3 Die Planung von Unterricht Die Planung einer Unterrichtsstunde Arbeitsblatt mit Erwartungshorizont Mittlere und lokale Änderungsrate am Beispiel der Quadratfläche Betrachte die Funktion A mit A (x) = x 2. Die Funktion ordnet jeder Seitenlänge x des Quadrats den Flächeninhalt A (x) = x 2des Quadrats zu. Mittlere Änderungsrate Allgemein für ein beliebiges h: Die mittlere Änderungsrate der Funktion A auf dem Intervall [3, 3 + h] lautet: A (3 + h) – A (h) _____________ h ●● Beschrifte die folgende Skizze, indem du die einzelnen Bausteine 3, 3 + h, A (3 + h), A (3), A (3 + h) – A (3) und h deutest. Fläche des großen Quadrats: A (3 + h) Fläche des kleinen Quadrats: A (3) Seitenlänge des kleinen Quadrats: 3 Seitenlänge des großen Quadrats 3 + h Unterschied: h Webcode: RM160501-004 © 2015 Cornelsen Schulverlage GmbH, Berlin. Alle Rechte vorbehalten. Graue Fläche: A (3 + h) – A (3) 3 Die Planung von Unterricht Die Planung einer Unterrichtsstunde Deute die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall [3, 3 + h] in deiner Skizze, A (3 + h) – A (3) indem du _____________ (mit blau) markierst. Begründe! h Markierung vgl. oben. Begründung: Wenn die graue Fläche entlang der Diagonalen der Quadrate zerschnitten und neu zusammengelegt wird, dann entsteht ein Rechteck mit den Seitenlängen h und 3 + (3 + h) (vgl. Cinderella-Konstruktion). Das Rechteck hat den Flächeninhalt A (3 + h) – A (3). Im Differenzenquotienten wird also der Flächeninhalt durch die Breite h des Rechtecks dividiert. Das Ergebnis ist die Höhe des Rechtecks, also 3 + (3 + h). Lokale Änderungsrate Die lokale Änderungsrate an der Stelle x 0= 3 ist das „Ergebnis des Grenzprozesses“ für h ➝ 0. a)Deute den Grenzprozess anschaulich. Was passiert mit der Unterschiedsfläche? Was passiert mit der Fläche der beiden Quadrate? Was passiert mit der blauen Linie (Differenzenquotient)? Im Grenzprozess wird h gegen 0 verkleinert. Dabei wird die graue Unterschiedsfläche kleiner und ihr Inhalt geht gegen 0. Die Fläche des großen Quadrats wird kleiner und nähert sich der Fläche des kleinen Quadrats. Die blaue Linie nähert sich dem halben Umfang des kleinen Quadrats. Die lokale Änderungsrate der Quadratfläche ist der halbe Umfang. Etwas salopp: „Wenn man eine Quadratfläche vergrößern oder verkleinern möchte, so muss man ‚Winkelhaken‘ hinzufügen.“ Webcode: RM160501-004 © 2015 Cornelsen Schulverlage GmbH, Berlin. Alle Rechte vorbehalten. b) Deute die lokale Änderungsrate an der Stelle x 0= 3 in der Skizze: A (3 + h) – A (h) _____________ lim h h ➝ 0 3 Die Planung von Unterricht Die Planung einer Unterrichtsstunde Nun rechnerisch: a) Berechne den Differenzenquotienten der Funktion A auf dem Intervall [3, 3 + h]: A (3 + h) – A (h) 2 2 _____________ = (3 + h ) – 3 h A (3 + h) – A (h) ___________ (3 + h ) 2 – 3 2 _____________ ⇔ = h h 2 A (3 + h) – A (h) ______________ h 2 – 3 2 _____________ ⇔ = 3 + 6h + h h A (3 + h) – A (h) _____________ ⇔ =6+h h b) Berechne den Differentialquotienten der Funktion A an der Stelle x 0= 3: A (3 + h) – A (h) lim _____________ = lim (6 + h) h h ➝ 0 h ➝ 0 A (3 + h) – A (h) ⇔ lim _____________ =6 h h ➝ 0 Zum Weiterdenken – die Änderung der Kreisfläche 2 Betrachte den Flächeninhalt eines Kreises: A (r) = π r . Welche Bedeutung hat die lokale Änderungsrate an der Stelle r 0= 3 in diesem Fall? Begründe zunächst anschaulich an einer geeigneten Skizze. Begründe anschließend rechnerisch mit Hilfe des Differentialquotienten. Webcode: RM160501-004 © 2015 Cornelsen Schulverlage GmbH, Berlin. Alle Rechte vorbehalten. c) Deute die einzelnen Schritte der Berechnungen in deiner Skizze. Die ersten drei Äquivalenzumformungen in Teil a) entsprechen der 1. binomischen Formel und können entsprechend veranschaulicht werden. Der vierte Schritt entspricht der Division der Rechteckfläche durch seine Breite, das Ergebnis ist seine Höhe. In Teil b) findet der Übergang zum Differentialquotienten statt und die Höhe nähert sich dem halben Quadratumfang.
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