(1) f(ρ)

物理学演習 III（量子力学）
No. 6
2016. 5. 24
1. 【水素原子 (後半)】
その場演習 No. 6 で導出したように、水素原子の動径方向の波動関数を次の形に変形
することができた：
d2 f (ρ)
+
dρ2
(
)
2
df (ρ)
−1
+
ρ
dρ
{
}
λ − 1 ℓ(ℓ + 1)
−
f (ρ) = 0.
ρ
ρ2
(1) 波動関数 f (ρ) が
f (ρ) = ρs
∞
∑
C n ρn
(1)
(2)
n=0
と展開されるとして、式 (1) に代入して ρ のベキについて整理せよ。
(2) 方程式が恒等的に成立するためには、前問の各ベキの係数がゼロにならなければ
ならない。ただし C0 ̸= 0 としている。f (ρ) が原点で正則であることを考慮して、
s = ℓ,
および
Cn+1 =
n+ℓ+1−λ
Cn .
(n + 1)(n + 2ℓ + 2)
が得られることを確認せよ。
(3) これらを
F (ρ) =
∞
∑
C n ρn
n=0
に代入したものと、合流型超幾何関数 F (a, c; ρ)
F (a, c; ρ) = 1 +
∞
∑
1 (a + n − 1)(a + n − 2) · · · a
n! (c + n − 1)(c + n − 2) · · · c
n=1
ρn
とを見比べ、a, c が ℓやλ を用いて
a = ℓ + 1 − λ,
c = 2ℓ + 2
と書けることを確認せよ。
(4) 一般に、F (a, c; ρ) は a が 0 または負の整数の時に多項式になり、そうでないと
きには無限級数となる。a, c が実数の時、この無限級数は ρ → ∞ で exp(ρ/2) よ
りも収束が悪いので（詳細は物理数学の参考書などを参照）、R(ρ/α) が束縛状態
の波動関数であるためには a が 0 または負の整数でなければならない。
いま、
a = ℓ + 1 − λ = −k
(k = 0, 1, 2, · · ·)
とおくと、エネルギー E は
E=−
me4
2h̄2 (k + ℓ + 1)2
となることを確認せよ。
ここで、あらためて n ≡ k + ℓ + 1 (n = 1, 2, · · ·) とおいたものを主量子数と呼ぶ。ただ
し、この n と問題 (1) のベキ n と混同しないように注意すること。また、F (a, c; ρ) =
F (−k, c; ρ) = F (−(n − ℓ − 1), 2ℓ + 2; ρ) は、 Laguerre の陪多項式 L2ℓ+1
n−ℓ−1 (ρ) に一致
する。
2. 【合流型超幾何関数】
微分方程式
[
]
d2
d
z 2 + (γ − z) − α u(z) = 0
dz
dz
(3)
を考える。
(1) 形式的な無限級数
(
u(z) = z
ρ
1+
∞
∑
)
cn z
n
n=1
の形を式 (3) に代入することで、パラメーター ρ の関係式
ρ (ρ + γ − 1) = 0
(4)
と係数 cn に関する漸化式
(ρ + γ)(ρ + 1)c1 = ρ + α,
(ρ + n + γ)(ρ + n + 1)cn+1 = (ρ + n + α)cn ,
(n = 1, 2, · · ·)
を導け。
(2) 式 (4) から得られる ρ についての２つの解それぞれに対して上の漸化式を解いて、
この形式解が
u1 (z) = 1 +
∞
∑
1 (α + n − 1)(α + n − 2) · · · α
n! (γ + n − 1)(γ + n − 2) · · · γ
n=1
[
u2 (z) = z
1−γ
1+
z n ≡ F (α, γ; z)
∞
∑
1 (α − γ + n)(α − γ + n − 1) · · · (α − γ + 1)
n=1
n!
(−γ + n + 1)(−γ + n) · · · (2 − γ)
]
z
n
= z 1−γ F (α − γ + 1, 2 − γ; z)
と求まることを確かめなさい。
ここで定義された関数 F (α, γ; z)
F (α, γ; z) = 1 +
∞
∑
1 (α + n − 1)(α + n − 2) · · · α
n! (γ + n − 1)(γ + n − 2) · · · γ
n=1
zn
は合流型超幾何関数と呼ばれている。γ が０か負の整数の場合には、係数の分母が０
になっているので、この関数は意味をもたない。それ以外の場合には、この無限級数
は |z| < ∞ で収束しているので、合流型超幾何微分方程式の解を与えていることがわ
かる。したがって、γ = 0, −1, −2, · · · の場合は u1 (z) が意味を失い、γ = 2, 3, 4, · · · の
場合には u2 (z) が意味を失うが、それ以外では γ = 1 を除いて u1 (z) と u2 (z) が線形
独立な解を与えており、すべての解はこれらの線形結合で表すことできる。

Download Report