Ubungsblatt 2

Oliver Goertsches
Wintersemester 2015/2016
Lineare Algebra I: Übungsblatt 2
(Abgabe: 26. und 27. Oktober 2015, in den Übungen)
Aufgabe 1 (Mündlich, keine Punkte).
Bestimmen Sie alle Elemente der Menge P(P(P(∅))) ∩ P({{∅}, {{∅}}}).
Aufgabe 2 (Schriftlich, 10 Punkte).
Wir definieren
1. X1 := {∅, {∅}},
2. X2 := {{∅}, {∅, {∅}}} und
3. X3 := {∅, {{∅}}}.
Welche der beiden nachfolgenden Aussagen sind für M = X1 gültig, welche für M = X2 bzw. M = X3 ?
S
1. Für alle x ∈ M gilt x ∈ M .
S
2. Für alle x ∈ M gilt x ⊆ M .
Aufgabe 3 (Schriftlich, 10 Punkte).
Welche der folgenden Aussagen sind für beliebige Mengen A und B wahr, welche nicht? Beweisen Sie
Ihre Behauptung.
S
1. P(A) = A.
S
S
2. Aus A = B folgt A = B.
3. P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B).
4. P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).
S
S
S
5. A ∪ B = (A ∪ B).
Aufgabe 4 (Schriftlich, 10 Punkte).
Das Fundierungsaxiom besagt, dass jede nicht-leere Menge A ein Element B enthält, für welches A∩B = ∅
gilt. In Formeln:
∀A : (∃a : a ∈ A) ⇒ ∃B : B ∈ A ∧ (∀C : [C ∈ B ⇒ C 6∈ A] ∧ [C ∈ A ⇒ C 6∈ B]) .
1. Zeigen Sie, dass es keine Menge A mit A ∈ A gibt, d.h., es existiert keine Menge, die sich selbst als
Element enthält.
2. Zeigen Sie, dass es keine Mengen A, B geben kann, für die zugleich B ∈ A als auch A ∈ B gilt.
Aufgabe 5 (Schriftlich, 10 Punkte).
Sind x und y zwei Mengen, so setzen wir hx, yi := {x, {x, y}}. Beweisen oder widerlegen Sie: Für alle
Mengen x, x0 , y und y 0 gilt hx, yi = hx0 , y 0 i genau dann, wenn x = x0 und y = y 0 ist.

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