Kapitel 4a

4 1) Atome mit einem Elektron
4.1)
V( )
V(r)
Wasserstoffatom  Schrödingergleichung mit sphärischer Symmetrie
V(r)
Trennung von
Schwerpunktsund Relativbewegung
„reduzierte Masse“: m 
r
y
x
me mp
1 

 me  1 
  0.9995  me
me  mp
 1836 
 2

 V (r )  
H  T V   
 2m

1
1
  sin    
2
2
sin 
sin 
 2  1

1

2
 
 2  r r  r  2  ,   V (r ) 
r

 2m  r

Schrödingergleichung (SG) in sphärischen Koordinaten:
 2  1

1

2
 2  r r  r  2  ,   V (r )   ( r ,, )  E  (r ,, )

r

 2m  r

Lösungsweg  Separationsansatz  ( r ,, ) 
mit
R(r )
 Y (, )
r
1
R(r ) 1 2
 r 2 r
  r R(r )
2 r
r
r
r
2
r
2m
1

 2r R( r )  r 2 2  E  V (r )   (   1) 
 ,Y (, )
R(r )

Y (, )
radiale SG
mit V (r )  

winkelabhängige SG
e2
r
  2 (   1) e 2 
2 2

 r R (r )  
  R ( r )  E  R (r )
2
2m
r 
 2m r
„Zentrifugal“-potential:
 2 (  1)
2m r 2
V=0
klassisches Analogon:

 
L  r  p  mr 2
V 
L2
2mr 2

L2   2(  1)
ℓ = 1 Vmin bei r = 2
analytische Lösung der SG:
(a )v x
a x a(a  1) x 2
 1


c 1! c (c  1) 2!
 0 ( c )v  !

F  a, c, x   
1 1

 nm (r )  Cn  r  exp  r / na0   1F1  nr ,2  2,2r / na0   Ym (, )
a0 
azimuthale
i th l Q
Quantenzahl:
t
hl    m  
2
0 53 Å  1 a
a.u.
u
 0.53
me 2
Drehimpuls-Quantenzahl: 0    n  1
Hauptquantenzahl: n  nr    1
me 4
1 e2
; E1  13.6 eV
Bindungsenergie: En   2 2  
2 n
2 a0n 2
n’ = 5
n’ = 4
n’ = 3
n’ = 2
0.85 eV  EPaschen  1.5 eV
1.8 eV  EBalmer  3.4 eV

1 
 1
E  13.6 eV   2  2 
 n' n 
n’ = 1
10.2 eV  ELyman  13.6 eV

UV
sichtbar

NIR
Kommentare:
En, ℓ
• Entartung des Zustandes mit Hauptquantenzahl n:
n 1
n 1

  1   (2  1)  n
  0 m  
s
p
d
f
2
 0
4
3
2
n=1
• Entartung aufgehoben durch externe Felder
( Zeemaneffekt,
Zeemaneffekt Starkeffekt)
0
1
2
3
ℓ
• 3 unabhängig meßbare Eigenschaften:
Energie E ( n), Drehimpuls L ( ℓ),
z-Komponente des Drehimpulses Lz ( m)
• Yℓm: Kugeloberflächenfunktionen
Yl m (, )  ( 1)m
zugeordnete Legendrepolynome
2  1 (  m )! m
 P (cos  )e im
4 (  m )!
• wasserstoffartige Ionen (ZZ-1+): En  
1 Z 2e 2
1 Ze
Z 2
; a  a0 Z


2 a0 n 2
2 an 2
Kugeloberflächenfunktionen
Y0 
0
1
4
Y 1  ei sin
1
Y 0  cos 
1


Y 0  3 cos2   1
2
Y 1  ei sin cos 
2
Y 2  e2i sin2 
2
„Vektormodell“ für Drehimpuls
ℓ : Drehimpuls
p
L2  m  2(  1)  m
Lz  m  m  m
m    (   1)
Ungewissheit der Lx, Ly:
1
 m L2  L2z  m
2
1
1
  2  2
2
4
 m L2x  m 
 m Lx  m  0
 m Ly  m  0
radiale Dichte R ( r )
2
radiale Dichte R ( r )
2
radiale Dichte R ( r )
2
radiale Dichte R ( r )
2
radiale Dichte R ( r )
2
radiale Dichte R ( r )
2
numerische Lösung der SG für Differentialgleichungen u( x )  w ( x ) u( x )  0
Numerov (Fox-Goodwin) Algorithmus
u(x)
äquidistante
Gridpunkte:
ui
ui+1
ui-1
x
xi-1
u ( x n )  un



xi
xi+1
x
1 2
1
1
 un   3un   4un( IV )  
2
3!
4!
2
u  2un  un 1  ( IV )
un  n 1

u n  O(  4 )
2

12
w u  2w nun  w n 1un 1
 O(  2 )
un( IV )  (wu )   n 1 n 1
2
un 1  un  un 
Sammlung der Terme:
 2



 2

2




1
w
u
2
10
w
u
w n 1  un 1  0


1 
n 1  n 1
n n
12 
 12


 12

 2

Qn 1  12un  10Qn  Qn 1 ; Qn   1 
w n  un
 12 
un, un-1 bekannt
b k
t (z.B.
( B aus Randbedingungen)
R db di
)  u(x)
( )
 2m 
e 2  (  1) 
 2r u(r )   2  E   
 u(r )  0
 
r 
r2 


w (r )
Iterationsbeginn bei großen Abständen r:
Randbedingung für große r: u(r )  C exp   r 

un 1  un  0
Randbedingung für r = 0: u(r) = 0
numerische Suche nach korrektem E, das gleichzeitig beide
Randbedingungen erfüllt
0.2
ℓ=0
R(r) [arb. units]
E < E1
E = E1= -0.5
0.1
E > E1
0.1
0
Energie korrekt für u0 = 0
-0.1
0
1
2
3
r [a0]
4
5
Atome in Magnetfeldern: Zeemaneffekt (1896)

a
„klassische“ Erklärung für das magnetische Moment:
v
r
bewegtes Elektron  Strom I   e
2 r


v  magnetisches Moment   Ia   e v r 2 e   evr e
z
z
2 r
2
 
Wechselwirkung mit externem magnetischem Feld: B || ez

EB    B ; mit
 
L  B  LzB  mB
  

L  r  p  me rv ez

EB 
e
2me

EB 
e  
L B
2me
mB  m BB
B>0
Etot
E
 En  EB  21  m B B
n
ℓ = 1,
1 B=0
m=1
m=0
m =-1
Nobelpreis 1902
Pieter Zeeman
Hendrik Antoon Lorentz
The Nobel Prize in 1902 was awarded jointly to Hendrik Antoon
Lorentz and Pieter Zeeman “in recognition of the extraordinary
service they rendered by their researches into the influence
of magnetism upon radiation phenomena
phenomena".
gemessenes Spektrum des Wasserstoffs; Lyman--Linie (n = 2  1)
gerade Anzahl von Linien!
„anomaler“ Zeemaneffekt (Spin war 1902 unbekannt)

a
r

s
v
Elektron hat nicht nur orbitalen Drehimpuls
aufgrund
g
seiner Bewegung,
g g, es hat auch „„Spin“
p
s = ±1/2, 2s+1 = 2  gerade Anzahl von Zuständen
G
Generalisierung:
li i
B 




B 
B  

S   g sS  2 S

 

L  
L




 J   L  S  
B 

L  2S 

Wechselwirkung mit externem magnetischen Feld:
EB  g J mJ BB
mit
gJ  1
J (J  1)  S(S  1)  L(L  1)
2J (J  1)
gemessenes Spektrum des Wasserstoffs; Lyman--Linie (n = 2  1)
mS   1
2
mL  1
 1
0
mJ  1 
1
2
1
2
1
mJ  0 
2
mJ  1 
mL  0
mL  0
mJ  0 
1
2
Zeemaneffekt (Zusammenfassung)
• schwaches Magnetfeld und
Gesamtspin S = 0: Effekt proportional
zu Magnetfeld
g
und magnetischer
g
Quantenzahl m; ungerade Anzahl
von Zuständen (Zeemaneffekt)
• schwaches Magnetfeld und S ≠ 0:
Effekt proportional zu Magnetfeld;
Orbital- und Spin-Drehimpuls
koppeln; gerade Anzahl von
Zuständen für ungerade Zahl von
Elektronen („anomaler“
Zeemaneffekt)
• starke
t k Felder:
F ld Effekt
Eff kt nicht
i ht linear
li
• sehr starkes Magnetfeld (B > 1 T): L
und S entkoppeln, zusammen mit
A
Auswahlregeln
hl
l  gleichbedeutend
l i hb d t d
mit S = 0 (Paschen-Back-Effekt)
Auswahlregeln für elektromagnetische Übergänge
Wasserstoff-21-cm-Linie
verboten wegen S
S=L=0
L 0
Kopplung zum Kernspin
( yp
(Hyperfeinaufspaltung)
p
g)

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