解答例 2016年度（平成28年度）

2016年度（平成28年度）
解答例
一般推薦
1
2
3
x=
7
13 である。
次の連立不等式の解答は −2＜ x ≦1
756756
5
8
定数 a , b の値は a ＝ −2 , b ＝ −6 である。
BC＝
5
であり、この三角形の面積は
9
15
4 3
10
abc をRを用いて表すと abc ＝ 4R
S
S
であり、
a+b+c
a+b+c
をrを用いて表すと S ＝
S
2
r
12
5
,EC =
5
である。
11
y = f ( x)
したがって、
求める面積 Sは
曲線 y = f ( x)と接線ℓは上の図のようになる。
である。
S=
=
1
4
のとき
（1） n ≧ 2のとき
−1.6353
5
1
5
＜ 108 を満たす最小の自然数 n は
216
2
ʃ
1
−3
( x3 +x2 − 5x + 3 ) dx
1
−3
a n = a1 + (a2 − a1) + (a3 − a2) + … + (a n − a n−1)
3(3n−1 −1)
= 3 +2・
3 −1
= 3 + 3(3n−1 −1)
= 3 n … ①
である。
（）
不等式
3
= 3 +2・3 +2・32 + … 2・3n−1
である。
5
の値は
216
1
−3
4 ［A］
不等式 cos2x+13sinx −7≦ 0 の解は
log10
ʃ ｛( −2x +7 ) − ( −x −x + 3x + 4 ) ｛dx
= 1 x 4 + 1 x3 − 5 x2 + 3x
4
3
2
= 64
3
である。
65 をとる。
− 7π ≦ x ≦ π
6
6
12
通りある。
126126
2点間の距離の和AP+PBは、t ＝
最小値
x
1
0
−3
2
2
半径√2の円の方程式は (x−1) + (y−1) = 2 である。
m の値は m ＝ 1
である。
6
DE =
y = −2 x +7
通りある。また、15人を5人ずつの3組に
分けるとき、分け方は
, b ＝ −4 , c ＝ 7
定数 a , b , c ,の値は a ＝ 2
15人を部屋A,B,Cに5人ずつ入れるとき、入れ方は
である。
である。
4
y
数学
4
であり、−x + y =
3
（4）
①でn = 1とするとa1 = 3 が得られるから、①は n = 1のときにも成り立つ。
したがって、
一般項は a n = 3 n
n
（2）
b 1 = S1 = 3
n ≧ 2のとき
である。
S n−1 = ( n −1)2 + 2 ( n −1)
= n2 − 2n +1 +2n − 2
= n2 −1
Ａ方式
なので、
数学
bn = S n − S n−1
= ( n2 +2n) − ( n2 −1)
= 2n +1 … ②
●工学部（電子情報工学科／電気工学科）
●情報工学部（情報工学科／情報通信工学科／システムマネジメント学科）
1
2
①
②
④
⑤
⑥
⑦
⑧
5 , 13
6 12
13
−1＜k＜
12
6
133
3003
6π
②
③
④
1
3
0
82
31
2542
①
1
③
（）
⑤
⑥
3
−2
−0.1505 −0.06245
3 （1） f ’ ( x) = − 3x −2x+ 3
⑨
π
4
⑩
②でn = 1とするとb1 = 3 が得られるから、②は n = 1のときにも成り立つ。
20
したがって、
一般項は bn = 2n +1 （3）
n
n
k=1
k=1
T n = Σ akbk = Σ (2k +1)3
これより、
n
k=1
2
④−③より、
接線ℓの方程式は
（2） f ’ ( 1 ) = −2 より、
n
9(3n−1−1) (
= − 2・
+ 2n +1)3n+1− 9
3 −1
= − 9(3n−1−1) + (2n +1)3n+1− 9
（3）曲線 y = f ( x)と接線ℓの共有点のx 座標は
−2x +7 = −x3 −x2 + 3x + 4
= − 3n+1 + (2n +1)3n+1
すなわち、
方程式 x3 +x2 − 5x + 3 = 0の解である。
= 2n3n+1
x +x − 5x + 3 = 0
2
⇔ ( x −1 ) ( x + 3 ) = 0
よって、
T n = n3n+1
となるので、
点（ 1 , 5 ）以外の共有点の座標は（ − 3 , 13）
― 60 ―
…④
k=2
⇔ y = −2x + 7
2
k
k=1
2Tn =Σ ( − 2)3k+ (2n +1)3n+1− 9
y − 5 = −2 ( x −1 )
3
n
3Tn =Σ (2k +1)3 = Σ (2k +1)3
k+1
…③
k
― 61 ―
2016年度（平成28年度）
解答例
一般推薦
1
2
3
x=
7
13 である。
次の連立不等式の解答は −2＜ x ≦1
756756
5
8
定数 a , b の値は a ＝ −2 , b ＝ −6 である。
BC＝
5
であり、この三角形の面積は
9
15
4 3
10
abc をRを用いて表すと abc ＝ 4R
S
S
であり、
a+b+c
a+b+c
をrを用いて表すと S ＝
S
2
r
12
5
,EC =
5
である。
11
y = f ( x)
したがって、
求める面積 Sは
曲線 y = f ( x)と接線ℓは上の図のようになる。
である。
S=
=
1
4
のとき
（1） n ≧ 2のとき
−1.6353
5
1
5
＜ 108 を満たす最小の自然数 n は
216
2
ʃ
1
−3
( x3 +x2 − 5x + 3 ) dx
1
−3
a n = a1 + (a2 − a1) + (a3 − a2) + … + (a n − a n−1)
3(3n−1 −1)
= 3 +2・
3 −1
= 3 + 3(3n−1 −1)
= 3 n … ①
である。
（）
不等式
3
= 3 +2・3 +2・32 + … 2・3n−1
である。
5
の値は
216
1
−3
4 ［A］
不等式 cos2x+13sinx −7≦ 0 の解は
log10
ʃ ｛( −2x +7 ) − ( −x −x + 3x + 4 ) ｛dx
= 1 x 4 + 1 x3 − 5 x2 + 3x
4
3
2
= 64
3
である。
65 をとる。
− 7π ≦ x ≦ π
6
6
12
通りある。
126126
2点間の距離の和AP+PBは、t ＝
最小値
x
1
0
−3
2
2
半径√2の円の方程式は (x−1) + (y−1) = 2 である。
m の値は m ＝ 1
である。
6
DE =
y = −2 x +7
通りある。また、15人を5人ずつの3組に
分けるとき、分け方は
, b ＝ −4 , c ＝ 7
定数 a , b , c ,の値は a ＝ 2
15人を部屋A,B,Cに5人ずつ入れるとき、入れ方は
である。
である。
4
y
数学
4
であり、−x + y =
3
（4）
①でn = 1とするとa1 = 3 が得られるから、①は n = 1のときにも成り立つ。
したがって、
一般項は a n = 3 n
n
（2）
b 1 = S1 = 3
n ≧ 2のとき
である。
S n−1 = ( n −1)2 + 2 ( n −1)
= n2 − 2n +1 +2n − 2
= n2 −1
Ａ方式
なので、
数学
bn = S n − S n−1
= ( n2 +2n) − ( n2 −1)
= 2n +1 … ②
●工学部（電子情報工学科／電気工学科）
●情報工学部（情報工学科／情報通信工学科／システムマネジメント学科）
1
2
①
②
④
⑤
⑥
⑦
⑧
5 , 13
6 12
13
−1＜k＜
12
6
133
3003
6π
②
③
④
1
3
0
82
31
2542
①
1
③
（）
⑤
⑥
3
−2
−0.1505 −0.06245
3 （1） f ’ ( x) = − 3x −2x+ 3
⑨
π
4
⑩
②でn = 1とするとb1 = 3 が得られるから、②は n = 1のときにも成り立つ。
20
したがって、
一般項は bn = 2n +1 （3）
n
n
k=1
k=1
T n = Σ akbk = Σ (2k +1)3
これより、
n
k=1
2
④−③より、
接線ℓの方程式は
（2） f ’ ( 1 ) = −2 より、
n
9(3n−1−1) (
= − 2・
+ 2n +1)3n+1− 9
3 −1
= − 9(3n−1−1) + (2n +1)3n+1− 9
（3）曲線 y = f ( x)と接線ℓの共有点のx 座標は
−2x +7 = −x3 −x2 + 3x + 4
= − 3n+1 + (2n +1)3n+1
すなわち、
方程式 x3 +x2 − 5x + 3 = 0の解である。
= 2n3n+1
x +x − 5x + 3 = 0
2
⇔ ( x −1 ) ( x + 3 ) = 0
よって、
T n = n3n+1
となるので、
点（ 1 , 5 ）以外の共有点の座標は（ − 3 , 13）
― 60 ―
…④
k=2
⇔ y = −2x + 7
2
k
k=1
2Tn =Σ ( − 2)3k+ (2n +1)3n+1− 9
y − 5 = −2 ( x −1 )
3
n
3Tn =Σ (2k +1)3 = Σ (2k +1)3
k+1
…③
k
― 61 ―
［B］
［C］
（1）
（ p , q）
とすると、
（1）点Aの座標を
f ’ ( x) = ( xe ) ’
−x2
1 q = −1
2・ p
= ( x) ’e +x (e ) ’
−x2
−x2
= e−x −2x2e−x
= e−x ( 1 −2x2 )
2
2
そして、
OAの中点が直線ℓの上にあるので、
q
p
− 2 + 5 = 0
2
2
f ’ ( x) = 0
（2）
（）
1 −2x2 = 0
⇔
x=± 1
⇔
2
…… − 1
2
f ’( x)
−
f ( x)
↘
より、
f ( x)は x =
2
……
+
0
−
0
2
↗
（ 2 ）=
1
で極大値 f −
ʃ
（3）
a
1
2
1
2
1
−2
e
1
−2
e
p = − 2, q = 4
となり、
A (−2 ,4 )
（2）
r = OA
2
なので、
↘
1
で極小値 f −
2
1
1
（ 2 ）= −
1
f ( x)は x = −
……
…②
p − 2q +10 = 0
⇔
① , ②より
となる。増減表
x
…①
q = − 2p
⇔
2
OA= ( − 2)2+ 42
、
をとる。
= ( 20)
=2 5
より、
r= 5
（3）下の図
A
S = xe−x dx
2
0
2 5
t = −x2 とおくと、
θ
2
xdx = − 1 dt
2
5
そして、
O
x
0→a
t
0 → − a2
なので、
S=
ʃ
（）
−a 2
et −
0
1
=
2
ʃ
0
−a 2
1 t
e
=
2
1
dt
2
etdt
より、
⇔
（4）接点をP ( x 1 , y1 )とすると、
x 12 + y12 = 5 … ③
また、
点 Pにおけるこの円の接線の方程式は
x 1 x + y1 y = 5 … ④
0
−a 2
1
= ( 1 − e−a )
2
この直線が点 Aを通るから
− 2 x 1 + 4 y1 = 5 … ⑤
2
S= 1
4
（4）
③×4とすると、
( 2 x1)2 + 4 y12 = 20
⑤より
⇔
1 (
1
1 − e−a ) =
2
4
⇔
e−a =
⇔
ea = 2
⇔
a2 = log2
2
2
θ= π
2
6
π
θ=
3
2 x1 = 4 y1 − 5
なので、
( 4 y1 − 5)2 + 4 y12 = 20
1
2
2
となる。a＞0 なので
⇔
4 y12 − 8 y1 +1 = 0
⇔
y1 =1 ± 3
2
y1 =1 − 3 のとき、x1 = − 1 − 3 , y1 =1 + 3 のとき、x1 = − 1 + 3
2
2
2
2
となる。よって、接線の方程式 ④ は、次のようになる。
a = log2
1 −
− 3 y=5
x+
3）
（− （1 ）
2
2
⇔
y = ( 8 + 5 3 ) x+20 +10 3 ,
⇔
y = ( 8 − 5 3 ) x+20 −10 3
1 +
+ 3 y=5
x+
3）
（− （1 ）
2
2
― 62 ―
― 63 ―
［B］
［C］
（1）
（ p , q）
とすると、
（1）点Aの座標を
f ’ ( x) = ( xe ) ’
−x2
1 q = −1
2・ p
= ( x) ’e +x (e ) ’
−x2
−x2
= e−x −2x2e−x
= e−x ( 1 −2x2 )
2
2
そして、
OAの中点が直線ℓの上にあるので、
q
p
− 2 + 5 = 0
2
2
f ’ ( x) = 0
（2）
（）
1 −2x2 = 0
⇔
x=± 1
⇔
2
…… − 1
2
f ’( x)
−
f ( x)
↘
より、
f ( x)は x =
2
……
+
0
−
0
2
↗
（ 2 ）=
1
で極大値 f −
ʃ
（3）
a
1
2
1
2
1
−2
e
1
−2
e
p = − 2, q = 4
となり、
A (−2 ,4 )
（2）
r = OA
2
なので、
↘
1
で極小値 f −
2
1
1
（ 2 ）= −
1
f ( x)は x = −
……
…②
p − 2q +10 = 0
⇔
① , ②より
となる。増減表
x
…①
q = − 2p
⇔
2
OA= ( − 2)2+ 42
、
をとる。
= ( 20)
=2 5
より、
r= 5
（3）下の図
A
S = xe−x dx
2
0
2 5
t = −x2 とおくと、
θ
2
xdx = − 1 dt
2
5
そして、
O
x
0→a
t
0 → − a2
なので、
S=
ʃ
（）
−a 2
et −
0
1
=
2
ʃ
0
−a 2
1 t
e
=
2
1
dt
2
etdt
より、
⇔
（4）接点をP ( x 1 , y1 )とすると、
x 12 + y12 = 5 … ③
また、
点 Pにおけるこの円の接線の方程式は
x 1 x + y1 y = 5 … ④
0
−a 2
1
= ( 1 − e−a )
2
この直線が点 Aを通るから
− 2 x 1 + 4 y1 = 5 … ⑤
2
S= 1
4
（4）
③×4とすると、
( 2 x1)2 + 4 y12 = 20
⑤より
⇔
1 (
1
1 − e−a ) =
2
4
⇔
e−a =
⇔
ea = 2
⇔
a2 = log2
2
2
θ= π
2
6
π
θ=
3
2 x1 = 4 y1 − 5
なので、
( 4 y1 − 5)2 + 4 y12 = 20
1
2
2
となる。a＞0 なので
⇔
4 y12 − 8 y1 +1 = 0
⇔
y1 =1 ± 3
2
y1 =1 − 3 のとき、x1 = − 1 − 3 , y1 =1 + 3 のとき、x1 = − 1 + 3
2
2
2
2
となる。よって、接線の方程式 ④ は、次のようになる。
a = log2
1 −
− 3 y=5
x+
3）
（− （1 ）
2
2
⇔
y = ( 8 + 5 3 ) x+20 +10 3 ,
⇔
y = ( 8 − 5 3 ) x+20 −10 3
1 +
+ 3 y=5
x+
3）
（− （1 ）
2
2
― 62 ―
― 63 ―
Ａ方式
4 ［A］
数学
3
2
（1）AE＝ 5 b + 5 d
●工学部（生命環境科学科／知能機械工学科）
●情報工学部（情報システム工学科）
1
①
−18
2
②
③
④
2
3
−x + 3x−1
−x −3x−1
2
b
−
2
−2 2 ＜ b ＜ 2 2
8−b
2
⑦
⑧
−2 ≦ t ≦ 3
462
⑨
16
④
⑤
⑥
b2−2c
(b2−c) b2−4c
b4−4b2c + 2c2
③
2
⑥
3003
2
②
①
⑤
−
15
8
⑩
7 15
15
3
1
（2）AF ＝3AC+AD ＝−
−3(b +d ) +d ＝ b +d
2
2
1−3
｛
｛
（3）
（1）
（2）
, より、AF ＝ 5 AE であるので、
A,E,Fは一直線上にある。
2
（4）△ABCで△ABCの面積を表すことにすると
1
△BCD＝ 2（平行四辺形 ABCD）
＝50
3 （1）m ＝2であるので、f ( x) ＝x3−3m 2 x + 5 ＝x3−12x + 5.
3
△CED＝ 5 △BCD＝30
f ’ ( x) = 3x2 −3m2 ＝3 ( x + m ) ( x−m ) ＝3 ( x +2 ) ( x−2 ) . 増減表を書くと、
x
1
△CEF＝ 2 △CED＝15
2
−2
f’
+
0
−
0
+
［B］
f
↗
21
↘
−11
↗
（1）右辺通分して、
分子を比較すると、x ＝ ( a + b ) x−2a−b. よって、
a + b＝1, −2a−b＝0.
これを解いて、
a＝−1, b＝2.
よって、x ＝−2のとき極大値 f (−2 ) ＝21.答えは、a ＝−2.
−x2 +2
−1 + 2
(−1 ) ( x−1 )−2 +2 (−1 ) ( x−2 )−2＝ (
（2）f ( x) ＝
を微分する
と、
f
’
(
x)
＝−
x−1 ) 2 ( x−2 ) 2 となる。
x−1 x−2
（2）m ＝2のときの x＝−2で極大値 f (−2 ) ＝21をとる。当然 x ＝2での微分係数 f ’ (−2 ) ＝0
1＜x＜2であるので、f ’ ( x) ＝0のとき、x＝と
2 なる。
であるので、lの方程式はy＝21. y＝21とy＝ f(x)の交点は、x3−12 x + 5 ＝21より、
0＝x3−12x−16 ＝(x +2)2(x−4)。よって、( a , f ( a ) ) ＝ ( − 2 , 2 1 ) 以外の共有点は( 4 , f ( 4 ) ) ＝ ( 4 , 2 1 )
増減表
（3）
（2）
の結果より、
S=
ʃ
( 21 − ( x −12x + 5 ) ) dx = ( −x +12x +16 ) dx = − 1 x 4 + 6x2 +16x
−2
4
4
ʃ
3
−2
4
1
=108
−2
2
における接線 l m の方程式はy = f ( − m) = 2m3 + 5 , l mとy = f ( x) の交点は、
f’
+
f
↗
より、
交点は( 2 m , 2 m + 5)となる。囲まれた部分の面積を S(m)とすると、
S=
ʃ
=
ʃ
3
S(m) =
ʃ
−m
( 2m + 5 − ( x − 3m x + 5 ) ) dx =
3
3
2
1
3m2x2 +2m3x
= − x4 +
4
2
27
となる。
よって、 m 4 =75 より、
4
ʃ
2m
( −x + 3m x +2m ) dx
3
−m
2m
=
−m
27 m 4
4
2
3
0
↘
5
3
4
3
5
3
4
3
(−f ( x ) ) dx
2
1
−
( ) dx
x−1 x−2
= log x−1 −2 log x−2
= log ( x−1 )−2 log ( 2−x)
= 3 log2
2
2
m 4= 2 ×2 5 , m2= 2 × 5
3
3
よって、m= 10
3
― 64 ―
−
より、f ( x)はx＝ 2 で極大値 f ( 2 ) ＝−3−2 2 をとる。
（3）
x3 − 3m2 x + 5 = 2m3 + 5 , 0 = x3 − 3m2 x −2m3 = (x + m)2(x−2m)
2m
2
2
4
3
（4）f ’ ( x) = 3x − 3m = 3 ( x + m) ( x − m)であるので、x = − mのとき極大。ゆえに、点 ( − m, f ( − m) )
2
x
― 65 ―
5
3
4
3
5
3
4
3
Ａ方式
4 ［A］
数学
3
2
（1）AE＝ 5 b + 5 d
●工学部（生命環境科学科／知能機械工学科）
●情報工学部（情報システム工学科）
1
①
−18
2
②
③
④
2
3
−x + 3x−1
−x −3x−1
2
b
−
2
−2 2 ＜ b ＜ 2 2
8−b
2
⑦
⑧
−2 ≦ t ≦ 3
462
⑨
16
④
⑤
⑥
b2−2c
(b2−c) b2−4c
b4−4b2c + 2c2
③
2
⑥
3003
2
②
①
⑤
−
15
8
⑩
7 15
15
3
1
（2）AF ＝3AC+AD ＝−
−3(b +d ) +d ＝ b +d
2
2
1−3
｛
｛
（3）
（1）
（2）
, より、AF ＝ 5 AE であるので、
A,E,Fは一直線上にある。
2
（4）△ABCで△ABCの面積を表すことにすると
1
△BCD＝ 2（平行四辺形 ABCD）
＝50
3 （1）m ＝2であるので、f ( x) ＝x3−3m 2 x + 5 ＝x3−12x + 5.
3
△CED＝ 5 △BCD＝30
f ’ ( x) = 3x2 −3m2 ＝3 ( x + m ) ( x−m ) ＝3 ( x +2 ) ( x−2 ) . 増減表を書くと、
x
1
△CEF＝ 2 △CED＝15
2
−2
f’
+
0
−
0
+
［B］
f
↗
21
↘
−11
↗
（1）右辺通分して、
分子を比較すると、x ＝ ( a + b ) x−2a−b. よって、
a + b＝1, −2a−b＝0.
これを解いて、
a＝−1, b＝2.
よって、x ＝−2のとき極大値 f (−2 ) ＝21.答えは、a ＝−2.
−x2 +2
−1 + 2
(−1 ) ( x−1 )−2 +2 (−1 ) ( x−2 )−2＝ (
（2）f ( x) ＝
を微分する
と、
f
’
(
x)
＝−
x−1 ) 2 ( x−2 ) 2 となる。
x−1 x−2
（2）m ＝2のときの x＝−2で極大値 f (−2 ) ＝21をとる。当然 x ＝2での微分係数 f ’ (−2 ) ＝0
1＜x＜2であるので、f ’ ( x) ＝0のとき、x＝と
2 なる。
であるので、lの方程式はy＝21. y＝21とy＝ f(x)の交点は、x3−12 x + 5 ＝21より、
0＝x3−12x−16 ＝(x +2)2(x−4)。よって、( a , f ( a ) ) ＝ ( − 2 , 2 1 ) 以外の共有点は( 4 , f ( 4 ) ) ＝ ( 4 , 2 1 )
増減表
（3）
（2）
の結果より、
S=
ʃ
( 21 − ( x −12x + 5 ) ) dx = ( −x +12x +16 ) dx = − 1 x 4 + 6x2 +16x
−2
4
4
ʃ
3
−2
4
1
=108
−2
2
における接線 l m の方程式はy = f ( − m) = 2m3 + 5 , l mとy = f ( x) の交点は、
f’
+
f
↗
より、
交点は( 2 m , 2 m + 5)となる。囲まれた部分の面積を S(m)とすると、
S=
ʃ
=
ʃ
3
S(m) =
ʃ
−m
( 2m + 5 − ( x − 3m x + 5 ) ) dx =
3
3
2
1
3m2x2 +2m3x
= − x4 +
4
2
27
となる。
よって、 m 4 =75 より、
4
ʃ
2m
( −x + 3m x +2m ) dx
3
−m
2m
=
−m
27 m 4
4
2
3
0
↘
5
3
4
3
5
3
4
3
(−f ( x ) ) dx
2
1
−
( ) dx
x−1 x−2
= log x−1 −2 log x−2
= log ( x−1 )−2 log ( 2−x)
= 3 log2
2
2
m 4= 2 ×2 5 , m2= 2 × 5
3
3
よって、m= 10
3
― 64 ―
−
より、f ( x)はx＝ 2 で極大値 f ( 2 ) ＝−3−2 2 をとる。
（3）
x3 − 3m2 x + 5 = 2m3 + 5 , 0 = x3 − 3m2 x −2m3 = (x + m)2(x−2m)
2m
2
2
4
3
（4）f ’ ( x) = 3x − 3m = 3 ( x + m) ( x − m)であるので、x = − mのとき極大。ゆえに、点 ( − m, f ( − m) )
2
x
― 65 ―
5
3
4
3
5
3
4
3

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