Klausur F08, Aufgabe 6 Das ebene Strömungsfeld zweier

Klausur F08, Aufgabe 6
Das ebene Strömungsfeld zweier gleichstarker Wirbelstürme, die sich umeinander drehen, soll
mittels der Potentialtheorie untersucht werden. Der Abstand der beiden Wirbelstürme beträgt k.
B
k
A
C
a) Bestimmen Sie die komplexe Potentialfunktion F (z) mit Hilfe der gegebenen Elementarfunktionen. Geben Sie das Vorzeichen der Konstanten explizit an.
b) Hat diese Strömung Staupunkte? Begründen Sie kurz (ohne Rechnung) Ihre Antwort.
c) Bestimmen Sie zum Zeitpunkt der Abbildung in Abhängigkeit von den angegeben Konstanten die Winkelgeschwindigkeit ω, mit der sich die beiden Wirbelstürme umeinander
drehen. Betrachten Sie hierfür die induzierten Geschwindigkeiten in den Mittelpunkten
der beiden Wirbelstürme.
d) Wie ändert sich ω qualitativ mit der Zeit (kurze Begründung).
e) Bestimmen Sie ohne Rechnung für die angegebenen Kurven A, B und C jeweils die Zirkulation.
Gegeben:
k,
Konstanten der Elementarfunktionen
Elementarfunktionen:
Parallelströmung:
Potentialwirbel:
Quelle/Senke :
F (z) = (u∞ − iv∞ )z
iΓ
ln z
2π
E
ln z
F (z) =
2π
F (z) =
Staupunktströmung: F (z) = az 2
Dipol:
F (z) =
M
2πz
MusterlÃűsung F08, Aufgabe 6
y
x=0
x=k
x
a) F (z) setzt sich aus zwei Potentialwirbeln und zwei Senken zusammen:
iΓ
E
iΓ
E
F (z) = − ln z −
ln z −
ln(z − k) −
ln(z − k)
2π
2π
2π
2π
Γ > 0, E > 0
b) Wirbel gleicher Stärke und gleichen Drehsinns: Es existiert ein Staupunkt auf der Verbindungslinie zwischen beiden Wirbeln, d.h. bei x = k2 .
c) Die beiden Wirbel drehen sich um den Staupunkt des betrachteten Strömungsfeldes. Es
kommt zu dieser Bewegung, weil jeweils einer der Wirbel an der Position des anderen
Wirbels eine Geschwindigkeit verursacht. Die Winkelgeschwindigkeit ω der Drehbewegung um den Staupunkt ist gesucht. Sie ergibt sich aus dem Abstand der Wirbel zum
Staupunkt und der Tangentialkomponente der Geschwindigkeit, die jeweils einer der Wirbel an der Position des anderen verursacht. Der Wirbel, dessen Singularität im Ursprung
liegt, sei Wirbel (1). Der andere Wirbel sei Wirbel (2).
ω=
v (x = k, y = 0, 1 → 2)
k
2
=
v (x = 0, y = 0, 2 → 1)
.
− k2
Aus der komplexen Potentialfunktion folgt die komplex konjugierte Geschwindigkeit:
iΓ + E 1 iΓ + E 1
dF
= ω = u − iv = −
−
dz
2π z
2π z − k
iΓ + E x − k − iy
iΓ + E x − iy
.
−
=−
2π x2 + y 2
2π (x − k)2 + y 2
Auf der Verbindungslinie der beiden Wirbel y=0 gilt demnach:
ω (x, y = 0) = u (x, y = 0) − iv (x, y = 0) = −
iΓ + E 1 iΓ + E 1
−
2π x
2π x − k
1
1
+
x
x−k Γ 1
1
.
+
Im {ω (x, y = 0)} = −v (x, y = 0) = −
2π x x − k
E
Re {ω (x, y = 0)} = u (x, y = 0) = −
2π
Der erste Summand beschreibt jeweils die konjugiert komplexe Geschwindigkeit, die
durch Wirbel (1) und der zweite Summand diejenige, die durch Wirbel (2) verursacht
wird. Die Auswertung dieser Summanden an der Position des jeweils anderen Wirbels
ergibt:
Γ 1
v (x = k, y = 0, 1 → 2) =
2π k Γ 1
.
v (x = 0, y = 0, 2 → 1) = −
2π k
Wirbel (1) verursacht demnach, dass Wirbel (2) mit einer Geschwindigkeit in positiver
y-Richtung gedreht wird. Da die Drehung der Wirbel um den Staupunkt erfolgt, ist die
Tangentialgeschwindigkeit, mit der Wirbel (1) gedreht wird, folgerichtig in negative yRichtung orientiert.
Einsetzen liefert:
ω=
Γ
2v (x = k, y = 0, 1 → 2)
=
.
k
πk 2
d) Die induzierten Geschwindigkeiten in x-Richtung berechnen sich zu:
E 1
u (x = k, y = 0, 1 → 2) = −
<0
2π k
E 1
u (x = 0, y = 0, 2 → 1) =
> 0.
2π k
Demnach bewegen sich die Wirbel aufeinander zu. Infolgedessen nimmt der Abstand
der Singularitäten zueinander ab. Dies wiederum führt zu einer Abnahme der Winkelgeschwindigkeit ω, mit der die Wirbel umeinander drehen.
e) ΓA = Γ,
ΓB = −2Γ,
ΓC = 0

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