Übungsblatt 07 - Fakultät für Mathematik

Bielefeld, 25. Mai 2016
Ellen Baake – Michael Baake
Abgabe bis
2. Juni 2016 um 10:00 Uhr
Fakultät für Mathematik
Universität Bielefeld
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Sommersemester 2016
Übungsblatt 7
Aufgabe 1 (2+2 Punkte). Die Faltung zweier (intergrierbarer) Funktionen f und
g auf R ist definiert als
Z
(f ∗ g)(x) =
f (y)g(x − y)dy .
R
1. Zeigen Sie, dass Kommutativität der Faltung, d.h. f ∗ g = g ∗ f gilt.
2. Berechnen Sie f ∗ f für f (x) = 1[0,1] (x) (die Indikatorfunktion
des Intervalls [0, 1]).
Aufgabe 2 (1+2+1 Punkte). Die Zufallsvariablen X und Y seien erneut exponential verteilt, diesmal mit Parametern λ > 0 und µ > 0. Berechnen Sie die Dichtefunktion der Zufallsvariable Z := X + Y , und zwar
1. für λ = µ,
2. für λ 6= µ.
3. Wie kann man (1) aus (2) erhalten?
Aufgabe 3 (1.5+1.5+1 Punkte). Die Zufallsvariable (X, Y ) besitze die folgende
Dichtefunktion.
(
15x2 y, für 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
fX,Y (x, y) =
0,
sonst
1. Berechnen Sie die Dichtefunktion von X.
2. Berechnen Sie die Dichtefunktion von Y .
3. Sind X und Y unabhängig?

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