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Nash Equilibria in Random Games
2006年3月7日 FOCSセミナー
加藤公一
東京大学情報理工学系研究科博士課程１年
日本ユニシス株式会社
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紹介する論文：
I. Barany, S. Vempala, A. Vetta,
“Nash Equilibria in Random Games”,
FOCS 2005
これを紹介しようと思った動機：
ナッシュ均衡と多面体の関係
面白そう！
ゲーム理論はよく知らない
いい機会だから勉強しておこう！
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背景
ゲーム理論の重要性
•経済学
•外交、軍事
•インターネットリソースの奪い合い
•社会的ネットワークの効率利用
（例：Incentive Network[Kleinberg-Raghavan 05]）
計算量的な面白さ
ナッシュ均衡問題はNPよりは易しいだろうと予想
されている
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ゲーム理論の基本
2-Player Game
二人のプレーヤ（AliceとBob）が、それぞれ与えられた戦略の中から１つを
選ぶとそれぞれの利得が決まる
例：じゃんけん
Aliceの利得行列：A
Bobの利得行列：B
グー
チョキ
パー
グー
0
1
-1
チョキ
-1
0
パー
1
-1
Bob
Alice
グー
チョキ
パー
グー
0
-1
1
1
チョキ
1
0
-1
0
パー
-1
1
0
一般にはA≠-B
Bob
Alice
非ゼロ和ゲーム
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混合戦略とナッシュ均衡
じゃんけんのN回勝負を考える
出す手の組み合わせを考える必要がある
混合戦略
このとき、ゲームに勝つには？
グー、チョキー、パーを均等に（それぞれ確率1/3で）出すこと
（偏りがあれば、相手にそのウラをかかれる）
ベクトル
(1 / 3,　1 / 3, 1 / 3)T
であらわす
両方のプレーヤが同じくらい賢くて、最善を尽くせば？
1 / 3, 1 / 3)
両方とも (1 / 3,　T
という戦略を選択し、何度やっても同じ結果に
ナッシュ均衡
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定式化
Alice, Bobの利得行列：
A, B
x, y
Alice, Bobがとる混合戦略：
（確率分布なので
（n×n）
x
i
1,
i
じゃんけんの場合
（n次）
y
i
1 ）
A
T
Aliceの利得
x Ay
Bobの利得
xT By
xx , y y
*
チョキ
パー
グー
0
1
-1
チョキ
-1
0
1
パー
1
-1
0
B  A
定義：
*
グー
i
x*  y*  (1 / 3,1 / 3,1 / 3)T
がナッシュ均衡である
T
x*  max arg xT Ay* , y *  max arg x* Ay
x
y
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未解決問題：
ナッシュ均衡を１つ求めるために必要な計算量は？
予想：
NP困難ではないと思われている
おそらく「PとNPの間」くらいであろう
[Papadimitriou 94]
現状：
知られているのは指数時間アルゴリズムのみ
以上最悪ケースの議論だが、ランダムなゲームが与えられた場合は？
この論文のテーマ！
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結論
ランダムなゲームは、十分に高い確率で
計算量 O(n3 log log n) で計算できる。
ランダムゲーム：利得行列の各要素が乱数
一様乱数と正規分布乱数の両方について示されている
最悪ケースと比べて指数ギャップ！
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アルゴリズム（Las Vegas）
整数dを1からNまで増やしながら以下を繰り返す：
サポートのサイズがdのナッシュ均衡を探す
サポート：要素が0でないインデックスの集合
T
例： (0,5,6,0,7) のサポートは
2,3,5
こんな単純なアルゴリズムでなぜうまくいくのか？
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アルゴリズムの分析
証明：
十分高い確率でサポート
のサイズ=2のナッシュ均衡
が存在する
2次元の凸包を求める高速
アルゴリズムが存在
ランダムな点集合の凸包として得
られる多面体の問題に帰着される
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ナッシュ均衡問題の幾何的解釈
xT Ay を xT  Ay と見る
Ay は多面体の内部を動く





A  (a1 ,, an ) とすると conv {a1 ,, an }
x を固定すると
max xT Ay を求めることは
y 1 1
max x  y' を求めることと同値
y 'conv A 
x
同様に、 y を固定すると
O
max xT By  max x' y
x 1 1
x 'conv(B)
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ナッシュ均衡：
x  0, y  0 なので、座標値非負のところだけで考えてよい
Aliceの戦略
Bobの戦略
Aliceの戦略
conv ( A)
Bobの戦略
conv ( B)
お互いに最適解になっているときが、ナッシュ均衡
サポートの制限：
行列A, Bのいくつかの行、列を取り除いて上記の問題を考えると、
サポートを制限したときの問題に対応
サポートのサイズをdに制限したナッシュ均衡問題は、d次元の線
形計画に対応
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なぜうまくいくか
サポートのサイズをdに制限してもナッシュ均衡がある場合：
全体n次元
Aliceの戦略
Bobの最適戦略を含むd-1次元面
d次元
conv ( A)
サイズdのサポートを固定した
時の混合戦略の集合
Aliceの最適戦略を含むd-1次元面
Bobの戦略
d次元
conv ( B)
対応
d個の点によって張られ
るd-1次元の面
こうなる確率を組み合わせ的に調べてみると、実は十分に高いことがわかる
1
1 


f
(
d
)

サポートのサイズd以下のナッシュ均衡が存在しない確率：
n N 2 
1 

N1はfacet上の点の数
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計算量は？
以下d=2とする
ほとんどの点は凸包の内部になる
凸包の境界上にあるのは
x
O

Olog n 個

（dが一般なら O log n d 1 個[Dwyer88]）
[Kirkpatrick-Seidel88]
２次元で入力点数N、出力点数Mのと
き、凸包計算の計算量は
ON log M 
d=2にできたことが
ここで効いてくる
凸包の計算コストは
On log log n
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計算量
サイズ2のサポートの組み合わせは
n
凸包計算は
線形計画は
 
C2  O n
2
On log log n
O1

3
トータルの計算量は O n log log n

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まとめ
2-Playerのランダムゲームは、十分に高い
確率で多項式時間でナッシュ均衡を求める
ことが可能
平均計算時間のことは言っていないので注意
最悪ケースでは指数時間
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