地球流体力学2（新野）第 2 回レポート問題（2015 年 1 月 19 日出題

地球流体力学２（新野）第 2 回レポート問題（2015 年 1 月 19 日出題）
以下の問題Ａ、Ｂに答えよ。解答には A4 用紙を用い、右上に所属学科（専攻）、学籍番号、氏名を
明記のこと。文献やホームページを参考にしたときは、引用先を明記すること。
2 月 6 日（金）正午までに地球惑星科学専攻事務室（理学部 1 号館 8F）に提出のこと。
【問題Ａ】
1) 静止状態の水深 H が水平座標(x,y)の関数として H(x,y)で与えられ、密度一様で水平２方向に無限
に拡がる海の運動を記述する浅水方程式系(shallow water equation system)は
∂h
du
=
−g
,
∂x
dt
∂h
dv
=
−g
,
∂y
dt
∂u ∂v
d ( H + h)
+ ( H + h )( + ) =
0
∂x ∂y
dt
①
で与えられることを、非粘性・非圧縮の 3 次元の運動方程式と連続の式から出発して示せ。ここで、
(u,v)はそれぞれ（x,y）方向の流速、h は静止状態からの水面の変位、g は重力加速度である。
2)同じ流体層が f 平面上にあるときの浅水方程式系（これを以下②式と呼ぶ）を求めよ。
3) ②式から
 dΠ
d 
∂v ∂u
( f + − ) / ( H + h)  ≡
=
0

dt 
∂x ∂y
dt

③
を導け。③式の[ ]内の量Πは何と呼ばれるか？
4) 半径が微小な円柱状の密度一様な流体の柱を考え、この円柱状の流体の柱に対する質量の保存則
と角運動量の保存則から、③式のΠが流体の運動に伴う保存量となることを示せ。
5) 本題以降の小問 5)-7)ではこの海の底面は平らで、静止時の水深 H は一定とする。式②で水面の変
位 h が平均水深 H に比べて微小であり、流速も微小で、h と流速に関する 2 次の量はこれらに関する
1 次の量に比べて無視できるとして線形化したときには、慣性重力波という波動を記述する方程式系
が導かれる。この方程式系において、各変数が x 方向に波数 k、y 方向に波数  、時間に関して振動
数σの波形の解を持つとしたとき、波数 k、  と振動数σとの関係を与える分散関係を求めよ。
6) t=0 に x=0 を境にして、x>0 では h=h0、x<0 では h=0 で、y 方向には一様な階段状の水面の変位が
与えられたとき、十分時間が経った後には、水面の変位はどのような形に落ち着き、流体中にはどの
ような流れが残るかを、③式と②式に基づいて求めよ。但し、初期の水面の変位 h0 は平均水深 H に
比べて十分小さく、流速も十分小さいため、②式、③式は線形化して用いることができるものとする。
（ヒント：最終状態では地衡流平衡になることを仮定して良い。また、水面の変位を h0 で、水平座
標を変形半径λ=(gH)1/2/f で無次元化すると計算が容易になる）。
7) t=0 に、 x < a では y 方向に一様な流速 v = v0 の流れがあり、 x > a では静止状態にあるとき、
十分時間が経った後には、水面の変位はどのような形に落ち着き、流体中にはどのような流れが残る
かを求め、a/λ が 1 に比べて十分大きい場合と十分小さい場合について議論せよ。
【問題Ｂ】講義に対する感想を 200 字程度で述べよ。

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