Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen

Übungs-Blatt 7
Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte Wahrscheinlichkeit
Master KI/PI Höhere und Angewandte Mathematik/Stochastik 1
Prof. Dr. B. Grabowski
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 1)
Ein Bauteil wird in 2 Tests T1 und T2 getestet. Die Wahrscheinlichkeit dafür T1 zu bestehen
sei 0,7. Die Wahrscheinlichkeit T2 zu bestehen hängt von T1 ab: ist T1 bestanden worden, so
besteht das Bauteil T2 mit der Wahrscheinlichkeit 0,8, sonst ist sie 0,5.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beide Tests zu bestehen?
Aufgabe 2)
Sei G ein Übertragungssystem, welches aus 2 hintereinandergeschalteten Teilsystemen
E1 und E2 besteht.
Das System G arbeitet nur dann fehlerfrei, wenn beide Teil-Einheiten E1 und E2 fehlerfrei
arbeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 fehlerfrei arbeitet sei 0,85.
Die Fehlerrate von E2 wird durch die von E1 beeinflusst. Die Wahrscheinlichkeit, dass E2
fehlerfrei arbeitet unter der Vorrausetzung, dass auch E1 fehlerfrei arbeitet, ist 0,90.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gesamtsystem G fehlerfrei arbeitet!
Aufgabe 3) (Multiplikationssatz)
Aus 6 Buchstaben „e“, „e“, „m“, „r“, „s“, „s“ wird zufällig der Reihe nach jeweils einer
ausgewählt und zu einem Wort angelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das
Wort „messer“ entsteht?
Aufgabe 4) (Markovketten)
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Ein Roboter
stehe zur Zeit (im Takt) n=0 im Feld 1
bewege sich taktweise.
In jedem Zeittakt kann er in jede von 4 Richtungen– sofern
dort ein Feld vorhanden ist- einen Schritt nach links, einen
Schritt nach Rechts, einen Schritt nach oben, einen Schritt
nach unten machen oder im Feld stehen bleiben.
Der Roboter wählt ausgehend von seinem aktuellen Feld in
jedem Takt die Richtung für den nächsten Schritt rein zufällig
aus.
Die Bewegung des Roboters lässt sich durch einen Markovgrafen beschreiben, dabei sind die
Zustände die Felder 1-9 und die gerichteten Kanten zeigen an, in welche Richtung der
Roboter ausgehend von jedem Feld gehen kann. An den Kanten sind die
Übergangswahrscheinlichkeiten abgetragen, mit der der Roboter von Feld zu Feld gelangt.
a) Beschreiben Sie die Bewegung des Roboters durch einen Markovgrafen, d.h. ergänzen Sie
die fehlenden Kanten und die Wahrscheinlichkeiten an den Kanten des folgenden Grafen:
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b) Sei X(n) = im Takt n erreichtes (zufälliges) Feld des Roboters, n=0,1,2,3,….und sei
P(X(0)=1)=1 (Der Roboter steht zu Beginn im Feld 1. Es ist offensichtlich
X(n){1,2,…,9}. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Roboter bereits
im Takt n=4 im Feld 9 ist, d.h. berechnen Sie P(X(4)=9).
Stochastische Unabhängigkeit
Aufgabe 5)
G sei ein Gerät mit n parallelen Reihen, die jeweils 2 Bauelemente in Reihe geschaltet
enthalten.
Das Gerät fällt aus, falls alle Reihen ausfallen. Eine Reihe fällt aus, falls eines der beiden
Bauelemente der Reihe ausfällt. Die Bauelemente Ei j fallen stochastisch unabhängig
voneinander mit der gleichen Wahrscheinlichkeit P(Ei j = not OK) = 0,1 für alle i = 1,...,n; j
= 1, 2, aus.
Wieviele Reihen muß das Gerät haben, damit die Ausfallwahrscheinlichkeit p des Gerätes 0,1
% nicht überschreitet, d.h. damit gilt
p  PG  not OK  0,001
?
Aufgabe 6)
n unabhängig voneinander arbeitende Beobachter beobachten, ob ein bestimmtes Signal
eintritt oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Beobachter das Signal übersieht, sei
q=0,1 und für jeden der n Beobachter gleich. Wie viele stochastisch unabhängig arbeitende
Beobachter muss man mindestens beschäftigen, damit das Signal mit mindestens 99%iger
Wahrscheinlichkeit nicht übersehen wird?
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Aufgabe 7)
Sei X die zufällige Lebensdauer eines Bauteils und es gelte
P(X > 200h) = 0,5 sowie P(X > 100 h) = 0,8.
Wie viel % aller Bauteile, die länger als 100 h ‚leben’ überleben auch 200 h?
Sind die beiden Ereignisse X>100 h und X> 200h stochastisch unabhängig
voneinander?
Aufgabe 8)
Sei G ein System, welches aus 2 hintereinandergeschalteten Baueinheiten E1 und E2 besteht.
Das System G arbeitet nur dann fehlerfrei, wenn beide Baueinheiten fehlerfrei arbeiten.
Die Fehlerrate von E2 wird nicht durch die von E1 beeinflusst, d.h., E1 und E2 verhalten sich
stochastisch unabhängig!. Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 fehlerhaft arbeitet sei 20 % und
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass E2 fehlerhaft arbeitet sei 10 %.
Berechnen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gesamtsystem G fehlerfrei arbeitet!
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