Übungsblatt 9 - Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. Barbara Gentz
Daniel Altemeier
Fakultät für Mathematik
Universität Bielefeld
Sommersemester 2015
9. Aufgabenblatt zur Vertiefung NWI: Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabe bis: Donnerstag, 11. Juni, 16:45 Uhr s.t.
Bitte legen Sie Ihre Lösungen in das Postfach des Leiters Ihrer Übungsgruppe (Patrick Schuhmann PF 219, Urs-Frederik Baier PF 108, Daniel
Altemeier PF 161, alle Postfächer benden sich im Kopierraum V3-128).
Heften Sie die Blätter in der richtigen Reihenfolge zusammen, und schreiben
Sie Ihren Namen als auch den Namen des Übungsgruppenleiters deutlich
sichtbar und gut leserlich oben auf das erste Blatt Ihrer Abgabe.
Geben Sie zu allen Aufgaben einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an, denieren
Sie Zufallsvariablen formal und geben Sie die Ereignisse als Teilmengen der Ergebnismenge an.
Hausaufgabe 9.I (4 Punkte)
Wir nehmen an, dass eine Tüte 200 Gummibären enthält, deren Farbe jeweils unabhängig und zufällig ist. Laut Hersteller ist der Anteil der grünen Gummibären 51 .
a) Wie ist die Anzahl grüner Gummibären in einer Tüte unter den obigen Annahmen
verteilt?
N
b) Nutzen Sie die Markosche Ungleichung für k ∈ , um die Wahrscheinlichkeit
abzuschätzen, dass 50 oder mehr grüne Gummibären in einer Tüte sind.
c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Anzahl grüner Gummibären
in der Tüte.
d) Nutzen Sie den Satz von de MoivreLaplace, um die Wahrscheinlichkeit, 50 oder
mehr grüne Gummibären in einer Tüte zu nden, zu approximieren.
Hausaufgabe 9.II (4 Punkte)
Wir sind gegenüber den Angaben eines Obstkonservenherstellers skeptisch. Dieser behauptet, dass im Mittel nur in einer von 20 Kirschen noch der Kern enthalten ist. In
der Absicht, diese Behauptung auf die Probe zu stellen, notieren wir beim Verzehr von
30 400 Kirschen des betreenden Herstellers, ob jeweils ein Kern darin war oder nicht.
Wir nehmen an, dass die Angabe des Herstellers richtig ist, d. h., dass jede Kirsche
unabhängig von allen anderen Kirschen mit Wahrscheinlichkeit 1/20 noch den Kern
enthält.
a) Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, genau k Kerne in den Kirschen
zu nden, für k = 1519, 1520, 1521.
b) Bestimmen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit mindestens 1482 und höchstens 1558 Kerne zu nden.
c) Wir nehmen uns die Zeit, unbegrenzt viele Kirschen zu testen, haben aber keine
Angabe über die Wahrscheinlichkeit p eines Kerns in einer Kirsche. Nach wie vor
nehmen wir an, dass jede Kirsche unabhängig von allen anderen Kirschen mit p ∈
(0, 1) einen Kern enthält. Es bezeichne Xn die Anzahl gefundener Kerne bis zur
n-ten getesteten Kirsche. Zeigen Sie, dass wir die unbekannte Wahrscheinlichkeit
p dank unseres eifrigen Kirschverzehrs, vermöge p = Xnn , mit Wahrscheinlichkeit
beliebig nah an Eins beliebig genau bestimmen können.
Hausaufgabe 9.III (4 Punkte)
In einem berühmten Experiment des britischen Naturforschers und Schriftstellers Sir
Francis Galton (1822-1911) schätzten im Jahr 1905 insgesamt 787 Teilnehmer das
Gewicht eines Bullen. Die gemittelte Schätzung wich nur 0,8% vom exakten Wert
ab. Diese bemerkenswerte Güte der gemittelten Schätzung wird manchmal mit dem
Stichwort Intelligenz der Masse in Beziehung gesetzt.
a) Modellieren Sie das Experiment der 787 Schätzungen derart, dass sie die Güte der
Schätzung mit Hilfe des schwachen Gesetzes der groÿen Zahlen erklären können.
b) Diskutieren Sie, inwiefern die von Ihnen in a) gemachten Annahmen realistisch sind.
Hausaufgabe 9.IV (4 Punkte)
Ein Hotel hat 218 Betten. Wie viele Reservationen darf der Manager annehmen,
wenn eine Reservierung erfahrungsgemäÿ mit Wahrscheinlichkeit 1/5 annuliert wird
und Überbuchungen mit Wahrscheinlichkeit 0,2 auftreten dürfen? Geben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der genauen Lösung an. Nutzen Sie dann den Satz von de
MoivreLaplace.

Download Report