Document

第7章:中層大気の不安定擾乱について
-不安な雲のうかび出て
ふたたび明るく晴れるのは-
一般流との相互作用から擾乱が生成するのであろうか
東向き擾乱 波数1、4日波
2日波
4日波
65km PV、2日
波、西向き
慣性不安定
Kelvin-Helmholz不安定
KH不安定で鉛直流が強いよう、
xは圏界面
慣性不安定によるシグナルのよう
7ー1:中層大気中の傾圧不安定で起こっているらしい例
1993年1月
(東西波数3の)2日波、南半球夏の中間圏界面付近の擾乱の
よう、Plumb et al. (1987, JAS)
1月
振動数
0.46hPa, 20S
高度
波数
アデレード(35S, 138E)でのレーダー観測(1点観
測)で、東方向、北方向の風の成分
西向き
伝播
Wu et al., 1996, J. Atmos. Sci. による、MLS
温度衛星データからの、s=3, 2-day wave、
西方伝播である。
2.15mb
温度
緯
度
0.46mb
時間
0.046mb
2日波シグナルの各高度での時間-緯度断面図 Wu et al.,
1996, J. Atmos. Sci. 92年12月-93年3月(南半球夏)、夏半
球で卓越し赤道域まで広がっている
温度振幅の緯度-高度断面図、DAY 502は1月終わり
Plumb(1983) はこの擾乱を傾圧不安定で説明:
境界条件:
大気擾乱の生成メカニズムの1つの傾圧不安定を線形不
安定論で考える。
南北には壁をおく事にする。剛体壁で南北風がないとす
れば擾乱について、
方程式は準地衡風方程式を用い、基本の場(高さと緯度の
関数)が擾乱を成長させるか?を議論してみる。
ここで
(



 ug
 vg
)q 0
t
x
y
の式をもちいる。ここで、
f 2   0 
q     f  y 
(
)
0 z N 2 z
2
 '
0
x
hence
'  0
at
y  0, L
鉛直方向は、地表ではw=0にしよう。ただしPVの式はw
を含んでいないので、熱力学の式を変形する。
熱力学の式は
  p
  p
  p
( ( ))  ug
( )  vg
( )  w0N 2(z)  0
t z 0
x z 0
y z 0
であった。これの線形での流線関数表現では、
これまでおこなってきたように、東西平均量(基本の場)と
それからのずれを考える。
 
 
 '  
( ( ))  u
( ) 
()  w0 fN2 (z)  0
t z
x z
x  y z
擾乱についての線形方程式は以下のようになる。
この式でw=0とおいて、
(



u
)q'  v'
q  0
t
x
y
ここで、
 
 
 ' 
( ( ' ))  u
( ' ) 
(u )  0
t z
x z
x z
が有限というような境界条件を
'


f 2   0 
2
q  
(  
(
))
y
y
0 z N 2 z
である。 無限遠では
おこう。
 2u
f 2   0 u


(
)
y 2
0 z N 2 z
Ψ’を上の境界条件のもとに解くこと(例えば固有値問題
にする)になる。
f 2  0  '
q'    ' 
(
)
 0 z N 2 z
5章の初めの議論では、下端での強制問題であった。
2
地球流体力学の見直し:準地衡風系における傾圧、順圧不安定の必要条件を示しておく。
線形的な波動擾乱について
 '  Re(y,z)expik(x  ct)
の形を仮定すれば、準地衡風方程式は
 2 
1 
  
(u  c)  2  k 2  
( 0
) 
q  0
0 z
z  y
y
ただし
f2
  である。下端の境界条件は地面があると、
N2

(u  c)
 u

  0 at z  0
z
z
一方、上端の無限遠では
が有限の境界条件である。
南北には、壁的なものがあるとして、
がゼロとする。

 2
1 

1

2

k


(

)

q0
0
y 2
 0 z
z
(u  c) y
上式に * をかける(擾乱の2次の量をつくる)

2
 



1

2
0 * 2  k 2  * (0
)  0
q  0
z
z
(u  c) y
y


部分積分をして変形すると

 *


2
( )  0 *   0 k 2 
y
y
y y




1 
2
 (*0 )  0 *   0
q  0
z
z
z z
(u  c) y
0
鉛直と南北に積分し( 式でdydzを省いてある )、境界条件を使うと
2
2

 

 


1

2
2
*



k



(

)


q2


0
0
0
 


z 
z
z
(u  c) y
y

2 
  2

 

1

2
2
2
 k  
   dy *  0
   0
q
 0 

z 
z z  0
(u  c) y
y

下部境界条件

1
u

 at z  0
z
(u  c) z を代入して
  2 2 2  2 


1 u
1 
2
*



k




dy





q



0
0
0
 y

z 
(u  c) z z 0  (u  c) y

  2 2 2  2 


1 u
1 
*
2




k





dy




q

0
0
0
 y

z 
(u  c) z z 0  (u  c) y

となる。不安定の必要条件として(不安定なら c が復素になるから、そのときみたすべき式は)、
左辺は実だから上式の虚部は
 
0  2
u  0  2
ci 
q
2   
2

y
u

c
z u  c

これが不安定の必要条件である。不安定のとき

dy 0

z0
ci
はnot
zero だから[ ]内がゼロにならないといけない。
z=0での境界条件が関係しないとき(内部jetの不安定と呼ばれる、中層大気の不安定)、基本場のPVの南北微分が符
号を変えることが、不安定の必要条件になっている。
気象学で学んだEadyの傾圧不安定の問題では、上端に壁があり、上端と地面が関与して不安定となっている(流体中で
は不安定の必要条件をみたしていない)。
Plumb(1983)による固有値問題での説明

 2u
f 2   0 u
q  

(
)
y
y 2 0 z N 2 z
東西風の鉛直分布と
を示す。Potential Vorticity 勾配が符号を変える
(不安定の必要条件はみたしている)。
固有関数として、下図のような鉛直構造の波が不安定に
なっている。波長9400km(波数3程度)、南北には5000km
のsinモードを仮定してある。Geopotential振幅は80kmあた
りが最大になっている。熱フラックスの大きいところは、PV
の南北微分が符号を変えているところに対応している(c
図)。
位相
Height場
温度
夏半球の中層大気の風分布とPV勾配
観測の別例:
Harris and Vincent, 1993, JGRでは赤道域 2N,157W, Chrismas島で2日波を解析している。かれらによると、このシグナル
は東西波数 s=3のRossby-重力波と言っている。MFレーダーによる観測
時
間
南北風の2日あたりにシグナル
2日
最近の衛星観測から: Garcia et al., 2005, JAS
70km
2002, 1-2月, 40Sで夏、k=3, 2日のところに(西向きに
対応)温度シグナル、赤線はc=70m/s
北半球(40N)夏6-7月、2002年のスペ
クトル
鉛直緯度の温度構造、夏6-7月、2002
GCMの中の2日波
温度
UGAMP GCM (T21) の7月1日の東西平均風、Norton
and Thuburn, 1996, G. R. L.
約65km
(3000K),
85km(7000K
)で、波数3
の構造が見
える
南北風
波数3の擾乱の緯度-高度断面図、RG波のように、赤道で
南北風が大きい(b)、夏半球で振幅が大きい
北半球
2日波の赤道v振幅の時間変化、実線が波数3でdotted
が4
7—2 慣性不安定に関わって
Hayashi et al., 1998, JGRから
経度
CLAESで観測された、4S-4Nでの波数1-6
成分の温度偏差、期間は冬期の
1992/12/14-20で、boxの部分にpancake構
造がみられる
緯度
左図に対応した、経度225E付近の温度
偏差の緯度高度図、鉛直方向にfilter
がかけてあり、見えやすいようにしてあ
る
赤道域の50kmあたりに鉛直波長10km程度のパンケーキ構造がみえる。これは、慣性不安定でつくら
れているようである。
u dU(y)
v
(
 f )v  0
 fu  0
t
dy
t
中層大気の慣性不安定については、次回に詳
 2 u dU
v  2 u
dU
しい説明があるであろう。不安定の条件を雑に
 f)  2  f(f 
)u  0
2 (
述べると ー>
t
dy
t t
dy
when
f(f 
dU
)  0, u may be unstable
dy
Limpasuvan et al., JAS, 2000
ここでの話しは:慣性不安定でtriggerされてい
るらしい、2日波について(力学モデルから)
t=0から波数1のforcingを与える
初期場
図のboldに挟まれた所が慣性不安定の条件
をみたす領域
dU
f(f 
20-30日
dy
)0
25-35日


影はdQ/dy<0の領域(stratopauseあたりは
順圧的、夏半球の65km以高は傾圧性)、
boldは2日波の臨界ライン
U  c 、臨界ラインで波と平均場が相互
0
作用を起こし得る(Eliassen-Palmの定理の
破れ)
2日波の南北風、波数4(左)、3(右)
慣性不安定でtriggerされているらしい2日波について(続)
0.3hPa
0.3hPa
南北風のスペクトル
波数4の時間変動、影はdQ/dy<0
U c  0
東風加速

初期の頃のEP-fluxの様子、慣性不安定の条件の領域
でEP-flux(主に
)が存在している
u' v'
波数4のEP-fluxとdivergence, 影はdQ/dy<0, bold
は波数4、2日波の臨界ライン
7−3:4日波について
Nimbus 4 and 5 のradianceから求めた s=1 波のシグ
ナル、上部成層圏南半球の冬(1971-1972) で東方伝
播(E)の4日あたりのところにシグナルが見える(70S
あたり)、Venne and Stanford, J. Atmos. Sci., 1982
西方伝播
東方伝播
4日波の鉛直位相
(△印)、位相が
鉛直にたっている
ようである。
(stationary惑星
波のような鉛直伝
播性ではないよ
う)
1979年8月(南半球の冬)の平均東西風とPotential
Vorticity の緯度勾配、Hartmann, 1983, J. Atmos. Sci.
高度45kmあたりの70S近傍にpotential vorticity
gradientの負の領域がみえる。
順圧線形不安定で擾乱生成と言われているよう
解いてある
球面上の線形順圧渦度方程式で解かれてある(南北構
造のみ)
 '
 ' v' Z


0
t
 a 
  ˆ ( ) exp( i(m  t ))
s=1 固有関数の南北分布、70度あたりに振幅のピーク(実
線)がある。固有値として、周期が3日で成長率が5日の値
をもつ。このモードが観測された4日波に比較的近いと思
われる。Hartmann, 1983, J. Atmos. Sci.
 1 
ˆ
m 2ˆ  m Z
(m   ) 
(cos  )  2  
ˆ  0
cos





cos

cos




  u (a cos  ) 1  Ua 1 sec h2(  0 ) B 1 
Z

 2
 2(   ) cos   3 sin 
 cos 


 2
線形の固有値問題で使われた風(上)と渦度勾配(下)
U=180, φ0=60として、Bを変えたときの分布
振幅
衛星データからの4日波解析例(Lawrence and Randel, 1996, JGR)
高度場の振幅
影は負のpotential
vorticity gradient の領
域
u'v'

4日波
運動量輸送は主
に南北的、
平均東西風の様子、4日波の高度振幅、南北運動量フ
ラックス、EP-flux と発散、1977年9月
Manney and Randel, 1993, JAS による順圧傾圧
不安定の線形計算
基本場の様子
温度構造
U (y,z)
西風運動量、赤道向き
30
50
70
+が赤道方向に熱を
輸送、EPflux的には
下向き
波数1の不安定モード(周期4日、成長
率4日)
補足:Garcia et., 2005, JASの4日波
衛星データの解析
70km
東進4日波に対応した温度
波の振幅と位相の緯度高度
図、2004年1-2月(北半球冬
の解析)
東向き
波数1のスペクトル、東進4.3日に
ピーク、2004年1-2月
GCM中の4日波の様子
Watanabe et al., 2009, JGR
波数1、3日のところにシグナル、8月
8月(南半球の冬)の東西風、dQ/dy、4日
波の振幅(太い線)
4日波の振幅時間変化、特に8月に
大きな振幅
GCM中の4日波(続)
4日波の空間パターン、線はheight場、0.1hPa
重力波(左)、および惑星波動の加速(右)
東風加速
4日波による加速
7−4:成層圏不安定波らしきモノの別例
Nimbus 4 and 5 のradianceから求めた、波数 s =
2 波のシグナル。南半球の冬で東方伝播の12日
あたりのところにシグナルが見える(50Sあたりで、 100m/s
前例と比較して中緯度より)。Venne and
Stanford, J. Atmos. Sci., 1982
中緯度モードを求めるための基本風
Hartmannから、U=180, φ 0 =60, Bを変化させ
たときの東西風、PV-gradient
振幅
東方伝播
u'v'
固有関数、U=180,
φ 0 =45, B=8の場合の結果、周期は17日

となっている。50Sあたりに振幅のピーク
1983南半球春の例:NMCデータの解析
平均東西風(2mb, 1983)の冬から春へ
の時間変化
波数2で東に伝播、周期が10日程度の擾乱が
見える、Shiotani et al., Q. J. R. Met. Soc., 1990。
波数2の東方伝播
H
H
Height場の時間変化、7-17, Oct.1983, 10mb
波数2の波の振幅の緯度
-高度断面図、20 Oct.
1983, 不安定波かもしれ
ない?
dQ/dy, 但し
83/9/21-30の期間
7−5:Kelvin-Helmholtz不安定
式を変形すると、
1 dU
(N 2  ( ) 2 )
2


d
dG 1 d U
4 dz
(U  c) 
G  k 2 (U  c)G 
G0

2
dz 
dz  2 dz
(U  c)
KH不安定の積分定理
この節では、重力波と関係すると思われるKelvinHelmholtz不安定の線形的考え方、および観測例をのべ
ておく。図のような風の鉛直シアーが強いときに不安定
の条件を満たすことで擾乱が生成されると考えられてい
る。
のようになる。

複素共役のG*を上式にかけて、鉛直方向に積分、さ
らに部分積分で境界条件としてw=0を用いれば、
2
dG
1 d 2U 2
2
 dz (U  c) dz   dz 2 dz 2 G  k 2  dz (U  c) G
1 dU 2
(N 2  (
) )
2
4
dz
  dz
(U  c*) G  0
2
U c
Lindzen, JGR, 1974から
のようになる。
積分定理からKH不安定の必要条件を導いておこう。ブ
シネスク流体での水平鉛直の2次元線形方程式は、鉛
直流にたいして、

虚数の部分をとりだすと、


1 dU
2
(N 2  ( ) 2 ) 

dG
2
4 dz G 2  0
ic i dz
 k 2  dz G   dz

2
dz
U

c






d 2U
2


2
d w
N
dz
 

 k 2 w  0
2
2
dz
(U  c)
(U  c)





2
ここで、Uは高さ依存の基本風、cは複素の位相速度、kは水
平波数である。

Howard, 1961, JFMに従ってこの式を変形する
として、
d 
dG 
(U  c)  (....)G  0 の形に変形する

dz 
dz 

不安定ならば、ci > 0であるので、
w  (U  c) G
1/ 2

(不安定な擾乱を仮定して、cは複素数として、U-c は0ではな
い)
Ri 
N2
 1/ 4
dU 2
(
)
dz
でないと、上式の〔 〕内が0にならない。これがKH

不安定の必要条件である。
K-H不安定によって生成されたらしい重力波の観測(中緯度対流圏)
Ferretti et al. (1988, Met. Atmos. Phys.)
00GMT/11/Apr, 1979, Aprilの地表、850mb, 300mbの大
きな場の様子
0235, 11/Apr, 1979でのレーダーエコー
地表圧力偏差パターン(タイプB)の時間変化、波的に
みえる(00/11/Apr、1時間ごと)
200km水平スケールで3時間くらいの周期の波とされ
ている。
固有値問題も解いてある
ミズーリ
u0 (z)

位相速度


w
U
)  w  
t
x
ik(U  c)
when U  c,    l arg e
(
成長率

基本場の状態(10kmくらいの高度でRiの小さいと
ころあり)、0211 11/Apr
固有解の鉛直構造、鉛直変位(左)と鉛直速度(右)
の振幅(上)と位相(下)
K-H不安定で起きているらしい擾乱の観測例
赤道レーダ( 0.2S, 100.32E)で観測されたK-H不安定、
Yamamoto et. al., GRL, 2003, 熱帯圏界面、2001年11月。不安
定の条件は満たしているらしい。上から鉛直流、東西、shear,
Ri、せまい範囲でシグナルが強い、ゆっくり時間的にゆれてい
る<ーケルビン波の存在のよう、Xは圏界面
東西風
w
シアー
圏界面
Ri
Nov.2001の平均
11月