D-brane系の物理に興味がある

弦理論の相互作用・非摂動的理解に役立つ

重力系への応用という観点からも重要
例えばSchwarzschild BHは非ＢＰＳ状態
→一般に、相対論的オブジェクトは弦理論ではどんなもの
か？という重要な問題がある

⇒ＢＨ系・宇宙論へ弦理論を応用することが念頭に
D-brane


開弦の端点がくっつく超曲面、閉弦のソース
弦理論の重要な構成要素
D-brane
0
X





X


0
,
1
,

,
p
:

X
| 0  0


 i
i
i



X
i

p

1
,

,
9
:
X
|

x
 0

open string
μ
X
Xi
Boundary State ( = D-brane)

D-braneは閉弦のソース


 X | 0 B  0,   0,1,, p 
 i
i
X
|
B

x
B , (i  p  1,,9)

  0
'
M
X ( z )  i 
2
1/ 2

X0

 nM
z
n  
  M
N 
~
B ~

( x ) exp     n S MN n  0
2
 n 0

S MN  (  ,   ij ).
N Tp
(9 p )
X
n 1
i
mass = charge を表す


0
~
Xi
p  0 ghost ,
BPS Dp-brane周りの時空とは？

BPS Dp-brane の性質
質量とチャージが釣り合って何枚重ねても安定
 SO(1,p)×SO(9-p)対称性を持つ
( bosonic string なら SO(1,p)×SO(25-p) )
 質量 M ~ Tp ( Tp : Dp-braneの張力 )
 チャージ Q ~ Tp ( = M )


4次元extreme Reissner-Nordstrom BHに類似
→ 周囲の時空も同じようなものになるはず
→ BPS black p-brane解と呼ばれる解
BPS black p-brane解


対称性 SO(1,p)×SO(9-p)、ＲＲチャージ持つ
作用
3 p


1
1
2
10
2
2
S  2  d x  g  R    
e
| Fp  2 | 
2
2
2( p  2)!


1

ansatz

ds 2  e 2 A( r )  dx  dx  e 2 B ( r ) ij dx i dx j , r  x i xi
   (r ),
 ( p 1)  e  ( r ) dx 0  dx1    dx p ,  F( p  2)  d ( p 1)


BPS Black p-brane 解

BPS状態なので M = Q (~ N Tp)
→物理量は NTp のみ、調和関数１つで表現
ds  H
2

e ( r )  H
where
7 p
8


  dx dx  H
3 p
4
H (r )  1 
,
p 1
8
 ij dx dx ,
i
e  ( r )  H 1 ,
2T p N

(7  p ) ( 8  p ) r
1
7 p
.
j
Black p-braneとboundary state
(Di Vecchia et al. (1997))

Black p-brane解の遠方での振る舞いを見る
→ Boundary stateから出る graviton, dilaton
などと対応するはず
M
重力場
M
gravitonの伝播
（例）
e  2  e
 2 2ˆ
 H (r )
 2
p 3
2
,


2T p
 H (r )  1 


1

2

T
G
(
r
)
p
7 p


(
7

p
)

r
8

p


3 p
3 p 2
ˆ
 (r ) 
Tp G (r ) 
Tp G(r ) 2  
2 2
2 2
( )
 (1) (k )  0; k 1M 1N D B  MN
<B|
|φ>
3 p
1

TpV p 1 2
ki
2 2
boundary stateからblack p-brane解の
リーディング（無限遠での振舞い）を再現出来る

安定な（ＢＰＳ状態の）D-brane



（閉）弦理論では boundary state として表現
重力理論では black p-brane 解として表現
一般的な非ＢＰＳ状態のD-brane
boundary state がわかっているものもある
（ D/anti D-brane系など）
 D/anti D-brane系には開弦のタキオンモードがある
任意のタキオン期待値に対し、boundary state はわかって
いる


重力理論では３パラメータ解で表現されると言われている
が、各物理量との対応はよくわかっていない

（動的な解は弦理論・重力理論のどちらでもほとんどわ
かっていない）
D/anti D-brane system
N 枚のD-brane と
N 枚のanti D-brane
が引き合う
重なった不安定状態安定な( N  N ) 枚の
開弦が不安定性を表す D-braneが残る
ただし( N  N )
タキオンのプロファイル
Ｖ（Ｔ）
対応
V (T ) ~ e
T 2
Ｔ
過渡状態にある
D/anti D-brane系
D/anti D-braneのmassの変化
1.
N枚のD-brane, N 枚のanti D-braneが
重なる ( T=0 )
 M ~ Tp ( N  N )
2.
過渡状態
途中のmassにタキオンの期待値が絡む
 M ~ Tp [( N  N )  2 N e
3.
T 2
]
終状態（ＢＰＳ状態） ( T=∞ )
チャージと同じ値になって落ち着く
 M ~ Tp ( N  N )
Boundary state for D/anti D-brane
B p ; N , N ,T 
Tp
2
[( N  N )  2 N e
T 2
] NSNS 
Tp
2
  M
N 
~
NSNS  
( x ) exp      n S MN   n 
 n 0

~ 
  M
 sin    b r S MN bNr  0  0
 r 1 / 2

  M

(9 p )
i
RR  
( x ) exp      n S MN ~Nn 
 n 0

   M
~N 
 cos   d  r S MN d  r   R

  r 1 / 2
S MN  (  ,   ij ) ( for N  N )
(9 p )
( N  N ) RR ,
i
~
(1)
p  0 ghost ,

  0


0
~
p0 ,

タキオン T に任意の期待値を持たせたとき、
この境界状態に対応する古典解は何か？
→３パラメータ解がそれだと考えられてきた

7 p
３つのパラメータ（ r0 , c1 , c2）持ち、対称性が
D/anti D-brane と同じであるような静的な古典解
→ 各物理量は対応しているのか？
7 p
0
r
, c1 , c2  N , N , T
？

boundary stateと古典解との対応を利用して、
物理量の対応を検証する

結果、D/anti D-braneは３つのうち、２つのパ
ラメータだけで表せることがわかった

今までタキオンの期待値を表すと考えられて
きたパラメーターがdilaton chargeに対応し、タ
キオン期待値を表していないことがわかった
2. Three-parameter solution
(Zhou & Zhu (1999))

対称性 SO(1,p)×SO(9-p) を持つ一般解
（D/anti D-brane系と同じ対称性）
ds  e
2


  dx dx  e
2 A( r )
 ij dx dx ,
2B(r )
i
j
e  e ( r ) ,
Fp  2  d p 1 ,  p 1  e

(r )
dx  dx    dx .
0
1
p
作用はblack p-braneに使ったのと同じもの
3 p


1
1
1
2
10
2
2
S  2  d x  g  R    
e
| Fp  2 | 
2
2
2( p  2)!


(7  p )(3  p )c1
7 p
h( r ) 
ln cosh( kh(r ))  c2 sinh( kh(r )) ,
64
16
1
B(r ) 
ln( f  f  )
7 p
( p  1)(3  p )c1
p 1

h( r ) 
ln cosh( kh(r ))  c2 sinh( kh(r )) ,
64
16
(7  p )( p  1)c1
3 p
 (r ) 
h( r ) 
ln cosh( kh(r ))  c2 sinh( kh(r )) ,
16
4
sinh( kh(r ))
(r )
2
1/ 2
チャージに
e
 (c2  1)
,
cosh( kh(r ))  c2 sinh( kh(r ))
相当？
A(r ) 
 f  (r ) 
h(r )  ln 
,
 f  (r ) 
 r0 
f  (r )  1   
r
2(8  p ) ( p  1)(7  p ) 2
k

c1 .
7 p
16
7 p
,
massに相当？
３パラメータ解の特徴（１）
4次元、p=0で RN black hole に一致
(一般にD次元解も存在し、D=4に出来る)
 c , c , r という３つのパラメータがある
1 2 0

D-braneの枚数、anti D-braneの枚数、タキオンの
期待値に対応していると言われていた
特に c1 がタキオンの期待値と同一視されてき
た
2
1/ 2
 r0 ~（mass）, (c  1) ~(charge),
2
c1 ~(tachyon VEV?)

３パラメータ解の特徴（２）

ADM mass
 3 p

M 
c1  2c2 k  N p r07  p , ~
 2

?

Tp [N  N   2 N e
T 2
RR charge
7 p
p 0
Q  2(c  1) kN r
2
2
1/ 2
, ~
?
Tp N  N 
where
Np 
(8  p)(7  p)8 pV p
16 2
, d  vol ( S d ), V p  vol (T p )
]
3. boundary stateによる３パラメータ解の検証

black p-brane のときと同様に、boundary state
と３パラメータ解の十分遠方での振舞いとを
比較する
→特に c1 の働きに注目
 

7  p (7  p)(3  p)c1  r07  p
g MN (r )  1   c2 k

  MN ,
7 p

4
16
r
 

7 p
r
1
7

p
(
7

p
)(
3

p
)
c

1 0
 hˆMN (r ) 

c
k

 ,
2
7  p MN


2 
4
16
r
これはmodified boundary stateで再現可能
B 

( N  N )  2 N e 
2
Tp
T 2
(9 p )
  M

 ~Nn  0
 exp      n S MN
 n 1

( xi )

0
~
p  0 ghost ,
  (7  p)c1 
 ( p  1)c1  

  1 
  ,  1 
 ij .
S MN

4c2 k 
4c2 k  


hˆMN (k )  J MN (k ) 
~
Tp
S MN
( )
J  (k )  


( )
 
 MN
1  7  p (7  p)(3  p)c1 
  V p 1 2 

 MN
2
ki  4
16c2 k

の変形で３パラメータ解のリーディングを再現
タキオン期待値 T の動きとは関係ない！
（この変形の弦理論的解釈は？）

c1はboundary stateの
S MN を変える
→ タキオンの期待値とは関係ない

boundary stateの形状から、タキオンの期待値は
braneの張力として効く
→古典解としてはmassに働く
遠くから見るとタキオンは張力の一部にしか
見えない

Sを変形したboundary stateは、弦理論的にはどう解
釈されるのか？
→ Gaussian brane (?)

c1 がタキオンの期待値を表していない
7 p
0
→ r , c2 という２つのパラメータだけで
boundary state を表せるはず

以下、 c1  0 の場合について解析を行う
→ c1  0 については次回の論文で詳しく
今回は相対論的な解釈のみ少し述べる
４．D-anti D-braneと３パラメータ解

古典解とboundary stateとの完全な対応がわかって
いるのは BPS の場合のみ

３パラメータ解も一般には通常の boundary state と
対応しなかった


c_1=0 のときのみ、通常の boundary state と対応しそう
Schwarzschild BH などの場合に、ソースを点粒子と
捉えられるかどうか、という問題もある
→以下、BPS 近傍に話を限る

ε→0 の極限で、３パラメータ解は BPS black pbrane 解に一致
7 p


2
c
k
r
2
2 0

ds  1 
7 p
r


 2c kr
e  1 
r

where
7 p
2 0
7 p
 (r )
7 p
0
2c2 k r






7 p
8
7 p


2
c
k
r


2 0

  dx dx  1 
7 p
r


3 p
4
,
e
2 Tp ( N  N )
(7  p ) 8 p
extremal limit
r07 p   r07 p ,
(r )
 2c kr
 1 
r

7 p
2 0
7 p
1
p 1
8
 ij dx i dx j ,

  1,

.
c2   1 c2 , (  0)
３パラメータ解の near extremal limit
A(r )  
B(r ) 
 (r ) 
e
(r )
7 p
(7  p )(3  p )
ln( 1  2c 2 kR )  
2c1 R
16
64
2
2
3
3 3
2 7  p 6k R  2c 2 kR  4c 2 k R

 ,
16
3c 2 (1  2c 2 kR )
p 1
( p  1)(3  p )
ln( 1  2c 2 kR )  
2c1 R
16
64
1
p  1 6k 2 R 2  2c 2 kR 3  4c 2 k 3 R 3 
2
2
   ,
   
R 
16
3c 2 (1  2c 2 kR )
 7 p

3 p
(7  p )( p  1)
ln( 1  2c 2 kR )  
2c1 R
4
16
2
2
3
3 3
2 3  p 6k R  2c 2 kR  4c 2 k R

 ,
4
3c 2 (1  2c 2 kR )
2c 2 kR
 2c 2 kR 3  8c 2 k 3 R 3 
kR
2 
  ,

   

2
1  2c 2 kR
3(1  2c 2 kR )
 c 2 (1  2c 2 kR )

r07  p
where R  7  p , r07  p   r07  p , c 2   1 c 2 , and   0
r
ε as a non-extremality parameter

ADM mass
7 p
p 2 0 0
M  2N c k r

,
RR charge
Q  2 N p (c   ) k r
2
2
2 1/ 2
7 p
0 0
,
M  Q  4 N c k r
2
2
2
2 2 2( 7  p )
p 2 0 0
確かに εは non-extremality を表す
タキオンとしてのε

D/anti D-brane 系のBPSからのズレはタキオン項で
表される
Bp ; N , N ,T 
Tp
2
[( N  N )  2 Ne
mass を表す
T 2
] NSNS 
Tp
2
( N  N ) RR ,
charge を表す
このタキオン項がＢＰＳ
からのズレを表す

T=∞近傍の（ＢＰＳからのズレが小さい）状態は、３
パラメータ解の near BPS limit と対応しているはず
新しいパラメータの導入

c2 を使うのはＭが一定でＱが動く、という系
に対応
M  2 N p c2 k0 r07 p , Q  2 N p (c22   2 )k0 r07 p
→Ｍが動くタキオン凝縮の過程と合わない
そこでパラメータを変更する
q 2  c22   2  c22   2 q 2
(c2   1c2  (c22  1)1/ 2   1q )
M  2 N p (1   )q k r
2
7 p
0 0
7 p
0 0
, Q  2 N p q k r
q を使って書いた near extremal limit
A(r )  
7 p 
2
4


ln 1  2q k 0 R   2  q k 0 R  2q 2 k 2 R 2  q 3 kR 3  q 3 k 3 R 3   ,
16
3
3



B(r ) 
p 1 
2
4


ln 1  2q k 0 R   2  q k 0 R  2q 2 k 2 R 2  q 3 kR 3  q 3 k 3 R 3   ,
16
3
3



 (r ) 
3 p 
2
4


ln 1  2q k 0 R   2  q k 0 R  2q 2 k 2 R 2  q 3 kR 3  q 3 k 3 R 3   ,
4
3
3



e (r )
2 2
2
3 3 3
3
3
2q k 0 R
6
q
k
R

8
q
k
R

2
q
k
R
0

  2
 ,
2
1  2q k 0 R
3(1  2c 2 kR )
r07  p
where R  7  p ,   1.
r

boundary state と比較するために、３パラメー
タ解の無限遠方での振舞いを見る
→ それが graviton, dilaton, RR potential

 1
3

e


,


,
2(7 p )

r


7 p

p  1  2q k 0 r07  p
 1
2B(r )
2 q k 0 r0
3


e
 1




,

 2( 7 p )
,
7 p
7 p

8  r
r
r


7 p

3  p  2q k 0 r07  p
 1
 (r )
2 q k 0 r0
3


e
 1




,


,
7 p
7 p
2(7 p )


4  r
r
r


2q k 0 r07  p
 1
(r )
3
e



,


.
7 p
2(7 p )
r
r

2 A( r )

7 p
7  p  2q k 0 r07  p
2 q k 0 r0

 1

7 p
8  r
r 7 p
mass が  2 だけ変更された分、古典解も同じ
2
 だけ補正が現れる
→ これがタキオンの分に対応するはず
３パラメータ解から計算されたgraviton, dilaton
および RR potential
7 p

q
k
r
~
1 7  p  2q k 0 r07  p
2
0 0

(7  p)8 pV p 1  ,
h (k )  

2
2
2 8 
ki
ki

7 p

q
k
r
~
1 p  1  2q k 0 r07  p
2
0 0

(7  p)8 pV p 1 ij ,
hij (k ) 

2
2
2 8 
ki
ki

7 p
q
k
r
1 3  p  2q k 0 r07  p
2
0 0

 (k ) 


k i2
k i2
2 4 
~
7 p
2
q
k
r
2
~
0 0
( k )  

k i2

(7  p )8 pV p 1 ,

7 p
 2q k 0 r07  p
q
k
r
2
0 0



2
2
k
k
i
i


(7  p)8 pV p 1 .

弦理論 (boundary state) による
graviton, dilaton および RR potential
<B|
J
MN
|physical field>
~
(k )  0; k b b D B p
M
N
1/ 2 1/ 2

NSNS
 J
MN
(k )  
( field )
MN

V p 1
T
T 2
  N  N   2 N e
S MN , S MN    , ij .
2
2
ki
(h)
(h)
( h ) MN
(h) M
 MN
  NM
,  MN
   MN
k  0,

( )
MN

1
2 2
 MN  k M lN  k N lM ,
k  l  1, k 2  l 2  0.
こうして弦理論の計算により、gravitonなどを得る
AB
( )
J
(
k
)


AB
hˆMN (k )  J MN (k ) 
 MN
AB
( )
   AB


N  N   2 Ne 
2
Tp
T 2
V p 1  7  p
p 1 

  ,
 ij ,
2 
4
4
ki 

( )
ˆ(k )  J AB (k )   AB


N  N   2 Ne 
2
Tp
T 2
V p 1 3  p
k i2 2 2
これを古典解の無限遠方での振舞いと比較
7 p

q
k
r
~
1  2q k 0 r07  p
p 1 
 7 p
2
0 0


hMN (k ) 


(
7

p
)

V


,
 ij ,

8 p p 1

2
2

2 
4
4
ki
ki



7 p

1 3  p  2q k 0 r07  p
~
2 q k 0 r0

(7  p)8 pV p 1 .
 (k ) 

2
2


ki
ki
2 4 

7 p
0 0
2q k r
 qk r

7 p
0 0
2


2 Tp ( N  N )
(7  p) 8 p

2 Tp  2 Ne
T 2
(7  p) 8 p
ˆh (k )  T p N  N   2 N e T 2 V p 1   7  p  , p  1  ,
MN

ij
2
4
4
k i2 

Tp
V p 1 3  p
T 2
ˆ
N  N   2 Ne
 (k ) 
2
k i2 2 2


 ~e
2
T 2

BPS から少しずれた D-anti D-brane を表す
boundary state
対応することがわかった

BPS から少しずれた３パラメータ解の無限遠
方での振舞い（ただし c1  0 ）
→ D-anti D-brane に対応する古典解は３パラ
メータ解で c1  0 としたもの
c1 はやはりタキオンの期待値ではない
→ となると、 c1  0 はどんな古典解なのか？
５．dilaton charge としての c_1
～相対論的な理解～

4次元、p=0、RR chargeなしの３パラメータ解
→Schwarzschild BH＋free scalar
→Wyman解（Janis-Newmann-Winicour解）

Wyman 解は dilaton charge を持つ
→ c1 と dilaton charge が関係を持つはず
Wyman 解 (Schwarzschild gauge)

フリーのスカラー場のみ入れた静的球対称解
1

2
S   d x  g  R    ,
2


2
2 A( r )
2
2B(r )
2
2C ( r ) 2
2
ds  e
dt  e
dr  e
r d ( 2) .
4
ds 2   F  (r )dt 2  F  (r )dr 2  F 1 (r )r 2 d (22) ,
q
 (r )   ln F (r ),
m
2m / 
m
F (r )  1 
, 
.
2
2
r
m q
2
Wyman解 (isotropic gauge)

r → Rへ変数変換して、isotropic gaugeへ
1
m
2m / 

R   r   r 1
2

r

,


2
３パラメータ解と
比較可能
 F ( R) 
 dt 2  F2 ( R) F2 ( R)( dR 2  R 2 d (22) ),
ds  
 F ( R) 
2
q  F ( R) 
,
 (r )  2 ln 
m  F ( R) 
2m / 
m2
F ( R)  1 
, 
R
m2  q 2
３パラメータ解
D  4, p  0, c2  1 （chargeなし）
~
k
~
~
 f  2
2 k
2k
2
2
2


ds    dt  f  f  (dr  r d ( 2 ) ),
 f 
 f 
 (r )  c1 ln  ,
 f 
2
~
r0
f  (r )  1  , k  4  c12
r
2
4q
c  2
2
m q
2
1
c1はdilaton charge qと対応
massを変えるように見える
→タキオンと誤解
まとめ





D/anti D-brane系の古典解だと思われている
３パラメータ解がある
３パラメータ解のc_1は、タキオンの期待値と
は対応していない
重力的には dilaton charge とみなせる
タキオンの期待値は張力として効く
c_1が入ると boundary state の S が変形される

そのような boundary state に対応するのは
Gaussian brane かもしれない
これから
c_1 を弦理論で理解する
→ Gaussian brane か？
 Schwarzschild BH などの相対論的オブジェクトを
弦理論で表現する
ホライゾンが弦理論でどう見えるか、などに興味
※ただし、ソースの議論が必要
 時間依存解を構築、弦理論の真空について知見を
得る
 boundary state で書ければ、BH entropy も原理的に
計算可能
→Hawking のやっている計算と関係あるかも？


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