9. Übungsblatt (1.6.2016)

Übungen Einführung in die Algebra, SS 2016
Blatt 9, 1.6.2016
33. Es seien R, S Ringe, ϕ : R → S ein surjektiver Ringhomomorphismus und I ein Ideal von
R mit ker(ϕ) ⊂ I. Konstruieren Sie einen Ringisomorphismus R/I ∼
= S/ϕ(I).
Wir nehmen nun an, dass R und S kommutativ sind. Zeigen Sie dann, dass I genau dann
ein Primideal (bzw. maximales Ideal) ist, wenn ϕ(I) eines ist.
34. Wir übernehmen wieder die Bezeichnungen der Aufgabe 26 und betrachten ein M ⊂ R.
Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(a) IM ist ein maximales Ideal.
(b) IM ist ein Primideal.
(c) M enthält genau ein Element.
35. Es sei R ein kommutativer Ring. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) R besitzt genau ein maximales Ideal.
(b) R \ R× ist ein Ideal von R.
Kommutative Ringe, die eine (und damit beide) dieser Eigenschaften haben, nennt man
lokal.
36. Es sei p ∈ N eine Primzahl. Zeigen Sie, dass
o
na
| a, b ∈ Z, p - b
R=
b
ein lokaler Unterring von Q ist.

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