Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Theoretische Informatik Prof. Dr. Susanne Albers Dennis Kraft, Richard Stotz Sommersemester 2016 Übungsblatt 3 29. April 2016 Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie Abgabetermin: 9. Mai 2016, 10 Uhr in die DWT Briefkästen. Tutoraufgabe 1 Auf einer Frühlingswiese besucht die Honigbiene Armin nacheinander vier Blumen. Da Honigbienen jedoch nur wenig über Routenplanung wissen, wählt Armin die Reihenfolge in der er die Blumen besucht rein zufällig, das heißt jede Reihenfolge ist gleich wahrscheinlich. Angenommen Armins Route beginnt und endet im Bienenstock und Armin fliegt stets die kürzeste Distanz zwischen zwei Blumen. Die Koordinaten des Bienenstocks sind (0, 0). Die Blumen befinden sich an den Koordinaten (1, 1), (1, −1), (−1, 1) und (−1, −1). Sei X die Strecke, die Armin insgesamt zurücklegt. Bestimmen Sie Dichte, Verteilung, Erwartungswert und Varianz von X. Tutoraufgabe 2 Agathe und Balthasar widmen sich einer weiteren Partie ihres Lieblingsspiels, bei dem sie abwechselnd eine Münze werfen, bis zum ersten Mal Kopf fällt. Sei n die Anzahl der Würfe bis zum Spielende. Um die Spannung zu erhöhen schlägt Agathe vor, dass der Verlierer dem Gewinner 2n /n Euro zahlt. Angenommen Agathe macht den ersten Wurf und die Wahrscheinlichkeit für Kopf beträgt 1/2. 1. Sei X Agathes Gewinn, wobei X negativ ist, falls Agathe verliert. Zeigen Sie, dass der Erwartungswert von X nicht existiert. 2. Konstruieren Sie ein alternatives Verteilungsschema, sodass der Erwartungswert von Agathes Gewinn existiert, die Varianz aber nicht. Tutoraufgabe 3 Alan besitzt ein Deck mit n Karten bei dem die gegenüberliegenden Seiten der i-ten Karte jeweils mit der Zahl 2i−1 bzw. 2i bedruckt sind. Nachdem er die Karten gemischt und gestapelt hat, zeigt er seinem Freund Benedikt die Oberseite des Stapels. Sei X die abgebildete Zahl. 1. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X unter der Annahme, dass jede der 2n Kartenseiten gleich wahrscheinlich auf der Oberseite des Stapels zu sehen ist. 2. Da Benedikt Geburtstag hat, macht Alan ihm das folgende Angebot: Entweder er schenkt ihm sofort X Euro, oder er lässt Benedikt die oberste Karte umdrehen und schenkt ihm den Betrag auf der Rückseite. Angenommen Benedikts einzige Information über die Reihenfolge der Karten im Stapel ist die Oberseite der obersten Karte. Wie sollte er sich entscheiden? Zeigen Sie, dass Benedikt mit einer geeigneten Strategie mehr als E[X] Euro erwarten kann. 1/2 Hausaufgabe 1 (4 Punkte) Die Schachfigur Amalia erkundet ein Schachbrett mit 8 × 8 Feldern. Da Amalia ein Springer ist, geht sie in jedem Zug entweder zwei Felder in horizontaler Richtung und ein Feld in vertikaler Richtung, oder aber ein Feld in vertikaler Richtung und zwei Felder in horizontaler Richtung. Angenommen Amalia befindet sich auf einem zufällig gewählten Feld des Schachbretts, wobei alle 64 Felder gleich wahrscheinlich sind. Sei X die Anzahl der Felder, die Amalia in einem Zug erreichen kann. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. Hausaufgabe 2 (6 Punkte) Die Meteorologin Athanasia erforscht die Korrelation zwischen drei zufällig eintretenden Wetterphänomenen E, F und G. Sei X die Anzahl der Phänomene, die gleichzeitig an einem bestimmten Tag eintreten. Aus Wetteraufzeichnungen weiß Athanasia, dass X einen Erwartungswert von 3/2 hat. Finden Sie eine möglichst große untere Schranke α und eine möglichst kleine obere Schranke β für die Wahrscheinlichkeit, dass E, F und G alle am selben Tag eintreten. Mit anderen Worten, bestimmen Sie das maximale α und das minimale β, sodass α ≤ Pr[E ∩ F ∩ G] ≤ β. Hausaufgabe 3 (5 Punkte) Bei einem Federballturnier treten Alina und Berthold gegeneinander an. Das Spiel endet, wenn einer der beiden zwei Ballwechsel mehr für sich entschieden hat als sein Mitspieler. Dabei gibt die Zufallsvariable X an, wie viele Ballwechsel insgesamt gespielt werden. Angenommen der Ausgang eines Ballwechsels ist unabhängig vom bisherigen Spielverlauf und Alina gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 ≤ p ≤ 1. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X. Für welchen Wert von p ist die erwartete Anzahl an Ballwechseln maximal? Hinweis: Betrachten Sie den Erwartungswert von X nach zwei Ballwechseln. Hausaufgabe 4 (5 Punkte + 4 Bonuspunkte) Bella kauft sieben Lottoscheine von Agnes. Auf jedem der sieben Scheine muss Bella drei verschiedene Zahlen zwischen 1 und 7 ankreuzen. Danach zieht Agnes drei verschiedene Gewinnzahlen, ebenfalls zwischen 1 und 7, wobei jede Ziehung gleich wahrscheinlich ist. Stehen die Gewinnzahlen fest, berechnet sich Bellas Gewinn wie folgt. Für jeden Lottoschein auf dem Bella alle drei Gewinnzahlen angekreuzt hat, bekommt sie 3 Euro. Für Scheine auf denen sie zwei Gewinnzahlen angekreuzt hat bekommt sie 1 Euro. Alle anderen Scheine gewinnen nichts. 1. Angenommen Bella kreuzt auf ihrem i-ten Lottoschein die Zahlen (i +7 0) + 1, (i +7 1) + 1 und (i +7 2) + 1 an. Der Operator +z entspricht hierbei der Addition modulo z, also x +z y = (x + y) mod z. Bestimmen Sie den erwarteten Gewinn und die dazugehörige Varianz. 2. (Bonusaufgabe) Da Bella nicht sehr risikofreudig ist, würde sie gerne die Varianz ihres Gewinns minimieren. Wie sollte Bella ihre Lottoscheine ausfüllen, damit sie bei gleichem Erwartungswert eine minimale Varianz erzielt? Hinweis: Überlegen Sie sich einen Zusammenhang zwischen der zweiten Teilaufgabe und der Fano-Ebene. 2
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