2015-1 Gegeben ist die Funktion f mit f(x)

Fachhochschulreife Mathematik (Berufskolleg Baden-Württemberg)
Hauptprüfung 2015 – Aufgabe 1: Analysis
Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 14 x 4 − 2x 2 + 4, für x ∈ 0. Ihr Schaubild ist Kf.
1.1
1.2
1.3
Punkte
Zeichnen Sie Kf.
Untersuchen Sie Kf auf Symmetrie.
Geben Sie die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte von Kf an.
8
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an Kf im Punkt P(1 | f(1)).
Die Tangente t, die y-Achse und Kf schließen im 1. Quadranten eine
Fläche ein.
Zeichnen Sie in Ihr Koordinatensystem aus 1.1 die Tangente t, markieren Sie diese Fläche und berechnen Sie deren Flächeninhalt.
5
Gegeben sind für 0 ≤ u ≤ 2 der Punkt B(u | f(u)) und der Punkt D(–u | 0).
Diese beiden Punkte sind Eckpunkte eines zur y-Achse symmetrischen
Rechtecks ABCD.
Berechnen Sie den maximalen Umfang, den ein solches Rechteck haben
kann.
6
In einem Gehege wird der Kaninchenbestand über einen längeren Zeitraum
beobachtet.
Die Auswertung dieser Beobachtung hat modellhaft folgende Bestandsfunktion ergeben:
k(t) = 1 000 ⋅ (1 − 0,85 ⋅ e − 0,0513t ); t ≥ 0
Die Zeit t wird in Monaten gemessen und k(t) gibt den Bestand der Kaninchen
zum Zeitpunkt t an.
1.4
1.5
Wie groß ist der Kaninchenbestand im Gehege zu Beginn der Beobachtung?
Wie wird im Funktionsterm berücksichtigt, dass der Bestand nicht beliebig groß wird?
Nach welcher Zeit ist ein Kaninchenbestand von 250 erreicht?
Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Kaninchenbestandes
in Abhängigkeit von der Zeit t.
Wann ist diese Änderungsrate am größten?
Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate in den ersten 5 Monaten.
2015-1
5
6
30
Tipps und Hinweise
Aufgabenteil 1.1
Zeichnen der Kurve
r Eine Zeichnung ist keine Skizze. Tragen Sie zuerst die Nullstellen, die Extrempunkte
und weitere Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Symmetrie
r Beachten Sie die Hochzahlen der Funktion.
r Welche Symmetrie weist somit das Schaubild Kf auf?
Angabe der Hoch- und Tiefpunkte (Extrempunkte)
r Bestimmen Sie mithilfe des GTR den Hochpunkt bzw. die beiden Tiefpunkte des
Schaubildes.
Bestimmung der Wendepunkte
r Berechnen Sie mithilfe der Funktion f, der zweiten Ableitung f '' und der dritten Ableitung f ''' den Wendepunkt W.
Aufgabenteil 1.2
Ermittlung der Tangentengleichung
r Bestimmen Sie die y-Koordinate des Punktes P und die Steigung der Kurve an der
Stelle x = 1.
r Die Punkt-Steigungsform (y = m(x – x1) + y1) oder die Normalform (y = mx + b) der
Geradengleichung liefert dann die Tangentengleichung.
Flächeninhalt
r Bestimmen Sie die Integrationsgrenzen.
r Beachten Sie: Für die Fläche zwischen zwei Kurven gilt „oben – unten“.
r Berechnen Sie mit dem GTR die gesuchte Fläche.
Aufgabenteil 1.3
Skizzieren des gesuchten Rechtecks
r Skizzieren Sie die Kurve Kf.
r Wählen Sie auf der x-Achse im Intervall I = [0; 2] eine Stelle u.
r Zeichnen Sie den auf Kf liegenden Punkt B(u | f(u)) und den Punkt D(–u | 0) ein.
r Zeichnen Sie die beiden fehlenden Punkte A(u | 0) und C(–u | f(u)) des Rechtecks ein.
Berechnung des maximalen Umfangs
r Für den Umfang U eines Rechtecks mit den Seiten a und b gilt U = 2a + 2b.
r Drücken Sie den Umfang U mithilfe des Wertes u aus.
r Berechnen Sie mit dem GTR den Hochpunkt der Umfangskurve U(u).
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r Beachten Sie die Randwerte.
r Geben Sie den maximalen Umfang an.
Aufgabenteil 1.4
Bestand zu Beginn der Beobachtung
r Für den Beobachtungsbeginn gilt t = 0.
Nachweis des begrenzten Wachstums
r Wie entwickeln sich die Funktionswerte, wenn t gegen unendlich strebt?
Kaninchenbestand von 250
r Bestimmen Sie die Schnittstelle der Kaninchenkurve mit dem Schaubild der Geraden
g: y = 250.
Aufgabenteil 1.5
Momentane Änderungsrate
r Die momentane Änderungsrate in Abhängigkeit von t ist die 1. Ableitung k '(t).
r Zeichnen Sie mit dem GTR das Schaubild der momentanen Änderungsrate.
r An welcher Stelle hat k ' seinen maximalen Wert?
Durchschnittliche Änderungsrate
r Die durchschnittliche Änderungsrate ist die Steigung der Sekante durch die beiden
Punkte A(0 | k(0)) und B(5 | k(5)).
r Für die Steigung ms der Sekante gilt also:
k(5) − k(0)
ms =
5−0
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Lösung
1.1
Zeichnen der Kurve
Symmetrie
Im Funktionsterm der ganzrationalen Funktion 4. Grades kommen nur gerade
Exponenten vor. Somit ist Kf achsensymmetrisch zur y-Achse.
Angabe der Hoch- und Tiefpunkte (Extrempunkte)
Mit dem GTR: Hochpunkt H(0 | 4); Tiefpunkte T1 ( −2 | 0), T2 (2 | 0)
Bestimmung der Wendepunkte
Ableitungen: f '(x) = x3 – 4x, f ''(x) = 3x2 – 4, f '''(x) = 6x
Bedingung für Wendepunkte: f ''(x) = 0 und f '''( x) ≠ 0
4
4
f ''(x) = 0 ⇒ 3x 2 − 4 = 0 ⇒ 3x 2 = 4 ⇒ x 2 =
⇒ x1; 2 = ±
≈ ±1,15
3
3
Da f '''
( )=6
4
3
4
3
≠ 0 und f
( )=
4
3
16
9
≈ 1,78, folgt: W1 (1,15 | 1,78)
Aufgrund der y-Achsensymmetrie: W2 ( −1,15 | 1,78)
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