Aufbau dr Zahlenbereiche

Rationale Zahlen Q
Eine rationale Zahl ist die Klasse aller Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern
auseinander hervorgehen. Der Kürzungs- bzw. Erweiterungsfaktor ist eine ganze Zahl.
Für 2 Brüche einer Klasse gilt: a * d = b * c wobei a, b, c, d  G) (quotientengleich)
Die Mengen der natürlichen Zahlen und der ganzen Zahlen sind Teilmengen der
rationalen Zahlen.
Rationale Zahlen Q
Eine rationale Zahl ist die Klasse aller Differenzen gebrochener Zahlen, die dadurch
auseinander hervorgehen, dass man zum Minuenden und zum Subtrahenden die gleiche
gebrochene Zahl addiert bzw. subtrahiert. Für 2 Differenzen (a - b), (c - d) einer Klasse
gilt: a + d = b + c (wobei a, b, c, d  R*) (differenzengleich) Die Mengen der
natürlichen Zahlen und der gebrochenen Zahlen sind Teilmengen der rationalen Zahlen.
K. Sprater
Aufbau der Zahlenbereiche
Reelle Zahlen R
Reelle Zahlen sind Klassen äquivalenter Intervallschachtelungen. Das Paar von Folgen rationaler Zahlen (rn, sn):
{rn } ist eine monoton wachsende Folge und {sn } ist eine monoton fallende Folge.
Für alle n gilt: rn  sn * {sn - rn } ist eine Nullfolge.
Für 2 Intervallschachtelungen (rn , sn ), (un , vn ) einer Klasse gilt: rn  vn und sn  un für alle n
(intervallschachtelungsgleich)
Die Mengen der natürlichen Zahlen, der ganzen Zahlen, der gebrochenen Zahlen und der rationalen Zahlen sind Teilmengen der reellen Zahlen. Reelle Zahlen können als
unendliche Dezimalbrüche aufgefasst werden, wobei die irrationalen Zahlen nichtperiodisch sind. Letztere werden beim Rechnen durch rationale Zahlen angenähert.
Uneingeschränkt ausführbare Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (ausgenommen die Division durch 0). Das Radizieren (Wurzelziehen) bleibt
auf nichtnegative Radikanten beschränkt.
Rationale Zahlen Q
Jede rationale Zahl lässt sich in der Form p/q (p, q  G; q  0) darstellen. Uneingeschränkt ausführbare Rechenoperationen sind: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
(ausgenommen ist die Division durch 0).
Ganze Zahlen Z
Eine ganze Zahl ist die Klasse aller Differenzen natürlicher Zahlen, die dadurch
auseinander hervorgehen, dass man zum Minuenden und zum Subtrahenden die gleiche
natürliche Zahl addiert bzw. subtrahiert.
Für 2 Differenzen (a - b), (c - d) einer Klasse gilt:
a + d = b + c (wobei a, b, c ,d  N) (differenzengleich). Die Menge der natürlichen
Zahlen ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen. Uneingeschränkt ausführbare
Rechenoperationen sind: Addition, Subtraktion und Multiplikation.
Gebrochene Zahlen Q +
Eine gebrochene Zahl ist die Klasse aller Brüche, die durch Erweitern oder Kürzen
auseinander hervorgehen. Der Kürzungs- bzw. Erweiterungsfaktor ist eine natürliche
Zahl.
Für 2 Brüche einer Klasse gilt: a * d = b * c(wobei a, b, c, d  N)
(quotientengleich)
Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der gebrochenen Zahlen.
Uneingeschränkt ausführbare Rechenoperationen sind: Addition, Multiplikation und
Division (ausgenommen ist die Division durch 0).
Natürliche Zahlen N
0, 1, 2, 3, ...
Uneingeschränkt ausführbare Rechenoperationen sind: Addition und Multiplikation
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