Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme Markus Schöberl [email protected] Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Johannes Kepler Universität Linz KV Ausgewählte Kapitel der Regelungstheorie 2016 M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 1 / 12 Teil III Bündel, Jet-Mannigfaltigkeiten und Kovariante Ableitung M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 2 / 12 Einführung Eine gefaserte Mannigfaltigkeit ist ein Tripel (M , f , N ), wobei M die totale Mannigfaltigkeit, N die Basismannigfaltigkeit und f eine surjektive Submersion ist. Für q ∈ N ist f −1 (q) die Faser über q. Wir bezeichnen gefaserte Mannigfaltigkeiten auch in der Form f : M → N . Nun sei π : Y → X eine gefaserte Mannigfaltigkeit mit dim(X ) = m und dim(Y ) − dim(X ) = l, dann kann man Koordinaten adaptiert an die Faserung einführen, nämlich (x i ) für X und (x i , y α ) für Y mit i = 1, . . . , m und den Faserkoordinaten y α mit α = 1, . . . , l. Ein Bündel ist nun eine gefaserte Mannigfaltigkeit, bei der alle Fasern diffeomorph zu einer sogenannten typischen Faser sind. Koordinatenwechsel der Form ȳ ᾱ = ϕᾱ (x , y) , x̄ ī = φī (x ) erhalten die Faserung und damit auch die Bündelstruktur. M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 3 / 12 Tangentialstrukturen Wir betrachten nun π : Y → X mit den Koordinaten (x i , y α ) für Y und (x i ) für X . Folgende Tangentialbündel können konstruiert werden: T (X ) mit Koordinaten (x i , ẋ i ) und Vektorfeld v i (x )∂i T (Y ) mit Koordinaten (x i , ẋ i , y α , ẏ α ) und Vektorfeld v i (x , y)∂i + v α (x , y)∂α Folgende Kotangentialbündel können konstruiert werden: T ∗ (X ) mit Koordinaten (x i , ẋi ) und Kovektorfeld ωi (x )dx i T ∗ (Y ) mit Koordinaten (x i , x˙i , y α , ẏα ) und Kovektorfeld ωi (x , y)dx i + ωα (x , y)dy α M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 4 / 12 Koordinatenwechsel Wir betrachten einen Koordinatenwechsel der Form ȳ ᾱ = ϕᾱ (x , y) , x̄ ī = φī (x ) und somit gilt ȳ˙ ᾱ = ∂i ϕᾱ ẋ i + ∂α ϕᾱ ẏ α , x̄˙ ī = ∂i φī ẋ i sowie dȳ ᾱ = ∂i ϕᾱ dx i + ∂α ϕᾱ dy α , dx̄ ī = ∂i φī dx i Man erhält folgende wichtige Beziehungen: ∂i → ∂i φī ∂ī + ∂i ϕᾱ ∂ᾱ , ∂α → ∂α ϕᾱ ∂ᾱ (1) und dy α → ∂ᾱ ϕ̂α (dȳ ᾱ − ∂i ϕᾱ ∂ī φ̂i dx̄ ī ) , dx i = ∂ī φ̂i dx̄ ī Anmerkung: Es gilt x i = φ̂i (x̄ ) und (∂ī φ̂i )−1 = ∂i φī ◦ φ̂, Dies folgt aus φ ◦ φ̂ = idx̄ und der Kettenregel. M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 5 / 12 Subbündel von T (Y ) und T ∗(Y ) Tangentialvektoren die tangential an die Fasern von π : Y → X sind, nennt man vertikal. Sie bilden das sogenannte vertikale Tangentialbündel V (Y ). Für vertikale Vektoren gilt ẋ i = 0. Somit sind sie von der Form v α (x , y)∂α und wegen dem zweiten Ausdruck in (1) bildet das vertikale Bündel ein Unterbündel von T (Y ). Nun gilt aber T (Y ) = V (Y ) ⊕ H (Y ) wobei zu beachten ist, dass es keine kanonische Wahl für H (Y ) gibt (dies zeigt der erste Ausdruck (1)). Wählt man H (Y ), dann führt das auf einen sogenannten Zusammenhang (connection). Eine ähnliche Überlegung kann man für T ∗ (Y ) = H ∗ (Y ) ⊕ V ∗ (Y ) anstellen, wobei hier der horizontale Anteil H ∗ (Y ) kanonisch ist. M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 6 / 12 Zusammenhang I Ein Zusammenhang auf π : Y → X ist nun eine Abbildung Γ : Y × T (X ) → T (Y ). Diese Abbildung kann man auch durch den Tensor Γ = dx i ⊗ (∂i + Γαi ∂α ) beschreiben, mit Γαi ∈ C ∞ (Y ) den Komponenten des Zusammenhang. Nun gilt v = v i ∂i + v α ∂α = v i (∂i + Γαi ∂α ) + (v α − Γαi v i )∂α wobei der horizontale Teil aus v ⌋Γ folgt. Des weiteren erhält man ω = ωi dx i + ωα dy α = (ωi + ωα Γαi )dx i + ωα (dy α − Γαi dx i ) wobei hier ein ebenfalls mit Γ bezeichneter Tensor Γ = (dy α − Γαi dx i ) ⊗ ∂α Verwendung findet und aus Γ⌋ω der Anteil aus V ∗ (Y ) (vertikal) folgt. M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 7 / 12 Zusammenhang II Transformationsverhalten von Γ = dx i ⊗ (∂i + Γαi ∂α ) bezüglich ȳ ᾱ = ϕᾱ (x , y) , x̄ ī = φī (x ) Wie bereits gezeigt gilt: ∂i → ∂i φī ∂ī + ∂i ϕᾱ ∂ᾱ , ∂α → ∂α ϕᾱ ∂ᾱ , dx i = ∂ī φ̂i dx̄ ī und somit Γ = ∂ī φ̂i dx̄ ī ⊗ (∂i φī ∂ī + ∂i ϕᾱ ∂ᾱ + Γαi ∂α ϕᾱ ∂ᾱ ) bzw. Γ = dx̄ ī ⊗ (∂ī + ∂ī φ̂i ∂i ϕᾱ + Γαi ∂α ϕᾱ ∂ᾱ ) Daraus folgt ein affines Transformationsgesetz der Form Γ̄ᾱī = ∂ī φ̂i ∂i ϕᾱ + Γαi ∂α ϕᾱ M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 8 / 12 Jet-Mannigfaltigkeit I Ein Schnitt eines Bündels π : Y → X ist nun eine Abbildung σ : X → Y , sodass π ◦ σ = idX gilt also σ : (x i ) → (x i , σ α (x )) Wir betrachten nun zwei Schnitte σ und ρ. Wenn für ein x ∈ X σ(x ) = ρ(x ) , ∂i σ(x ) = ∂i ρ(x ) gilt, es stimmen also die Funktionswerte und die ersten partiellen Ableitungen überein, nennt man die Schnitte 1−äquivalent und bezeichnet die Äquivalenzklasse mit jx1 (σ). Die erste Jet-Mannigfaltigkeit J 1 (Y ) gewinnt man nun aus J 1 (Y ) = ∪ jx1 (σ) x ∈X wobei die adaptierten Koordinaten zu (x i , y α , yiα ) folgen. M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 9 / 12 Jet-Mannigfaltigkeit II Man gewinnt nun folgende gefaserte Mannigfaltigkeiten (Bündel) π01 : J 1 (Y ) → Y , π 1 : J 1 (Y ) → X Betrachten wir einen Koordinatenwechsel der Form ȳ ᾱ = ϕᾱ (x , y) , x̄ ī = φī (x ) so gilt für die Jet-Variablen (Ableitungvariablen) yiα ȳīᾱ = (∂i ϕᾱ + ∂α ϕᾱ yiα )∂ī φ̂i Dieses Transformationsverhalten ist affin! M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 10 / 12 Kovariante Ableitung Das kovariante Differential ist definiert als DΓ = (yiα − Γαi )dx i ⊗ ∂α und die kovariante Ableitung eines Schnitts s : X → Y folgt zu ∇Γ (s) = (∂i s α − Γαi ◦ s)dx i ⊗ ∂α Die kovariante Ableitung in Richtung eines Vektorfelds v ∈ T (X ) ergibt sich zu v ⌋∇Γ (s) = v i (∂i s α − Γαi ◦ s)∂α M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 11 / 12 Ein erstes triviales Beispiel Wir betrachten ein Bündel π : Y → X mit Koordinate x für X und x , y für Y . Also dim(X ) = 1 und dim(Y ) = 2. Der Zusammenhang sei trivial, also Γ = dx ⊗ ∂x die Koeffizienten des Zusammenhangs sind 0. Des weiteren betrachten wir einen Schnitt y = σ(x ) = 7, also eine konstante Funktion. Der Koordinatenwechsel ȳ = y + 3x , x̄ = x führt zu ȳ = σ̄(x̄ ) = 7 + 3x̄ Γ̄ = dx̄ ⊗ (∂x̄ + 3∂ȳ ) Die partiellen Ableitungen ∂x σ = 0 und ∂x̄ σ̄ = 3 stimmen nicht überein, aber die kovarianten tun es! M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 12 / 12
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