Blatt 7 - Institut für Mathematik

Lineare Algebra und Geometrie
MA S410
Aufgabenblatt 7
Herbstsemester 2015
Aufgabenblatt 7
50 Punkte
Aufgabe 1 (Gleichungssystem)
Bestimme alle Lösungen des folgenden Gleichungssystems A ⋅ x = b,
2 ⋅ x1
4 ⋅ x1
6 ⋅ x1
8 ⋅ x1
+
+
+
+
3 ⋅ x2
3 ⋅ x2
3 ⋅ x2
3 ⋅ x2
−
−
−
2 ⋅ x3
6 ⋅ x3
8 ⋅ x3
−
−
−
−
4 ⋅ x4
3 ⋅ x4
3 ⋅ x4
2 ⋅ x4
−
−
+
+
2 ⋅ x5
x5
2 ⋅ x5
3 ⋅ x5
=
=
=
=
3
5
3
5
,
,
,
.
a) Bestimme zunächst eine rückwärts abgestufte Basis von Kernes ker(A). (Gauß–Algorithmus)
4
b) Bestimme eine partikuläre Lösung und stelle die Lösungsmenge dar. Benutze Teilaufgabe 1 a).
2
c) Gib eine vorwärts abgestufte Basis des Bildes im(A).
2
8
Aufgabe 2 (Dualbasis)
Gegeben sei folgende Basis von R3 ,
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
b 1 = ⎜1⎟ , b 2 = ⎜−1⎟ , b 3 = ⎜ 1 ⎟ .
⎝1⎠
⎝1⎠
⎝−1⎠
a) Bestimme die Dualbasis d 1 , d 2 , d 3 dieser Basis bzgl. des Standardskalarproduktes, also z.B. d 1 mit
⟨d 1 ∣ b 1 ⟩ = 1 und ⟨d 1 ∣ b 2 ⟩ = 0 = ⟨d 1 ∣ b 3 ⟩.
3
b) Folgende Vektoren a, c ∈ R sind als Linearkombinationen von b 1 , b 2 , b 3 zu schreiben:
2
3
⎛5⎞
⎛8⎞
a = ⎜6⎟ , c = ⎜ 9 ⎟ .
⎝7⎠
⎝10⎠
Aufgabe 3 (zwei Ebenen)
a) Die eingezeichnete Ebene enthält die Punkte P (0∣0∣8), Q(10∣0∣3)
und R(10∣10∣1). Gib ihre Gleichung in der Form
5
2
a⋅x+b⋅y+c⋅z =d .
b) Zeichne die Ebene x + y + z = 12 in den Würfel rechts ein.
2
c) Bestimme eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden der
zwei Ebenen aus Teilaufgaben 3 a) und 3 b), zeichne sie ein
und berechne ihre Durchstosspunkte durch die Würfelwände.
3
UZH Institut für Mathematik, Dr. F. M”uller
Abgabe individuell
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Aufgabenblatt 7
Herbstsemester 2015
z
P
y
Q
R
x
7
Aufgabe 4 (Vektorraum über endlichem Körper)
a) Gib die Tabellen für die Addition und die Multiplikation in F5 = {0, 1, 2, 3, 4}.
(Körper mit 5 Elementen, Rest 5 rechnen)
2
b) Weshalb ist (x∣y) = (1∣4) ein Punkt auf der Geraden g∶ 2 ⋅ x + 3 ⋅ y = 4 in F25 = F5 × F5 ?
Gib alle weiteren Punkte (x∣y) ∈ F25 auf g.
2
4
Aufgabe 5 (Symmetriegruppe)
Skizziere ein reguläres 6–Eck und beschrifte die Ecken im Gegenuhrzeigersinn mit A, B, C, D, E und F .
a) Gib eine geometrische Beschreibung des Elementes σ = (AB)(CF )(DE), des Elemetes ρ = (AC)(DF )
und des Elemetes δ = (ACE)(BDF ) (Zykelnotation) als Kongruenzabbildungen in der Symmetriegruppe
Σ6 des regulären 6–Ecks.
2
b) Wieviele Elemente hat Σ6 , die Symmetriegruppe eines regulären 6–Ecks? Begründe.
2
c) Welches ist das kleinste 0 < n ∈ N mit µ = I (Identität) für alle µ ∈ Σ6 ? Begründe.
2
n
6
Aufgabe 6 (Hauptsatz der Algebra)
Das Polynom p(x) = x3 + 6 ⋅ x2 + 6 ⋅ x + 1 hat die Nullstelle x = −1.
a) Schreibe p(x) als Produkt p(x) = (x − c1 )(x − c2 )(x − c3 ) mit c1 , c2 , c3 ∈ C.
2
b) Schreibe p(x) wenn möglich ebenso als Produkt mit c1 , c2 , c3 ∈ F7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2
(Körper mit 7 Elementen, Rest 7 rechnen)
4
Aufgabe 7 (Abstand zweier Geraden)
Gegeben sind die zwei Geraden g und h im Raum,
⎛x⎞ ⎛5⎞
⎛1⎞
⎛x⎞ ⎛ 8 ⎞
⎛1⎞
g∶ ⎜y ⎟ = ⎜6⎟ + r ⋅ ⎜−1⎟ und h∶ ⎜y ⎟ = ⎜ 9 ⎟ + s ⋅ ⎜ 1 ⎟ .
⎝ z ⎠ ⎝7⎠
⎝1⎠
⎝ z ⎠ ⎝10⎠
⎝−1⎠
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Aufgabenblatt 7
Herbstsemester 2015
a) Bestimme P ∈ g und Q ∈ h, so dass ∣P Q∣ minimal ist.
5
b) Wie gross ist der Abstand von g und h ?
1
6
Aufgabe 8 (Kongruenztransformation)
Durch x ↦ x′ = A ⋅ x + a mit
20/29
A=(
21/29
3
21/29
) und a = ( )
−7
−20/29
wird eine Kongruenztransformation der Ebene festgelegt.
a) Woran erkennt man das?
1
′
′
b) Der Punkt (x∣y) = (0∣0) geht nach (x ∣y ) = (3∣ − 7). Wohin wird der Punkt (3∣ − 7) abgebildet?
′
c) Beschreibe die Abbildung x ↦ x geometrisch so präzise wie möglich.
1
3
5
Aufgabe 9 (Sehnensatz)
In der Vorlesung wurde der Sekanten–Tangenten–Satz formuliert und bewiesen.
Formuliere und beweise einen analogen Satz (Sehnensatz) für einen Punkt P innerhalb eines Kreises.
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Abgabe individuell
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