微分方程式第 1 回演習第 1 回演習問題

微分方程式第 1 回演習
第 1 回演習問題：テキスト p.17 演習 2.1(1)(2) です．
テキスト：なっとくする微分方程式小寺平治著講談社
提出期限と場所：第 2 回授業開始前に教室にて回収する．
注意：今回 (第 1 回演習) は演習問題を具体的に載せますが，第 2 回演習からはページと問題番
号しか載せませんのでテキスト (教科書) を必ず入手する事．
第 1 回演習問題 (テキスト p.17 演習 2.1(1)(2)). 次の関数は，[
る事を確めよ．但し，y = y(x).
(1) y = Ax + Bex
(2) y = (x − A)2 ,
(A, B は定数)
y=0
] 内の微分方程式の解であ
[ (x − 1)y 00 − xy 0 + y = 0 ]
[ (y 0 )2 = 4y ]
(A は定数)
(ヒント) 下の例題 1,2 を参考にしてみよ．
例題 1. 次の関数は，[
] 内の微分方程式の解である事を確めよ．但し，y = y(x).
y = Aex + Be2x
(A, B は定数)
[ y 00 − 3y 0 + 2y = 0 ]
(解答例)
y 0 = A(ex )0 + B(e2x )0 = Aex + B · 2e2x = Aex + 2Be2x ,
y 00 = (y 0 )0 = A(ex )0 + 2B(e2x )0 = Aex + 2B · 2e2x = Aex + 4Be2x
より
y 00 − 3y 0 + 2y = (Aex + 4Be2x ) − 3(Aex + 2Be2x ) + 2(Aex + Be2x )
= (A − 3A + 2A)ex + (4B − 6B + 2B)e2x = 0ex + 0e2x = 0
よって，y = Aex + Be2x は y 00 − 3y 0 + 2y = 0 の解である．
例題 2. 次の関数は，[
] 内の微分方程式の解である事を確めよ．但し，y = y(x).
y = x3 ,
y=0
[ (y 0 )3 = 27y 2 ]
(解答例) y = x3 の場合．y 0 = 3x2 より
(y 0 )3 − 27y 2 = (3x2 )3 − 27(x3 )2 = 27x6 − 27x6 = 0
∴ (y 0 )3 − 27y 2 = 0
即ち，(y 0 )3 = 27y 2 ．よって，y = x3 は (y 0 )3 = 27y 2 の解である．
y = 0 の場合．y 0 = 0 より
(y 0 )3 − 27y 2 = 03 − 27 · 02 = 0
∴ (y 0 )3 − 27y 2 = 0
即ち，(y 0 )3 = 27y 2 ．よって，y = 0 は (y 0 )3 = 27y 2 の解である．

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