Title Author(s) Citation Issue Date URL 3. アンダーソンモデルの厳密解(V.物性におけるソリトン ,ソリトン系のダイナミックスとそれに関するカオスの問 題,基研長期研究会報告) 川上, 則雄; 興地, 斐男 物性研究 (1983), 40(1): 108-112 1983-04-20 http://hdl.handle.net/2433/90886 Right Type Textversion Departmental Bulletin Paper publisher Kyoto University 川 上則 雄 ,興 地 斐 男 れ る とはい え,単純 な プラズモ ンとの相互作用 のみ を採 り入れ たモデル と しては充分 な成 功 と言 え るで あろ う 個別励起 モー ドや電子 との短距離 相 関 がなぜ有効質量 に寄与 しないかは ｡ 将 来 の課題 で あ るが,今 回行 った集 団 モー ドとの相互作用 を ソ リ トンと して厳密 に採 り入れ る とい う方法 は多体 問題 に対 す る 1つ の アプ ロー チ と して有効 であ ろ う ｡ ま とめる と 2つ の場 が互 いに引力 を及 ぼ し合 う時 ,そ の系 が sel f t r aped sol i t on (S ol i t on Nami ki Ohba型 はそ の 1つ の例 であ り, 固体 内で分極 bag)の解 を持 つ場合 が あ る｡ Kubo- の雲 を伴 った陽電子 や, あ る種 のポー ラ ロン等 にそ の実例 が見 出せ る ｡ そ の普遍 的 な形 か ら 考 えて他 に も多 くの実例 が見 出せ るであろ う ｡ ソ リ トンと しての基本的 な問題 を考 え る と,なぜ r 少- ￠な る比例関係 になるのか よ くわか らない ｡ 確 か に数学的 な解 と して存 在す るのであ るが,物理 的要請 か ら出 て くる方 がす っき りす る｡ また粒 子 が 2ケ以上 あ る多 ソ リ トン問題 の定式化 も将 来 の課題 であろ う ｡ 参考文献 1 ) T.D.L e e,日本物理学会誌 33 ( 1 978)282. mi kia nd I .Ohba,Pr og･TT l e Or ･Phys ･55( 1 976)8601 2) S.Kubo,M.Na i ,Phys .L et t .88A (1 982)41 7･ 3) A.I s hi i ,Pr og.Theor .Phys ･( t o bepubl i s hed) ･ 4) A.I s hi .Phys .4 (1 974)25. 5) B.Be r g e r s e na nd E.Pa j a nne,Appl l .I ns t r um.Met hods .1 70 ( 1980)253･ 6) M.Ki t a g a waa ndY.H.Oht s uki ,Nuc 7) C.S.Wa r kea ndW.Gr e i ner ,Phys .L et t .80A ( 1 980)399･ r , s ki,Sov i etPhys i c sJETP 52 (1 980)954. 8) A.S.Da v ydova nd V.Z.丘nol 975)2490･ 9) S.M.Ki n a nd A.T.St e wa r t ,Phys .Re v.Bll(1 ア ンダ ー ソ ンモ デ ル の厳 密 解 阪大 ･工 川 上則雄 ,興地 斐男 §1 は じめに 近藤 効果 とい う言葉 で代表 され る金属 中の磁 性不純物 に関す る研究 は,多体 問題 の取 り扱 いの本 質 に触 れ る問題 と して固体物理 学 にお い て重 要 な位 置 を占めてい る ｡ このいわ ゆ る局 所的電子相 関問題 を具体的 に取 り扱 えるモデル と して, ア ンダー ソン及 び S-dモデルがあ る｡ -108- アンダー ソンモデルの厳密解 ァ ンダー ソンモデルは次 の様 なノ､ミル トニア ンで記述 され る1 ): + L H - k Po o 'k Po v k( kCkoC k e C:o odo' d 十 c ko ) + + ; d O +Ud T dTdldl･ + d∑d 0 e (1) 不純物 レベル edに存 在す る電子 は波数 kエネル ギー ekを もった伝 導電子 とVkを通 して混 じ ､ミル ト りあい, さ らに不純物 レベ ルに電子 がニ ケ詰 まる とクー ロン反発 U を感 じる とい うノ ニア ンである｡ このア ンダー ソンモデルに,電気的 中性 の条件 - にす る と,上 に述 べ た Sdモデルが得 られ る ｡ ( U--2e d)を付加 して U- したが って ア ンダー ソンモデルの性 質 を調 dモデル に対 す る知 見 も得 られ るこ とにな る べ るこ とに よ り S- ｡ ここでは金属 中で起 こる局 所的電子相 関効果 とい う問題 を念頭 にお いて対 称 ア ンダー ソンモデル ( U--2ed)の厳 密 解 を紹介す る｡なお §3以 下 に現 われ る物 理 量 はすべ て不純物 部分 か らの寄 与 を扱 ってい るこ とに注意 され たい｡ §2 厳密 な取 り扱 い2)-ベ- テ仮説 の方法 - )v kに k依 存 性 な し｡ ( i i ) ア ンダー ソンハ ミル トニア ン (1)に対 して次 の仮 定 を設 ける ｡ (i e k- k｡ (i)の仮 定 に よ り不純 物散 乱 の影響 を受 け るのは伝導電子 の s波成 分 のみ とな り, s波 の性 質 に よ り問題 は一 次元 に帰着 され る ｡ ( i i )の仮 定 は伝 導電子 の状態密度 を一定 (1 / 27 C)にす ることと等価 であ る ｡ (i) ( i i )の仮 定 は もとのノ ､ミル トニア ンに物理 的 に強 い制 限 を 加 えてい る訳 ではな く,電子相 関 を取 り扱 うための簡 単化 と考 えて よい｡ これ らの仮 定 の下 では一次元系 に用 い られ て きたベ- テ仮 説 の方法 が適用 で き, ア ンダー ソンモデルの厳密 な 取 り扱 いが可能 とな る｡その結果 , ア ンダー ソンモデルに対 す る基礎 的 な方程式 としてベテ仮説 に特有 な形 の式 : el k ,L = 責 ik J 2 -iAp - UV2 /2 p-1i k j 2- iAp+UV2/2 だ i k , 2-iAα+ W 2/ 2 一口 書 1+( i /2)V2 /(k j +U /2) , )- 1,2 ,･･･ ,N, 1- (i /2)V2/(k j +U/2) i Aα- iAp IUV2 α- 1,2,- ･ ,〟 . (2) )-1i k j 2-iAα-UV2 /2 4-1iAα- iAp +UV2 が得 られ る｡ ここで 上は一 次元系 の長 さ,〟( 〟)は全 (上向 きス ピン)電 子 数 であ り,全 ス ピ ) / 2 で表 わ され る ンの Z 成 分 は s z- ( N- 2M o k ,は擬運動 量 と呼 ば れ てい る もの で これ を用 い る とェネル ギー は g-∑ k ,とな る ｡Aαは ス ピン波 に対す る擬運動 量 であ る｡ -1 09- 川 上則雄,興地斐男 §3 絶対零度 にお ける性 質 3),4) ア ンダー ソンモデルの持 っ物理的性 質 を議論す るた めには, ( 2) 式 の解 の性 質 を調 べ な け れ ば な らない｡ この解 をェネル ギー的 に分類 してゆ くと,基底状態 は複素解 k- (A｡± iU a i /2) V2 ( 但 しAαは実数 )で構成 され, さ らに絶対零度 にお ける磁 気的励起 は実数解 k ]に よ v2 り表 わ され る こ とがわか る｡ したが って絶対零度 の性 質 は この二種類 の解 を用 い るこ とに よ り調 べ るこ とがで きる｡ ( a)基底 エネル ギー3) + 上 に述 べ た様 に基底状態 には kaのみが関与 してい るので基底 エネル ギー Eは熱 力 学 的 極 限 で ∑k i aを積分 でお きか えるこ とに よ り [E-E( U-0)]/V2- u 寸 og(1+u -三 [utanl 1 L ＼ ヽ. 1 , -. , - ± ･ ■ ∴ - 2)] G cosech打(x+y2) (3) (y+へ / 訂 2) 2 +1 /4L L とな る｡但 し u-U / V2｡ ( 3)が対称 ア ンダー ソンモデルの s i ngl et基底 エネルギー に対 す る厳密 な表式 であ り, u≪ 1 と して右辺 を展 開す る と u 4まで得 られ ている摂動展 開 と一致 してい る5 . )さらに W≫ 1の S-d 極 限 を考 えてみ る と右辺 の積分項 か ら-( UV2/W2) V2exp( -w U/ 4V2)の形 の寄与 がでて くる . これ は Sdモデルで よ く知 られ てい る si ngl ｡t基底 状 態 に対 す る束 縛 エネル ギー である冒 ) ( b)帯磁 率 4) 磁 気的 な励 起 は実数 k ,の出現 によ り記述 され るが,外 部磁場 が弱 い場合 には k ,- -- の低 エネル ギー励 起 が起 こる ｡ したが って この付近 の解 の性 質 を調 べ る こ とに よ り帯磁 率 xm が 得 られ (gpB- 1) 0 ∞(1十 L L 2-4ux2) e xp(-7 Cx2) 打V2km- I 芸(a-1 /a)] (4) dx+ (打/ ノ㌃)exp[ ㌔ (1十 払2-4LLx2) 2十 16u3 x2 2 とな る ｡ u≪1として右 辺 を展 開 してみ る と, これ には第 一 項 のみ が寄 与 L LLに関す る展 開 では拾 えない項 が第二項 に新 たに付 け加 わ ってい る｡ この こ とは ア ンダー ソンモデルにお い て U- 0が特 異点 で あるこ とを示唆 してお り, これ までの近似論 では予想 され ていなか った こ とであ る｡逆 に L L ≫ 1の S-d極 限 では第 二 項 のみ が残 りS-dモデルの帯磁 率 1 /(27 C T K) を与 え る7 0 ) 但 し,T K-( UV2 / W2 )I / 2exp( -w U/ 4V2)は近藤 温度 と呼 ば れ る量 で S-dモ デル を特 徴 づ け る重 要 な量 で ある｡ この様 に Uをい くら大 き くしてい って も帯磁 率 は発散 せ ず に有 限値 を とる とい うこ とは,強 い電子相 関効果 のため絶対零度 では局在 モー メ ン トは存 在 しえない -110- ア ンダー ソンモ デ / レの厳 密解 とい うこ とを意 味 してお り, この こ とは Sdモデ ル で詳 し く議論 され て きた こ とで あ る6 . ) §4 帯磁 率及 び比熱 の温度 変化 8 ) 有 限 温 度 に お け る性 質 を調 べ るた めに は ( 2)の解 で表 わ され るあ らゆ る励 起 状 態 しな けれ ば な らな い｡ この様 な解 を 得 られ る 自由エ ネ ル ギー は非 線 記 述 され ,解析 的 取 り扱 い (低 温 で の電 子 比 熱 この積 分 方程 式 は 閉 ●.● ( 3 ) ( 2 ) を 考 慮 も と に 型 積 分 , し て 方程式で は 一 般 に 困 難 とな る 0 1 0 1 ( a ) 0･ 1 1 ･ O T ^ } じ た 形 に 求 ま っ て い る )0 を 数 値 的 に 解 い て 得 ら れ た 帯 磁 ( り 率 と比熱 の 温 度 変 化 を 図 1 に 示 し た ｡ 先 ず 帯 磁 ( 2 ) 率 の温 度 変 化 に 注 目 し て み る ｡ 温 度 が 十 分 高 い 時 は (T≫U) ,あ らゆる状 態 が同等 に励起 され , 帯磁率は高温型 のキュ リー則 に従 い有効 キュ リ ー定数 Tx mは 1 /8となる｡温度 を徐 々に下げて o ･ ol yv 2 0･ 1 1 ･ 0 仏) 図1 . 帯磁 率 ( a) 及 び比熱 ( b)の温度 変 ゆ くとUが存在す る場合 には Txmの値 は一旦増 加す る｡Uが大 きい程 この増加 の割合 は大 きく, 十 分大 きいUに対 しては Txmの値 はキュ リー則 二 二 二 三 三 ま るは Sdモ デ ル の結 果 をプ ロ ッ トした もの で あ る｡ で期待 され る 1 / 4に近 づ く｡ この ことは大 きな クー ロン相互 作用 に起 因 して, あ る温度 領 域 で局 在 モ ー メ ン トが 出現 してい る こ とを意 味 し てい る｡ しか しい く らUが大 き くて局 在 モ ー メ ン トの出現 が容 易 に な って も T≦ T Kに な る と 強 い電子相 関効果 のため xmは一 定値 1 /(27 C T K)に近 づ き§3で も述 べ た様 に局 在 モ ー メ ン ト は凍結 して しま う｡帯磁 率 の この様 な温度 変化 は繰 り込 み群 の方 法 で得 られ て い る結 果 とよ く一致 してい る9 . )比熱 の グラフを見 るとクー ロン相 互作 用 の増 加 に伴 い低 温 側 に新 しい ピー クが徐 々に出現 してい る様子 が伺 える｡ この ピー クが クー ロン相 互 作用 に よ る多体 効果 に起 因す る ものに他 な らず , Sdモデルで期 待 され る ピー クと本質的 に同 じもの で あ る｡参 考 の ため Sdモデルの結 果 もプ ロッ トしてある9 . ) , 1 0 )これ らの図は U- 0の一体 問題 か ら電 子 相 関 の強 い Sdモデル までの移 行 の様 子 をよ く表わ していると思 われ る｡ 参考文献 1) P･W･A n de r s o n:P hys .Re v.1 24( 1 961 )41 . - 111- 太田隆夫 2) P.B.Wi e g ma nn:Phys .L et t .80A ( 1 980)1 63. 3) N.Ka wa ka mia ndA.Oki j i :P hys .L et t .86A ( 1 981 )483. 4) A.Oki j ia ndN.Ka wa ka mi :S ol i dS t a t eCommun.43( 1 982)365. P.B.Wi e g ma nne ta l . :J ETP Le t t .35( 1 982)92. 5) K.Ya ma da:Pr og.The or .Phys .53( 1 975)970. 6) K.Yos i daa ndA.Yos hi mor i :Ma g ne t i s m.Vol . 5,p. 253. 7) P.B.Wi e g ma nn:∫.Phys .C.1 4( 1 981 )1 463. N.A n dr e i :Phys .Re v.L et t .45( 1 980)397. 8) A.Oki j ia nd N.Ka wa ka mi ･ 't obepubl i s he d. 9) Kr i s hna mur t hy e ta l . :Phys .Re v.B21( 1 980)1 003･ 1 0) V.T.Ra j a ne ta l . :Phys .Re v .L et t .49 ( 1 982)497. H.U.De s g r a ng e sa nd K.D.S hot t e:P hys .L et t .91 A( 1 982)2 40. Dynami c sofI nt e r f ace 九大 ･理 太 田 隆 夫 熱力 学 的 に平衡 な系 を相転 移 温度 以 下 に急冷 す る と系 は熱力学 的 に不安定 あ るいは準安 定 とな り,揺 ぎの増 大 を経 て最終 の よ り安 定 な平衡状 態 に落 ちつ く ｡ この よ うな現象 は ス ピノ eat i on として古 くか ら知 られている｡動的 I s i ngモ デ ル に基 づ いた ス ダル分解 あ るいは Nucl ピノダル分解 (以 下 ,保存 系 とよぶ )の最 近 の計 算 機 実 験 は秩 序 化 の過 程 に ス ケー リング則 ,2)揺 ぎの時 間発 展 は構 造 関数 Z k( i)- く 庵 (i F2>で記述 され が成 立 す るこ とを示 してい る三 ) ) ま局所 的秩 序 変数 S(r, i)の Fouri er成 分 である る｡ ここに ,Sk(i)( ｡ 計 算機 実験 に よ る と, 関数 I k( i)- Ik( i) // kIk( i)が,波数 kが揺 ぎの相 関距 離 の逆数 よ り十 分 小 さな領 域 で,次 の ス ケー リング則 に従 が う｡ I ^ k( i)- k( i ) -dF( k /k( i)) (1) ここに, dは空 間 の次元 で あ る ｡ (1)は臨 界 点近傍 の二成 分溶液 の実験 3),4)や , 秩 序 変数 が 保存 しない秩 序 無秩 序転移 (以 下 ,非 保 存 系 とよぶ )の計 算 機 実験 5),6)で も観 測 され てい る｡ k( i)は k( i)- taとあ らわ され ,指 数 aは急冷 してか らの時 間 tが十 分 大 きい領 域 で - 112 -
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