Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme

Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer
Systeme
Markus Schöberl
[email protected]
Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung
Johannes Kepler Universität Linz
KV Ausgewählte Kapitel der Regelungstheorie 2016
M. Schöberl
(regpro - JKU )
2016
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Teil IV
Mechanik und Maxwell
M. Schöberl
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Übersicht
Zeit-invarianter Fall
Konfigurationsmannigfaltigkait M
Bewegung ist eine Kurve in M parametriert in der Zeit
Zeit-varianter Fall
Konfigurationsbündel Q → T
Bewegung ist ein Schnitt von Q → T
Auch zeitinvarianter Fall beinhaltet, mit Q = M × T und speziellen
Bündelmorphismen welche die Zeit nicht beinhalten.
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Punktmechanik I
Konfigurationsmannigfaltigkeit M mit Koordinaten q α .
Tangentialbündel T (M ) mit Koordinaten (q α , q̇ α ).
Bewegung q α = s α (t) und die zugehörige Geschwindigkeit
(Änderung der Bewegung) q̇ α ◦ s = v α (s(t)) = ∂t s α .
Zur Berechnung der Änderung der Geschwindigkeit (Beschleunigung)
benötigt man einen linearen Zusammenhang auf T (M ) → M der Form
Λ = dq α ⊗ (∂α + Λβαρ q̇ ρ ∂˙β )
∂
Λβαρ ∈ C ∞ (M ) , ∂˙β =
∂ q̇ β
Der Zusammenhang ist linear da Λβα = Λβαρ q̇ ρ gilt (Λβαρ sind die
Christoffelsymbole mit anderer Vorzeichenkonvention).
Des weiteren erhält man das kovariante Differential
DΛ : ((q̇ β )α − Λβαρ q̇ ρ )dq α ⊗ ∂˙β
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Punktmechanik II
Für die kovariante Ableitung in Richtung der Geschwindigkeit v gilt
v ⌋∇Λ (v ) = v α (∂α v β − Λβαρ v ρ )∂β
mit V (T (M )) ≈ T (M ) ×M T (M ), das heißt wir identifizieren ∂˙β mit
∂β , da sie sich gleich transformieren.
Damit folgt aus
∂t (v β ◦ s) − Λβαρ ◦ s ∂t s α ∂t s ρ ∂β
=
∂tt s β − Λβαρ ◦ s ∂t s α ∂t s ρ ∂β
(v ⌋∇Λ (v )) ◦ s =
das gewünschte Resultat für die vektorielle Darstellung der
Beschleunigung.
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Punktmechanik - Weitere Konzepte
Eine Metrik ist eine Abbildung g : T (M ) → T ∗ (M ) der Form
g = gαβ dq α ⊗ dq β
Für die Christoffelsymbole (Koeffizienten des linearen
Zusammenhangs) gilt
2Λκαρ = −ĝ κε (∂α gρε + ∂ρ gεα − ∂ε gαρ )
und
∂ρ gαε = −gκεΛκαρ − gαβ Λβρε
Für den Impuls gilt
p = m (v ⌋g) ,
pα = mgαβ v β
mit der Masse m. Kovariante Ableitung
β
v ⌋∇Λ∗ (p) = v α ∂α pβ − Λρ∗
αβ pρ dq
ρ
∗
∗
∗
mit Λρ∗
αβ = −Λαβ und V (T (M )) ≈ T (M ) ×M T (M )
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Konfigurationsbündel
Wir betrachten ein Bündel Q → T mit Koordinaten (t, x α ) für Q und
die Zeit t für T .
Wir betrachten ein triviales Bündel Q = M × T wobei die
Koordinaten (x α ) für M sind.
Eine Bewegung s(t) ist dann ein Schnitt des Bündels Q → T .
Auf dem Bündel Q → T wählen wir einen trivialen Zusammenhang,
der Form
γ = dt ⊗ ∂t
also γ0α = 0, wenn man γ = dt ⊗ (∂t + γ0α ∂α ) betrachtet.
Spezielle Koordinatenwechsel der Form x̄ = ϕ(x ) erhalten die
Bündelstruktur, sowie das triviale Bündel und den trivialen
Zusammenhang. Im allgemeinen dürfte man auch x̄ = ϕ(t, x )
betrachten → mitbewegte (beschleunigte) Koordinatensysteme
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Geschwindigkeit, Beschleunigung
Die Geschwindigkeit kann nun als vertikales Vektorfeld in V (Q )
interpretiert werden. Die Koordinaten für V (Q ) sind nun (t, x α , ẋ α ).
Zur Berechnung der Beschleunigung benötigt man einen
Zusammenhang auf dem Bündel V (Q ) → Q . Ganz allgemein gilt
Γ = dt ⊗ (∂t + Γα0 ∂˙α ) + dx β ⊗ (∂β + Γαβ ∂˙α )
Wir wählen nun Γα0 = 0 und Γαβ = Λαβρ ẋ ρ . Das kovariante
Differential folgt nun zu
DΓ = (ẋtα − Γα0 )dt ⊗ ∂˙α + (ẋβα − Γαβ )dx β ⊗ ∂˙α
und die Kovariante Ableitung des Vektorfelds v = (v α ◦ s)∂α
entlang des Vektorfelds vs = ∂t + ∂t s α ∂α ergibt
vs ⌋∇Γ (v ◦ s) = (∂t (v α ◦ s) − (Λαβρ v β v ρ ◦ s))∂α
mit ∂˙α ≃ ∂α .
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Newton und Maxwell I
Das Gesetz von Newton lautet dann für einen Massenpunkt m
m(vs ⌋∇Γ (v ◦ s)) = (ĝ⌋F ) ◦ s
mit
F = F0 dt + Fα dx α
In Koordinaten erhält man
m ∂t (v α ◦ s) − (Λαβρ v β v ρ ◦ s) = ĝ ακ Fκ
Die Lorentzkraft erhält man indem man den erweiterten
Zusammenhang
Γe = dt ⊗ (∂t + Γα ∂˙α ) + dx β ⊗ (∂β + Γα ∂˙α )
0
β
betrachtet
Γα0 = ĝ ακ F0κ , Γαβ = Λαβρ ẋ ρ + ĝ ακ Fβκ .
mit F = F0α dx α ∧ dt + 21 Fαβ dx α ∧ dx β .
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Newton und Maxwell II
Dann gilt
DΓe = (ẋtα − ĝ ακ F0κ )dt ⊗ ∂˙α + (ẋβα − Λαβρ ẋ ρ − ĝ ακ Fβκ )dx β ⊗ ∂˙α
und somit
vs ⌋∇Γe (v ◦ s) = (∂t (v α ◦ s) − (Λαβρ v β v ρ ◦ s) − ĝ ακ (F0κ + Fβκ v β ) ◦ s)∂α
beziehungsweise
vs ⌋∇Γe (v ◦ s) = vs ⌋∇Γ (v ◦ s) − (ĝ⌋fL ) ◦ s
Anmerkungen:
Im allgemeinen gilt für die Geschwindigkeit v = ∂t ⌋∇γ (s) mit
∇γ (s) = (∂t s α − γ0α ◦ s)dt ⊗ ∂α
Γα0 = 0 bzw. Γα0 = ĝ ακ F0κ gilt für den Fall, dass γ0α = 0
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