『無限解析入門』 における誤差について 徳島大学工学部 高橋浩樹 １．『無限解析入門』の誤差とは？ ２．誤差に注目する理由 ３．ある誤差リストの解釈 ４．仮説の全体像 1 １．『無限解析入門』の誤差とは？ Leonhard Euler（１７０７－１７８３） 生誕３００周年 「オイラーは人が息をするように、 また鷲が空を舞い遊ぶように、 見た目には何の苦労もなく計算した」 天文学者 フランソア・アラゴ 2 オイラーの解析三部作 『無限解析入門』 『微分計算教程』 『積分計算教程』 著述 １７４５ １７４８ １７６３ 出版 １７４８ １７５５ １７６８～１７７０ ・『入門』には，数値データに60個を超える間違いがある． ・単なる誤植や数値の表現（四捨五入・切捨て）といった 理由ではないようである． 疑問 オイラーは数値計算が不得意だったのか？ 3 log (1+ｘ)/(1-x)のマクローリン展開を用いた計算 53527 16963 04904 4 sin (m/n π/2)の マクローリン展開 プログラム 16 38 94 39 08 85 77 32 56 74 60 05 51 39 50 5 cos (m/n π/2)の マクローリン展開 00 49 63 72 62 30 70 10 36 23 86 15 30 84 67 28 6 tan (m/n π/2) cot (m/n π/2)の マクローリン展開 35 15 373 69 33 53 60 27 58 7 （ゼータ値の近似値） ×（１－１／２n） 548818 8 （ゼータ値の近似値） ×１／２n 10 75 04 70 96 73 15 271503 08 53 9255 55 13 86 84 08 85 58 10 77 45 86 71 68 9 素数ベキ和の近似値 ゼータ値の近似値を組 み合わせて求められる 1065 246 37 18 74437 35 25 19 02 24 46 84 55 33 26 30 07 51 10 ２．誤差に注目する理由 ゼータ関数に関わる2つの疑問 Ａ．ゼータ関数の「美しい関係」 なぜオイラーは，関数等式を美しいと 形容したのか？ Ｂ．ゼータ関数の特殊値 なぜオイラーは，特殊値を数多く計算 したのか？ 11 Ａ． 『美しい関係』（Ｅ３５２） 美しい？ 定義 12 注）１７４９年に著述 太陽と月の記号 13 1748年の金冠日食に関する文献 E117 [著述 1748, 出版 1749] Reflexions sur la derniere eclipse du Soliel du 25 julliet a. 1748. 金冠日食の観測データ E142 [著述 1748, 出版 1750以降?] Sur l'atmosphere de la lune prouvee par la derniere eclipse annulaire du soleil. 月の大気に関する推測 14 解釈 上の式・・・太陽が月の背後に位置する． 下の式・・・太陽の光の環がなおも輝く． Ｚ（ｎ－１）／Ｚ（－ｎ） Γ（ｎ） ｃｏｓ（ｎπ/２） πｎ 15 B． ゼータ関数の特殊値のリスト E41 [著述 1735, 出版 1740.] バーゼル問題の解決 １２ までのゼータ値 E101 [著述 1745, 出版 1748.] 『無限解析入門』 ・・・「いくつか書き添えておく」 ２６までのゼータ値 E212 [著述 1748, 出版 1755.] 『微分計算教程』 ３０までのゼータ値 E352 [著述 1749, 出版 1768.] 美しい関係 ・・・ 「計算した限りを示す」 ３４ までのゼータ値ａ ｂ ｃ 16 ゼータ関数の特殊値 ベルヌーイ数との関係（オイラーの発見） 17 予測できる素数たち 18 周期p-1 予測が困難な素数たち 19 分子に現れない素数 ⇔B0,B2,B4,…..,Bp-3のどの分子もpで割れない。 正則素数 ２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、 ２３、２９、３１、４１、・・・・・・ 分子に現れる素数 ⇔B0,B2,B4,…..,Bp-3のどれかの分子がpで割れる。 非正則素数 ３７、５９、６７、１０１、１０３、１３１、・・・、 ２８３、・・・、５９３、・・・、６１７、・・・、 ６８３、６９１、・・・・・・ 20 疑問 ・６９１という素数がζ（１２）に突如現れたことに 興味を抱かなかったのか？ ・３４までのゼータ値を求めたのに，最小の非正則 素数３７に気づかなかったのか？ 仮説 『無限解析入門』のゼータ値の近似値の誤差に， オイラーは非正則素数を書き記した． 基本的には，誤差の素因数として書き記した． 1998=54・37 1998-1526=472= 8・59 804=12・67=37+59+67+101+103+131+149+157 公表しなかった理由は後述 21 60を超える誤差の解釈 『無限オイラー解析』 現代数学社 この本はオイラーの問題集． 未発見の解答が残っている． 「理系への数学」（現代数学社） 9月号より詳細な探究の連載 『オイラー数学の源流』 第1回 巨人オイラー 第2回 超越への助走 22 ３．ある誤差リストの解釈 sin と cos のマクローリン展開の係数の誤差リスト 01 -0.0000000000000000000000000000 03 +0.0000000000000000000000000002 05 -0.0000000000000000000000000006 07 +0.0000000000000000000000000007 09 -0.0000000000000000000000000003 11 +0.0000000000000000000000000005 13 -0.0000000000000000000000000006 15 +0.0000000000000000000000000008 17 -0.0000000000000000000000000006 19 +0.0000000000000000000000000004 21 -0.0000000000000000000000000004 23 +0.0000000000000000000000000002 25 -0.0000000000000000000000000001 27 +0.0000000000000000000000000000 29 -0.0000000000000000000000000001 00 -0.0000000000000000000000000000 02 +0.0000000000000000000000000004 04 -0.0000000000000000000000000004 06 +0.0000000000000000000000000008 08 -0.0000000000000000000000000004 10 +0.0000000000000000000000000004 12 -0.0000000000000000000000000005 14 +0.0000000000000000000000000002 16 -0.0000000000000000000000000006 18 +0.0000000000000000000000000003 20 -0.0000000000000000000000000005 22 +0.0000000000000000000000000003 24 -0.0000000000000000000000000003 26 -0.0000000000000000000000000001 28 -0.0000000000000000000000000002 30 +0.0000000000000000000000000002 23 気づくこと ・３１個中２８個もの誤差がある． ・数値に対する誤差の割合は急激に膨張している． ・誤差は最終一桁の範囲に収まっている． ・ひとつのデータのみ絶対値が正値より大きい． →奇妙な数値データに思える． 偶然の間違いではなく，意図的なものではないか？ sin（正弦），cos（余弦） －楽譜であれば，面白いだろう． 24 楽譜への変換 -１－シ ０－ド １－レ ２－ミ ３－ファ ４－ソ ５－ラ ６－シ ７－ド ８－レ 演奏０ どうすれば，曲になるのだろうか？ オイラーの公式 eix=cos x+i sin x 係数を組み合わせて，元の指数関数の展開の順番で曲にする！ 演奏１ 25 リズムの調整 賛美歌を参考 26 楽譜 27 オイラーの曲であると推測する理由 28 29 ４．仮説の全体像 『無限解析入門』がオイラーの問題集だとすると， 出題者の義務として解答集も残すだろう． 解答集であると考えられる著作 E352 『美しい関係』 E343 『ドイツ王女への手紙』 30 非正則素数と指数 （１０００まで） 31 ３年前に描いた非正則素数たちの宇宙 （p cos (2πk/(p-1)), psin (2πk/(p-1))) 32 E343 ドイツ王女への手紙 33 仮説の続き（公表しなかった理由） 非正則素数に関して，オイラーは神秘的な事実を見出した． けれども，神秘の排除という学界の流れの中では， その事実の公表は立場上差し控えるべきだった． 他方，オイラーは彼自身の驚くべき発見を何らかの形では 残しておきたかった． （ゼータ関数⇔天体⇔ ・・・） 1741年7月25日 ロシアからベルリンに到着 ↓ 1748年7月25日 金冠日食 1748年 『無限解析入門』出版 問題集 ↓ 1768年 『美しい関係』出版 解答集１ 1768年 『ドイツ王女への手紙』出版 解答集２ 34 仮説の反証可能性 ・誤差の生成理由を説明する． ・このような数値データは稀ではないことを示す． （誤差が曲になり，しかも生成理由が説明できな いデータの例示） 35 参考 ｌｏｇ105の計算 ０ ０ ７ ３ ５ ５ １ ５ log(ab)1/2=(log a+log b)/2 ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ４ ５ ７ ６ ６ １ ７ ４ ３ ６ ３ ５ ７ ５ ０ ０ １ ３ ７ ９ ５ ７ ９ ８ ８ 36
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