Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme

Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer
Systeme
Markus Schöberl
[email protected]
Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung
Johannes Kepler Universität Linz
KV Ausgewählte Kapitel der Regelungstheorie 2016
M. Schöberl
(regpro - JKU )
2016
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Teil II
Maxwell
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Klassische Darstellung
Die Maxwell Gleichungen lauten (in klassischer Vektorschreibweise)
∇·D
= ρ
(1)
∇·B
= 0
(2)
∇×E
= −∂t B
(3)
∇×H
= j + ∂t D
(4)
wobei (1) das Gesetz von Gauss und (2) der magnetische Satz
von Gauss sind. Die Beziehung (3) ist das Induktionsgesetz
(Faraday) und (4) ist das Durchflutungsgesetz (Ampére-Maxwell).
Führt man noch das elektrische Potential φ und das
Vektorpotential A ein so gilt des weiteren noch
E = −∇φ − ∂t A , B = ∇ × A
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E und B, Darstellung als Differentialformen I
Wir betrachten eine Mannigfaltigkeit M mit Koordinaten (t, x 1 , x 2 , x 3 )
mit M = R × D und definieren die Elektrische Feldstärke als 1-Form
E = E0α dx α
und die Magnetische Flussdichte als 2-Form
1
Bαβ dx α ∧ dx β , Bαβ = −Bβα .
2
Ist D eine Riemmannsche Mannigfaltigkeit mit Volumensform
p
vol = det(g)dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3
B=
dann gilt
1
B = Bαβ dx α ∧ dx β = B γ ∂γ ⌋vol
2
mit
Bαβ = ǫαβγ B γ
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p
det(g)
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E und B, Darstellung als Differentialformen II
Es gilt
B = B12 dx 1 ∧ dx 2 + B13 dx 1 ∧ dx 3 + B23 dx 2 ∧ dx 3
sowie
p
p
p
det(g)dx 2 ∧ dx 3 − det(g)B 2 dx 1 ∧ dx 3 + B 3 det(g)dx 1 ∧ dx 2
p
und aus Bαβ = ǫαβγ B γ det(g) folgt beispielsweise
p
p
p
B12 = ǫ12γ B γ det(g) , B23 = ǫ23γ B γ det(g) , B13 = ǫ13γ B γ det(g)
B = B1
Bemerkung: Für das Permutationssymbol gilt ǫαβγ = 1 wenn αβγ eine
gerade Permutation von 123 ist und ǫαβγ = −1 wenn αβγ eine
ungerade Permutation ist. Sind zwei oder mehr Indizes in αβγ gleich,
so gilt ǫαβγ = 0.
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Elektromagentischer Tensor F
Wir betrachten die folgende 2-Form
F = E ∧ dt + B
also
1
F = E0α dx α ∧ dt + Bαβ dx α ∧ dx β
2
Die Maxwellgleichungen (2) und (3) folgen aus
dF = 0
Dazu berechnet man
1
1
dF = ∂β E0α dx β ∧dx α∧dt+ ∂t Bαβ dt∧dx α∧dx β + ∂γ Bαβ dx γ ∧dx α∧dx β
2
2
mit ∂β = ∂/∂x β .
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Feldgleichungen I
Es gilt daher
1
1
(∂α E0β − ∂β E0α + ∂t Bαβ )dx α ∧ dx β ∧ dt + ∂γ Bαβ dx γ ∧ dx α ∧ dx β = 0
2
2
Somit entspricht
∂α E0β − ∂β E0α + ∂t Bαβ = 0
der Beziehung (3) und
1
∂κ Bαβ dx κ ∧ dx α ∧ dx β = div(B )vol = 0
2
p
der Beziehung (2) mit Bαβ = ǫαβγ B γ det(g) und
div(B ) = p
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p
1
∂γ (B γ det(g))
det(g)
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Feldtensor G
Nun betrachten wir
G = D − H ∧ dt
mit der Elektrischen Flussdichte
1
D = Dαβ dx α ∧ dx β , Dαβ = −Dβα
2
und der Magnetischen Feldstärke
H = H0α dx α
Nun gilt
dG = ρvol − j ∧ dt
mit der Ladungsdichte ρ und der Stromdichte j = j γ ∂γ ⌋vol.
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Feldgleichungen II
Aus dG = ρvol − j ∧ dt folgen nun die Gleichungen (1) und (4). Denn
dG =
1
1
(∂β H0α −∂α H0β +∂t Dαβ )dx α ∧dx β ∧dt + ∂γ Dαβ dx γ ∧dx α ∧dx β
2
2
und somit wieder
1
∂γ Dαβ dx γ ∧ dx α ∧ dx β = div(D )vol = ρvol
2
Weiters erhält man aus d(dG) = 0 die Ladungserhaltung, da aus
p
p
d(ρ det(g))∧dx 1 ∧dx 2 ∧dx 3 −d(j γ det(g))∧∂γ ⌋dx 1 ∧dx 2 ∧dx 3 ∧dt = 0
folgt und wir somit aus
∂t ρdt ∧ vol − ∂β (j γ
p
det(g))dx β ∧ ∂γ ⌋ p
1
det(g)
vol ∧ dt = 0
die Beziehung ∂t ρ + div(j ) = 0 (Ladungserhaltung) erhalten.
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Zusammenfassung
Aus
dF = 0 ,
dG = ρvol − j ∧ dt
mit
F = E ∧ dt + B , G = D − H ∧ dt
folgen die Maxwellgleichungen. Aus d(dG) = 0 folgt die
Ladungserhaltung.
Da dF =0 hat F ein Potential A = A0 dt + Aβ dx β . Somit
F
= dA = dA0 ∧ dt + dAβ ∧ dx β
= ∂α A0 dx α ∧ dt + ∂t Aβ dt ∧ dx β + ∂α Aβ dx α ∧ dx β
= (∂α A0 − ∂t Aα )dx α ∧ dt + ∂α Aβ dx α ∧ dx β
und E0α = (∂α A0 − ∂t Aα ) und Bαβ = ∂α Aβ − ∂β Aα
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Weitere Eigenschaften
Ladungserhaltung folgt aus d(dG) = 0 aber auch mit
ˆ
ˆ
j
ρvol = −
∂t
∂D
D
mit j =
j γ ∂γ ⌋vol.
Damit gilt
ˆ
ˆ
dj = 0
ρvol +
∂t
D
D
und somit ∂t ρ + div(j ) = 0.
Die Lorentzkraft fL erhält man aus ¯
f = −v ⌋F mit
1
f¯ = −(∂t + v α∂α )⌋ E0α dx α ∧ dt + Bαβ dx α ∧ dx β
2
= −v α E0α dt + E0α dx α − v α Bαβ dx β
und der vertikale Anteil zusammen mit der Ladung q liefert
fL = q(E0β − v α Bαβ )dx β
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