環境光の強さ

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第8回
レンダリング（２）
シェーディング
講義内容
 レンダリング（４章 p.95）

隠面消去の手法


レイトレーシング
シェーディング
シェーディング基礎
シェーディングモデル





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環境，拡散，鏡面反射
完全鏡面反射，透過，屈折
散乱，減衰
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2
レイトレーシング法（光線追跡法）

レイ（光線）という1次元線分上での交点の前後判定による隠面消去法

cf. スキャンライン法：2次元走査平面上でのセグメントの可視判定による隠面消去
※物体の反射・透過・屈折特性も考慮可能
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レイトレーシング法によるレンダリング画像例
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レイと物体の交差判定
 レイと球の交差判定
レイ上の点Ｐ（x, y, z）, 視点PE，レイの単位法線ベクトル E,
球の中心をＳ（xs, ys, zs）
両辺2乗
視点を通るレイの方程式
P  S P  S  r 2  0
ˆtP
PE
E
球の方程式
tに関する二次方程式
PS  r


レイと球が交点を持つか
どうかの判別式！
at 2  bt  c  0

ただし、

2
ˆ 1
a E
ˆ  P  S
bE
E
c  PE  S  r 2
2

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交差判定条件
 判別式D>0 →

t1, t2 > 0の場合


可視点の候補は，min(t1, t2)
t1, t2 < 0の場合


2点で交差
可視点候補なし（２つとも視点の背後に存在）
t1>0, t2<0 又は t1<0, t2>0の場合

可視点候補は，max(t1, t2)
 D=0 →
レイと球は接する
 D<0 →
交差なし
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レイとポリゴンとの交差判定
 ポリゴンを含む平面とレイとの交点を求める
 交点がポリゴン内部にあるかどうかを判定
視点を通るレイの方程式
平面
ˆtP
PE
E
Piを含む平面の方程式
P  Pi  N  0

2式を連立し，Ｐを消去，tを求める

t 
PE  Pi   N
ˆ N
E
t>0: 視点の前方で交差
t<0: 視点後方に平面
t=0: 視点が平面上に存在
E・N=0: レイと平面が平行

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交点がポリゴン内部にあるかどうかの判定（１）
 点を端点とする半直線とポリゴンの辺との交点の個数を
カウントして判定
奇数：内部
偶数：外部
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交点がポリゴン内部にあるかどうかの判定（２）
 点とポリゴンの各頂点を結ぶベクトルの外積の方向をチ
ェックする方法










N i  Pi1  P  Pi2  P

 

i=1, 2, 3, サイクリック

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交点がポリゴン内部にあるかどうかの判定（３）
 点とポリゴンの各頂点を結ぶベクトル間の角度を加算す
る方法
角度の総和
２π：内部
０：外部
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レイトレーシングの高速化
 バウンディングボリュームの利用
 空間分割法
 並列計算による方法
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レイトレーシング法の特徴
 形状モデルとの交差判定が直線




交点計算と可視点の決定が他の隠面消去法に比べ単純
処理に必要となるメモリも小
ソフトウェアでの実装も容易
ポリゴンだけでなく､球や円錐，パラメトリック曲面など
関数表現された物体も適用可能
 幾何光学に基づく手法

反射，透過，屈折など複雑な光学現象のシミュレーション，表
現が可能

鏡、ガラス、雲、波など
 画素毎の処理


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多くの計算時間（レイの数に依存）
高速化の工夫が必要
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シェーディング（p.117〜）
 写実的表現のための技法

シェーディング


シャドウイング（影付け）

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物体表面の濃淡を光の当たり具体に基づき計算して表示
他の物体や面によって光が遮られた領域（影）を計算して表示
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シェーディングを理解するために・・用語説明
 光の量（測光量），明るさなどを規定するための基本用語

光束




単位時間にある面を通過する放射エネルギー：放射量
放射束を眼の感度のフィルタ（視感度）に通して見た量：光束
単位はルーメン（lm）
光度



点光源のある方向への光度：光源位置を頂点とする単位立体角内に放射
される光束
単位はカンデラ（cd）
光源の空間に対する光度分布を表現→配光特性
立体角とは・・・
・ある面積Aを一点から見たときの全周に対する広がり度合い
・半径１の単位給への投影面積Ω
・立体角の単位[sr]（ステラジアン）
・単位球の表面積4π = 立体角の最大値
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シェーディングを理解するために・・用語説明
 光の量（測光量），明るさなどを規定するための基本用語

照度


単位面積あたりに入射する光束．単位はルクス（lx）
点光源の場合，点光源から距離rの球面上のあらゆる点での照度
E


 4I
I


A 4r 2 r 2
光度に比例，距離の2乗に反比例
→逆2乗の法則
傾いた面上の照度
E 
cos
 E n cos
A
光の入射角の余弦に比例
→入射角余弦の法則

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シェーディングを理解するために・・用語説明
 光の量（測光量），明るさなどを規定するための基本用語

輝度


光源のθ方向への見かけの面積当たりの光度
（=眼で見たときに感じられる明るさ）
単位は[cd/m2](カンデラ毎平方メートル)
L 

dI
dI

dS dS cos
ランバートの余弦則
どの方向から見ても輝度の等しい表面を完全拡散面といい，
 以下の関係式が成立

dI  dIn cos
dIn: 法線方向の光度
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dIθ ： θ方向の光度
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シェーディング・モデル
 シェーディングモデル＝照明モデル＝ライティングモデル


光源の種類や特性，物体の反射特性を考慮し，どのような物理
モデルを用いて光源によって照らされた物体を表示するか？を
決定する
局所照明モデル


大域照明モデル

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直接光に関して物理的なモデルに基づいて照明計算を行う
直接光だけでなく，間接光までを含めて物理的なモデルに基づき
照明計算を行う
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基本的なシェーディングモデル
 シェーディングモデルを構成する要素



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物体を照射する光源の種類と特性
光と物体の相互作用（直接光，反射光）
物体の性質：反射，透過，屈折特性
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光の種類と性質
 物体を照射する光

直接光



平行光源：太陽光
点光源：電灯，スポットライト
大きさを持つ光源（線光源，面光源）：蛍光灯､間接照明
被照面の反射光：拡散反射成分＋鏡面反射成分

間接光

環境光
環境光反射成分
基本的なシェーディングモデル
→ この3つの反射成分を加え合わせることにより，面の明るさを計算するモデル
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シェーディングの例
各画素の輝度＝環境光反射成分＋拡散反射成分＋鏡面反射成分
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（１）環境光
 環境光



壁などで反射を繰り返して空間中を一様に照らす，間接光
を近似値したもの
陰や影の部分にもある程度の明るさを与える
間接光を大まかに近似した光

ラジオシティ法：精密な間接光（相互反射）
環境光に対する物体面の反射光の強さ
I  ka I a
ka: 環境光に対する反射率, Ia : 環境光の強さ

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（２）拡散反射
 どの方向から見ても物体面の輝度が一定となる反射

視点位置による物体表面上の輝度変化はなし
 入射光が物質内の浅い部分で多重散乱後，表面から放射
された光
 拡散反射のみの面＝完全拡散面（鏡面反射なし）
 物体面の輝度は以下のものに依存



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光源の位置・方向
面の向き
面の反射率
視点に依存しない！
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
拡散反射〜平行光源の場合
 平行光線が入射角αで平面を照射する場合
平行光線に対する拡散反射光の計算法
この面をθ方向から見た時の輝度は
入射角余弦の法則より，
平面に入射する光束はcosαに比例
I
E  Ii dScos
平行光線で照射された場合の拡散反射光の強さI
ランバートの余弦則より，
物体面からθ方向への反射光の強度は
dI (Ii dScos)cos


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dI
 kd Ii cos
dS cos

I  kd Ii cos   k d Ii N  L

面の輝度は視線方向に依存しない！
ka: 拡散反射率，Ii:入射光の強さ
α:光の入射方向と面の法線のなす角（入射角）
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拡散反射〜点光源の場合
 点光源：光の強度が光源からの距離の2乗に反比例
点光源に対する物体面の拡散反射光の強さ
I
kd Iq
r2
cos  
k d Iq
r2
N  L
kd: 拡散反射率，Iq:点光源の光度，r：光源からPまでの距離

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N: 面の法線ベクトル，L: 光線の方向ベクトル
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光源の配光特性を考慮した例
配光特性の数式モデルの例
Iq   Io 1 cos/2
※Ioは灯軸方向の光度
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拡散反射〜線光源の場合
 線光源：蛍光灯など．点光源が直線上に並んだものとして計算
線光源に対する物体面の拡散反射光の強さ
kd Iq
I 2
r
L

0
cos 
cos dl
2
r
kd: 拡散反射率，Iq:線光源の単位長さ当たりの
灯軸方向の光度，L: 線光源の長さ，r：PQ間の距離

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拡散反射〜面光源の場合
 面的な広がりを持つ光源に対する拡散反射
 面光源，多面体光源など
(a)面光源→表面上の輝度は，点Ｐでの光源の立体角の正射影面積に比例
(b)多面体光源→区分求積法により計算
(a) 面光源
I  kd La A
ka: 拡散反射率，La:光源の輝度
A’:点Pでの光源の立体角の正射影面積

(b) 多面体光源
k d La m
I
  l cosl
2 l1
ka: 拡散反射率，La:光源の輝度，βl: PQlとPQl+1のなす角
δl:三角形PQlQl+1の法線と被照面の法線とのなす角

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面光源・多面体光源によるレンダリング例
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（３）鏡面反射
 物体表面での直接反射によって生じる
 光沢のあるプラスチックや金属表面上のハイライトなど
 入射角=反射角の時，最も強く反射
 反射光の強度は以下に依存

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光源の方向と物体面の向き，面の反射特性，視点方向
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鏡面反射〜フォンのモデル
 代表的な鏡面反射計算：フォンのモデル
 視点方向と正反射方向のなす角γにより，鏡面反射成分を減少させる
フォンのモデルによる鏡面反射光の強さの算出

I  W  Ii cosn   W  Ii R V

n
W(α)(=ks) : 拡散反射率，Ii:入射光の強さ，γ：視点方向と正反射方向のなす角
n: ハイライト特性制御パラメータ

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各反射成分の統合
 環境、拡散、鏡面反射の3要素を考慮した場合の反射光
の強さ
I  ka Ia  Ii kd cos  ks cosn  
環境
拡散
鏡面

nおよび反射率を変化させた場合の比較
上の段はks=0.3、下の段は=0.6
nは左から3, 5, 10, 100
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（４）完全鏡面反射・透過・屈折
完全鏡面反射：鏡など，正反射方向の物体が表面に映り込む
 透過・屈折：透過した先の物体が透けて（歪んで）見える
 物体が反射だけでなく，透過・屈折を起こす場合





表面上の反射特性のみでは不十分
レイトレーシングなどで，物体内部の透過，屈折を考慮
レイ：反射方向＋透過・屈折方向 →これらを求める必要！
レイの追跡における終了条件（再帰的に）


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レイが拡散反射面（完全鏡面反射も透過・屈折もなし）に当たった場合
レイが交差する物体がシーン中に存在しない場合（背景の色とする）
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（４-1）正反射方向のレイの算出
 正反射：
入射角＝反射角
 面の向き（法線ベクトルN）と視点方向（視点方向ベク
トルV）から，正反射方向ベクトルを求める
正反射方向ベクトルR
ˆ
R  V 2N
ˆ
V
V 
ˆ N
ˆ
V
正反射方向の単位ベクトル

R 
1
ˆ N
ˆ
V
ˆ R  V
ˆ N
ˆ R
R
R
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Graphics

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（４-2）屈折方向のレイの算出
 透明，半透明な物体


面の法線ベクトル，視点方向ベクトル，２つの媒質の屈
折率（n1, n2）を既知として，屈折方向ベクトルTを計算
光は屈折率の異なる媒質の境界で
屈折
屈折→スネルの法則に基づき計算
n1sinθ1=n2sinθ2

kf: 屈折の程度を表す係数，これを求れば良い

n1sinθ1=n2sinθ2（スネルの法則）
n
sin1
n 2 
n1 sin2
ˆ  V
N
sin1 


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
ˆ  V   N
ˆ
T  kf N
V
sin 2 
n 


ˆ  V
kf N
ˆ  V
kf N
T
ˆ  V  N
ˆ
kf N




ˆ  V  N
ˆ
kf N
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k f V
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（４-2）屈折方向のレイの算出(つづき)
 透明，半透明な物体


光は屈折率の異なる媒質の境界で
屈折
屈折→スネルの法則に基づき計算
n1sinθ1=n2sinθ2
両辺を2乗､(N+V)・N=0より
2
n2 
2 ˆ
ˆ
kf N
 V  N
kf 
k f 2 V
2
2
1
2
ˆ  V  2
n 2 V  N

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（４-3）反射率と透過率の算出

異なる屈折率を持つ媒質境界での反射率kr
フレネルの式から算出
2
2
1 sin 1  2  tan 1  2 
kr   2


2 sin 1  2  tan 2 1  2 


各レイにおける最終的な光の強さIv
Iv  kr Ir  k t It
反射方向からの光の強さ
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ただし，透過率kt=1-kr
屈折方向からの光の強さ
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（５）散乱・減衰
 媒体に散乱粒子が含まれる場合に考慮

空気分子，水蒸気，塵，煙，霧，雲，水分子
等
 レイマーチング法

レイに沿って微小距離ずつ移動しながら，視点に到達するまでの
減衰を考慮して散乱光を加算し，輝度を決定
１．点Qからの反射光成分
２．光路PEQ間の点Ｒにおいて，光源からの光が
視点方向へ散乱された光の成分
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散乱・減衰を考慮したレンダリングの例
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次回講義内容
 レンダリング（３）

その他、シェーディング技法



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スムーズシェーディング（グロー、フォン）
影付け（shadowing）
大域照明モデル
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