Astrophysikalsiches Numerikum: Monte Carlo Simulation am Beispiel der Massenfunktion A. Schweitzer Wintersemester 2005/06 Links, Literatur und weitere Informationen • Die Numerical Recepies sind online auf http://library.lanl.gov/numerical/bookfpdf.html • Ein Compiler zum Nachvollziehen ist auf http://www.g95.org/ erhältlich. • Webseiten zur Veranstaltung sind http://hobbes.hs.uni-hamburg.de/~yeti/Numerikum/ http://www.hs.uni-hamburg.de/~stcd102/numerikum.html • G.E. Forsythe, M.A. Malcolm, C.B. Moler Computer Methods for Mathematical Computations, 1977, Prentice Hall (älter aber neben Numerical Recepies empfehlenswert) 1 Zufallszahlenverteilungen und Monte Carlo Methoden Werden (physikalische) Prozesse durch “Auswürfeln” simuliert (z.B. weil der tatsächliche Prozess wirklich zufällig ist), spricht man von Monte Carlo Methoden. 1.1 Zufallszahlen Zufallszahlen: • Generierung nicht einfach • Reproduzierbar (für Physik) “Pseudo Zufallszahlengeneratoren” – Einfach: linear congruente Generatoren: Ij+1 = (aIj + c) mod m – Besser: Matrix Operationen, Bit-Manipulationen, Elliptische Kurven und Integrale 1 • Nicht reproduzierbar (Kryptographie): Entropie Quellen und Kryptografische Funktionen (MD5 etc.) • Vor ernsthafter Anwendung: Testen ! Typische Generatoren sind gleichverteilt in [0, 1): Cdx 0 ≤ x < 1 p(x)dx = 0 sonst Durch Normierung: Z +∞ p(x)dx = 1 −∞ wird C = 1. 1.2 Zufallszahlenverteilungen Fast immer muss diese Verteilung aber in eine nicht-gleichverteilte Verteilung p(y) umgewandelt werden. Transformation in eine andere Variable gesucht: Z +∞ y(x) mit f (y) = gegeben y ∈ [y1 , y2 ) f (y)dy = 1 −∞ Problem: wie ist y ? für Transformation x → y gilt immer: dx p(y) = p(x) dy d.h. bei gleichverteiltem x: dx dy f (y) = bzw. Z y f (υ)dυ x = F (y) = y1 Die Umkehrfunktion ist das gesuchte y(x) = F −1 (x) Problem: • F −1 (x) nicht immer (selten) analytisch berechenbar • weitere numerische Verfahren nötig 2 1.3 Monte Carlo Methoden 3 Große Bereiche: 1. Echte zufällige physikalische Prozesse (z.B. Quantenphysik) 2. Optimierungsprobleme: Abtasten des Parameterraums 3. Integration: viel-dimensionale Integrale 2 Die “Initial Mass Function” IMF Sterne bilden sich nicht gleichverteilt für verschiedene Massen. Stattdessen findet man ein bestimmtes Massenspektrum, die so genannte “Initial Mass Function” (IMF). 2.1 Allgemeines Die IMF • gibt an, wieviele Sterne es für eine bestimmte Masse gibt (N (M )) • spiegelt den Fragmentationsprozess bei der Sternentstehung wieder Sie ist wichtig zur • Populationssynthese (von Galaxien, Sternhaufen etc.) • Massenabschätzung von Sternsystemen • Abschätzung von “Stellarem output” ins umgebende Medium oder Universum allgemein (z.B. Energie bei SN-Explosionen, chemische Elemente, usw.) Abbildung 1: Eine der ersten Bestimmungen der Massenfunktion (Vorsicht: ξ 6= N (M )). Aus Salpeter, E. 1955, Ap. J., 121, 161-167 3 Die IMF wird gemessen aus: • Volumen limitiertem sample (typisch: Sternhaufen) • Massenbestimmung aus L ∝ M 3...3.5 (Die Verteilung von L nennt man Leuchtkraftfunktion) • Abschätzung systematischer Fehler durch z.B. nicht-Detektion (sehr wichtig) Man fasst das Ergebnis typisch als Potenzgesetz zusammen: N dN ∝ M α dM M ∈ [Mmin , Mmax ] , Für α = −2.35 spricht man von der “Salpeterverteilung”. 2.2 Die IMF als Zufallsverteilung Zur Simulation von Sternpopulationen, z.B. von Sternhaufen, kann man die IMF auch als Zufallsverteilung interpretieren. Wird N (M ) als Zufallsverteilung aufgefasst, ist p(M ) = N (M ) = CM α Normierung bestimmt die Konstante C : p(M ) = α+1 α α+1 M − Mmin α+1 Mmax Diese Verteilung lässt sich analytisch integrieren, und x = F (M ) analytisch invertieren: 1 α+1 α+1 α+1 M = (1 − x)Mmin + xMmax 3 (1) Aufgabe 1. Mmin sei 0.08M , Mmax sei 100M und α sei -2, -2.35 (sog. Salpeterverteilung) oder -3. Generieren Sie mittels einer Monte-Carlo Simulation, und der Massenverteilung (1) Sternhaufen mit 1000 und 106 Sternen. Generieren Sie sowohl eine Massenfunktion, als auch eine Leuchtkraftfunktion mit einer passenden L(M )–Funktion. Stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. 2. Wie groß ist der Anteil der Sterne mit M > 30M ? 3. Simulieren Sie nicht detektierte Doppelsterne : Für einen Teil der Sterne (20-70%), fügen Sie einen masseärmeren Begleiter (Mprimär > Msekundär > 0.1Mprimär ) hinzu (ebenfalls zufällig, gleich oder IMF-verteilt). Vergleichen Sie die Leuchtkraftfunktion zum Ergebnis aus (1). Bem.: Wie erwähnt wird die IMF “rückwärts” gemessen, wie hier simuliert. D.h. es wird die Leuchtkraftverteilung gemessen, und daraus die IMF gewonnen. (3) demonstriert eine mögliche Fehlerquelle, und wie sie abgeschätzt werden kann. 4
© Copyright 2024 ExpyDoc
