90
4
Fließgerechte Auslegung eines Silos bzw. Bunkers
92
4.1
Vermeidung der Brückenbildung in einem Massenflussbunker 92
4.1.1 Radiales Spannungsfeld
92
4.1.2 Allgemeines Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke 93
4.1.3 Auflagerspannung einer Brücke σ1’ und Fließfaktor ff
94
4.1.3.1 Differentialgleichungen zur Berechnung des Fließfaktors95
4.1.3.2 Analytische Berechnung des Fließfaktors
96
4.1.4 Vermeidung der Brückenbildung beim Massenflusstrichter 99
4.1.4.1 Maximaler Trichterneigungswinkel für Massenfluß
99
4.1.4.2 Auslegungsmethoden der minimalen Trichteröffungsweite100
4.1.4.2.1 Grafisch für beginnendes Fließen
100
4.1.4.2.2 Analytisch für beginnendes Fließen mit ρb,krit
102
4.1.4.2.3 Analytische Auslegung für stationäres Fließen
103
4.1.4.2.4 Analytisch für stationäres Fließen mit ρb,krit
104
4.1.4.3 Abschätzung einer maximalen Trichteröffungsweite 105
4.1.5 Geometrische Auslegung der Trichterform
106
4.1.6 Ermittlung der größten Hauptspannung σ1(b) am Auslauf 107
4.1.7 Kompressibles Pulver und Hauptspannung σ1(b) am Auslauf107
4.1.8 Auslegungsschritte der Bunkertrichtergeometrie
109
4.1.9 Berechnungsbeispiel für Kalzitpulver:
110
4.2
Vermeidung der Schachtbildung in einem Kernflußbunker
111
4.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft
111
4.2.1.1 JANSSEN-Gleichung des Fülldruckes im Schaft
111
4.2.1.2 Kompressibles Pulver und isostatischer Druck σiso(H) 112
4.2.1.3 Kompressibles Pulver und Vertikaldruck pv(H) im Schaft114
4.2.1.4 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ
116
4.2.1.5 Ringspannungen im stabilen Schacht
117
4.2.1.6 Analytische Näherung der Funktion G(ϕi)
118
4.2.2 Maximaler Trichterneigungswinkel und Spannungsspitze 118
4.2.3 Minimale Öffnungsweite zur Vermeidung eines Schachtes 119
4.2.3.1 Mit maximaler Verfestigungsspannung
119
4.2.3.2 Anisotropie zwischen Verfestigung und Fließen
120
4.2.3.3 Auslegung mittels Fließfaktor ffd nach JENIKE
121
4.3
Berechnung des minimalen Schaftdurchmessers
122
4.4
Beispiel einer Trichter- u. Schaftauslegung für Kalksteinmehl 125
4.5
Kinematik eines Schüttgutelementes auf einer geneigten Wand 126
4.5.1 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Schurre
126
4.5.1.1 Geschwindigkeitsgesetze
4.5.1.2 Gleitbedingung auf der Wand
4.5.2 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Böschung
4.5.2.1 Geschwindigkeitsgesetze
126
128
129
129
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91
4.5.2.2 Gleitbedingung auf einer Schüttgutböschung
130
4.5.3 Freier Fall eines Schüttgutelementes
130
4.6
Berechnung des Trichterauslaufmassenstromes
132
4.6.1 Vergleich bisheriger Modelle
132
4.6.1.1 Stationäres Ausfließen einer Flüssigkeit
132
4.6.1.2 Stationäres Ausfließen eines Schüttgutes
133
4.6.2 Allgemeines Prozessmodell des gleichmäßig beschleunigten
Ausfließens einer kohäsiven Schüttgutbrücke
134
4.6.2.1 Modellbildung
134
4.6.2.1.1 Kräftegleichgewicht an der beschleunigten Brücke 134
4.6.2.1.2 Druckverlust während der homogenen Durchströmung136
4.6.2.1.3 Homogene Durchströmungsbedingungen
138
4.6.2.2 Bewegungsgleichung des Ausfließens
139
4.6.2.3 Numerische Lösung mit der RUNGE-KUTTA-Methode140
4.6.2.4 Näherungslösungen für die turbulente Durchströmung 142
4.6.2.4.1 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
142
4.6.2.4.2 Mit Wandkollisionen und EULER-Zahl
146
4.6.2.4.3 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz
148
4.6.2.4.4 Das Weg-Zeit-Gesetz
149
4.6.2.4.5 Berechnung der Auslaufzeit td = f(h)
151
4.6.2.4.6 Überprüfung des Geschwindigkeits-Weg-Gesetzes 152
4.6.2.5 Analytische Lösungen für die laminare Durchströmung 153
4.6.2.5.1 Bewegungsgleichung des Ausfließens
153
4.6.2.5.2 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
158
4.6.2.5.3 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz
166
4.6.2.5.4 Das Weg-Zeit-Gesetz
169
4.6.3 Plausibilitätsprüfung und Spezialfälle
173
4.6.4 Auslaufzeit aus einem Trichter und Verweilzeit
174
4.6.5 Experimentelle Überprüfung der Trichterauslaufmodelle
183
4.6.6 Einfluß der kohäsiven Fließeigenschaften
183
4.7
Zusammenfassung wesentlicher Dimensionierungsgleichungen184
4.8
Wärmetransportprobleme in Silos
185
4.8.1 praktische Probleme
185
4.8.2 Wärmeübergang zwischen Wand und ruhendem Schüttgut 185
4.8.3 Modellierung d. Wärmeüberganges zw. Wand & Schüttgut 186
4.8.3.1 Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender Schüttung187
4.8.3.2 Instation. Partikel-Partikel-Wärmeübergang im Festbett187
4.9
4.10
4.11
Befüllung und Füllstandsmessung
Bunkerverschlüsse
Normsilos
188
189
190
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92
4 Fließgerechte Auslegung eines Silos bzw. Bunkers
Gliederung siehe auch Bild F 4.1:
4.1 Vermeidung der Brückenbildung in einem Massenflussbunker
- Gemäß eines „natürlichen“ Fließprofils beim Schwerkraftfluss eines kohäsiven Schüttgutes stellt sich je nach der Behälterform das reale Fließprofil ein,
- Wenn die Trichterform dem „natürlichen“ Fließprofil des Schüttgutes entspricht, stellt sich Massenfluss ein, ansonsten wird Kernfluss erzeugt.
- siehe dazu noch einmal die Fließprofile für Kern- und Massenfluss und die
damit verbundenen Fließprobleme der Schacht- und Brückenbildung, siehe
Bilder F 4.2 und F 4.3:
- Daher hier nur Spannungen in Auslaufnähe betrachtet, unabhängig von Bedingungen am oberen Schüttgutniveau im Schaft
4.1.1 Radiales Spannungsfeld
Bild 4.1: Das radiale Spannungsfeld im Trichter
ψ
σ1
σr
→ Einführung des folgenden „radialen“ Spannungsansatzes
• Zylinder- oder Polarkoordinaten r, θ*
• in der Trichterspitze alle Spannungen = 0
Eine mittlere Spannung sei mit σ M ∼ r (Kreismit-
θ*
r
b/2
telpunkt) auf einem Fahrstrahl beginnend von der
Kegelspitze gegeben:
θ
σ M = r ⋅ g ⋅ ρ b (r ,θ* )⋅ s(r ,θ* )
(4.1)
ρ b ≠ f (r ,θ* )
(4.2)
Es sei
s ≠ f (r )
→ Das ist voraussetzungsgemäß das sog. radiale Spannungsfeld, Bild 4.1.
Man liest eine einfache Gleichung für das Stoffgesetz des stationären Fließens
beschrieben mittels des effektiven Fließortes ab, Bild 4.2:
τrθ
Bild 4.2: Effektiver Fließort
ϕe
σθ
ϕe
effektiver Fließort
σ R = sin ϕ e ⋅ σ M
σR
2ψ
σM σ
r
σ1
σ1 = σ M + σ R
= σ M + σ M ⋅ sin ϕ e
(4.3)
(4.4)
σ1 = σ M ⋅ (1 + sin ϕe )
(4.5)
σ M = r ⋅ g ⋅ ρ b ⋅ s(θ* )
(4.6)
Für die gegenüber σ1 kleinere Radialspannung σr gilt entsprechend:
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93
σ r =σ M +σ R ⋅ cos 2ψ
(4.7)
und mit sin ϕ e =σ R / σ M
läßt sich σR eliminieren σ r =σ M ⋅ (1+sin ϕ e ⋅ cos 2ψ )
(4.8)
σ1 = r ⋅ g ⋅ ρ b (1 + sin ϕe ) ⋅ s(θ* )
(4.9)
4.1.2 Allgemeines Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke
Folgende Kräfte greifen an einer inkrementellen Brücke an, siehe Bild F 4.4:
keilf.Tr. :
dFG = ρ b ⋅ g ⋅ A B ⋅ dh B
dFV = σ1′ ⋅ cos δ ⋅ sin δ ⋅ U B ⋅ dh B
kon.Tr. :
dFT = a ⋅ ρ b ⋅ A B ⋅ dh B
dFF =
dp
⋅ A B ⋅ dh B
dh B
AB b ⋅ l b
=
=
UB 2 ⋅ l 2
AB
b2 ⋅ π b
=
=
UB 4 ⋅ π ⋅ b 4
al lg . :
(4.10)
AB
b
=
U B 2(m + 1)
Beim Schlitzauslauf → vertikale, möglichst glatte Stirnseiten tragen nicht (!),
so dass das Kräftegleichgewicht ∑ F ↓= 0 = dFG − dFV ergibt:
ρ b ⋅ g ⋅ b ⋅ dh b ⋅ l = σ1′ ⋅ sin δ ⋅ dh b ⋅ cos δ ⋅ 2l
σ´1
(4.11)
dhB Bild 4.3: Auflagerspannung σ1’ der inkrementell kleinen Dicke dhB. Die Querspannung ist σ2’ = 0.
δ
Diese Auflagerspannung σ1’ an der Trichterwand entspricht einer wirksamen
größten Hauptspannung in der Oberfläche einer kohäsiven Schüttgutbrücke:
ρb ⋅ g ⋅ b
(4.12)
sin 2δ
Wegen dieser freien Schüttgutoberfläche der Brücke ist die wirksame Querσ1′ =
spannung σ2’ = 0, d.h., es handelt sich um einen einaxialen Spannungszustand. Das obige Kräftegleichgewicht liefert:
∑ dF ↓= 0 und damit 0 = dFG − dFV − dFT − dFF
sin 2δ U B
dp
⋅
⋅ A B ⋅ dh B − a ⋅ ρ b ⋅ A B ⋅ dh B −
⋅ A B ⋅ dh B
2
AB
dh B
m +1
dp
0 = ρ b ⋅ g − σ1′ ⋅ sin 2δ ⋅
− a ⋅ ρb −
b
dh B
0 = ρ b ⋅ g ⋅ A B ⋅ dh B − σ1′ ⋅
(m + 1) ⋅ σ1' ⋅ sin 2δ = b ⋅ 1 − a −
ρb ⋅ g


g
1
dp 

⋅
ρ b ⋅ g dh B 
(4.13)
Für das erwünschte Versagen oder Fließen einer instabilen Brücke muss die
Auflagerspannung größer oder gleich der einaxialen Druckfestigkeit σ1’ ≥ σc
sein, d.h. σ1' = σc , krit , und es folgt allgemeingültig für δ = ϕw + θ:
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94
b min =
(m + 1) ⋅ σc, krit ⋅ sin 2(θ + ϕ w )
 a
1
dp 

ρ b ⋅ g ⋅ 1 − −
⋅
 g ρ b ⋅ g dh B 
(4.14)
Gewöhnlich wird der quasistationäre Fall a = dv/dt = 0 ohne Fluidgegendruck dp = 0 betrachtet und es folgt die Dimensionierungsgleichung für die
Trichteröffnungsweite, siehe Bild F 4.5:
(m + 1) ⋅ σ c,krit ⋅ sin 2(θ + ϕ w )
b min =
(4.15)
ρ b ,krit ⋅ g
m = 0 keilförmiger Trichter
m = 1 konischer Trichter, siehe F 3.1 Schüttec_3.doc - Volumenelement
Oft wird die Trichterform auch mit der nach JENIKE grafisch angegebenen
Funktion H(θ) berücksichtigt, die hier analytisch angenähert wurde:
Θ 

H(θ) = (m + 1) ⋅ 1 + 0,25 ⋅
(4.16)

40° 

b min =
H(θ) ⋅ σ c ,krit
ρ b ,krit ⋅ g
(4.17)
4.1.3 Auflagerspannung einer Brücke σ1’ und Fließfaktor ff
Wenn b oder d = 2 ⋅ r ⋅ sin θ in Gl.(4.15) eingesetzt wird, erhält man die Auflagerspannung σ1’ oder, in anderen Worten, die wirksame (oder effektive) größte Hauptspannung an der Trichterwand (deshalb der ’-Strich):
2 ⋅ r ⋅ ρ b ⋅ g ⋅ sin θ
(4.18)
σ1' =
(1 + m ) ⋅ sin 2δ
Bild 4.4: Höhenverlauf der Druckfestigkeit σc einer freien Schüttgutoberfläche
→ in der Trichterspitze sei σ1 = σ1' = 0 vorausgesetzt, d.h. größte Hauptspannung u. wirksame größte Hauptspannung an der Wand sind gleich,
→ wegen des linearen Verlaufs des radialen Spannungsfeldes gilt dann
(δ = θ + ϕ w ) und b = 2 ⋅ r ⋅ sin θ
r ⋅ g ⋅ b ⋅ (1 + sin ϕe ) ⋅ s(θ *) ⋅ (1 + m ) ⋅ sin 2δ
σ1
bzw.
= const = ff =
'
σ1
2 ⋅ r ⋅ g ⋅ b ⋅ sin θ
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95
ff =
1 + sin ϕe
σ1
= (1 + m ) ⋅ sin 2(φ w + θ) ⋅ s(θ *) ⋅
'
2 ⋅ sin θ
σ1
(4.19)
als dimensionslose Formulierung von JENIKE numerisch gelöst,
dabei ist s(θ *) = f (θ* ,ϕ e ,ϕ w ) .
4.1.3.1 Differentialgleichungen zur Berechnung des Fließfaktors
→ Aufstellung von 2 gekoppelten, gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen 1. Ordnung für die unbekannten Funktionen s(θ*) und ψ(θ*), siehe
auch MOLERUS S.148 (1985)
[
ds s⋅ sin 2ψ+sin( θ* +2ψ )+m⋅ s⋅ sin ϕe ⋅ cot θ*⋅ (1+cos 2ψ−sin 2ψ )
=
dθ*
cos 2ψ−sin ϕe
]
(4.20)
mit dem Winkel ψ zwischen der Radialspannung σr (bzw. Fahrstrahl r) und
der größten Hauptspannung σ1 siehe Bild 4.1 und Bild 4.4:
[
dψ
=− 1− m⋅ s⋅ sin ϕe ⋅ (1+sin ϕe )⋅ (cot θ* ⋅ sin 2ψ+cos 2ψ−1)+
*
dθ
1
+cos θ* −sin ϕe ⋅ cos(θ* +2ψ )+s⋅ cos 2 ϕe ⋅
2s⋅ sin ϕe ⋅ (cos 2ψ−sin ϕe )
]
(4.21)
sowie der Randbedingung für das Abgleiten an der Wand,
[
]
sin ϕe ⋅ sin 2ψ( θ* )
tan ϕ w = −
1− sin ϕe ⋅ cos 2ψ( θ* )
[
]
(4.22)
die natürlich durch den Wandreibungswinkel beeinflusst wird.
→ Für vorgewählte ϕe läßt sich das Gleichungssystem numerisch integrieren.
Die Lösungsgrenzen, d.h. Bedingung ob an der Wand Fließen oder nicht
eintritt, ergibt die Massenfluß- und Kernflußgrenzen, siehe Gln.(4.48) und
(4.50) und Bilder F 4.6, F 4.7
→ Die zugehörigen symmetrischen Trichterformen sind in den Bildern F 4.8
und F 4.9 dargestellt
→ Verfestigungsfunktion σc = f(σ1) mit der Auflagerspannung σ1’ F 4.10
→ entsprechend Gl. (4.19) ist also der Fließfaktor der Brückenbildung nach
JENIKE 1 (1964)
ff = f (θ, ϕe , ϕ w )
(4.23)
→ ein vereinfachtes Diagramm ff = f(ϕe) Bild F 4.11
→ komplette Fließfaktoren, s. alte Umdrucke bzw. JENIKE1 Bull. 123 (1964)
1 Jenike, A. W., Storage and flow of bulk solids, Eng. Exp. Station Bull. No. 123, Univ. Utah,
1964
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4.1.3.2 Analytische Berechnung des Fließfaktors
Analytische Näherung des Fließfaktors nach JENIKE
⇒ Die analytisch vereinfachten Lösungen für das Differentialgleichungssystem
Gl.(4.19) und Bild F 4.11 lauten für den Fließfaktor nach JENIKE1 (effektiver Reibungswinkel ϕe in grd):
Konischer Trichter:
für ϕe < 38°: ff kon = 65,443 ⋅ ϕe−1, 0298
für ϕe ≥ 38°: ff kon = 6,462 ⋅ ϕ
(4.24)
−0 , 396
e
(4.25)
Keilförmiger Trichter:
für ϕe < 42°: ff keil = 65,443 ⋅ ϕe−1, 0298
( 4.26)
für ϕe ≥ 42°: ff keil = 9,185 ⋅ ϕe−0,5078
( 4.27)
für ϕe > 79°: ffkeil = 1
( 4.28)
Verhältnis der größten Hauptspannung zur Wandnormalspannung
⇒ Darüber hinaus soll hier nun in Analogie zum Fließfaktor ff = σ1/σ1’ methodisch vereinfacht das Verhältnis der größten Hauptspannung σ1 in
Wandnähe zur - mit Spannungsmeßzellen - messbaren Wandnormalspannung σw (= Wandnormaldruck pn nach Abschnitt 5.2 Schüttec_5.doc) hergeleitet werden, Bild 4.5:
τ
EFO
WFO
τw
ϕe
σ1
β
σR
θ
σr
ϕw
β
σ
σ1
ϕe
σw
τw
2β
σM σw
Wandfließort
effektiver
Fließort
Bild 4.5: Spannungsverhältnisse an der Trichterwand
τ w = σ R ⋅ sin 2β
σ w = σ M +σ R ⋅ cos 2β
(4.29)
(4.30)
Mit der Gleichung des effektiven Fließortes
σ R = σ M ⋅ sin ϕe
eingesetzt folgt
(4.31)
τ w = σ M ⋅ sin ϕe ⋅ sin 2β
(4.32)
σ w = σ M ⋅ (1+sin ϕe ⋅ cos 2β )
(4.33)
Zur Eliminierung der Mittelpunktspannungen werden beide Gln.(4.32) und
(4.33) geteilt. Bei voll mobilisierter Wandreibung gilt:
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97
τw
sin ϕe ⋅ sin 2β
für Gleichheit folgt
≤ tan ϕ w =
σw
1+sin ϕe ⋅ cos 2β
sin ϕe ⋅ sin 2β = tan ϕ w +tan ϕ w ⋅ sin ϕe ⋅ cos 2β
(4.34)
Diese Gleichung wird nun in eine für die Anwendung der Additionstheoreme der Winkelfunktionen günstige Schreibweise umgeformt:
tan ϕ w
⋅ cosϕ w
sin 2β − tan ϕ w ⋅ cos 2β =
sin ϕe
sin ϕ w
sin 2β⋅ cos ϕ w − cos 2β⋅ sin ϕ w =
sin ϕe
sin ϕ w
bzw.
sin (2β−ϕ w ) =
sin ϕe
β=
 sin ϕ w 
1 
⋅ ϕ w + arcsin 

2 
 sin ϕe 
(4.35)
Dieser Gleitwinkel β entspricht auch dem Winkel zwischen der Wandnormalspannung σw und der größten Hauptspannung σ1 in Wandnähe. Deshalb
folgt auch aus den Gln.(4.29) und (4.31):
σ −σ
σ  1−sin ϕe  σ1⋅ sin ϕe
τw
=
(4.36)
= 1 2 = 1 1−
sin 2β
2
2  1+sin ϕe  1+sin ϕe
Kombiniert man Gl.(4.36) mit der Wandreibungsgrenze τw = tan ϕw ⋅ σ w
und Gl.(4.35) folgt das interessierende Verhältnis der unbekannten größten
Hauptspannung σ1 zur messbaren Wandnormalspannung σw im Trichter
τ (1+sin ϕe )
σ (1+sin ϕe ) ⋅ tan ϕw
σ ⋅ sin ϕe
τw
σ1 = w
σ1 = w
= 1
sin 2β 1+sin ϕe
sin ϕe ⋅ sin 2β
sin ϕe ⋅ sin 2β
σ1
=
σw
(1+ sin ϕe ) ⋅ tan ϕw
(4.37)

 sin ϕw 

sin ϕe ⋅ sin ϕw + arcsin
 sin ϕe 

als eine vergleichsweise einfache und überschaubare Beziehung. Diese ist
analog zum Fließfaktor ff der Brückenbildung innerhalb des Trichters als
Verhältnis der größten Hauptspannung zur wirksamen größten Hauptspannung im Auflager einer Brücke ff = σ1 / σ1 ' definiert, z.B.
Tabelle 4.1: Gleitwinkel β und Spannungsverhältnis σ1/σw an der Wand
Wandreibungswinkel ϕw
20°
25°
effektiver Reibungswinkel ϕe 40°
45°
50°
40°
45°
50°
Gleitwinkel β
26°
25°
23°
33°
31°
29°
Spannungsverhältnis σ1/σw
1,18
1,17
1,16
1,30
1,28
1,26
Fließfaktor nach WALKER
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⇒ Davon ausgehend soll nun eine analytische Abschätzung des Fließfaktors
nach WALKER 2 (1968) angegeben werden:
• Mit dem Gleitwinkel β zwischen der Schubspannungsebene an der Wand
und der Wirkungsebene der größten Hauptspannung σ1, gemäß Gl. (4.35)
 sin φw 
1 

(4.35)
β = ⋅ φw +arcsin 
2 
 sin φe 
• und den Hilfsgrößen B und D, wobei letztere sich als Verteilungsfaktor des
Vertikaldruckes über den Trichterquerschnitt interpretieren läßt D ≈ 1
B=
sin ϕe ⋅ sin 2(β+θ)
1 − sin ϕe ⋅ cos 2(β+θ)
(4.38)
ff =
1+sin ϕe
sin 2(ϕ w +θ)
⋅
1− sin ϕe ⋅ cos 2(β+θ) 2⋅ B⋅ D−tan θ
(4.39)
• nur sinnvoll im Zusammenhang mit den Meßergebnissen von Ringscherzellen für konische Trichter anwendbar, ⇒ gewöhnlich werden zu große ffWerte berechnet.
Fließfaktor nach ARNOLD, MCLEAN, ROBERTS und ENSTAD
⇒ Deshalb sollen hier - statt der Gl.(4.39) - zusätzlich die allgemeingültig formulierten, analytischen Berechnungen des Fließfaktors der Brückenbildung nach ARNOLD, MCLEAN 3, ROBERTS 4 und ENSTAD 5 angegeben werden, die an die JENIKE-Werte angepasst wurden, Bild F 4.12:
• mittlere Vertikalspannung am Auslauf für das Entleeren σv
1  2σ w ⋅ (tan θ+tan φw )
1 
4
σ v = ρ b ⋅ g⋅ b⋅   ⋅
⋅
−
m+1
ρ b ⋅ g⋅ b
 3  4tan θ 
m
(4.40)
• die Wandnormalspannung σw
σ w = ρ b ⋅ g⋅ b⋅
Y⋅ (1 + sin φe ⋅ cos 2β )
2(X−1)⋅ sin θ
(4.41)
mit der Höhenkoordinate y bzw. b = y⋅ 2tan θ sowie wiederum mit dem
Gleitwinkel β und den Hilfsgrößen X > 1 und Y > X
 sin φw 
1 

β = ⋅ φw +arcsin 
2 
 sin φe 
(4.35)
Es sollte β < 180°/ π ≈ 57,3° sein.
2
Walker, D.M., An approximated theory for pressures and arching in hoppers, Chem. Engng.
Sci. 21 (1966) p. 975-997
3 Arnold, P.C. and A.G. Mclean, An analytical solution for the stress function at the wall of
converging channel, Powder Technol. 13 (1976) 255
4 Arnold, P.C., McLean, A.G., Roberts, A.W., Bulk Solids: Storage, Flow and Handling,
TUNRA Bulk Solids Handling Research Associates, p. 4.15 ff, Univ. Newcastle, 1980
5 Enstad, G., On the theory of arching in mass-flow hoppers, Chem. Engng. Sci. 30 (1975)
1273
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99
X=
2 m ⋅ sin φe  sin (2β+θ) 
⋅
+1
1− sin φe  sin θ

(4.42)
m  π⋅ (β+θ ) 
2 m ⋅ [1− cos(β+θ)] ⋅ 
⋅ sin θ + sin β ⋅ sin1+m (β+θ)

 180° 
Y=
(1−sin φe )⋅ sin 2+m (β+θ)
1− m
(4.43)
Dabei muss Y > X sein.
• die größte Hauptspannung am Auslauf σ1 folgt entsprechend σw
σ1 = ρ b ⋅ g⋅ b ⋅
Y⋅ (1 + sin φe )
2⋅ (X − 1) ⋅ sin θ ⋅ F( θ)
(4.44)
• sowie damit der Fließfaktor ff nach ARNOLD u.a. (für X > 1)
ff =
σ1
Y⋅ (1 + sin φe )
= (m+1) ⋅
'
σ1
2 ⋅ (X − 1) ⋅ sin θ ⋅ F( θ)
(4.45)
1− m
 130°   200° 
mit F( θ) = 
 ⋅

 130° + θ   200° + θ 
m
(4.46)
somit ist auch die Funktion H(θ) nach Gl.(4.16):
1− m
m +1
 130° + θ   200° + θ 
H ( θ) =
= (m + 1) ⋅ 
 ⋅

F( θ)
 130°   200° 
m
(4.47)
4.1.4 Vermeidung der Brückenbildung beim Massenflusstrichter
4.1.4.1 Maximaler Trichterneigungswinkel für Massenfluß
Die Randbedingungen zur Lösung der Gleichungen des radialen Spannungsfeldes entsprechen den Bedingung, ob an der Wand Fließen bzw. Abgleiten
oder nicht eintritt, ergibt die Massen- und Kernflußgrenzen 6, siehe dazu die
Diagramme F 4.6 und F 4.7.
Zur Gewährleistung von Massenfluss muss der Trichterwerkstoff glatt sein
und steil genug gestaltet werden. Die praktisch immer noch häufig anzutreffenden 60°-Trichter (30° zur Vertikalen) reichen dazu gewöhnlich nicht aus.
Diese Massen- und Kernflussgrenzen lassen sich auch berechnen, und zwar gilt
für den maximalen Neigungswinkel des Silotrichters zur Vertikalen6, 7 des
• konischen Trichters und des
θ kon ≤
 1 − sin ϕ e
1
180° − arccos
2
 2 ⋅ sin ϕ e
θ kon ,prak = θ kon − (2° bis 3°)

 sin ϕ W
 − ϕ w − arcsin

 sin ϕ e



(4.48)
(4.49)
6
Jenike, A. W., Gravity flow of bulk solids, p. 148ff, Eng. Exp. Station Bull. No. 108, Univ.
Utah, 1961
7 Ter Borg, L., Einfluß des Wandmaterials auf das Auslaufverhalten von Schüttgütern aus Silos, Chem.-Ing.-Techn. 58 (1986) 588 - 590
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100
Zur Sicherheit wählt man die Grenzen zwischen Massen- und Kernfluß etwa
2° bis 3° niedriger. Wegen zu hoher Bauhöhen sind allerdings bisher Neigungswinkel unterhalb von θ = 15° praktisch nicht realisiert worden!
• keilförmigen Trichters für ϕW < ϕe - 3° und θ ≤ 60°:


ϕW
1
 50° − ϕ e  
θ keil ≤ 60.5° +
arctan
 ⋅ 1 −
 (4.50)
15.7°
 7.73°   42.3° + 0.131° ⋅ exp(0.06 ⋅ ϕ e ) 

Hier wird kein Sicherheitswert abgezogen.
4.1.4.2 Auslegungsmethoden der minimalen Trichteröffungsweite
4.1.4.2.1 Grafisch für beginnendes Fließen
Aus der Gl.(4.15) folgt für die kritischen Druckspannungen am Schnittpunkt
der Verfestigungsfunktion mit der Auflagerspannung σ c = σ1' , bei dem eine
Brücke zerstört wird, Bild 4.6, Bilder F 4.13 und F 4.14:
Brückenσ1’ keine Brücken Bild 4.6: Kriterium für die Brüσc
bildung
ckenbildung eines kohäsiven
σ1’ > σc
σ1’
siehe Bild F 4.10,
σc Schüttgutes,
'
Brückenbildung und
σc > σ1
σc,krit
σc > σ1’
σc < σ1' keine Brückenbildung!
σ1
σ1,krit
• minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken:
(m + 1) ⋅ σ c,krit ⋅ sin 2(θ + ϕ w )
b min =
ρ b ,krit ⋅ g
(4.15)
m = 0 keilförmiger Trichter
m = 1 konischer Trichter, siehe F 4.8
• Mindestschlitzlänge für den keilförmigen Trichter
(4.51) Keiltrichter mit senkrechten Stirnwänden
l min = 3 ⋅ b min
(4.52) Keiltrichter mit schrägen Stirnwänden, s. F 4.9
l min = 6 ⋅ b min
• Die Verfestigungsfunktionen, Gln.(4.53) bis (4.55), können als typische
Stoffeigenschaftsfunktionen, siehe Bilder F 4.13 und F 4.14, Schüttec_3.doc
- sigma_c_sigma_1 und Schüttec_3.doc - sigma_ct_sigma_1 durch lineare
Regression der Meßergebnisse approximiert werden:
σc = a1⋅ σ1 + σc ,0
σc =
2 ⋅ (sin ϕst − sin ϕi )
2 ⋅ sin ϕst ⋅ (1 + sin ϕi )
⋅ σ1 +
⋅σ
(1 + sin ϕst ) ⋅ (1 − sin ϕi )
(1 + sin ϕst ) ⋅ (1 − sin ϕi ) 0
σ ct = a 1,t ⋅ σ1 +σ ct , 0
(4.53)
(4.54)
(4.55)
a1, a1t
Anstiege der Verfestigungsfunktionen
σc,0, σct,0 Ordinatenabschnitte der Verfestigungsfunktionen für σ1 = 0
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101
• Mit dem Fließfaktor ff gemäß Gl.(4.19) bzw. mit der effektiven (wirksamen) größten Hauptspannung an der Wand σ1’, die einer Auflagerspannung der kohäsiven Schüttgutbrücke entspricht:
σ1' = σ1 / ff
(4.56)
und der Verfestigungsfunktion Gl. (4.53)
σc = a1⋅ σ1 + σc ,0
(4.53)
ist am Schnittpunkt der Verfestigungsfunktion σc(σ1) mit der Auflagerspannung Gl.(4.56):
σc = a 1⋅σ1' ⋅ff + σc ,0 bzw.
σ c − a 1⋅σ1' ⋅ff = σ c, 0
und für σc ,krit = σ1' ist
σc ,krit − a 1⋅σc ,krit ⋅ff = σc ,0
Es folgt die kritische Druckfestigkeit am Schnittpunkt beider Funktionen
σ c ,krit =
σ c,0
(4.57)
1 − a 1⋅ ff
und die kritische Hauptspannung mit der Gl.(4.56):
σ1,krit = σ1' ⋅ ff = σ c ,krit ⋅ ff =
σ c , 0 ⋅ ff
1 − a 1⋅ ff
(4.58)
Mit Gl. (4.15) folgt die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbildung bei beginnendem Fließen - nach stationärem
Fließen als vorherige Verfestigung infolge des radialen Spannungsfeldes
b min =
(m + 1) ⋅ σ c , 0 ⋅ sin 2(θ+ϕ w )
ρ b ,krit ⋅g ⋅ (1 − a 1⋅ ff )
(4.59)
oder mit den Fließkennwerten des stationären und beginnenden Fließens
(Reibungswinkel ϕst, ϕi, isostatische Zugfestigkeit σ0) ausgedrückt,
2 ⋅ (m + 1) ⋅ sin 2(ϕ W + θ) ⋅ (1 + sin ϕi ) ⋅ sin ϕst ⋅ σ 0
(4.60)
ρ b ,krit ⋅ g ⋅ [1 − sin ϕst ⋅ sin ϕi − (sin ϕst − sin ϕi ) ⋅ (2 ⋅ ff − 1)]
b min =
und für das beginnende Fließen nach einer Zeitverfestigung:
b min,t =
(m + 1) ⋅ σ ct , 0 ⋅ sin 2(θ + ϕ w )
ρ b ,krit ⋅ g⋅ (1 − a 1t ⋅ ff )
(4.61)
als Grundlage einer grafische und der partiell analytischen Berechnung.
• Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)
Θ 

(4.16)
H(θ) = (m + 1) ⋅ 1 + 0,25 ⋅

40° 

gemäß JENIKE lässt sich mit der Gl. (4.17) auch schreiben:
b min =
H(θ) ⋅ σ c , 0
ρ b ,krit ⋅g ⋅ (1 − a 1⋅ ff )
(4.62)
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102
b min,t =
•
•
H(θ) ⋅ σ ct , 0
Diese beiden Auslegungsbeziehungen liefern etwas höhere Rechenwerte als die Gln. (4.59) und (4.61) davor.
Der Schnittpunkt der Druck- und Festigkeitskennlinie liefert auch die
kritische Verfestigungsspannung σ1,krit, siehe Gln. (4.58) bzw. (4.83)
und Bild 4.6:
σ1,krit =
•
•
(4.63)
ρ b ,krit ⋅g ⋅ (1 − a 1⋅ ff )
ρ b ,krit ⋅ g ⋅ b min ⋅ ff krit
(4.64)
(m + 1) ⋅ sin 2(θ + ϕ w )
Für diesen Wert müssen die zugehörigen Fließkennwerte ϕe(σ1),
ϕw(σ1), ρb(σ1), ff(ϕe(σ1), ϕw(σ1)) herausgesucht werden, Bilder F 4.13
und F 4.14! Da dieser Schnittpunkt bei Beginn der Dimensionierungsrechnung noch nicht bekannt ist, sind zwei Iterationen notwendig.
Die ausgeführte Öffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbildung
muß b ≥ b min sein !
Gelingt dies nicht, muss an dieser kritischen Stelle eine Austragshilfe bzw.
ein Zwangsaustrag eingesetzt werden, siehe Schüttec_6.doc!
4.1.4.2.2 Analytisch für beginnendes Fließen mit ρb,krit
• Für die Beschreibung der Druckabhängigkeit der Schüttgutdichte in der Dimensionierungsgleichung (4.59) wird die folgende Kompressionsfunktion
ρb(σM,st) benutzt, siehe Schüttec_3.doc - Rhob_SigmaMst:
 σ
ρ b =ρ b , 0 ⋅1 + M ,st
σ0




n
(4.65)
Mit der Beziehung (4.66 des stationären Fließortes wird sie auf eine Kompressionsfunktion ρb(σ1) umgerechnet:
σ1 = σ R ,st + σ M ,st = sin ϕ st ⋅ (σ M ,st + σ 0 ) + σ M ,st
(4.66)
σ M ,st ⋅ (1 + sin ϕst ) = σ1 − σ0 ⋅ sin ϕst
Eingesetzt in die Kompressionsfunktion Gl. (4.65) folgt:
 σ ⋅ (1 + sin ϕst ) + σ1 − σ 0 ⋅ sin ϕst
 σ − σ 0 ⋅ sin ϕst 
 = ρ b , 0 ⋅ 0
ρ b =ρ b , 0 ⋅1 + 1
σ 0 ⋅ (1 + sin ϕst )

 σ 0 ⋅ (1 + sin ϕst ) 
n
n
 σ + σ 0 ⋅ sin ϕst − σ 0 ⋅ sin ϕst + σ1 


σ 0 + σ1

 = 
ρ b = ρ b , 0 ⋅ 0

σ 0 ⋅ (1 + sin ϕst )
 (1 + sin ϕst ) ⋅ σ 0 





n
n
Mit dieser Kompressionsfunktion ρb(σ1)
ρ b ,krit 
1
= 
ρ b , 0  1 + sin ϕst
n
  σ1,krit
 ⋅ 1 +
σ0
 



n
(4.67)
und der Gleichung (4.59) für die minimale Trichteröffnungsweite
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103
b min =
(m + 1) ⋅ σ c , 0 ⋅ sin 2(θ+ϕ w )
(4.59)
ρ b ,krit ⋅g ⋅ (1 − a 1⋅ ff )
folgt eine analytische Beziehung zur Berechnung der minimalen Trichteröffnungsweite:
(m + 1) ⋅ σ c , 0 ⋅ sin 2(θ+ϕ w ) ⋅ (1 + sin ϕst )
n
b min =
 σ
ρ b , 0 ⋅ g ⋅ (1 − a 1⋅ ff ) ⋅ 1 + 1,krit
σ0




n
Einsetzen der kritischen Hauptspannung Gl. (4.58)
σ1,krit = σ1' ⋅ ff = σ c ,krit ⋅ ff =
σ c , 0 ⋅ ff
(4.58)
1 − a 1⋅ ff
(m + 1) ⋅ σ c , 0 ⋅ sin 2(θ+ϕ w ) ⋅ (1 + sin ϕst )
n
b min =
b min =
b min =
n
σ c , 0 ⋅ ff 


ρ b , 0 ⋅ g ⋅ (1 − a 1⋅ ff ) ⋅ 1 +
 (1 − a 1⋅ff ) ⋅ σ 0 
n
(m + 1) ⋅ σ c , 0 ⋅ sin 2(θ+ϕ w ) ⋅ (1 + sin ϕst )
 (1 − a 1⋅ff ) ⋅ σ 0 + σ c , 0 ⋅ ff
ρ b , 0 ⋅ g ⋅ (1 − a 1⋅ ff ) ⋅ 
(1 − a 1⋅ff ) ⋅ σ 0

n
(m + 1) ⋅ σ c , 0 ⋅ sin 2(θ+ϕ w ) ⋅ (1 + sin ϕst )
(1 − a 1⋅ ff )
ρ b,0 ⋅ g ⋅
(1 − a 1⋅ff )n



 (1 − a 1⋅ff ) ⋅ σ 0 + σ c , 0 ⋅ ff
⋅ 
σ0

n



n
Die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbildung bei beginnendem Fließen ist nun:
(m + 1) ⋅ σ c , 0 ⋅ sin 2(θ+ϕ w ) ⋅ (1 + sin ϕst )
n
b min =
1− n
ρ b , 0 ⋅ g ⋅ (1 − a 1⋅ ff )
σ ⋅ ff

⋅ 1 − a 1⋅ff + c , 0
σ0




n
(4.68)
Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)
Θ 

(4.16)
H(θ) = (m + 1) ⋅ 1 + 0,25 ⋅

40° 

gemäß JENIKE lässt sich wiederum mit der Gl. (4.17) schreiben:
H(θ) ⋅ σ c , 0 ⋅ (1 + sin ϕst )
n
b min =
1− n
ρ b , 0 ⋅ g ⋅ (1 − a 1⋅ ff )
σ ⋅ ff

⋅ 1 − a 1⋅ff + c , 0
σ0




n
(4.69)
4.1.4.2.3 Analytische Auslegung für stationäres Fließen
• Im Falle des stationären Fließens sind die größte Hauptspannung und die
einaxiale Druckfestigkeit gleich σ1 = σc,st und man erhält die Druckfestigkeit
aus dem kohäsiven stationären Fließort, siehe auch Schüttec_3.doc - sigma_c_Druckfestigkeit_stationä_Fließen:
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104
σ1 = σ c ,st =
2 ⋅ sin ϕst
⋅ σ0
1 − sin ϕst
(4.70)
Bzw. mit der Gl.(4.53) ist auch:
σ
σ c ,krit = σ c ,st = c , 0
1 − a1
(4.71)
• Vergleicht man diese Gl.(4.71) mit der Gl.(4.57) folgt, dass der Fließfaktor
ff = 1 beim stationären Ausfließen beträgt!
• Es wird nun angenommen, dass sich eine gleichmäßige Spannungsverteilung über dem Querschnitt einer stationär fließenden Brücke einstellt, d.h.,
die größte Hauptspannung in der Brücke entspricht auch der wirksamen
Hauptspannung an der Trichterwand σ1 = σ1’.
• Für die minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken während
des stationären Ausfließens ist damit,
b min,st =
(m + 1) ⋅ σ c , 0 ⋅ sin 2(θ+ϕ w )
(4.72)
ρ b ,krit ⋅ g ⋅ (1 − a 1 )
oder mit der Gl.(4.70):
b min,st =
2 ⋅ (m + 1)⋅ sin ϕst ⋅σ 0 ⋅sin 2(θ+ϕ w )
ρ b ,krit ⋅g⋅(1 − sin ϕst )
(4.73)
Diese minimale Öffnungsweite bmin,st fällt etwas kleiner aus als das bmin für
das beginnende Ausfließen. D.h. während des ständigen Ausfließens würde
auch eine etwas kleinere Trichteröffnungsweite ausreichen, um die Brückenbildung zu vermeiden. Das dürfte die bekannte Überdimensionierung
mit der JENIKE-Methode erklären.
• Damit entfallen die Iterationen zur Ermittlung der Fließkennwerte ϕe(σ1),
ϕw(σ1) und des Fließfaktors ff(ϕe(σ1), ϕw(σ1)).
4.1.4.2.4 Analytisch für stationäres Fließen mit ρb,krit
• Die Schüttgutdichte ρb(σ1) beim stationären Ausfließen (etwas geringer als
beim beginnenden Fließen) muß für σM,st = σc,st/2 gefunden werden:
σ 

ρ b = ρ b ,st =ρ b , 0 ⋅1 + c ,st 
 2 ⋅ σ0 
n
( 4.74)
mit der Gl.(4.70) folgt einfach:
σ1 = σ c ,st =
2 ⋅ sin ϕst
⋅ σ0
1 − sin ϕst

sin ϕst
ρ b ,st =ρ b , 0 ⋅1 +
 1 − sin ϕst
ρb ,st = ρb , 0 ⋅(1 − sin ϕst )
−n
n

 1 − sin ϕst + sin ϕst
 = ρ b , 0 ⋅
1 − sin ϕst


(4.70)
n


1
 = ρ b , 0 ⋅

 1 − sin ϕst



n
(4.75)
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105
• Zur Übung und Überprüfung der Gleichheit der Verwendung der Kompressionsfunktion ρb(σ1) Gl.(4.67):
n
ρ b ,krit 
1
= 
ρ b , 0  1 + sin ϕst
Für σc,st = σ1 ist
  σ1,krit
 ⋅ 1 +
σ0
 
ρ b ,krit 
1
= 
ρ b , 0  1 + sin ϕst
  σ c ,st
 ⋅ 1 +
σ0
 
ρ b ,krit 
1
= 
ρ b , 0  1 + sin ϕst
n



n
n

 ,

(4.67)
n
 
1
 = 
  1 + sin ϕst
 1 − sin ϕst + 2 ⋅ sin ϕst

1 − sin ϕst

n
 
2 ⋅ sin ϕst
 ⋅ 1 +
  1 − sin ϕst
n
 
1
 = 
  1 + sin ϕst



n



n
 1 + sin ϕst

 1 − sin ϕst



n
Das gleicht wieder der Beziehung (4.75):
ρ b ,krit = ρ b , 0 ⋅ (1 − sin ϕst )
−n
q.e.d!
(4.75)
• Setzt man Gl. (4.75) in Gl. (4.72) ein, ist die minimale Öffnungsweite zur
Vermeidung von Brücken während des stationären Ausfließens:
(m + 1) ⋅ σ c , 0 ⋅ sin 2(θ+ϕ w ) ⋅ (1 − sin ϕst )
ρ b , 0 ⋅ g ⋅ (1 − a 1 )
n
b min,st =
(4.76)
Bzw. mit der Gl. (4.73) folgt:
b min,st =
2 ⋅ (m + 1) ⋅ sin ϕst ⋅ σ 0 ⋅ sin 2(θ+ϕ w )
ρ b , 0 ⋅ g ⋅ (1 − sin ϕst )1−n
(4.77)
Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)
Θ 

(4.16)
H(θ) = (m + 1) ⋅ 1 + 0,25 ⋅

40° 

gemäß JENIKE lässt sich wiederum mit der Gl. (4.17) schreiben:
H(θ) ⋅ σ c , 0 ⋅ (1 − sin ϕst )
n
b min,st =
ρ b , 0 ⋅ g ⋅ (1 − a 1 )
(4.78)
4.1.4.3 Abschätzung einer maximalen Trichteröffungsweite
Bei feuchten kohäsiven Schüttgütern mit innerer Partikelporosität (z.B. feine
Rohbraunkohle) kann man einen nichtlinearen Verlauf der charakteristischen
Verfestigungsfunktion σc = f(σ1) verbunden mit einer starken Zunahme der
einaxialen Druckfestigkeit insbesondere bei großen Verfestigungsspannungen
σ1 messen, siehe
Bild 4.7. Dies kann praktisch zur Brückenbildung und zu Verstopfungen am
Übergang zwischen Schaftauslauf und Trichtereinlauf führen.
Entsprechend der Dimensionierungsgleichung (4.15) einer minimalen Trichteröffnungsweite zur Vermeidung der Bildung kohäsiver Brücken muss man hier
die die maximale Abmessung des oberen Trichtereinlaufes beschränken:
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106
b max =
(m + 1) ⋅ σc ,krit,max ⋅ sin 2(θ + ϕw )
σc = f(σ1)
σc,krit,max
σc
(4.79)
ρ b ,krit ,max ⋅ g
σ 1‘
Bild 4.7: Nichtlinearer Verlauf der Verfestigungsfunktion σc = f(σ1)
σ1‘ = σ1/ff
σ1
σ1,krit,max
Das bedeutet, dass der Schaftdurchmesser kleiner als diese maximale obere
Trichtereinlaufweite sein muss D ≤ bmax, um Brückenbildung und Verstopfungen am Übergang zwischen Siloschaft und -trichter zu vermeiden.
4.1.5 Geometrische Auslegung der Trichterform
Berechnung der Trichterhöhe
D/2
θ
tan θ =
D−b
2 ⋅ H Tr
H Tr =
D−b
2 ⋅ tan θ
HTr
b/2
(4.80)
Bild 4.8 und F 4.8: Höhe eines Pyramidenstumpf-Trichters HTr
Kehlneigung bei Trichtern mit Rechteckquerschnitt
Kehle
Bild 4.9: Kehlneigung θKehle ≤ θ(max ) !!!
θ
 L−l  B− b
=

 +
 2   2 
2
HTr
Diagonale
2
( unten )
Diagonale
2
Bild 4.10: Wandneigungen, siehe
F 4.9
L
l
L−l
2 ⋅ H Tr
B−b
=
2 ⋅ H Tr
tan θWand1 =
b
•θ
B
tan θWand 2
und
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107
H Tr =
(L − l )2 + (B − b)2
2 tan θ
tan θWand 2 = tan θ
=
B−b
2 tan θWand 2
B−b
( 4.81)
(L − l )2 + (B − b)2
Für eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche
d.h. B = L und b = l folgt:
 1

θ Wand = arctan
tan θ 
 2

( 4.82)
4.1.6 Ermittlung der größten Hauptspannung σ1(b) am Auslauf
Das =ˆ dem maximalen Druck, wobei die Richtung infolge ständiger Umorientierung hier nicht die Rolle spielen soll,
→ grafisch ablesen aus σc(σ1) -Diagramm ⇒ siehe σ1,krit Gl.(4.64)
→ analytisch wie folgt: σ1 = ff ⋅ σ1' = ff ⋅ σc , krit
→ Einsetzen der Dimensionierungsgleichung (4.15) und für den ausgeführten
Auslauf der Breite b ist:
ρ b, krit ⋅ g ⋅ b ⋅ ff
σ1 =
(4.83)
(m + 1) ⋅ sin 2(θ + ϕW )
• für Abschätzungen insbesondere bei kohäsionslosen Schüttgütern ist ff ≈ 1,3
ausreichend bemessen,
• Mittelpunktsspannung σM,st am Auslauf:
ρ b, krit ⋅ g ⋅ ff ⋅ b
σ − sin ϕst ⋅ σ0
(4.84)
σ M ,st = 1
≈
(m + 1) ⋅ (1 + sin ϕst ) ⋅ sin 2(ϕW + θ)
1 + sin ϕst
• maximal möglicher Vertikaldruck beim Fließen pv,max ≈ σ1 und
• (minimaler) Horizontaldruck p h , min ≈ σ2 =λ E ⋅ σ1 mit dem Horizontaldruckverhältnis für Entleeren (glatte Wand ϕw ≈ 0) λ E ≈
1−sin ϕe
, siehe 4.2.1
1+sin ϕe
4.1.7 Kompressibles Pulver und Hauptspannung σ1(b) am Auslauf
• Für die Berechnung der dichte- und ortsabhängigen Verfestigungsspannung wird die größte Hauptspannung σ1 beim Ausfließen aus dem Trichter
ausgewählt, die beim passiven Spannungsfeld im Wesentlichen auf die
Wand gerichtet ist. Dazu müssen die Gl.(4.83) und die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) geschickt miteinander kombiniert werden:
σ1 =
ρ b ,krit ⋅ g ⋅ b ⋅ ff
(m + 1) ⋅ sin 2(θ + ϕ W )
(4.83)
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108
n

σ 
σ1 = 1 + 1 
 σ0 
n

σ
σ 
1 + 1 = 1 + 1 
σ0  σ0 
n
=
(4.67)
ρ b , 0 ⋅ g ⋅ b ⋅ ff
(m + 1) ⋅ (1 + sin ϕst )n ⋅ σ 0 ⋅ sin 2(θ + ϕ W )
1− n

σ 
1 + 1 
 σ0 
n
  σ1,krit 

 ⋅ 1 +
σ
0 
 
ρ b , 0 ⋅ g ⋅ b ⋅ ff
(m + 1) ⋅ (1 + sin ϕst )n sin 2(θ + ϕ W )
ρ b ,krit 
1
= 
ρ b , 0  1 + sin ϕst
+1
ρ b , 0 ⋅ g ⋅ b ⋅ ff
(m + 1) ⋅ (1 + sin ϕst )n

σ 
+ 1 + 1 
⋅ σ 0 ⋅ sin 2(θ + ϕ W )  σ 0 
−n
1
− n 1− n
ρ b,0 ⋅ g ⋅ b ⋅ ff


σ1  
σ1  
1 +  = 
+ 1 +   (4.85)
n
 σ0   (m + 1) ⋅ (1 + sin ϕst ) ⋅ σ0 ⋅ sin 2(θ + ϕ W )  σ0  
Also ist σ1 = f(b) für ein kompressibles Pulver:
1
− n 1− n

ρ b,0 ⋅ g ⋅ b ⋅ ff

σ1  
σ1 = σ0 
+ 1 +   − σ0 (4.86)
n
 (m + 1) ⋅ (1 + sin ϕst ) ⋅ σ0 ⋅ sin 2(θ + ϕ W )  σ0  
Gl.(4.86) läßt sich wegen σ1,i+1 = f(σ1,i) nur iterativ lösen. Für σ1 > σ0 und da
ρ b,0 ⋅ g ⋅ b ⋅ ff
1
ist, kann σ1= f(b) ana<
n
(1 + σ1 / σ0 ) (m + 1) ⋅ (1 + sin ϕst )n ⋅ σ0 ⋅ sin 2(θ + ϕW )
lytisch berechnet werden:
1

 1− n
ρ b,0 ⋅ g ⋅ b ⋅ ff
σ1 ≈ σ0 

n
 (m + 1) ⋅ (1 + sin ϕst ) ⋅ σ0 ⋅ sin 2(θ + ϕ W ) 
(4.87)
• Für ρb = f(b) setzt man Gl.(4.85) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) ein
n

σ 
1 + 1 
 σ0 
n
− n 1− n

ρ b,0 ⋅ g ⋅ b ⋅ ff

σ1  
=
+ 1 +  
n
 (m + 1) ⋅ (1 + sin ϕst ) ⋅ σ0 ⋅ sin 2(θ + ϕ W )  σ0  
und es folgt mit der Gl.(4.83) die Ortsabhängigkeit der Schüttgutdichte
eines kompressiblen Pulvers im Auslauftrichter als Iterationsgleichung
ρb,i+1= f(b, ρb,i):
n

ρb 
1

= 
ρ b,0  1 + sin ϕst 
n
− n 1− n

ρ b,0 ⋅ g ⋅ b ⋅ ff
 σ1 (ρ b , b)  
 
+ 1 +

n
σ
(
)(
)
(
)
+
+
ϕ
σ
θ
+
ϕ
m
1
1
sin
sin
2

0

 
st
0
W
(4.88)
Die Plausibilität wird für b = 0 überprüft, siehe Gl.(4.67) für σ1 = 0, es folgt:
ρ b ( b = 0) =
ρ b,0
(1 + sin ϕst )n
(4.89)
Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit (1 + σ1 / σ0 ) → 0 :
−n
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109
n

1
ρb 

≈ 
ρ b,0  1 + sin ϕst 
n

1
ρb 

≈ 
ρ b,0  1 + sin ϕst 
n
n

1− n
ρ b,0 ⋅ g ⋅ b ⋅ ff

1





 1 + sin ϕst  (m + 1) ⋅ σ0 ⋅ sin 2(θ + ϕ W ) 


1


1
sin
+
ϕ
st 

n2
1− n
n
ρ b,0 ⋅ g ⋅ b ⋅ ff

 1− n


 (m + 1) ⋅ σ0 ⋅ sin 2(θ + ϕ W ) 
n2
n 2 + n ⋅ (1 − n ) n 2 + n − n 2
n
+n=
=
=
1− n
1− n
1− n
1− n
Die Ortsabhängigkeit der Schüttgutdichte ρb = f(b) ist am Trichterauslauf:
Mit den Exponenten:
n
ρ b,0 ⋅ g ⋅ b ⋅ ff
 1− n
ρb 
≈

ρ b,0  (m + 1) ⋅ (1 + sin ϕst ) ⋅ σ0 ⋅ sin 2(θ + ϕ W )
Wegen ρ b ∝ b
n
1− n
(4.90)
nimmt die Schüttgutdichte für ein kompressibles Pulver
deutlich mit der Auslaufbreite zu. Abweichend von Gl.(4.89) ist ρb(b=0)=0.
4.1.8 Auslegungsschritte der Bunkertrichtergeometrie
1. Massenfluß (Vermeidung einer stabilen Brückenbildung)
• Vorauswahl von ϕe in der Nähe des erwarteten σc ( σ1 ) = σ1' ( σ1 ) - Schnittρ
⋅g⋅b
punktes für ff ≈ 1, d.h. etwa σ1, krit ≈ b, krit
≈ 3...5 kPa
(m + 1)
⇒ liefert minimale Öffnungsweite einer möglichen Trichtereinschnürung
bmin,st während des stationären Fließens, siehe Bild F 4.13,
• Maximale Trichterneigungswinkel θ = f(Wandreibungswinkel ϕw, effektiver Reibungswinkel ϕe), F 4.6 und F 4.7
• kohäsionsloses Schüttgut, Bild F 4.5:
quadratisch:
b min = 5 ⋅ d o ⋅ k
kreisförmig:
b min = 5 ⋅ d o ⋅ 1,08 ⋅ k
Schlitzbreite:
b min
= 5 ⋅ do ⋅ 3
(4.91)
(4.92)
(4.93)
do ≈ d95
obere Stück- oder Partikelgröße
k = 0,6...1,4 Partikelform abhängiger Parameter, k↑ wenn Kantigkeit↑
• kohäsives Schüttgut:
• Vorauswahl ff = f(ϕe) F 4.11 anhand σc = f(σ1),
F 4.13
σ
'
• Auflagerspannung einer Schüttgutbrücke σ1 = 1
mit dem Fließfaktor
ff
ff = f (ϕ e ,ϕ W ,θ) F 4.11
•
•
•
•
•
bmin ausrechnen, F 4.5
HTr berechnen, F 4.8 und F 4.9
bmin,st berechnen, siehe Bild F 4.13
Zeiteinfluß → siehe Bild F 4.15
Anordnung von Austraghilfen → siehe Bild F 4.16
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110
4.1.9 Berechnungsbeispiel für Kalzitpulver:
geg.: X W = 0,3%, d 50 = 3 µm, A S,m = 5,5 m 2 / g
Bestimmung der Trichterneigung θ:
F 4.6 → θ = 14°-2° = 12°
ϕ W = 30°
F 4.7 → θ = 20°
ϕe ≈ 55°
kon. Trichter
keilf. Trichter
Berechnung der Mindestaustragweite für Massenfluß, F 4.5 und F 4.11:
für ϕe ≈ 55° gewählt:
ff = 1,3
kon. Trichter
b min
b min
ff = 1,2
keilf. Trichter
2 ⋅ 2,0kPa ⋅ sin 2(30° + 12°)
=
= 1,22 m konischer Trichter
333kg / m 3 ⋅ 9,81m / s 2
1,9kPa ⋅ sin 2(30° + 20°)
=
= 0,56 m keilförmiger Trichter
338kg / m 3 ⋅ 9,81m / s 2
numerisch ausgewertet:
→
θ = 12,4°
ϕ W = 31°
bmin = 1,13 m
bmin = 0,54 m
kon. Tr.
θ = 20,9°
kon. Tr.
keilf. Tr.
keilf. Tr.
für ff = 1,37
für ff = 1,25
bmin,st für stationäres Fließen in einem konischen Trichter, ff = 1:
ϕi = 37° , ϕst = 45°, σ0 = 0,355 kPa, ρb,0 = 297 kg/m³, n = 0,1
2 ⋅ sin ϕst
2 ⋅ sin 45°
⋅ σ0 =
⋅ 0,355 kPa =1,714 kPa
σ c ,st =
1 − sin 45°
1 − sin ϕst
n


1
1

3
 = 297kg / m 3 ⋅
ρ b ,st = ρ b , 0 ⋅
 = 336 kg / m
 1 − sin 45° 
 1 − sin ϕst 
(m + 1)⋅σ c ,st ⋅sin 2(θ+ϕ w ) (1 + 1)⋅ 1,714kPa⋅sin 2(12+31)
b min,st =
= 1,04 m
=
336kg / m 3 ⋅9,81m / s 2
ρ b ⋅g
0 ,1
Bestimmung der Trichterhöhe:
2,75 − 1,22
H Tr =
= 3,6m kon. Tr.
2 ⋅ tan 12°
2,75 − 0,56
H Tr =
= 3,01m keilf. Tr.
2 ⋅ tan 20°
und Wandneigung eines Pyramidenstumpfes:
 1

θ Wand = arctan
tan 12°  = 8,6°
 2

sowie der größten Hauptspannung im Auslauf:
σ1,krit = 1,3 ⋅ 2,0kPa = 2,6kPa
kon. Tr.
σ1,krit = 1,2 ⋅ 1,9kPa = 2,28kPa
keilf. Tr.
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111
4.2 Vermeidung der Schachtbildung in einem Kernflußbunker
− Vermeidung einer stabilen Schachtbildung! → Bilder F 4.17 und F 4.18
− Kennwertefunktionen → siehe Bild F 4.19
− Gewöhnlich ist der Durchmesser konische Trichter zur Vermeidung der
Schachtbildung bS,min > bmin,Brücke; somit ist keine Berücksichtigung der Brückenbildung notw.!
− Beachte: Beim keilförmigen Trichter entspricht bS,min ≡ dS,min der Diagonalen des Schlitzauslaufes; deshalb muss die kritische Schlitzbreite bS,min
zur Vermeidung der Brückenbildung überprüft werden, also:
b S,min = d S2 ,min − l S2 ,min ≥ b min,Brücke
(4.94)
und mit l S,min = 3.bS,min gemäß Gl.(4.51) folgt
d S2 ,min = b S2 ,min + l S2 ,min = b S2 ,min + 6 ⋅ b S2 ,min = 7 ⋅ b S2 ,min
b S,min = d S,min / 7 = 0,38 ⋅ d S,min ≥ b min,Brücke
(4.95)
− Trotzdem kann in mangelhaft ausgelegten Kernflußbunkern selbstverständlich auch Brückenbildung auftreten, z.B. → Standard-Baustellensilos für
Zement oder Kalkmehl.
4.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft
4.2.1.1 JANSSEN-Gleichung des Fülldruckes im Schaft
− Kräftegleichgewicht an einem horizontalen Scheibenelement der Dicke dy
→ Voraussetzung: pv = const. über den Durchmesser D des Schaftes
ρb = const. F 4.20
∑ F ↑= 0 = (p
v
+ dp v ) ⋅ A − p v ⋅ A + p W ⋅ dy ⋅ U − ρ b ⋅ g ⋅ dy ⋅ A
(4.96)
ph = λF ⋅ pv
(4.97)
p w = tan ϕ w ⋅ p h
(4.98)
λF Horizontaldruckverhältnis beim Füllen mit λF = 0 ... 1, wobei gilt:
λF = 0 Festkörper
λF = 1 iso- oder hydrostatischer Zustand (Flüssigkeit)
dp v
U
+ λ F ⋅ tan ϕ w ⋅ ⋅ p v = ρ b ⋅ g
dy
A
Lösung: als gemeinsame Übung:
dp v
U
= ρ b ⋅ g − λ F ⋅ tan ϕ w ⋅ ⋅ p v
dy
A
Mit einer charakteristischen Höhe:
A
H 63 =
λ F ⋅ tan ϕ w ⋅ U
(4.99)
dp v
p
= ρb ⋅ g − v
dy
H 63
(4.100)
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
112
H 63⋅
Trennung der Variablen:
dp v
= ρ b ⋅ g⋅ H 63 − p v
dy
pv
Integration für H = 0 sei pv = pv,0:
H
dp v
H 63 ⋅ ∫
= dy
ρ ⋅ g⋅ H 63 − p v ∫0
pv , 0 b
− H 63 ⋅ ln(ρ b ⋅ g⋅ H 63 − p v ) p v = H
p
v,0
ln (ρ b ⋅ g⋅ H 63 − p v ) − ln (ρ b ⋅ g⋅ H 63 − p v , 0 ) = −
 ρ ⋅ g⋅ H 63 − p v 
 = − H und
ln b

H 63
 ρ b ⋅ g⋅ H 63 − p v , 0 
H
H 63
 H 
ρ b ⋅ g⋅ H 63 − p v

= exp −
ρ b ⋅ g⋅ H 63 − p v , 0
 H 63 

 H 
 H 
 + p v , 0 ⋅ exp −

p v = ρ b ⋅ g⋅ H 63 ⋅ 1 − exp −
H
H
63  
63 



(4.101)
Für pv,0 = 0 folgt nun die sog. JANSSEN-Gleichung 8:

 H 

p v = ρ b ⋅ g⋅ H 63⋅ 1 − exp −
 H 63 

pv
( 4.102)
Bild 4.11: Vertikaldruckverlauf pv
über der Behälterhöhe H
ρb ⋅ g ⋅ H
pv∞
Es ist p v∞ (H → ∞ ) = ρ b ⋅ g ⋅ H 63
0,63.pv∞
H
H63
und für H = H63 ist
1 − exp(−1) = 1 − 0,37
p v (H = H 63 ) = 0,63 ⋅ ρ b ⋅ g ⋅ H 63
z.B. für einen zylindrischen Schaft gilt:
A
D
π ⋅ D2
=
=
U 4⋅π⋅D 4
pv =
ρb ⋅ g ⋅ D
4 ⋅ λ F ⋅ tan ϕ w
(4.103)
H 


⋅ 1 − exp − 4 ⋅ λ F ⋅ tan ϕ w ⋅ 
D 


(4.104)
• für Silos ist pv ∼ D, → man baut einen schlanken Schaft mit geringem
Durchmesser aber großer Höhe,
• für Flüssigkeitstanks ist pv ∼ H, da p v = ρ ⋅ g ⋅ H , → man baut gedrungene
Tanks mit geringer Höhe aber großem Durchmesser.
4.2.1.2 Kompressibles Pulver und isostatischer Druck σiso(H)
Für einen Schlankheitsgrad des Siloschaftes von H/D < 1,5 entspricht der
Vertikaldruck pv ≈ σiso näherungsweise dem isostatischen Druck (beachte jedoch ph = λ.pv). Der isostatische Druck nimmt wegen des vernachlässigbaren
8
Janssen, H.A., Versuche über Getreidedrücke in Silozellen, Z. VDI 39 (1895) 1045-1049
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
113
Wandreibungswiderstandes pw →0 bei diesem Belastungsfall linear mit der
Füllhöhe H zu:
σiso = ρ b (σiso ) ⋅ g ⋅ H
(4.105)
In diese Gl.(4.105) wird die Kompressionsfunktion ρb = f(σiso) mit dem isostatischen Druck, Gl.(4.106), siehe Schüttec_3.doc#Rhob_Sigmaiso, eingesetzt:

ρb 
sin ϕi

= 
ρ b ,0  sin ϕst + sin ϕi 
σiso
n
 σ 
⋅ 1 + iso 
σ0 



sin ϕi

= ρ b ,0 ⋅ 
 sin ϕst + sin ϕi 
σiso ρ b ,0
=
σ0
σ0


sin ϕi

⋅ 
 sin ϕst + sin ϕi 
ρ
σ
1 + iso = b ,0
σ0
σ0
1− n
 σiso 
1 +

σ0 

n
ρ
σ
1 + iso =  b ,0
σ0  σ0

(4.106)
n
 σ 
⋅ 1 + iso  ⋅ g ⋅ H
σ0 

n
:σ0
n
 σ 
⋅ 1 + iso  ⋅ g ⋅ H
σ0 



sin ϕi

⋅ 
 sin ϕst + sin ϕi 
ρ
= b ,0
σ0
n
n
+1
n
 σ 
⋅ 1 + iso  ⋅ g ⋅ H + 1
σ0 

n
 σ 
:1 + iso 
σ0 



 σ 
sin ϕi
 ⋅ g ⋅ H + 1 + iso 
⋅ 

σ0 

 sin ϕst + sin ϕi 
n


 σ 
1
 ⋅ g ⋅ H + 1 + iso 
⋅ 
σ0 
 1 + sin ϕst / sin ϕi 

n
−n
−n
1
 1−n


(4.107)
Die Höhenabhängigkeit des isostatischen Druckes σiso(H) ist damit für ein
kompressibles Pulver:
1
σiso
− n 1− n

ρ b ,0 ⋅ g ⋅ H
 σiso  
  − σ0
= σ0 ⋅ 
+ 1 +
n
σ0  
 σ0 ⋅ (1 + sin ϕst / sin ϕi ) 

(4.108)
Gl.(4.108) läßt sich wegen σiso,i+1 = f(σiso,i) nur iterativ lösen.
−n
Häufig ist σiso > σ0 und deshalb ist der Term (1 + σiso / σ0 ) klein gegenüber
dem linken Term in der [..]-Klammer, so dass man vereinfachend die Höhenabhängigkeit des isostatischen Druckes σiso = f(H) auch analytisch berechnen
kann:
1
σiso

 1−n
ρ b ,0 ⋅ g ⋅ H
≈ σ0 ⋅ 
n 
 σ0 ⋅ (1 + sin ϕst / sin ϕi ) 
(4.109)
Für ρb = f(H) setzt man Gl.(4.107) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.106) ein
 σiso 

1 +
σ0 

n
ρ
=  b,0
 σ0
n


 σ 
1
 ⋅ g ⋅ H + 1 + iso 
⋅ 
σ0 
 1 + sin ϕst / sin ϕi 

n
− n 1− n



und mit der Gl.(4.105) erhält man für ein kompressibles Pulver die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte in einem Schüttguthaufen oder Halde als
Iterationsgleichung ρb,i+1 = f(H, ρb,i):
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114

ρb 
sin ϕi

= 

ρ b,0  sin ϕst + sin ϕi 
n
ρ
⋅  b,0
 σ0
n


 ρ ⋅g⋅H 
sin ϕi
 g ⋅ H + 1 + b

⋅ 
σ0 
 sin ϕst + sin ϕi 

n
− n 1− n



(4.110)
Die Plausibilität wird für H = 0 überprüft und es folgt
n


sin ϕi
 ⋅ ρ b,0
ρ b ( H = 0) = 
sin
ϕ
+
sin
ϕ
st
i


(4.111)
siehe auch Gl.(4.106) für σiso = 0.
−n
Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit (1 + ρ b ⋅ g ⋅ H / σ0 ) → 0 :
  ρ b,0
ρb 
sin ϕi
 ⋅
≈ 
ρ b,0  sin ϕst + sin ϕi   σ0

n



sin ϕi
 ⋅ g ⋅ H 
⋅ 

 sin ϕst + sin ϕi 
n
n
1− n
n2
1− n
n
n
 1− n
ρ


sin ϕi
 ⋅  b,0 ⋅ g ⋅ H 
⋅ 

 σ0
 sin ϕst + sin ϕi 
2
2
n
n + n ⋅ (1 − n ) n 2 + n − n 2
n
Mit den Exponenten:
+n=
=
=
1− n
1− n
1− n
1− n
Die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte ρb = f(H) ist für H/D < 1,5:

sin ϕi
ρb 

≈ 
ρ b,0  sin ϕst + sin ϕi 
ρ ⋅g⋅H 
ρb 
sin ϕi

≈ 
⋅ b,0
ρ b,0  sin ϕst + sin ϕi
σ0

Wegen ρ b ∝ H
n
1− n
n
1− n
(4.112)
nimmt die Schüttgutdichte für ein kompressibles Pulver
deutlich mit der Schütthöhe zu. Abweichend von Gl.(4.111) ist durch die Vereinfachung ρb(H=0) = 0.
4.2.1.3 Kompressibles Pulver und Vertikaldruck pv(H) im Schaft
Für die Berechnung der höhen- und dichteabhängigen Verfestigungsspannung
wird der Vertikaldruck pv bzw. die größte Hauptspannung σ1 bei Füllen ausgewählt, denn beim aktiven Spannungsfeld gilt zumindest in der Hauptachse
des vertikalen Schaftes pv = σ1. Dazu müssen die Gl.(4.104) und die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) miteinander kombiniert werden:

 H 

(4.104)
p v = ρ b ⋅ g ⋅ H 63 ⋅ 1 − exp −
H
63




ρ b, krit 

1

= 
ρ b,0  1 + sin ϕst 
n

 σ
⋅ 1 + 1, krit 
σ0 

n
(4.67)
Nach Einsetzen von Gl.(4.67) in Gl.(4.104) gilt mit pv ≈ σ1:
n

 H 
p v  ρ b,0 ⋅ g ⋅ H 63 
p v = 1 + 
1
exp
−

n
 − H 
63  
 σ0  (1 + sin ϕst ) 

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115
n

p
p  ρ b,0 ⋅ g ⋅ H 63
1 + v = 1 + v 
σ0  σ0  σ0 ⋅ (1 + sin ϕst )n
1− n

p 
1 + v 
 σ0 
=
ρ b , 0 ⋅ g ⋅ H 63
σ 0 ⋅ (1 + sin ϕst )
n

 H 
 + 1
1 − exp −
H
63




 H  
p 
 + 1 + v 
1 − exp −
 H 63   σ 0 

−n
1
− n 1− n

 H  
p v   ρ b,0 ⋅ g ⋅ H 63 
p v  
1 +  = 
 + 1 +  
1 − exp −
n 
 σ0   σ0 ⋅ (1 + sin ϕst ) 
 H 63   σ0  
(4.113)
Die Höhenabhängigkeit des Fülldruckes pv(H) ist somit für ein kompressibles Pulver:
 ρ ⋅ g ⋅ H
b,0
63
p v = σ0 
n
(
σ
⋅
+
ϕ
1
sin
 0
st )

 H  
p 
 + 1 + v 
1 − exp −
 H 63   σ0 

−n
1
1− n

 − σ0

(4.114)
Gl.(4.114) läßt sich wegen pv,i+1 = f(pv,i) nur iterativ lösen. Praktisch ist in Silos
−n
pv >> σ0 und deshalb ist der rechte Term (1 + p v / σ0 ) klein gegenüber dem
linken Term in der [..]-Klammer, so dass man die Höhenabhängigkeit des Fülldruckes pv = f(H) auch analytisch berechnen kann:
 ρ b,0 ⋅ g ⋅ H 63
p v ≈ σ0 ⋅ 
n
 σ0 ⋅ (1 + sin ϕst )
1

 H  1− n
 −
 
1
−
exp

H
63   



(4.115)
Der Horizontaldruck ist dann wegen ph = λ.pv:
1
 ρ b,0 ⋅ g ⋅ H 63 
 H  1− n
 
1 − exp −
p h ≈ λ 0 ⋅ σ0 ⋅ 
n 
 σ0 ⋅ (1 + sin ϕst ) 
 H 63  
(4.116)
Für ρb = f(H) setzt man Gl.(4.113) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) ein
n

p 
1 + v 
 σ0 
n
− n 1− n
 ρ ⋅ g ⋅ H

 H  
p v  
63
b,0
 + 1 +  
=
1 − exp −
n 
 σ0 ⋅ (1 + sin ϕst ) 
 H 63   σ0  
und es folgt mit pv(ρb, H), Gl. (4.104), die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte eines kompressiblen Pulvers in einem Siloschaft als Iterationsgleichung ρb,i+1 = f(H, ρb,i):

ρb 
1

= 
ρ b,0  1 + sin ϕst 
n
 ρ ⋅ g ⋅ H

 H   p v (ρ b , H ) 
b,0
63

−
1
exp


n
 − H  + 1 +

σ0
 σ0 (1 + sin ϕst ) 
63  



−n
(4.117)
Die Plausibilität wird wiederum für H = 0 überprüft und es folgt
ρ b ( H = 0) =
ρ b,0
(1 + sin ϕst )n
(4.118)
siehe auch Gl. (4.67) für pv = σ1 = 0.
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


n
1− n
116
Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit (1 + p v / σ0 ) → 0 :
−n

ρb 
1

= 
ρ b,0  1 + sin ϕst 
n

ρb 
1

= 
ρ b,0  1 + sin ϕst 
n
 ρ b,0 ⋅ g ⋅ H 63
⋅
n
 σ0 ⋅ (1 + sin ϕst )


1


+
ϕ
1
sin
st 

n2
1− n

 H  
 
1 − exp −
H
63   



 ρ ⋅ g ⋅ H 63
⋅  b,0
σ0

n
1− n
n

 H  1− n
 −
 
−
1
exp

H
63   



n2
n 2 + n ⋅ (1 − n ) n 2 + n − n 2
n
+n=
=
=
1− n
1− n
1− n
1− n
Die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte ρb = f(H) ist für H/D > 1,5:
Mit den Exponenten:
n
 H  1− n
ρ b  ρ b,0 ⋅ g ⋅ H 63 
 
≈
1 − exp −
ρ b,0  σ0 ⋅ (1 + sin ϕst ) 
 H 63  
(4.119)
Die Schüttgutdichte nimmt für ein kompressibles Pulver deutlich mit der Füllhöhe zu. Abweichend von Gl.(4.118) ist durch die Vereinfachung ρb(H=0) = 0.
4.2.1.4 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ
(1) Das Horizontaldruckverhältnis λ kennzeichnet die Druckanisotropie eines
Schüttgutes gegenüber dem isostatischen Druckverhalten eines Fluides mit
pv = ph und λ = 1, siehe Bild F 4.21, da gilt:
p
0 < h = λ <1
(4.120)
pv
(2) Voraussetzung pv = σ1 und ph = σ2 sind Hauptspannungen, d.h. nur in der
Achse des Schaftes erfüllt!
σ
σ − σ2
(4.8)
Es ist sin ϕe = R = 1
σ M σ1 + σ 2
σ1 sin ϕe − σ1 = −σ 2 − σ 2 ⋅ sin ϕe σ1 ⋅ (1 − sin ϕe ) = σ 2 ⋅ (1 + sin ϕe )
im aktiven Spannungszustand pv ≈ σ1 bzw. ph ≈ σ2, siehe Bild F 4.21
1 − sin ϕ e p h
σ2
=λ=
≈
(4.121)
σ1
1 + sin ϕ e p v
(3) allgemeiner Fall der Berücksichtigung der Wandreibung → für den aktiven
Spannungszustand
λ=
1 − sin 2 ϕ w − ∆
wenn ∆ =
1 + sin 2 ϕ w + ∆
(1 - sin ϕ )⋅ (sin
2
w
2
ϕe − sin 2 ϕ w
)
(4.122)
Liefert kleine λ und großes pv → daher Verwendung von gewöhnlich λ(3) für
Berechnung von Trichterlasten, Drücke auf Austragsgeräte usw.
(4) Um einen großen Horizontaldruck ph (aktiv) zu erhalten, Bild F 4.21, Verwendung eines empirischen sog. Ruhedruckbeiwertes
λ 0 = 1,2 ⋅ (1 − sin ϕe )
(4.123)
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117
Liefert große λ → daher zur Bemessung von Stahlbetonwänden geeignet
(siehe dazu die Baustatik).
4.2.1.5 Ringspannungen im stabilen Schacht
Aus den Spannungsfeldgleichungen des rotationssymmetrischen Spannungszustandes Gl.(3.5) Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_x und Gl.(3.6) Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_y folgt analog der Vorgehensweise von Gl.(3.221)
Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_Lösung eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung für die Verteilung der Ringspannung in der stabilen
(stehenden) Schachtwand nx(ψ) mit der dimensionslosen Koordinatentransformation jenseits (außerhalb) des Schachtdurchmessers bS (JENIKE 1961,
MOLERUS 1985) 9, 10:
2
 x 
 ≥1
n x =
b
/
2
 S 
dψ
=
dn x
(4.124)
(1−sin ϕi )−sin ϕi ⋅ cos 2ψ+ 1 ⋅ (1+sin ϕi )
nx
4⋅ (cos 2ψ−sin ϕi )
⋅
sin 2ψ
n x −1
(4.125)
Mit der Randbedingung
ψ( n x =1)=0 ,
die aber wegen
(4.126)
... sin 2ψ ... 0
dψ
( n x =1) = ⋅
= ⋅ singulär ist. Für den stabilen
... n x −1 ... 0
dn x
Schacht mit seiner Druckfestigkeit σc kann auch folgende Grenzwertbetrachtung angestellt werden:
0<
 sin 2ψ 
 dψ 
ρ b ⋅ g⋅ bS 1
 = lim 

= ⋅ lim 
n
1
n
1
→
→
4⋅ σc
2 x  n x −1  x  dn x 
(4.127)
und der nun formell in der Funktion G(ϕi) kurz gefaßt werden soll:
 dψ 

G (ϕi ) = 4 ⋅ lim 
n x →1 dn 
 x
(4.128)
Für die Gln.(4.125) und (4.128) lassen sich nun folgende Gültigkeitsbereiche
abgrenzen, siehe Bild F 4.22:
1
1) 0≤ sin ϕi ≤ , d.h. 0 ≤ ϕi ≤ 19,5°
3
Jede Lösung führt zu begrenzten plastischen Feldern.
9
Jenike, A. W., Gravity flow of bulk solids, p. 148ff, Eng. Exp. Station Bull. No. 108, Univ.
Utah, 1961
10 Molerus, O., Schüttgutmechanik - Grundlagen und Anwendungen in der Verfahrenstechnik,
S. 215ff, Springer Verlag, Berlin 1985
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118
 dψ
G (ϕ i )=4 ⋅ lim 
n x →1 dn
 x

=0

(4.129)
Es sind keine stabilen Schächte möglich!
1
1
2) ≤ sin ϕi ≤ , d.h. 19,5°≤ϕi ≤30°
2
3
Mit der Transformation ζ = 1/nx, wobei für 1 ≤ nx < ∞ der Wertebereich 0
≤ ζ ≤ 1 wird, sowie mit den zusätzlichen Startbedingungen
1−sin ϕ i
cos ψ1 =
2sin ϕ i
lim
ζ →0
ψ→ψ 1
und
(4.130)
dψ
1+sin ϕi
⋅ 3sin 2 ϕi +2sin ϕi − 1
=−
dζ
2cos2 ϕi
(4.131)
läßt sich die transformierte Differentialgleichung
dψ (1−sin ϕi )−sin ϕi ⋅ cos 2ψ+ζ⋅ (1+sin ϕi )
=
⋅ sin 2ψ
dζ
4ζ( ζ−1)⋅ (cos 2ψ−sin ϕi )
(4.132)
numerisch lösen.
1
3) ≤sin ϕ i <1 , d.h. 30°≤ϕ i <90°
2
Mit den adäquaten Startbedingungen
ζ 2 = 2 ⋅sin ϕi −1
lim
ζ →ζ 2
π ϕ
ψ→ − i
4 2
und
(
(4.133)
)
cos ϕi
dψ
=
⋅ sin ϕi − sin 2 ϕi +8 ⋅sin ϕi −4 (4.134)
dζ 8 ⋅(2 ⋅sin ϕi −1) ⋅(1−sin ϕi )
läßt sich die transformierte Differentialgleichung (4.132) ebenfalls numerisch lösen.
Diese Lösungen sind in der Funktion G(ϕi ) zusammengefasst und im Bild F
4.22 aufgetragen worden.
4.2.1.6 Analytische Näherung der Funktion G(ϕi)
Wie beim Fließfaktor ff siehe Gln.(4.24) bis ( 4.28), lässt sich die Funktion
G(ϕi) vereinfacht auch analytisch annähern (innerer Reibungswinkel ϕi in grd):
Für ϕi < 19,5°: G(ϕi) = 1
(4.135)
Für ϕi ≥ 19,5°: G (ϕi ) ≈ 0,143 ⋅ ϕi − 2
(4.136)
4.2.2 Maximaler Trichterneigungswinkel und Spannungsspitze
Siehe auch Bild F 4.17:
• Der Trichterneigungswinkel zur Horizontalen α KF = 90° − θKF > ϕ w muss
größer sein als der Rutschwinkel bzw. kinematische Wandreibungswinkel.
Diese Fließbedingung soll sicherstellen, dass sich kein Rückstand auf der
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119
geneigten Trichterwand bildet, → Bild F 4.2 Kernfluß, schraffierter Bereich
im Volumenelement 8.
• Nach JENIKE 11 (Bull. 123, S. 68. Gl.(20)) ist der Trichterneigungswinkel
zur Vertikalen θKF einschließlich eines Sicherheitsabzuges:
θKF ≤ 65° − ϕ W
(4.137)
• Zur Vermeidung des nicht entleerbaren Restgutes (Bild F 4.2) muss der
Trichterneigungswinkel zur Horizontalen αKF = 90° - θKF für ein kohäsives
Schüttgut deutlich größer sein als der Rutschwinkel auf einer glatten
Wand (≈ kinematischer Wandreibungswinkel φW) bzw. der Rutsch- oder
Böschungswinkel der rauen Wand (≈ effektiver innerer Reibungswinkel
φe). Deshalb kann man mit einem gewissen Sicherheitszuschlag von etwa
10° (freifließendes Schüttgut 12) bis 25° (kohäsives Schüttgut) folgende Bereiche für die Auslegung des Trichterneigungswinkels bei Kernfluß nutzen:
ϕw + 10°...25° ≤ 90° − θKF ≤ ϕe + 15°
(4.138)
D oder B
ph
HG, KF
θG, KF
Bild 4.12: Horizontaldruckspitze
bei Bildung eines stabilen Kernflusstrichters
ph
bS
Grenzwinkel und Grenzhöhe des Kernflußtrichters im Schaft:
• θG,KF näherungsweise wie bei Massenfluß ermitteln, siehe F 4.6 und F 4.7
• Trichterhöhe bei der eine Spannungsspitze (sog. „Switch load“) des Horizontaldruckes ph möglich ist:
H G ,KF =
(D oder B) − (b S min oder b S )
2 ⋅ tan θ G ,KF
(4.139)
4.2.3 Minimale Öffnungsweite zur Vermeidung eines Schachtes
Ziel: Vermeidung einer stabilen Schachtbildung im Trichter und Schaft.
4.2.3.1 Mit maximaler Verfestigungsspannung
Auslegungsmethode:
1) freifließendes Schüttgut bS,min = f(do) → wie Massenfluß, siehe Gl.(4.93)
11
Jenike, A. W., Storage and flow of bulk solids, p. 68, Eng. Exp. Station Bull. No. 123, Univ.
Utah, 1964
12 Schulze, D., Pulver und Schüttgüter: Fließeigenschaften und Handhabung, S. 311, Springer
Berlin, 2006
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120
2) kohäsives Schüttgut
Aus der Gl.(4.127) folgt dann auch, siehe F 4.17
b S,min =
σc ,krit (σ1 ) ⋅ G (ϕi bzw. ϕit )
ρ b ,krit ⋅ g
(4.140)
 G(innerer Reibungswinkel ϕi bzw. ϕit) siehe Funktion im Bild F 4.22
 σ1 ≈ pv = f(ϕe, ϕw, ρb, Schaftquerschnitt, Bunkerhöhe am Auslauf) nach
Gl.( 4.102)
 Voraussetzung: aktives Spannungsfeld = maximale Fülldrücke 13
 Berechnungsmethode liegt auf der sicheren Seite, da größte Hauptspannung σ1 in vertikaler Richtung in Bezug zur geringeren quergerichteten
Ringspannung und der daraus resultierenden Druckfestigkeit des Schachtes σc,krit gebracht wird. D.h. Verfestigung in vertikaler Richtung, Bruch
aber in horizontaler Umfangsgrichtung → man beachte die Anisotropie 14 kohäsiver Schüttgüter!
 Das kann jedoch zu einer Überdimensionierung führen.
4.2.3.2 Anisotropie zwischen Verfestigung und Fließen
 Um deshalb eine Überdimensionierung zu vermeiden, wird neuerdings
die Anisotropie zwischen der Richtung der Verfestigungsspannung und
der Richtung der wirksamen Druckspannung innerhalb der ringförmigen
Oberfläche eines Schachtes berücksichtigt 15!
 Die größte Hauptspannung σ1 wirkt beim Füllen und Verfestigen näherungsweise in vertikaler Richtung. Nahezu horizontal wirkt dagegen die
kleinere Hauptspannung σ2, siehe F 4.18.
 Nach dem anschließenden konzentrischen Fließen innerhalb einer näherungsweise zylindrischen Fließzone wirkt die effektive größte Hauptspannung σ1’’ nahezu in horizontaler Umfangs- oder Ringrichtung am
Rand (Oberfläche) der stabilen verfestigten Schachtwand.
 Neu: Berechnung der Ringdruckspannung σ1’’ ≈ ph = f(ϕe, ϕw, ρb,
Schaftquerschnitt, Bunkerhöhe), d.h. Abschätzung des Seiten- oder Horizontaldruckes des Schachtes mit den Gln.(4.97) und ( 4.102).
 Voraussetzung: aktives Spannungsfeld = maximale Ringdruckspannung nach dem Füllen im verfestigten zylindrischen Schacht
 Mit dieser Ringdruckspannung σ1’’ wird die kritische Druckfestigkeit
σc,krit,Aniso mittels der Verfestigungsfunktion Gl.(4.53) berechnet:
13
Arnold, P.C., McLean, A.G., Roberts, A.W., Bulk Solids: Storage, Flow and Handling,
TUNRA Bulk Solids Handling Research Associates, p. 3.30, Univ. Newcastle, 1980
14 Schwedes, J., Schulze, D., Lagern von Schüttgütern, in Schubert, H. (Ed.) Handbuch der
Mechanischen Verfahrenstechnik, WILEY-VCH Verlag, Weinheim, 2003
15 Ittershagen, T., Schwedes, J. and A. Kwade, Investigation of anisotropic behaviour of bulk
solids, p. 48-61 , Proceedings RELPOWFLO IV, Tromsö 2008
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
121
σc ,krit ,Aniso = a 1⋅ σ1 ' '+σc ,0
( 4.141)
 Der Ringdruck σ1’’ ≥ σc,krit,Aniso muss mindestens der Festigkeit entsprechen, um den Schacht zum Einsturz zu bringen!
b S,min,Aniso =
σc ,krit ,Aniso (σ1 ' ' ) ⋅ G (ϕi bzw. ϕit )
ρ b ,krit ⋅ g
(4.142)
4.2.3.3 Auslegung mittels Fließfaktor ffd nach JENIKE
 Voraussetzung: Gültigkeit des radialen Spannungsfeldes im Schacht, das
unabhängig von der Füllhöhe H ist. Durch das vorherige Ausfließen einer
Teilmenge des Schüttgutes im konvergenten Fließkanal sollte sich dieses
passive radiale Spannungsfeld eingestellt haben.
 Die Ringspannung σ1’’(Druckspannung) an der Schachtoberfläche 16 ist:
σ
σ1 ' ' = 1
(4.143)
ff d
σ1’’ kennzeichnet die wirksame größte Hauptspannung am Rand der trichterförmigen rauen Wand des kohäsiven Pulvers als Folge des konvergenten Fließens, siehe Bild F 4.18 Mitte. Wegen der freien Schüttgutoberfläche ist die Querspannung σ2’’ = 0, d.h. es entsteht wiederum ein einaxialer
Spannungszustand.
 Der dimensionslose Fließfaktor der Schachtbildung11 ist:
ff d =
1 + sin ϕe
⋅ G (ϕi ) ≥ 1,7
4 ⋅ sin ϕe
(4.144)
Es ist ffd > ff, als Mindestwert wird gewöhnlich ffd ≥ 1,7 gesetzt!
 Berechnung von σc,krit wie beim Massenfluß, d.h. die Versagens- oder
Fließbedingung für einen instabilen Schacht lautet σ1’’ ≥ σc:
Der Schnittpunkt der Verfestigungsfunktion σc = a1⋅ σ1 + σc ,0 Gl.(4.53), des
kohäsiven Pulvers mit der Ringspannungsfunktion, Gl.(4.143), ist:
σc , krit =
σc ,0
1 − a1 ⋅ ff d
 Und gemäß Gln.(4.59) und (4.140), Bilder F 4.17 und F 4.22
σc ,0 ⋅ G (ϕi )
bS, min =
ρ b, krit ⋅ g ⋅ (1 − a1 ⋅ ff d )
(4.145)
(4.146)
 Diese Berechnungsmethode liegt eher auf der unsicheren Seite.
Beispiel Kalzitpulver
geg.: kreisrundes Silo Di = 2,75 m und H = 12 m
16
Schwedes, J., Schulze, D., Lagern von Schüttgütern, in Schubert, H. (Ed.) Handbuch der
Mechanischen Verfahrenstechnik, S. 1205, WILEY-VCH Verlag, Weinheim, 2003
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
122
90° − θ = ϕ w + 25° → θ = 65° - ϕ w
ϕ w = 30° → θ = 35°
→ meist für hohes σ1 = p v vorgewählt
→ ϕe ≈ ϕst + 1°...3° in der Nähe von ϕst gewählt
ϕe ≈ 44° oder 46° + 1°...3°
→ ϕe ≈ 47°
Horizontaldruckverhältnis λ F → Füllen → aktives Spannungsfeld
(1 − sin
∆=
λF =
2
)(
)
ϕ w sin 2 ϕe − sin 2 ϕ w = 0,462
1 − sin 2 ϕ w − ∆
= 0,168
1 + sin 2 ϕ w + ∆
1. Variante: über Vertikaldruckberechnung
D
= 7,09 m
H 63 =
4 ⋅ tan ϕ w ⋅ λ F
p v = ρ b ⋅ g ⋅ H 63 ⋅ [1 − exp(− H H 63 )]
ρ b = 420 kg m 3
für σ1 ≈ 25 kPa vorgewählt
p v = 23,84 kPa
ϕi ≈ 37° = const. → G (ϕi ) = 3,2
F 4.22
σc = a1 ⋅ σ1 + σc ,0 = 0,277 ⋅ 23,84 kPa + 1,3 kPa = 7,9 kPa
b min =
σc , krit ⋅ G (ϕi )
ρb ⋅ g
=
7,9 kPa ⋅ 3,2
= 6,14 m
420 kg m3 ⋅ 9,81 m s2
bmin = 6.14 m ⇒
damit >> Di und praktisch unsinnig groß!!
→ Vermeidung von Kernfluß bzw. Schachtbildung durch Massenfluß notw.
2.Variante: mittels ffd-Berechnung
ff d =
1 + sin ϕe
1 + sin 47°
⋅ G (ϕi ) =
⋅ G (ϕi = 37°) = 1,9
4 ⋅ sin ϕe
4 ⋅ sin 47°
σc , krit =
b min =
σc , 0
1,3 kPa
=
= 2,74 kPa
1 − a1 ⋅ ff d 1 - 0,277 ⋅ 1,9
σc , krit ⋅ σ(ϕi )
2,74 kPa ⋅ 3,2
=
= 2,4 m
ρb ⋅ g
372 kg m 3 ⋅ 9,81 m s 2
bmin = 2,4 m → im Allgemeinen bmin (pv) > bmin(ffd)
→ ansonsten Massenfluß auch damit notw.!
Trichterhöhe:
D−b
2,75 m - 2,4 m
H Tr =
= 0,25 m
=
2 ⋅ tan 35°
2 ⋅ tan θ
Größter Druck:
σ1 = ff d ⋅ σc, krit = 1,9 ⋅ 2,74 kPa = 5,2 kPa
4.3 Berechnung des minimalen Schaftdurchmessers
− Durch Imperfektionen der Schaftwände infolge geringfügiger lokaler
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
123
• vertikaler Einschnürungen,
• hervorstehender Bolzen, Schrauben, Kanten oder Schweißnähte oder
• umfänglicher radialer Unrundheiten (Exzentrizitäten)
können auch im schlanken Siloschaft Verstopfungen infolge der Bildung
stabiler kohäsiver Schüttgutpfropfen infolge zu hoher Füllhöhen, verfestigender Vertikaldrücke und resultierender Schüttgutfestigkeiten auftreten.
− Zur Vermeidung dieser Verstopfungen im imperfekten Schaft wird ein gewisses konvergentes Fließen mit seitlicher Verdichtung und Konsolidation
angenommen. Es gilt also eine stabile Brückenbildung zu vermeiden, F 4.23
− Mit Hilfe der Kombination der Dimensionierungsgleichung (4.15) zur Vermeidung einer stabilen Brücken bei Massenfluss
b min ≅ D min =
2 ⋅ σc , krit ⋅ sin 2(ϕ w + θ)
ρb ⋅ g
für θ = 0
(4.15)
und der linearen Verfestigungsfunktion kohäsiver Schüttgüter, F 4.10,
σc = a1 ⋅ σ1 + σc ,0
(4.53)
folgt:
2 sin 2ϕ w ⋅ a1 ⋅ σ1 2 ⋅ sin 2ϕ w ⋅ σc ,0
=
D−
ρb ⋅ g
ρb ⋅ g
Darin wird die JANSSEN-Gleichung für das dominante (globale!) aktive
Spannungsfeld des Schaftes bei vertikaler Verdichtung eingesetzt:
ρb ⋅ g ⋅ D
4 ⋅ λ ⋅ tan ϕ w
H 


(4.104)
1 − exp − 4 ⋅ λ ⋅ tan ϕ w ⋅ D 



2 sin 2ϕ w ⋅ a1 ρ b ⋅ g ⋅ D 
H  2 ⋅ sin 2ϕ w ⋅ σc ,0

D−
1 − exp − 4 ⋅ λ ⋅ tan ϕ w ⋅  =
⋅

4 ⋅ λ ⋅ tan ϕ w 
D 
ρb ⋅ g
ρb ⋅ g

a ⋅ sin 2ϕ w 
H  2 ⋅ sin 2ϕ w ⋅ σc ,0

D − D⋅ 1
1 − exp − 4 ⋅ λ ⋅ tan ϕ w ⋅  =

2 ⋅ λ ⋅ tan ϕ w 
D 
ρb ⋅ g

sin ϕ W
Mit sin 2ϕ W = 2 ⋅ sin ϕ W ⋅ cos ϕ W und tan ϕ W =
folgt:
cos ϕ W
σ1 = p v =
D − D⋅
a1 ⋅ 2 ⋅ sin ϕ w cos ϕ W
sin ϕ w
2⋅λ⋅
cos ϕ w
H  2 ⋅ sin 2ϕ w ⋅ σc ,0


1 − exp − 4 ⋅ λ ⋅ tan ϕ w ⋅ D  =
ρb ⋅ g



H  2 ⋅ sin 2ϕ w ⋅ σc ,0


1 − exp − 4 ⋅ λ ⋅ tan ϕ w ⋅ D  =
ρb ⋅ g



 a ⋅ cos2 ϕ W 
H   2 ⋅ sin 2ϕ w ⋅ σc ,0

D ⋅ 1 − 1
1 − exp − 4 ⋅ λ ⋅ tan ϕ w ⋅   =

D  
λ
ρb ⋅ g



D − D⋅
a1 ⋅ cos2 ϕ W
λ
Somit folgt ein Schaftdurchmesser D ≥ Dmin:
D min =
2 ⋅ sin 2ϕ w ⋅ σc ,0
 a ⋅ cos2 ϕ w 

H  
 
ρ b ⋅ g ⋅ 1 − 1
1 − exp − 4 ⋅ λ ⋅ tan ϕ w ⋅
D min  
λ



(4.147)
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124
als Iterationsgleichung mit dem Startwert Dmin,0 = A/U bzw. bmin,kon.
Wenn der {...}-Klammer-Ausdruck negativ wird, bedeutet dies Brückenbildung, d.h. die Füllhöhe H muß bei gegebenen Schaftdurchmesser D begrenzt
werden, um die Verfestigungsspannung zu vermindern. D.h., die obige
Gl.(4.147) muß nach H umgestellt werden:
H < H max
2 ⋅ σc ,0 ⋅ sin 2ϕ w 

1−


−D
ρb ⋅ g ⋅ D

=
⋅ ln 1 −
a1⋅ cos2 ϕ w
4 ⋅ λ ⋅ tan ϕ w




λ
(4.148)
− beide Gln.(4.147) und (4.148) liegen auf der sicheren Seite.
Berechnungsbeispiel Kalksteinmehl:
→ Dmin,0 = bmin für kon. Tr. als Startwert nehmen, d.h.
0,5465
D min,1 =


12m  

 
1 − 1,237 ⋅ 1 − exp − 4 ⋅ 0,168 ⋅ tan 30° ⋅
1,22m  



0,5465
=
{1 − 1,237[1 − exp(− 4,656 / 1,22m )]}
{− 0,209} ⇒ Iteration beendet, keine Konvergenz
D min,1 =
→ Dafür Dmin,0 = DSchaft = 2,75 m nehmen und die Höhe H von 12 m auf 10 m
verkürzen:
0,5465 m
= 8,44 m
D min,1 =
{1 − 1,237 ⋅ [1 − exp(− 3,88 m / 2,75 m )]}
D min,2 = 1,00 m
D min,3 ⇒ {- 0,211}
keine Konvergenz!
Daher Brückenbildung im Schaft möglich!
→ Begrenzung der Füllhöhe notwendig:
2 ⋅ 1,3 kPa ⋅ sin60°


13
2

− 2,75 m
420 kg/m ⋅ 9,81m/s ⋅ 2,75 m 
H=
⋅ ln 1 
4 ⋅ 0,168 ⋅ tan 30° 
0,277 ⋅ cos2 30° / 0,167



H= 7,32 m als Füllhöhenbegrenzung
numerisches Ergebnis H = 7,49 m
→ gewöhnlich auf der sicheren Seite, d.h. größere Füllhöhen sind möglich ⇒
müssen aber praktisch überprüft werden
⇒ weitere Erfahrungen mit der Anwendung noch notwendig!
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125
4.4 Beispiel einer Trichter- u. Schaftauslegung für Kalksteinmehl
geg. Bunkerschaft:
D = 2,75 m H = 12 m
Dmin < 0 → Brückenbildung, dafür Hmax = 7,32 m
Tabelle 4.2: Auslegungswerte für ein Kalksteinmehl
θ
grd
ff bzw.
G(ϕi)
bmin
m
Htr
m
σ1 o. pv
kPa
über pv
35
3,2
6,14
Unsinn
23,8
num.
32,6
3,33
6,0
-2,55
21,55
über ffd
35
1,9
2,4
0,25
5,2
num.
34,5
1,92
2,38
0,27
5,04
1,3
1,22
3,6
2,6
1,37
1,13
3,68
2,65
keilf. Tr. 20
1,2
0,56
3,01
2,28
num.
1,25
0,54
2,9
2,24
Bunkertrichter:
Kernfluß
kon. Tr. 12
Massenfluß num.
12,4
20,9
Diskussion der techn. Realisierbarkeit der Werte der Tabelle 4.2 anhand eines
Normsilos, siehe auch Bild F 4.37
→ sehr problematisch θ < 15° → riesige Trichterhöhen notwendig !!!
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126
4.5 Kinematik eines Schüttgutelementes auf einer geneigten Wand
4.5.1 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Schurre
4.5.1.1 Geschwindigkeitsgesetze
Das Kräftegleichgewicht beinhaltet das Schüttgutgewicht als treibende Kraft,
den Reibungswiderstand und die Trägheitskraft 17:
FR
mb.g.sinα
y
x
α
Bild 4.13: Kräfte an einem steifen
Schüttgut-Blockelement mit seiner
Masse mb auf einer um den Winkel α
geneigten Wand oder Schurre.
α α F
N
mb . g
∑F
∑F
x
= 0 = m b ⋅ g ⋅ sin α − FR − FT
(4.149)
y
= 0 = − m b ⋅ g ⋅ cos α + FN
(4.150)
Aus letzterem und ersterem folgen:
FN = m b ⋅ g ⋅ cos α
(4.151)
FT = m b ⋅ x = m b ⋅ g ⋅ sin α − FR
Für den Fall dass der Neigungswinkel der Schurre größer ist als der Wandreibungswinkel α ≥ ϕW (Gleitreibung auf der Schurrenwand), folgt mit dem
Stoffgesetz für die Gleitreibung eines kohäsiven Schüttgutes18 - hier für den
allgemeinen Fall einschließlich einer gewissen Wandadhäsion FA (für ein kohäsionsloses, freifließendes rieselfähiges Schüttgut ist FA = 0):
FR = µ W ⋅ (FN + FA ) = tan ϕW ⋅ (FN + FA )


FA
 (4.152)
FR = tan ϕW ⋅ (cos α ⋅ m b g + FA ) = tan ϕW ⋅ cos α ⋅ m b g ⋅ 1 +
cos
α
⋅
m
g
b 



FA

m b ⋅ x = m b ⋅ g ⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ m b ⋅ g ⋅ 1 +
 cos α ⋅ m b g 
Daraus folgt die Bewegungsgleichung des Schüttgut-Blockelementes auf der
geneigten Schurre:
17
18
Tomas, freifließendes Schüttgut, hergeleitet 2011
Tomas, kohäsives Schüttgut, ergänzt 5_2013
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127



FA
x = g ⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ 1 +

 cos α ⋅ m b g 

(4.153)
Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz erhält man aus dem Bewegungsgesetz, Gl.
(4.153), indem man das Zeitinkrement dt durch das Weginkrement dx ersetzt18
dt =
v⋅
dx
v
(4.154)



FA
dv

= g ⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ 1 +
⋅
α
g
cos
m
dx
b 


(4.155)
und in den Grenzen zwischen v = 0 bis v sowie von x = 0 bis x integriert:
v


 x
FA

v
⋅
dv
=
g
⋅
sin
α
−
tan
ϕ
⋅
cos
α
⋅
1
+

W
∫0
 cos α ⋅ m g  ⋅ ∫ dx
b  0





v2
FA
 ⋅ x
= g ⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ 1 +
2
 cos α ⋅ m b g 

Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz ist also:



FA

v = 2 ⋅ g ⋅ x ⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ 1 +
 cos α ⋅ m b g 

(4.156)
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt aus der ersten Integration der
Gl.(4.153) mit der Anfangsbedingung v = 0 für t = 0:


 t
FA



−
ϕ
⋅
α
⋅
+
=
=
⋅
α
d
x
v
g
sin
tan
cos
1

W
∫0
 cos α ⋅ m g  ⋅ ∫ dt
b  0


v



FA
 ⋅ t
v = g ⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ 1 +
 cos α ⋅ m b g 

(4.157)
Die erneute Integration liefert das Weg-Zeit-Gesetz:

 t

FA
∫0 dx = g ⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ 1 + cos α ⋅ m b g  ⋅ ∫0 t dt


x


 t 2
FA
 ⋅
x = g ⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ 1 +
cos
m
g
α
⋅
b

 2

(4.158)
Umstellen nach t liefert die Zeit-Weg-Funktion
2⋅x
t2 =



FA

g ⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ 1 +
m
cos
α
⋅
g
b 


t=
2⋅x



FA

g ⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ 1 +

 cos α ⋅ m b g 

(4.159)
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
128
und Einsetzen in das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.(4.157), liefert wiederum das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz:



FA
2⋅x
 ⋅
v = g sin α − tan ϕW cos α1 +



FA
 cos α ⋅ m b g 


g sin α − tan ϕW cos α1 +
 cos α ⋅ m b g 




FA

2 ⋅ x ⋅ g ⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ 1 +
 cos α ⋅ m b g 

v=



FA

g ⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ 1 +
 cos α ⋅ m b g 

2
2



FA

v = 2 ⋅ g ⋅ x ⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ 1 +
α
⋅
cos
m
g
b 


(4.156)
4.5.1.2 Gleitbedingung auf der Wand
Für die Gleitgeschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Höhe h folgt gemäß
h
Bild 4.13 mit sin α =
x
v = 2⋅g⋅


FA
h 

⋅ sin α − tan ϕW ⋅ cos α ⋅ 1 +
sin α 
 cos α ⋅ m b g 
 tan ϕW
v = 2 ⋅ g ⋅ h ⋅ 1 −
tan α



FA

⋅ 1 +
 cos α ⋅ m b g 
(4.160)
FA = 0: Für ein kohäsionsloses, freifließendes rieselfähiges Schüttgut muss also
der Neigungswinkel der Schurren α > φw werden, damit Fließen oder Gleiten einsetzt und die Abgleitgeschwindigkeit v > 0 wird!

tan ϕW 
FA
FA
tan α
 < 1 ,
FA > 0:
⋅ 1 +
<
−1
tan α  cos α ⋅ m b g 
cos α ⋅ m b g tan ϕW
Mit einem Additionstheorem der Winkelfunktionen ist:
FA
sin α
sin α ⋅ cos ϕW cos α ⋅ sin ϕW sin (α − ϕW )
<
− cos α =
−
=
m b g tan ϕW
sin ϕW
sin ϕW
sin ϕW
sin (α − ϕW ) >
FA
⋅ sin ϕW ,
mbg
 F

α − ϕW > arcsin A ⋅ sin ϕW 
 mbg

Gleiten tritt mit merkbarer Geschwindigkeit v > 0 nur dann ein, wenn der
Schurrenneigungswinkel groß genug ist18:
 F

α > ϕW + arcsin A ⋅ sin ϕW 
 mbg

(4.161)
Diese Bedingung gilt für die notwendige Restentleerung des Silos bei vergleichsweise flach geneigten Trichterwänden θKF = 90° - α im KernflußreSchüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
129
gime, siehe Bild 4.14. Außerdem geht die allgemeine Gl.(4.161) für FA = 0
in die vorstehende Bedingung α > ϕW über.
4.5.2 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Böschung
→ Siehe „Füllen und Entleeren eines Bechers mit freifließendem Schüttgut“
Bild F 4.24
4.5.2.1 Geschwindigkeitsgesetze
Beim stationären Abgleiten eines kohäsiven Schüttgutes auf einer geneigten
Böschung mit innerer Reibung gehen, wie bei einer rauen Wand18,
(1) der Schurrenneigungswinkel α → φB in den Böschungswinkel,
(2) der kinematische Wandreibungswinkel φw → φst in den stationären
(inneren) Reibungswinkel und
(3) die Wandhaftung FA → FH0,b = σ0.Ab geht in die Haftkraft unverfestigter
Partikelkontakte des kohäsiven Schüttgut-Blockelementes über, siehe
auch Schüttec_3.doc#sigma0. Der Term FH0,b/mbg wird ausgedrückt
durch die Schichthöhe h0 des Blockelementes (σ0 isostatische Zugfestigkeit des unverfestigten Schüttgutes, ρb,0 Schüttdichte der lockeren
Packung):
FH 0 ,b σ0 ⋅ A b σ0 ⋅ A b ⋅ h 0
σ0
=
=
=
mbg
mbg
mbg ⋅ h 0
ρ b ,0 ⋅ g ⋅ h 0
(4.162)
Gemäß Schüttec_3.doc#Haftkraftverhältnis_Abschätzung läßt sich das
auch als Verhältnis der Haftkraft/Gewichtskraft eines einzelnen Partikels mit seiner Anzahl np in einer angenommenen Wirkungskette interpretieren, mit FH0/FG,p = 1 bis 108, siehe Tabelle 3.1 in Schüttec_3.pdf:
2
FH 0 ,b
FH 0
FH 0 (100 µm )
np =
≈
=
≈
d2
m p g ρs ⋅ π / 6 ⋅ d 3 ⋅ g FG ,p
(4.163)
Analog zur Gl.(4.153) ergibt sich die Bewegungsgleichung des kohäsiven
Schüttgut-Blockelementes auf der geneigten Böschung:



σ0

x = g ⋅ sin ϕB − tan ϕst ⋅ cos ϕB ⋅ 1 +
 cos ϕ ⋅ ρ gh 
B
b ,0
0 



(4.164)
Das Geschwindigkeits-Weg/Höhe-Gesetz erhält durch Integration des Bewegungsgesetzes (4.164), siehe auch Gln.(4.156) und (4.160):
 tan ϕst 

σ0

v = 2 ⋅ g ⋅ h ⋅ 1 −
⋅ 1 +

 tan ϕB  cos ϕB ⋅ ρ b ,0 gh 0 
(4.165)
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt aus der ersten Integration mit der
Anfangsbedingung v = 0 für t = 0, siehe auch Gl.(4.157):
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130



σ0
 ⋅ t
v = g ⋅ sin ϕB − tan ϕst ⋅ cos ϕB ⋅ 1 +

gh
cos
ρ
ϕ
⋅
0
0
b
,
B



(4.166)
Die erneute Integration liefert das Weg-Zeit-Gesetz:


 t 2
σ0
 ⋅
x = g ⋅ sin ϕB − tan ϕst ⋅ cos ϕB ⋅ 1 +


 cos ϕB ⋅ ρ b ,0 gh 0  2
(4.167)
Umstellen nach t liefert die Zeit-Weg-Funktion:
t=
2⋅x



σ0

g ⋅ sin ϕB − tan ϕst ⋅ cos ϕB ⋅ 1 +

cos
gh
ϕ
⋅
ρ
B
b ,0
0 



(4.168)
4.5.2.2 Gleitbedingung auf einer Schüttgutböschung
Gleiten tritt mit merkbarer Geschwindigkeit v > 0 nur dann ein, wenn der Böschungswinkel groß genug ist, siehe auch Herleitung der Gl.(4.161):

 σ0
⋅ sin ϕst 
ϕB > ϕst + arcsin

 ρ b ,0 gh 0
(4.169)
Diese Fließbedingung läßt sich ebenfalls für das erforderliche Fließen am Rand
der rauen Schüttgutwand der inneren Kernflusszone des Silos eines vergleichsweise flach geneigten Trichters θKF = 90° - φB anwenden, Bild 4.14:
Θ
KF
Fließzone
tote
Zone
ϕ
B
Bild 4.14: Schüttgutreibung an geneigten Wänden im Kernflußsilo, innere Reibung zwischen
Fließ- und Totzone und an der raue Wand im
resultierenden Schüttguttrichter des Flachbodens
(links), Wandreibung an der flachen Wand
(rechts, wie auf einer Schurre).
α=ϕ
w
Darüber hinaus geht die allgemeine Gl.(4.169) für FH0,b = 0 in die vorstehende
Bedingung ϕ B > ϕst über.
4.5.3 Freier Fall eines Schüttgutelementes
Man beachte, dass für α = 90° aus der Bewegungsgleichung eines SchüttgutBlockelementes auf einer geneigten Schurre, Gl.(4.153), die Gesetze des freien
Falls folgen:
a) Bewegungsgleichung:
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131
x = g
(4.170)
b) Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:
v = g⋅t
(4.171)
c) Geschwindigkeits-Weg-Gesetz mit dt = dx/v:
v⋅
dv
=g
dx
v2
= g⋅x
2
v = 2⋅g⋅x
(4.172)
(4.173)
d) Weg-Zeit-Gesetz:
x = g⋅
t2
2
(4.174)
e) Zeit-Weg-Funktion:
t=
2⋅x
g
(4.175)
Diese kinematischen Gesetze müssen nun im folgenden Abschnitt 4.6 für den
ungleich komplizierteren und komplexeren Fall des gleichmäßig beschleunigten, reibungsbehafteten Ausfließens eines kohäsiven Schüttgutes aus einem
konvergenten Trichter hergeleitet werden:
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132
4.6 Berechnung des Trichterauslaufmassenstromes
Neben den technologischen Reservefunktionen und Störreserven dienen
Schüttgutbehälter, wie z.B. Befülltrichter, Bunker oder Silos, der Vergleichmäßigung von Mengenströmen, Partikelgrößenverteilungen, Dichten und chemisch-mineralogischer Zusammensetzungen. Um also für die mengenmäßige
Vergleichmäßigung den Aufwand an Fördertechnik und Automatisierungstechnik (Dosiertechnik) zu minimieren, muss die zu erwartende Schwankungsbreite
des Massenstroms resultierend aus den möglichen Veränderungen der Schüttguteigenschaften geklärt werden. Speicher sollen bekanntlich Schwankungen
glätten und nicht noch mehr Störungen hervorrufen, als ohnehin in einer verfahrenstechnischen Anlage auftreten.
4.6.1 Vergleich bisheriger Modelle
4.6.1.1 Stationäres Ausfließen einer Flüssigkeit
Für das stationäre Ausfließen von Flüssigkeiten (= viskose Reibung!) aus
Tanks gilt mit der Energiestrombilanz (Leistungsbilanz) bezogen auf den Mas , svw. spezifische Energiebilanz oder BERNOULLI -Gleichung
senstrom m
(u Fluidgeschwindigkeit, p statischer Druck, y Höhenkoordinate):
u2 p
+ + g ⋅ y = const.
2 ρl
p1
A1
u1
y
(4.176)
Bild 4.15: Ausströmen einer Flüssigkeit aus einem Tank
y1
h
g
A2
u2
y2
p2
u 12 p1
u2 p
+ + g ⋅ y1 = 2 + 2 + g ⋅ y 2
2 ρl
2 ρl
(4.177)
und der Volumenstrombilanz
u 1 ⋅ A1 = u 2 ⋅ A 2
(4.178)
u12 2 ⋅ p1
2 ⋅ p2
u2 ⋅ A2
+
+ 2 ⋅ g ⋅ y1 −
− 2 ⋅ g ⋅ y 2 = u 22 − 2 2 2
2
ρl
ρl
A1
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
133
u2 =
2 ⋅ g ⋅ (y1 − y 2 ) + 2 ⋅ (p1 − p 2 ) / ρ l
1 − A 22 / A12
(4.179)
Da nun ∆y = y1 – y2 = h die Behälterfüllhöhe darstellt, der Auslaufquerschnitt
A2 << A1 viel kleiner als der Tankquerschnitt ist und oft Druckausgleich p1 =
p2 herrscht, folgt die TORRICELLIsche Ausflußformel:
u2 = 2 ⋅ g ⋅ h
(4.180)
4.6.1.2 Stationäres Ausfließen eines Schüttgutes
Für das stationäre Ausfließen von Schüttgütern (COULOMB-Reibung!) aus
Trichtern gilt jedoch entsprechend des radialen Spannungsfeldes, siehe auch
Bild 4.1 sowie die Gln.(4.1) und (4.9),
v stat = f ( b) ≠ f ( H )
(4.181)
die Unabhängigkeit von der Füllhöhe H im Schaft. Diese physikalische Tatsache und die einfache Abhängigkeit der stationären Auslaufgeschwindigkeit
vstat von der Trichterauslaufbreite b begründete die jahrtausendlange stabile
Funktionsweise der Zeitmessungen mittels Sanduhren (Stundengläser).
Wenn man nun gemäß Gl.(4.190) die Trichterhöhe
b
(4.190)
h=
2 ⋅ tan θ
einsetzt in Gl.(4.180), folgt eine einfache Basisgleichung
v stat =
g⋅b
tan θ
(4.182)
für die nachfolgenden Modellbetrachtungen.
Eine Durchsicht der sehr umfangreichen Literatur zum Ausfließen von Schüttgütern (Überblick bei SCHWEDES [1]), zeigte, daß nur Johanson [3] den
Fließeigenschaften kohäsiver Schüttgüter Bedeutung beimaß. Für die überwiegend kohäsionslosen Schüttgüter berücksichtigen Beverloo [2] die
Partikelkollisionen, Keller und Gjâcev [4] die Instationarität sowie Carleton [5]
und Crewdson [6] den Luftwiderstand feiner Partikeln, Bild F 4.25.
Im Folgenden wird ein allgemeingültiges Prozessmodell sowohl für das
gleichmäßig beschleunigte (instationäre) als auch für das stationäre Ausfließen eines kohäsiven Schüttgutes aus einem konvergenten Trichter vorgestellt, in dem die wesentlichen Stoffeigenschafts-, Prozess- und Apparategrößen gleichermaßen als verfahrenstechnische Prozesseinheit Berücksichtigung finden.
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134
4.6.2 Allgemeines Prozessmodell des gleichmäßig beschleunigten Ausfließens einer kohäsiven Schüttgutbrücke
• Beim Ausfließen eines feinkörnigen Schüttgutes aus einem konvergenten
Trichter dehnt sich dieses aufgrund der abnehmender Spannungen zur
Trichterspitze hin aus (Dilatanz), siehe Bild 4.4. Dadurch wird ein Unterdruck in den Porenräumen der Schüttgutbrücke erzeugt, der eine Fluidströmung entgegen der Austragsrichtung durch das Gut hindurch bewirkt.
• Außerdem muss man häufig gegen einen leichten Überdruck der Umgebung oder Unterdruck innerhalb des geschlossenen Behälters austragen man denke dabei an die Blasenbildung und Luftrückströmung beim Ausgießen von Getränken aus geschlossenen Flaschen.
4.6.2.1 Modellbildung
4.6.2.1.1 Kräftegleichgewicht an der beschleunigten Brücke
Das Kräftegleichgewicht der Gewichtskraft FG, Trägheitskraft FT und Auflagerkraft FV einer gleichmäßig beschleunigten, dynamischen Brücke eines
kohäsiven Schüttgutes unter Berücksichtigung der Fluid-Widerstandkraft FF
einer Fluidgegenströmung durch das fließende Schüttgutbett innerhalb des
Trichters liefert (dhB inkrementelle Schicht- oder Brückenhöhe, F 4.4:
dFG = ρ b ⋅ g ⋅ A B ⋅ dh B
(4.183)
dFV = σ1′ ⋅ cos δ ⋅ sin δ ⋅ U B ⋅ dh B
(4.184)
dFT = a ⋅ ρ b ⋅ A B ⋅ dh B = dFG ⋅
dFF =
dv *
g ⋅ dt
(4.185)
dp
⋅ A B ⋅ dh B
dh B
(4.186)
∑ dF ↓= 0 und damit 0 = dF
G
− dFV − dFT − dFF
Einsetzen der obigen Gln.(4.183) bis (4.186 liefert:
sin 2δ U B
dp
0 = ρ b ⋅ g ⋅ A B ⋅ dh B − σ1′ ⋅
⋅
⋅ A B ⋅ dh B − a ⋅ ρ b ⋅ A B ⋅ dh B −
⋅ A B ⋅ dh B
2
AB
dh B
Für σ1’ = σc,krit und δ = θ + ϕw ist bekanntlich, siehe Gl. (4.15):
b min =
(m + 1) ⋅ σ c ,krit ⋅ sin 2(ϕ w + θ)
(4.15)
ρb ⋅ g
Einsetzen:
0 = ρ b ⋅ g − σ1′ ⋅ sin 2δ ⋅
m +1
dp
− a ⋅ ρb −
b
dh B
1
dp
b min
a
=1− −
⋅
b
g ρ b ⋅ g dh B
⋅
1
ρb ⋅ g
(4.187)
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135
Die vertikale Beschleunigung a = dv*/dt der Schüttgutströmung aus der Ruhelage, z.B. durch Öffnung des Schiebers oder kurzzeitige Brückenbildung, setzt
sich sowohl aus dem Anteil
(1) durch die Querschnittsverengung des Trichters, svw. Trichterkonvergenz
∂A/∂h, als auch aus
(2) der Bremswirkung infolge der reinen Trägheitswirkung der dynamischen
Schüttgutbrücke (Anlaufvorgang) ∂v/∂t zusammen
 (t) 

 ∂A
 V
dv(h ,t )
∂V
V
 dt =
,
= d
− 2⋅
dt
∂t⋅ A A ∂dt
 A ( h ,t ) 
∂A ∂A ∂h ∂A
mit:
=
⋅
=
⋅v
∂t
∂h ∂t ∂h
a=
(4.188)
wobei der Volumenstrom im gesamten Trichter konstant bleibt, d.h. für die
Kontinuitätsbedingung wird näherungsweise ein inkompressibles Schüttgut ρb
 ( t ) ≠ f (h ) . Einsetzen liefert:
≈ const. angenommen, V
a=
 dA
dv V
dv
dA
− 2⋅
⋅v =
− v 2⋅
dt A dh
dt
A⋅ dh
(4.189)
Nebenrechnungen:
b =2⋅ h⋅ tan θ
x
A
b/2
θ
A
y, h
A
(4.190)
= b = 4h tan θ
π
= b 2 = πh 2 tan 2 θ
4
= l ⋅ b= l ⋅ 2htanθ
2
2
2
(4.191)
Bild 4.16: Trichtergeometrie
Wenn die Höhenkoordinate h von oben beginnend angesetzt wird, nimmt die
Trichterquerschnittsfläche A nach unten ab. Diese Flächenabnahme dA/dh muß
dann mit einem - Vorzeichen versehen werden. Aus Bild 4.16 folgt für einen
quadratischen Auslauf
1 dA
8htan 2 θ
2
4⋅ tan θ
,
=− =−
⋅
=− 2
2
A dh
4h tan θ
h
b
runden Auslauf
1 dA
2πytan 2 θ
2
4⋅ tan θ
⋅
=− =−
=− 2
2
πy tan θ
A dh
h
b
und schlitzförmigen Auslauf:
1 dA
⋅
A dh
=−
2ltanθ
1
2⋅ tan θ
=− =−
2lytanθ
h
b
(4.192)
Allgemeingültig liest man aus den obigen Gln.(4.192) nun mit dem Trichterformfaktor m ab:
1 dA
m +1
2⋅ ( m + 1)⋅ tan θ
⋅
=−
=−
A dh
h
b
(4.193)
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136
Damit folgt schließlich für die Beschleunigung des beginnenden Fließens einer
kohäsiven Schüttgutbrücke im konvergenten Trichter:
a=
dv 2( m+1)tan θ 2
+
⋅v
dt
b
(4.194)
Die Auslaufgeschwindigkeit v(t) ≠ f(x) wird hier über dem Trichterquerschnitt
als konstant vorausgesetzt, siehe Bild 4.16. Eingesetzt in Gl.(4.187) ergibt sich
nun die folgende Bewegungsgleichung als inhomogene, nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung für die Auslaufgeschwindigkeit v(t) des beginnenden Fließens der kohäsiven Schüttgutbrücke:
dv 2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ 2 dp 1
 b 
+
⋅v +
= g⋅ 1 − min 
dt
b
dh B ρ b
b 

(4.195)
Wegen der Geschwindigkeitsabhängigkeit des Druckverlustes während der
Durchströmung der fließenden Schüttgutbrücke (-bettes) dp/dhB = f(ur) ist mit



 
der Relativgeschwindigkeit u r = u − v für ein ruhenden Fluid u = 0 u r = v :
dp / dh B  2
b
dv 2( m+1) tan θ 
 b 
⋅ v = g1 − min 
⋅
+
1+

2 
b 
b
dt

 2( m+1) tan θ ρ b ⋅ u r 
(4.196)
Der Term (1- bmin/b) erfasst den Fließwiderstand bzw. die Trägheitswirkung
einer kohäsiven Brücke in dem konvergenten Fließkanal, d.h. die Behinderung
des Trichterausflusses aufgrund der kohäsiven Schüttguteigenschaften. Die
minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung der Brückenbildung bmin ist
im Wesentlichen ein der Trichtergeometrie äquivalentes Eigenschaftsmaß
der inneren Haftkräfte innerhalb des kohäsiven Schüttgutes.
4.6.2.1.2 Druckverlust während der homogenen Durchströmung
Der Druckverlust dp/dhB der nach unten fließenden, statistisch homogen
durchströmten Schüttgutbrücke hängt selbstverständlich von der Durchströmungsgeschwindigkeit der Luft in den Poren uε und damit von der
Austragsgeschwindigkeit v ab. Infolge der Druckabnahme dehnt sich die
Schüttgutbrücke beim Ausfließen aus (Dilatanz). In den Poren der Brücke
wird ein Unterdruck erzeugt. Deshalb wird Luft „ansaugt“ und folglich das
Fließen der Schüttgutbrücke durch diese Luftgegenströmung abgebremst.
Wenn sich die Schüttgutbrücke beim Ausfließen durch ein umgebendes ruhendes Fluid hindurchbewegt wird der Betrag der Relativgeschwindigkeit zwischen Fluid und Brücke ur (kein Schlupf und zusätzliche Anströmung u = 0)
der Brückenaustraggeschwindigkeit v entsprechen:

  
ur = u − v ≅ v ,
(4.197)
Folglich sind alle nachfolgenden Kennzahlen mit der Relativgeschwindigkeit
ur zu bilden. Anstelle dessen kann auch strömungsdynamisch analog die homogene Durchströmung einer ruhenden Brücke v = 0 betrachtet werden:
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
  
ur = u − v ≅ u
(4.198)
Somit ist der Zusammenhang zwischen der sog. Anströmgeschwindigkeit
(Leerrohrgeschwindigkeit) u und der mittleren Geschwindigkeit u ε der durchströmten Kanäle des Durchmessers dε, wie folgt darstellbar:
uε = u / ε
(4.199)
Die mittlere Porengröße d ε wird als hydraulischer Durchmesser mittlerer charakteristischer zylindrischer Kanäle dh, siehe Schüttec_3.doc – hydraulischerDurchmesser Gl.(3.142), modelliert:
dε =
2 ⋅ ε ⋅ d ST
3 ⋅ (1 − ε)
(4.200)
Dabei ist dST die gemittelte oberflächengleichwertige Partikelgröße oder der
sog. SAUTER-Durchmesser der durchströmten Schüttgutbrücke, Gl.(1.70)
MVT_e_1neu.doc#SAUTER_Durchmesser_M:
d ST =
1
=
M −1,3
1
do
∫d
−1
(4.201)
q 3 (d )d (d )
du
Es ist nun zweckmäßig, den Druckverlust mit Hilfe der EULER-Zahl (=
Druckkraft/Trägheitskraft) als dimensionslose Kennzahl für das Durchströmungsproblem der Partikelschüttung auszudrücken 19 (ρf Fluiddichte)
Eu ε =
2⋅ FW ,ε / A
ρf ⋅ u ε2
(4.202)
FW,ε Widerstandskraft in den Kanälen
Mit der homogen durchströmten Querschnitts- bzw. Porenfläche A ε = ε⋅ A
und der charakteristischen Abmessung des Strömungsprofils in Form des Porendurchmessers Vε/Aε ⇒ dε folgt mit dem Druckverlust der Schüttschicht (Index B für eine Schüttgutbrücke oder Festbett)
Eu B =
2 ⋅ (dp / dh B ) ⋅ d ε
2
ρf ⋅ (u r / ε ) ⋅ ε
(4.203)
und mit der Gl.(4.200):
Eu B =
4 ⋅ (dp / dh B ) ⋅ ε2 ⋅ d ST
3 ⋅ ρf ⋅ u 2r ⋅ (1 − ε)
(4.204)
Der Druckverlust des Festbettes ist somit:
dp 3 ⋅ ρf ⋅ u 2r ⋅ (1 − ε)
=
⋅ Eu B
dh B
4 ⋅ ε2 ⋅ d ST
(4.205)
Die EULER-Zahl hängt von der Partikel-REYNOLDS-Zahl und somit vom
mittleren Porendurchmesser dε ab 20, Gl. (4.200):
19
MOLERUS, O., Principles of Flow in Disperse Systems, p. 10, Chapman, London 1993
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Re =
(u r / ε) ⋅ d ST ⋅ ρ f 3 ⋅ u r ⋅ d ε ⋅ ρ f ⋅ (1 − ε)
=
ηf
2 ⋅ ε 2 ⋅ ηf
ηf
υ = ηf / ρf
(4.206)
dynamische Fluidviskosität oder mit
kinematische Fluidviskosität
Der Durchströmungswiderstand Eu = f(Re) wird nun wie folgt quantifiziert:
4.6.2.1.3 Homogene Durchströmungsbedingungen
Für die im Allgemeinen laminaren bis turbulenten Durchströmungsbedingungen beim Ausfließen muss Re < 104 erfüllt sein (man beachte die Analogie, bei
der Umströmung soll Re < 2⋅105 sein). Nach MOLERUS 21 (1982) folgt für
 das Festbett Schüttec_3.doc - Druckverlust_Festbett_Molerus
Eu B =
1, 5
 d 1  d  2  
24 
4 
0,891
 d  
d
⋅ 1 + 0,692 ⋅  + ⋅     +
⋅ 1 + 0,12 ⋅    + 0,4 +   ⋅ 0,1
Re 
a
2
a
a
a
Re 
   0,95 
  0,95 
  0,95 Re



(4.207)
für die Porositätsfunktion (Partikelgrößen-Abstandsverhältnis), siehe dazu
das Würfelzellenmodell ../VO_MVT_Neu/MVT_e_1neu.doc#a_phis
3
1− ε
d
=
 
 a  0,95 0,95 − 3 1 − ε
3
(1 − ε )max
= 0,95 d.h.
mit
(4.208)
(1-ε)max = 0,8574
(4.209)
 und für eine homogene Wirbelschicht (expandierendes Festbett)
Der Druckverlust läßt sich in diesem Falle aus der um den statischen Auftrieb verminderten Gewichtskraft der schwebenden Schüttung berechnen:
dp
= (1 − ε WS ) ⋅ (ρs − ρ f ) ⋅ g ,
dh WS
(4.210)
wobei die Feststoffdichte wesentlich größer als die Fluid- oder gewöhnlich
Gasdichte ρs >> ρf ist:
ρ
dp
= b ,WS ⋅ (ρs − ρ f ) ⋅ g ≈ ρ b ,WS ⋅ g
dh WS
ρs
(4.211)
ρb,WS
Schüttgutdichte im Wirbelschichtzustand (Index WS)
Damit ist die EULER-Zahl im Wirbelschichtzustand
Eu WS =
4⋅ (ρs − ρf ) ⋅ g ⋅ ε2 ⋅ d ST
3 ⋅ ρf ⋅ u 2r
(4.212)
Es folgt Schüttec_3.doc - Druckverlust_Wirbelschicht_Molerus:
20
21
MOLERUS, O., Principles of Flow in Disperse Systems, p. 17, Chapman, London 1993
MOLERUS, O., Principles of Flow in Disperse Systems, p. 27, Chapman, London 1993
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139
Eu WS =
1, 5
 d 1  d  2  
24 
4 
d 0,907
 d  
⋅ 1 + 0,341 ⋅  + ⋅     +
⋅ 1 + 0,07 ⋅    + 0,4 + ⋅ 0,1
a Re
Re 
Re 
 a  
 a 2  a   
(4.213)
mit der Porositätsfunktion (Verhältnis Partikelgröße-Oberflächenabstand)
3
1− ε
d
  =
 a  0,9 0,9 − 3 1 − ε
3
(1 − ε )max
= 0,9
d.h.
und
(1-ε)max = 0,729
(4.214)
(4.215)
Man beachte insbesondere die physikalische Plausibilität dieser Durchströmungsgleichungen, die andere Modelle (z.B. ERGUN-Gleichung oder Gln. in
der FLUENT-Software) leider nicht bieten können, d.h. als Grenzwert der expandierenden Wirbelschicht (Flugstaubwolke) muss sich der Widerstand der
Umströmung der Einzelpartikel (ideal glatte Kugeln) lim Eu WS  = c W ergeben:
ε→1
Eu WS ( ε = 1) = Eu Kugel = c W =
24
4
+
+ 0,4 ,
Re
Re
(4.216)
wobei sich die folgenden Einflüsse auf die Durchströmungs- bzw. Umströmungsbedingungen abgrenzen lassen:
⇒ 24 ⋅ {...}
Term für laminare Durchströmung, Re < 1…10,
Re
⇒ 4
Übergangsterm und
⋅ {...}
Re
⇒ 0,4 + ...
Term für turbulente Durchströmung, Allerdings muss
hier Re < 104 erfüllt sein (bei Umströmung Re < 2⋅105).
4.6.2.2 Bewegungsgleichung des Ausfließens
Aus der Bewegungsgleichung (4.196) und unter Berücksichtigung des zusätzlichen Widerstandes infolge eines äußeren Überdruckes dpa, Gl.(4.279),
 b
dv 2( m+1) tan θ 
b
dp / dh B  2
dp / dH 

1+
+
⋅ v = g1 − min − a

2 
dt
b
b
ρ b g 
 2( m+1) tan θ ρ b ⋅ u r 

(4.217)
sowie mit den Gln.(4.198) und (4.205)
dp 3 ⋅ ρf ⋅ u 2r ⋅ (1 − ε)
=
⋅ Eu B ( u r )
dh B
4 ⋅ ε2 ⋅ d ST
3 ⋅ ρf ⋅ (1 − ε)
dp / dh B
=
⋅ Eu B ( u r )
2
ρb ⋅ u r
4 ⋅ ρ b ⋅ ε2 ⋅ d ST
dp / dh B 3 ⋅ ρf ⋅ Eu B ( u r )
=
ρ b ⋅ u 2r
4 ⋅ ρs ⋅ ε2 ⋅ d ST
(4.205)
und
ρb
1− ε
1
=
=
ρb
ρs ⋅ ρ b ρs
(4.218)
folgt die allgemeine Bewegungsgleichung (Differentialgleichung erster Ordnung) des beginnenden, gleichmäßig beschleunigten und instationären Ausfließens kohäsiver Schüttgüter aus einem konvergenten Trichter:
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 b
dp / dH 
dv 2( m+1) ⋅ tan θ 
3 ⋅ b ⋅ ρf ⋅ Eu B (v( t ) )  2

+
⋅ 1 +
⋅ v = g ⋅ 1 − min − a

2
dt
b
b
ρ b g 
 8d ST ε ρs ( m+1) tan θ 

(4.219)
Für den einfachen Fall des stationären Fließens dv/dt = 0 läßt sich diese Differentialgleichung (4.219) bequem umstellen:
 b
dp / dH 

g ⋅ b ⋅ 1 − min,st − a
b
ρ b g 

v st ( b ) =


3 ⋅ b ⋅ ρf ⋅ Eu B (v st )
2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ ⋅ 1 +

2
 8⋅ d ST ⋅ ε ⋅ ρs ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ 
(4.220)
Für das stationäre Fließen sollte nun statt bmin die etwas kleinere minimale
Öffnungsweite des stationäres Ausfließen bmin,st gemäß Gl. (4.72) eingesetzt
werden. Man erkennt unmittelbar, daß bei einer ausgeführten Öffnungsweite
von exakt b = bmin,st sich Brückenbildung ergeben würde - zumindest mit einer
50%igen Wahrscheinlichkeit. Die Auslaufgeschwindigkeit ist folglich vst = 0.
Die Reduzierung der stationären Auslaufgeschwindigkeit mit zunehmender
Druckdifferenz dp/(dhB.ρb.u2) lässt sich anhand des Durchströmungsterms mit
der EULER-Zahl EuB(vst) als Widerstand ebenfalls abschätzen. Wollte man
eine mögliche Sogwirkung eines äußeren Unterdruckes unterhalb des Ausflusses berücksichtigen, wäre statt des (+dp) ein (-dp) Vorzeichen zu schreiben.
Diese inhomogene, nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung, Gl.
(4.219), lässt sich wegen der komplizierten nichtlinearen Abhängigkeit von den
Durchströmungsbedingungen der Partikelschichten EuB = Re(v(t)), Gl.(4.207),
nur numerisch lösen, z.B. mit der RUNGE-KUTTA-Methode:
4.6.2.3 Numerische Lösung mit der RUNGE-KUTTA-Methode
Gleichung (4.219) wird unter Verwendung von Gl.(4.248) umgeschrieben
 b
dp / dH 
dv
2( m+1) ⋅ tan θ
 (4.221)
= f ( v,t ) = −
⋅ [1 + c Eu ]⋅ v 2 ( t ) +g⋅ 1 − min − a
dt
b ⋅ (1−k b ⋅ d / b )
b
ρ b g 

mit dem Parameter cEu, EULER-Zahl und REYNOLDS-Zahl:
c Eu =
3⋅ ρf ⋅ Eu B (Re(v( t ))) ⋅ b ⋅ (1 − k b ⋅ d / b )
8⋅ d ST ⋅ε 2 ⋅ ρs ⋅ ( m+1)⋅ tan θ
2
 3 1− ε
  
24 
1  3 1− ε
4
  +
⋅ 1 + 0,692 ⋅ 
+ ⋅ 
⋅
Eu B =
3
3

Re 
Re
 0,95 − 1 − ε 2  0,95 − 1 − ε   


(4.222)
(4.223)
1, 5

 3 1− ε
 
 3 1− ε
 0,891
  + 0,4 + 
 ⋅ 0,1
⋅ 1 + 0,12 ⋅ 
3
3




 0,95 − 1 − ε  
 0,95 − 1 − ε  Re
Re =
v( t ) ⋅ d ST ⋅ ρ f
ε ⋅ ηf
(4.224)
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
141
Für festzulegende Startwerte t0, v0, Endwerte tmax, sowie der Anzahl der Funktionswerte n und einer sich selbststeuernden Schrittweite (0 < α < 1
Schrittweitenfaktor, gewöhnlich α ≈ 0,9)
(4.225)
h = t max / n
h := h ⋅ α
t k +1 = t k + h
(4.226)
(4.227)
wird die Differentialgleichung mit den Hilfswerten k0(k) bis k3(k) in k = 1 ... n
Schritten gelöst:
k 0( k ) = f ( t k , v k ) ⋅ h
k1( k ) = f ( t k + 0,5 ⋅ h , v k + 0,5 ⋅ k 0( k ) ) ⋅ h
k 2( k ) = f ( t k + 0,5 ⋅ h , v k + 0,5 ⋅ k 1( k ) ) ⋅ h
(4.228)
k 3 ( k ) = f ( t k + h , v k + k 2( k ) ) ⋅ h
Die Genauigkeit und der Rechenaufwand werden im Algorithmus mit der
k 2( k ) − k 1( k )
Schranke
(4.229)
< 0,01...0,1
k 1( k ) − k 0( k )
geregelt. Die Funktionswerte der Auslaufgeschwindigkeit sind dann:
1
(4.230)
v k +1 = v k + ⋅ [k 0 + 2 ⋅ k 1 + 2 ⋅ k 2 + k 3 ]
6
Programmausschnitt mit RUNGE-KUTTA-Algorithmus aus Borland-PASCAL-Unit „SZTr.Pas“ der eigenen Berechnungssoftware „SZNeu.Exe“ zur
Auswertung von Scherzellenmeßergebnissen und Bunkerdimensionierung 22:
with TR[k]^ do begin
{Variablenvektor mit Index k}
alfa:=0.9;
{selbst kontrollierende Schrittweite 0<alfa<1}
h:=tmax/nt;
h:=h/alfa;
x:=t;
yapprox:=v1;
repeat
{Lösungsalgorithmus nach RUNGE-KUTTA}
h:=h*alfa;
xmid:=x+h/2;
k0:=fv(x,yapprox)*h;
k1:=fv(xmid,yapprox+k0/2)*h;
k2:=fv(xmid,yapprox+k1/2)*h;
k3:=fv(x+h,yapprox+k2)*h;
if abs(k1-k0)<0.1E-37 then k0:=0.1E-20*k1;
{Schutz vor Absturz}
until abs((k2-k1)/(k1-k0))<10*epsilon;
x:=x+h; {regelt Rechenaufwand und Anpassungsgüte mit epsilon=0.001}
22
In: Tomas, J., Winter, M., Bremerstein, J., 8/1992, ergänzt 4/2013
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
142
t:=x;
yapprox:=yapprox+(k0+2*k1+2*k2+k3)/6;
v1:=yapprox; …
4.6.2.4 Näherungslösungen für die turbulente Durchströmung
Aus didaktischen Gründen werden zunächst die mathematisch einfacheren Näherungslösungen für die turbulente Durchströmung bevorzugt. Anschließend
folgen die analytischen Lösungen für die laminare Durchströmung.
4.6.2.4.1 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
Eine analytische Näherungslösung der Auslaufgeschwindigkeit kann man für
die turbulente Durchströmung nur gewinnen, wenn man während der Beschleunigungsphase, d.h. beim Durchlaufen des laminaren und des Übergangsbereiches der Bettdurchströmung voraussetzt, dass der Druckverlustterm
dp/(dhB.ρb.ur2) abschnittsweise konstant sei. Das entspricht einem konstanten
Widerstandsbeiwert cW bei der Partikelumströmung, Gl.(4.216), siehe auch
..\VO_MVT_Neu\MVT_e_4neu.pdf.
Folglich soll unter der vereinfachenden Annahme einer zumindest abschnittsweisen Konstanz der Eulerzahl EuB ≈ const. ≠ f(v(t)) die Differentialgleichung
(4.217) analytisch gelöst werden, um sich über die wesentlichen Zusammenhänge der Auslaufdynamik Klarheit zu verschaffen:
 b
dv 2( m+1) tan θ 
b
dp / dh B  2
dp / dH 

1+
+
⋅ v = g1 − min − a

2 
dt
b
b
ρ b g 
 2( m+1) tan θ ρ b ⋅ u r 

(4.217)
Zunächst wird als wesentlicher Prozessparameter und kennzeichnender Stoffwert (Stoffeigenschaftsfunktion), svw. Eigenwert der Differentialgleichung, die
stationäre Auslaufgeschwindigkeit vst für dv/dt = 0 berechnet:
 b
dp / dH 
dp / dh B  2
b
 dv
 2( m+1) tan θ 

⋅ 1 +
⋅ v st = g1 − min − a
 = 0 +
2 
b
ρ b g 
b

 dt
 2( m+1) tan θ ρ b ⋅ u r 

 b
dp / dH 

g ⋅ 1 − min − a
ρ b g 
b
2

v st =
b
dp / dh B 
2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ 
⋅ 1 +
⋅
2 
b
 2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ ρ b ⋅ u 
Im Vergleich zur Gl.(4.220) ergibt sich die stationäre Auslaufgeschwindigkeit
in einer etwas veränderten Schreibweise:
 b
dp / dH 

b ⋅ g ⋅ 1 − min − a
ρ b g 
b

v st =

dp( u r ,st ) / dh B 
b
⋅
2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ ⋅ 1 +

ρ b ⋅ u 2r ,st 
 2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ
(4.231)
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143
Zur Lösung mittels Trennung der Variablen wird die Differentialgleichung
(4.217) umgeformt
 b
dp / dH   2( m+1) tan θ dp / dh B  2
dv( t )
−
= g⋅ 1 − min − a
+
⋅v ,
ρ b g  
b
b
dt
ρ b ⋅ u 2r 

mit dem Druckverlust bei stationärer Durchströmung
dp( u r ,st ) / dh B
erweitert
ρ b ⋅ u 2r ,st
dp( u r ,st ) / dh B
ρ b ⋅ u 2r ,st
 b
dp / dH  2( m+1) tan θ 2
dv( t )
dp / dh B 2
 −
= g⋅ 1 − min − a
⋅v −
⋅
⋅v ,
dp( u r ,st ) / dh B ρ b ⋅ u 2r
b
ρb g 
b
dt

ρ b ⋅ u 2r ,st
der rechte Term dp(ur,st)....v2 wird mittels der umgeformten Gl.(4.231) ersetzt
2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ dp( u r ,st ) / dh B g  b min dp a / dH 

+
= 2 ⋅ 1 −
−
b
v st 
b
ρ b ⋅ u 2r ,st
ρ b g 
dp( u r ,st ) / dh B g  b min dp a / dH  2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ
−
,
= 2 ⋅ 1 −
−
ρ b ⋅ u 2r ,st
v st 
b
ρ b g 
b
(4.232)
umformen der rechten Terme
dp / dh B
ρ b ⋅ u 2r
dv( t )
2( m+1) tan θ 2
= ... −
⋅v −
dp( u r ,st ) / dh B
dt
b
ρ b ⋅ u 2r ,st
g  b
dp / dH  2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ  2
−
⋅  2 ⋅ 1 − min − a
⋅v
b
b
ρ b g 

 v st 

dp / dh B 
dp / dh B


2
 b
dv( t )
2( m+1) tan θ 
dp / dH  v 2
ρb ⋅ u r
ρ b ⋅ u 2r
 ⋅ v2 −
 ⋅ 2
= ... −
⋅ 1−
⋅ g ⋅ 1 − min − a
dp( u r ,st ) / dh B
dt
b
b
ρ
g
 dp( u r ,st ) / dh B 
b

 v st
2
2


ρ b ⋅ u r ,st
ρ b ⋅ u r ,st


dp / dh B 
dp / dh B

2
2

 b
 b
2( m+1) tan θ
dp / dH  v
dp / dH 
dv( t )
ρ b ⋅ u 2r  2
ρb ⋅ u r
⋅v
 ⋅ 2 −
 −
⋅ 1 −
⋅ g 1 − min − a
= g⋅ 1 − min − a
b
b
b
dt
ρ b g  v st
ρ b g  dp st / dh B 
 dp st / dh B 


ρ b ⋅ u 2r ,st 
ρ b ⋅ u 2r ,st
ausklammern und es folgt eine erweiterte allgemeine Bewegungsgleichung,
die wie die Differentialgleichungen (4.217) oder (4.219) nur numerische lösbar ist, siehe Abschnitt 4.6.2.3:


 b min dp a / dH  
dv( t )
⋅ 1−
= g⋅ 1 −
−
b
dt
ρ b g  



dp / dh B


2 
2
v
2( m+1) tan θ 
ρb ⋅ u r
⋅ 1 −
⋅ 2 −
dp st / dh B v st 
b


ρ b ⋅ u 2r ,st


dp / dh B 
ρ b ⋅ u 2r  2
⋅v
dp st / dh B 
ρ b ⋅ u 2r ,st 
(4.233)
Für eine analytische Lösung wird vereinfachend der Druckverlust als abschnittsweise konstant angenommen, so dass dessen Verhältnis ≈ 1 ist
dp / dh B dp( u r ,st ) / dh B
(4.234)
→1
ρ b ⋅ u 2r
ρ b ⋅ u 2r ,st
Dies liefert eine deutlich übersichtlichere Differentialgleichung:
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144
 b min dp a / dH   v 2 
dv( t )
 ⋅ 1 − 
= g ⋅ 1 −
−
dt
b
ρ b g   v st2 

(4.235)
Die Integration dieser nichtlinearen Differentialgleichung liefert nach Trennung
der Variablen mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 für Werte v(t) ≤ vst
v
dv
g
∫v=0 vst2 − v 2 = vst2
 b min dp a / dH  t
 ⋅ ∫ dt
⋅ 1 −
−
b
ρ
g
b

 t =0
(4.236)
auf der linken Seite der Integralgleichung die folgende Lösung 23:
v
v +v
 v 
dv
1
1  v +v
∫v = 0 v st2 − v 2 = 2 ⋅ v st ⋅ ln v stst − v  = 2 ⋅ v st ⋅ ln v ss − v  − ln v stst 


0
v
Die rechte Seite der Integralgleichung (4.360) ergibt:
t
g  b min dp a / dH 
g  b
dp / dH 


⋅ t
⋅
1
−
−
⋅
dt = 2 ⋅ 1 − min − a
2 
∫

v st 
b
ρ b g  t =0
v st 
b
ρ b g 
Beide Integrale ergeben zusammen:
 v + v  g  b min dp a / dH 
1
=
⋅ t
⋅ ln  s
⋅ 1 −
−
ρ b g 
b
2 ⋅ v st  v s − v  v st2 
Auflösen nach v:
 v + v  2 ⋅ g  b min dp a / dH 
⋅ t
 =
ln  st
⋅ 1 −
−
b
ρ b g 
 v st − v  v st 
 2 ⋅ g  b min dp a / dH  
v st + v
 ⋅ t
= exp 
⋅ 1 −
−
v st − v
b
ρ b g  
 v st 
 2 ⋅ g  b min dp a / dH  
 ⋅ t
⋅ 1 −
−
v st + v = (v st − v ) ⋅ exp 
ρ b g  
b
 v st 
 2g  b
 2g  b
dp / dH  
dp / dH  
 ⋅ t  − v st
 ⋅ t  = v st exp  1 − min − a
v + v exp  1 − min − a
b
b
ρ b g  
ρb g  
 v st 
 v st 

  2g  b
 2g  b
dp / dH   
dp / dH   
 ⋅ t   = v st exp  1 − min − a
 ⋅ t  − 1
v 1 + exp  1 − min − a
ρ b g   
b
ρ b g   
b

  v st 
 v st 
Das ergibt die Zeitabhängigkeit der instationären Auslaufgeschwindigkeit:
 2 ⋅ g  b min dp a / dH  
 ⋅ t  − 1
exp 
⋅ 1 −
−
v
b
g
ρ
st
b

 

v( t ) = v st ⋅
 2 ⋅ g  b min dp a / dH  
 ⋅ t +1
exp 
⋅ 1 −
−
b
ρ b g  
 v st 
Dies lässt sich mit der tanh-Funktion 24 deutlich übersichtlicher gestalten:
y=
exp(2 x ) − 1
= tanh (x )
exp(2 x ) + 1
mit − 1 < y < 1
(4.237)
23
Siehe Ruge, P., Mathematik, S. A 47, in Czichos, H., Hütte, Springer Berlin 1991.
Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1968; neu: S. 88, 7. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.
24
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145
Schließlich erhält man die folgenden Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze für das
beginnendes Ausfließen eines kohäsiven Schüttgutes aus einem konvergenten Trichter:
 2 ⋅ g  b min dp a / dH  
 ⋅ t 
v( t ) = v st ⋅ tanh 
⋅ 1 −
−
v
b
ρ
g
st
b

 

mit der für die tanh-Funktion typischen Relaxationszeit t76, siehe Gl.(4.242),
t 76 =
v st
 b
dp / dH 

g ⋅ 1 − min − a
b
ρ b g 

,
v(t ) = v st ⋅ tanh (t / t 76 )
(4.238)
(4.239)
und mit der stationären Auslaufgeschwindigkeit Gl.(4.231):
 b
dp / dH 

b ⋅ g ⋅ 1 − min − a
b
ρ b g 

v st =

b
dp / dh B 
2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ ⋅ 1 +
⋅
2 
 2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ ρ b ⋅ u r 
(4.231)
Die tanh-Funktion ist typisch für diesen von der Schwerkraft getriebenen aber
von der Luftdurchströmung und Pulverkohäsion behinderten Auslaufprozess.
Anstieg und charakteristische Auslaufzeiten
Der Anstieg des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes im Nullpunkt v = 0 läßt sich
mit Hilfe der Bewegungsgleichung (4.235) berechnen:
 b min dp a / dH   v 2 = 0 
dv( t )
 ⋅ 1 −

= g ⋅ 1 −
−
2
ρ
dt v=0
b
g
v
b
st

 

(4.235)
 b
dp / dH 
dv

= g ⋅1 − min
− a
∗
ρ b g 
b
dt v=0

(4.240)
und entspricht damit dem Anstieg, Gl.(4.324), bei laminarer Durchströmung.
Mit Hilfe des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes (4.239) ergibt sich bei t = 0,
1
dv( t )
v
1
v
wenn y = tanh x → y ' =
,
= s ⋅
= s ,
2
2
cosh x
dt t =0 t 76 ,vs cosh (0 ) t 76 ,vs
 b
dp / dH 
dv( t )
v

= s = g ⋅1 − min
− a
∗
ρ b g 
b
dt t =0 t 76 ,vs

(4.241)
ein von beiden Zeit- und Geschwindigkeitsparametern unabhängiger Anstieg,
der jedoch von den kohäsiven Schüttguteigenschaften abhängt.
Die kennzeichnende Relaxationszeit t76 ist mit den Gln.(4.238) und (4.231):
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146
t 76 =
t 76 =
1
 b
dp / dH 

g 1 − min − a
b
ρ
g
b


 b
dp / dH 

b ⋅ g ⋅ 1 − min − a
b
ρ b g 


b
dp / dh B 
2( m+1) tan θ ⋅ 1 +
⋅
2 
 2( m+1) tan θ ρ b ⋅ u r 
b
(4.242)
 b min dp a / dH  
dp / dh B 
b
⋅ 1+
−
2( m+1) tan θ ⋅ g1 −
ρ b g   2( m+1) tan θ ρ b ⋅ u 2r 
b

Der Index 76 der charakteristischen Auslaufzeit wurde gewählt, weil für t = t76
die tanh-Funktion
v ( t = t 76 ) = v st ⋅ tanh (1) = 0,76 ⋅ v st
(4.243)
ergibt. Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit wird für
v( t 96 = 2 ⋅ t 76 ) = v st ⋅ tanh (2 ) = 0,964 ⋅ v st
v( t 99 = 3 ⋅ t 76 ) = v st ⋅ tanh (3) = 0,995 ⋅ v st
(4.244)
(4.245)
mit weniger als 4%-iger bzw. 0,5%-iger Abweichung erreicht.
Der aus dem konvergenten Trichter ausfließende momentane Volumenstrom
 und der Massestrom m
 d sind mit der Gl.(4.239) für die AuslaufgeschwinV
d
digkeit (Ad Querschnittsfläche des Trichterauslaufes, ρb,krit = f(σ1,krit) Schüttgutdichte am Auslauf, siehe Abschnitt 4.1.4.2.2):
 ( t ) = A ⋅ v(t ) = A ⋅ v ⋅ tanh (t / t ) ,
V
76
d
st
d
d
(4.246)
 d ( t ) = ρ b ,krit ⋅ A d ⋅ v(t ) = ρ b ,krit ⋅ A d ⋅ v st ⋅ tanh (t / t 76 )
m
(4.247)
4.6.2.4.2 Mit Wandkollisionen und EULER-Zahl
In einer früheren Arbeit des Autors 25 wurde zusätzlich die Behinderung des
Schüttgutstromes durch Kollisionsereignisse gröberer Partikel mit der Wand
am Rand des Trichterauslaufes berücksichtigt:
b := b ⋅ (1 − k b ⋅ d / b )
(4.248)
kb = 1 ... 3
d ≈ d95
Kollisionskonstante, abhängig von der Partikelform
obere Stück- oder Partikelgröße, siehe auch Dimensionierungsgleichung (4.93) zur Vermeidung des Verkeilens der Auslauföffnung durch grobe Stücke
Diese Partikel-Wand-Kollisionen erzeugen eine gewisse „Einschnürung“ des
ausgetragenen Partikelstromes am Auslauf (siehe auch BEVERLOO 1961).
Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit vst ist dann für stationäres Fließen
25
Tomas, J., Modellierung des Fließverhaltens von Schüttgütern auf der Grundlage der Wechselwirkungskräfte zwischen den Partikeln und Anwendung bei der Auslegung von Bunkeranlagen, S. 114, Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991
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147
d  b
dp / dH 


g ⋅ b ⋅ 1 − k b ⋅ ⋅ 1 − min,st − a
b 
b
ρ b g 

v st =
 3 ⋅ ρf ⋅ b ⋅ Eu B ⋅ (1 − k b ⋅ d / b ) 
2⋅ (m + 1)⋅ tan θ ⋅ 1 +

2
 8 ⋅ ρs ⋅ d ST ⋅ ε ⋅ (m + 1) ⋅ tan θ 
(4.249)
und der Relaxationszeit t76 für das beginnende Fließen:
t 76 =
b⋅ (1 − k b ⋅ d / b )
(4.250)
 b min,st dp a / dH   3ρf b ⋅ Eu B (1 − k b ⋅ d / b ) 
 1+
2( m + 1) tan Θ ⋅ g1 −
−
b
8ρs d ST ε 2 (m + 1) tan Θ 
ρ b g  

Mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz Gl.(4.239) folgen die entsprechenden
Auslaufvolumen- und -massenströme:
 ( t) = A ⋅ v( t)
V
d
d
(4.251)
 d ( t ) = ρb ⋅ Ad ⋅ v( t )
m
(4.252)
 ( t ) = A ⋅ v ⋅ tanh  t 
V
d
d
st
 
 t 76 
(4.253)
 t 
 d ( t ) = ρ b ⋅ A d ⋅ v st ⋅ tanh  
m
 t 76 
(4.254)
Infolge der Partikel-Wand-Kollisionen grober Partikel wird der Auslaufstrom
etwas eingeschnürt. Deshalb werden die Dimensionen der Auslauffläche Ad
jeweils um den Betrag (1 − k b ⋅ d / b ) reduziert und zwar für die
• kreisförmige Trichteröffnung:
π 
d
A d = ⋅ 1 − k d ⋅  ⋅ b 2
4 
b
2
(4.255)
• quadratische Trichteröffnung:
2
d

A d = 1 − k d ⋅  ⋅ b 2
b

( 4.256)
• und schlitzförmige Trichteröffnung (Schlitzlänge l):
d
d


A d = 1 − k d ⋅  ⋅ b ⋅ 1 − k d ⋅  ⋅ l
b
l


( 4.257)
Die berechnete instationäre Auslaufgeschwindigkeit ist unter Berücksichtigung
des Luftwiderstandes eines kohäsiven, teilweise nicht fluidisierbaren Kalksteinpulvers (Gruppe-C Verhalten nach GELDART) im Bild 4.17 dargestellt:
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148
Bild 4.17: Berechnete instationäre Auslaufgeschwindigkeit v eines konischen
(bmin = 1,127 m, b = 1,14 m, lAd = 0) und keilförmigen (bmin = 0,5378 m, b =
0,538 m, lAd = 1,614 m) Trichters in Abhängigkeit von der Zeit t für ein kohäsives Kalksteinpulver (d50 = 3 µm)
Je geringer der Unterschied zwischen der ausgeführten Öffnungsweite b des
großtechnischen Silos und der aufgrund der Fließeigenschaften des Schüttgutes
ermittelten minimalen Öffnungsweite bmin ist, desto größer ist die Zeitspanne
zum Erreichen des stationären Fließens im Auslauf und desto störanfälliger
wird die Funktionskette Auslauftrichter und Austraggerät. Dies stimmt auch
sehr gut mit den praktischen Erfahrungen überein.
4.6.2.4.3 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz
Mit der Bewegungsgleichung (4.235) für turbulente Durchströmung:
 b min dp a / dH   v 2 
dv( t )
 ⋅ 1 − 
= g ⋅ 1 −
−
ρ b g   v st2 
dt
b

(4.235)
erhält man eine neue elegante Formulierung, wenn man das Zeitinkrement dt
durch das Weg- oder Höheninkrement dh/v, Gln.(4.154) & (4.172), ersetzt 26:
dt =
dh
v
 b
dp / dH   v 2 
dv( t )
dv( h )
 ⋅ 1 − 
= v( h ) ⋅
= g ⋅ 1 − min − a
dt
dh
b
ρ b g   v st2 

26
(4.258)
(4.259)
Tomas, neu hergeleitet 12/2013 bis 1/2014
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
149
Diese Differentialgleichung(4.259) wird nach Trennung der Variablen gemäß
der bekannten Lösung des Grundintegrals Nr. 61 umformt 27
v
 b min dp a / dH  h
v ⋅ dv
v ⋅ dv
2
=
v
⋅
=
g
⋅
∫ 1 − v 2 / vst2 st v∫=0 vst2 − v 2 1 − b − ρb g h∫=0dh
v =0
v
(4.260)
1
x ⋅ dx
= − ⋅ ln a 2 − x 2 .
2
2
2
−x
Mittels Koeffizientenvergleich erhält man x = v und a = vst2. Mit der Anfangs-
mit
(
∫a
)
bedingung v(h=0) = 0 wird zunächst nur die linke Seite der Integralgleichung
(4.260) gelöst:
v ⋅ dv
v st2
v ⋅∫ 2
=
−
⋅ ln v st2 − v 2
2
v −v
2
0 st
(
v
2
st
=−
)
v
=−
0
(
)
( )
v2
v st2
⋅ ln v st2 − v 2 + st ⋅ ln v st2
2
2
 v2 − v2 
 v2 
v
v2
v2
⋅ ln v st2 − v 2 − ln v st2 = − st ⋅ ln  st 2  = − st ⋅ ln 1 − 2 
2
2
2
 v st 
 v st 
2
st
[ (
) ( )]
Die Integration beider Seiten der Integralgleichung (4.260) ergibt zusammen:
 v2 
 b
v2
dp / dH 
⋅h
− st ⋅ ln 1 − 2  = g ⋅ 1 − min − a
2
b
ρ b g 
 v st 

 v2 
2 ⋅ g ⋅ h  b min dp a / dH 

⋅ 1 −
−
ln 1 − 2  = −
2
b
g
v
v
ρ
st 
st
b



2
 2 ⋅ g ⋅ h  b min dp a / dH 
v
⋅ 1 −
−
1 − 2 = exp −
2

ρ
v
b
g
v st
b
st



 2 ⋅ g ⋅ h  b min dp a / dH 

−
⋅ 1 −
v( h ) = v st ⋅ 1 − exp −
ρ b g 
b
v st2


Mit den Gln.(4.238) und (4.266) für t76 und hR,76 läßt sich das Argument der eFunktion vereinfachen:
 2⋅h 

v( h ) = v st ⋅ 1 − exp −

 h R ,76 
(4.261)
Diese übersichtliche Geschwindigkeits-Weg-Funktion, Gl.(4.261), des beschleunigten Ausfließens im turbulenten NEWTON’schen Durchströmungsbereich ist bequem analytisch auswertbar.
4.6.2.4.4 Das Weg-Zeit-Gesetz
Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu erhalten, siehe Bild 4.16, muss die Zeitfunktion der instationären Auslaufgeschwindigkeit, Gl.(4.239), erneut integriert
werden:
v( t) =
 t 
dh( t )
= v st ⋅ tanh   ,
dt
 t 76 
(4.262)
27
Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 1078, 7. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008
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150
Zur Vereinfachung wird vorausgesetzt, dass nur der Bereich der Auslauföffnung betrachtet wird. Deshalb können die beiden Parameter stationäre Auslaufgeschwindigkeit vst, Gl.(4.249), und der Zeitparamer t76, Gl.(4.250), als
mittlere Größen aufgefasst werden, die weitestgehend unabhängig von der
Höhenänderung während der Beschleunigungsphase sind (für die Trichterhöhe
gilt gemäß Bild 4.16:
h = b /(2 ⋅ tan θ)
bzw.
(4.80)
b = 2 ⋅ h ⋅ tan θ
(4.190) )
Somit folgt die Integralgleichung mit der Anfangsbedingung h(t = 0) = 0:
t
 t 
dh
=
h
(
t
)
=
v
⋅
st
∫h=0
∫t =0tanh t 76  dt
h(t)
(4.263)
Das rechte Integral wird mit Hilfe folgender Substitutionen analytisch gelöst:
x = t / t 76
abgeleitet: dx = dt / t 76
d.h.: dt = t 76 ⋅ dx
 t 
sinh (x )
 dt = t 76 ⋅ ∫ tanh (x ) dx = t 76 ⋅ ∫
dx
cosh(x )
76 
∫ tanh t
sinh (x )
∫ cosh(x ) dx
entspricht dem Integralkern 28 f’(x)/f(x), also:
f ′( x )
∫ f (x ) dx .
Die Substitution u = cosh (x )
ergibt abgeleitet: du = sinh (x ) ⋅ dx
d.h.: dx =
du
sinh (x )
Das unbestimmte Integral wird umgeformt zu:
 t 
sinh (x )
du
du
∫ tanh t 76  dt = t 76 ⋅ ∫ u ⋅ sinh(x ) = t 76 ⋅ ∫ u = t 76 ⋅ ln u
Das rückwärtige Einsetzen liefert (siehe auch Grundintegral Nr. 436 29):
t
u
 t 
 t 
∫t = 0 tanh t 76  dt = t 76 ⋅ ln cosh(x ) u =1 = t 76 ⋅ ln cosh t 76 
t =0
t
t


 t 
 t 
 dt = t 76 ⋅ ln cosh  − ln cosh(0) 
76 


 t 76 
∫ tanh t
t =0
t
 t 
 t 
 dt = t 76 ⋅ ln cosh 
76 
 t 76 
∫ tanh t
t =0
(4.264)
Damit ergibt sich die Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Schüttgüter aus einem konvergenten Trichter im Bereich turbulenter Durchströmung:
 t 
 t 
h ( t ) = v st ⋅ t 76 ⋅ ln cosh  = h R ,76 ⋅ ln cosh  ,
 t 76 
 t 76 
28
29
(4.265)
Leupolt, W. u.a., Analysis, S. 254 und 256, Fachbuchverlag Leipzig 1968.
Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 1101,
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151
wobei sich mit Hilfe der Gl.(4.238) der charakteristische Relaxationsweg hR,76
ergibt:
h R ,76 = v st ⋅ t 76 =
v st2
 b
dp / dH 

g ⋅ 1 − min − a
b
ρ b g 

(4.266)
Mit dieser Weg-Zeit-Funktion lassen sich folgende charakteristische Höhen
oder vertikale Positionen der Schüttgutbrücke während des beschleunigten
oder beginnenden Ausfließens ermitteln:
h ( t 76 ) = v st ⋅ t 76 ⋅ ln cosh (1) = 0,433 ⋅ v st ⋅ t 76 = 0,433 ⋅ h R ,76
(4.267)
t 96 = 2 ⋅ t 76 , d.h. h ( t 96 ) = 1,33 ⋅ v st ⋅ t 76 = 1,33 ⋅ h R ,76
(4.268)
t 99 = 3 ⋅ t 76 , d.h. h ( t 99 ) = 2,31 ⋅ v st ⋅ t 76 = 2,31 ⋅ h R ,76
(4.269)
4.6.2.4.5 Berechnung der Auslaufzeit td = f(h)
Wenn eine Trichterfüllhöhe h(td) = h* gegeben ist, kann die zugehörige Auslaufzeit td durch Umstellung der Weg-Zeit-Funktion, Gl.(4.265), die zugehörige
Umkehrfunktion berechnet werden:
 t 
h( t ) = v st ⋅ t 76 ⋅ ln cosh 
 t 76 
(4.265)
 h 
 t 
 = cosh 
exp
 v st ⋅ t 76 
 t 76 
(4.270)
Die cosh-Funktion lässt sich durch exp-Funktionen ausdrücken 30:
y = cosh( x ) =
exp( x ) + exp(− x ) 1 
1 
= exp( x ) +
2
2
exp( x ) 
(4.271)
1
1  1  exp( x ) ⋅ exp( x ) + 1
exp( x ) +
=


2
exp( x )  2 
exp( x )

1 exp(2 x ) + 1
y = cosh( x ) = ⋅
exp( x )
2
Damit folgt aus der Gl.(4.265):
 exp(2 t d / t 76 ) + 1
h(t d )
 exp(t d / t 76 ) + exp(− t d / t 76 ) 
ln
= ln 
=



v st ⋅ t 76
2

 2 ⋅ exp( t d / t 76 ) 
 h ( t d )  exp(2 t d / t 76 ) + 1
 =
exp
 v st ⋅ t 76  2 ⋅ exp( t d / t 76 )
 h(t d ) 
 ⋅ exp( t d / t 76 ) = exp(2 t d / t 76 ) + 1
2 ⋅ exp
v
t
⋅
 st 76 
Damit folgt eine quadratische Gleichung bezüglich exp(t d / t 76 )
30
Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 88 und 91
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152
 h(t d ) 
 ⋅ exp( t d / t 76 ) + 1 = 0
exp(2 t d / t 76 ) − 2 ⋅ exp
 v st ⋅ t 76 
(4.272)
mit ihrer Lösung:
 h(t d ) 
 2 ⋅ h(t d ) 
 + exp
 − 1
exp(t d / t 76 ) = exp
 v st ⋅ t 76 
 v st ⋅ t 76 
(4.273)
Diese Formulierung wird noch umgewandelt und vereinfacht:

 2 ⋅ h(t d )  
 −1

exp
v st ⋅ t 76  
 h(t d )  

 ⋅ 1 +
exp(t d / t 76 ) = exp
 2 ⋅ h(t d )  
 v st ⋅ t 76  
 
exp
v
t
⋅

 st 76  

 h(t d )  
 2 ⋅ h(t d )  
 ⋅ 1 + 1 − exp −
 
exp(t d / t 76 ) = exp
 v st ⋅ t 76  
 v st ⋅ t 76  
  h ( t )  
 2 ⋅ h ( t d )   
d
  
 ⋅ 1 + 1 − exp −
t d = t 76 ⋅ ln exp
 v st ⋅ t 76   
  v st ⋅ t 76  

 2 ⋅ h(t d )  
h(t d )
+ t 76 ⋅ ln 1 + 1 − exp −
t d = t 76 ⋅
 
v st ⋅ t 76

 v st ⋅ t 76  
Daraus ergibt sich mit der Gl.(4.266) für hR,76 eine vergleichsweise übersichtliche Umkehrfunktion der Auslaufzeit td = f(h*):
td =

 2 ⋅ h*  
h*

+ t 76 ⋅ ln 1 + 1 − exp −
h R ,76  
v st




(4.274)
Für große Füllhöhen (-mengen) h*, schnelle Dynamik (kleine Auslaufzeit) t76,
und kurze Relaxationswege hR,76 kann der letzte Term in der Gl.(4.274) vernachlässigt werden. Unter der Bedingung
h*
> 2,
h R ,76
(4.275)
die auch in vielen Fällen erfüllt wird, ergibt sich wegen 1 − exp(−4) = 0,98 ≈ 1 :
h*
td ≈
+ t 76 ⋅ ln 2
v st
(4.276)
4.6.2.4.6 Überprüfung des Geschwindigkeits-Weg-Gesetzes
Zur Überprüfung der Geschwindigkeits-Weg-Funktion, Gl.(4.261), des Ausfließens einer kohäsiven Schüttgutbrücke im turbulenten Durchströmungsbereich kann auch in der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion, Gl.(4.239),
 t 
v ( t ) = v st ⋅ tanh  
 t 76 
(4.239)
die Zeit durch eine Weg-Funktion ersetzt werden, Gl.(4.270):
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153
 t 
 h 

cosh  = exp
 t 76 
 v st ⋅ t 76 
(4.270)
Die tanh-Funktion, Gl.(4.239), lässt sich mit der cosh-Funktion ausdrücken30:
 t 
 t 
 t 
 t 
v( t ) = v st ⋅ tanh   = v st ⋅ cosh −1   ⋅ cosh 2   − 1 = v st ⋅ 1 − cosh −2  
 t 76 
 t 76 
 t 76 
 t 76 
Einsetzen der Gl.(4.270) liefert wiederum die Geschwindigkeits-Weg-Funktion während des Ausfließens im turbulenten Durchströmungsbereich – q.e.d.:
 2⋅h 

v( h ) = v st ⋅ 1 − exp −

h
R , 76 

(4.261)
4.6.2.5 Analytische Lösungen für die laminare Durchströmung
Die feinen adhäsiven Partikel der somit kohäsiven Pulver werden gewöhnlich laminar umströmt, Re < 0,25 - 1, und es gilt das STOKES-Gesetz für die
stationäre Sinkgeschwindigkeit vs,St, siehe ../VO_MVT_Neu/MVT_e_4neu.doc#Sinkgeschwindigkeit_STOKES bzw. ..\VO_MVT_Neu\MVT_e_4neu.pdf:
(ρs −ρf )⋅ d 2 ⋅ g
v s,St =
18η
(4.277)
bzw. der relevante Partikelgrößenbereich ( v s ⋅ d ⋅ ρf / η ≤ ReSt = 1 )
d St ≤ 3
18⋅ η2 ⋅ ReSt
.
ρf ⋅ (ρs −ρf ) ⋅ g
(4.278)
Beispielsweise liegt dieser Grenzwert für die Sedimentation von Quarzpartikel
(ρs = 2650 kg/m3) in ruhender Luft (ρf = 1,2 kg/m3, η = 18.10-6 Pa.s) bei dSt <
57 µm.
Damit dürfte für die Durchströmung der Poren einer feinen Pulverschicht
auch die laminare Durchströmung zutreffen. Deren Durchströmungswiderstand wird entweder mit Ansätzen nach DARCY, CARMAN und KOZENY
u.a., oder - wie nachfolgend beschrieben - nach MOLERUS quantifiziert.
Mit Hilfe der Bewegungsgleichung (4.219) werden nun die GeschwindigkeitsZeit-, Geschwindigkeits-Weg- und Weg-Zeit-Gesetze des gleichmäßig beschleunigten Ausfließens einer kohäsiven Brücke aus einem konvergenten
Trichter bei deren laminarer Durchströmung analytisch hergeleitet:
4.6.2.5.1 Bewegungsgleichung des Ausfließens
Das Kräftegleichgewicht an einer kohäsiven Schüttgutbrücke mit Berücksichtigung der Druckverluste in der Schüttung infolge Dilatanz und Bettausdehnung dp und äußerem Überdruck dpa (siehe Diss. SCHEIBE 31) liefert:
31
Scheibe, M., Die Fördercharakteristik einer Zellenradschleuse unter Berücksichtigung der
Wechselwirkung von Silo und Austragorgan, Diss. TU Bergakademie Freiberg 1997
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154
 a dp / dh B + dp a / dH 
 (4.279)
(m+1) ⋅ σ c ,st ⋅ sin 2(ϕ w +θ) = ρ b ⋅ g ⋅ b ∗ ⋅ 1 − −
ρb g
 g

Die gesamte Beschleunigung eines dynamischen Scheibenelementes einer kohäsiven Schüttgutbrücke im konvergenten Auslauftrichter besteht nach
Gl.(4.194) aus zwei Anteilen, siehe Bild F 4.4:
dv 2( m+1)tan θ 2
(4.194)
+
⋅v
dt
b∗
dv/dt
Auslaufbeschleunigung infolge Trägheitswirkung der
a=
Masse der Schüttgutbrücke
2( m+1)tan θ 2
⋅v
b∗
Geschwindigkeitszunahme infolge Trichterkonvergenz,
d.h. Abnahme der Brückenquerschnittsfläche bei kon const.
stantem Volumenstrom V=
Die Mindestweite einer stationären Brücke ergibt sich gemäß der allgemeinen
Auslegungsgleichung für die instationäre oder beginnende Brückenbildung
ohne Fluiddurchströmung Gl.(4.15)
b min,st =
(m+1) ⋅σ c ,st ⋅ sin 2(ϕ w +θ)
ρ b ⋅g
,
(4.72)
wobei b min,st < b min = b kleiner ist als die ausgeführte Trichteröffnungsweite b
σc,st
Druckfestigkeit des stationären Fließortes, d.h. für ff = 1 bzw. σ1 =
σc,stat folgt aus der allgemeinen Druckfestigkeitsfunktion σc = f ( σ1 )
Gl.(4.53) im Falle einer linearen Pulvereigenschaftsfunktion
(4.53)
σc = a1⋅ σ1 + σc ,0
σ c ,krit = σ c ,stat =
σ c,0
1 − a1
(4.70)
Die Weite b* einer stationären Brücke analog der allg. Auslegungsgleichung
für die instationäre Brückenbildung nach Gl. (4.14) unter Berücksichtigung der
Fluiddurchströmung (ρb,B < ρb Dichte des durchströmten Bettes)
b∗ =
( m+1) ⋅ σc ,st ⋅ sin 2(ϕw +θ)
( m+1) ⋅ σc ,st ⋅ sin 2(ϕw +θ)
,
≈
g ⋅ (ρ b − ρ b ,B )
 dp / dh B + dp a / dH 

ρ b ⋅ g ⋅ 1 −
ρb ⋅ g


(4.280)
wobei allerdings hier auch b* > b ≥ bmin größer sein kann als die ausgeführte
Trichteröffnungsweite b. Dies bedeutet ein Aufwärtswandern der stationären
Brücke im Trichter infolge:
dpa/dH
Zusatzdruckverlust über der gesamten Silohöhe H ⇒ bei Anliegen eines äußeren Überdruckes dpa
dp/dhB
Druckunterschied durch ⇒ Auflockerung des Schüttgutes im
Trichter durch Spannungsabnahme:
Die Auslaufgeschwindigkeit des Schüttgutes v sei betragsmäßig
u=v
gleich der Leerrohrgeschwindigkeit des Fluides u
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155
ρ 1−ε
dp
3
= ⋅ Eu B ⋅ f ⋅ 2 ⋅ u 2
dh B 4
dK ε
(4.205)
dK > dST
Der charakteristische Durchmesser der inhomogenen Durchströmungskanäle bei kohäsiven kanalbildenden Schüttgütern
gemäß Wirbelschichtverhalten der C-Gruppe nach GELDART
ist wesentlich größer als ein hydraulische Durchmesser dh, der
sich über den oberflächengleichwertigen Durchmesser der Partikel dST nach Gl.(4.200) berechnen läßt.
d K = f (d ST , ff c , ε...) noch zu bestimmende Funktion der Durchströmungs-
d K ≈ 100 ⋅ d ST
kanäle, wobei als erste Näherung
eine brauchbare Abschätzung liefert;
Besser ist die Messung des Fluidisierverhaltens und daraus entweder mit einer
modifizierten HAGEN-POISEUILLE-Gleichung (3.134) Schüttec_3.doc Druckverlust_Schüttung_HAGEN die Abschätzung des Kanaldurchmessers dK,
d K = 32 ⋅
hb η ⋅ u
⋅
∆p b ε
(4.281)
oder mit einer Berechnungsmethode nach SCHEIBE31, Gl.(4.284):
Am Punkt der sog. Mindest- oder Minimalfluidisation, das ist bei der Hysterese
der erste gemeinsame Punkt beider Druckverlustkurven, siehe Bild 4.18,
dp(u↑) = dp(u↓)
(4.282)
(dp / dh b )WS = const. ≠ f (u )
(4.283)
ist der Druckverlust weitestgehend konstant und unabhängig von der Durchströmungsgeschwindigkeit uL < umin ≤ u.
Aus Gl.(4.289) folgt der charakteristische Kanaldurchmessers dK,min:
d K ,min =
18 ⋅ η ⋅ B(ε min ) ⋅ (1 − ε min )
⋅ u min
(dp / dh B )WS,min ⋅ ε 2min
(4.284)
Lockerungspunkt
Haftkräfte
Minimalfluidisation
1
∆p
ρ WS ⋅ g ⋅ h WS
kanalbildende
Wirbelschicht
Übergangsbereich
uL
u
umin
Bild 4.18: Hysterese des gewichtsbezogenen Druckverlustes in Abhängigkeit
von der Leerrohrgeschwindigkeit für kohäsive Pulver
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
156
Die Minimalfluidisationsgeschwindigkeit umin ≈ u* entspricht näherungsweise
der Leerrohrgeschwindigkeit am Punkt des sog. „freien Fließens“, siehe Bild F
3.39 im Kapitel Schüttec_3.doc - Fluidisierbarkeit. Für die Wirbelschicht- oder
Fließdichte ρWS* am Punkt der Minimalfluidisation bzw. des sog. „freien Fließens“ läßt sich die gleiche Annäherung treffen.
ε min = 1 − ρ WS,min / ρs ≈ 1 − ρ*WS / ρs = ε *
(4.285)
Ausgehend von Gl.(4.207) sei die EULER-Zahl des laminar durchströmten
Festbettes
Eu B =
2
 d 
24 
1  d    24
⋅ 1 + 0,692⋅   + ⋅     ≡
⋅ B(ε)
Re 
 a  0,95 2  a  0,95   Re
(4.286)
mit dem Porositätsterm B(ε) in der EULER-Zahl für laminare Durchströmung, der gegenüber der Partikelumströmung eine deutliche Zunahme des
Widerstandes um mehr als eine Größenordnung bewirkt
2
 d 
1 d 
B(ε) = 1 + 0,692⋅   + ⋅   
 a  0,95 2  a  0,95 
und mit der Porositätsfunktion der Festbettes (Index B):
3
1− ε
d
=
 
 a  0,95 0,95 − 3 1 − ε
2
 3 1− ε
3
 
1 
1− ε
 
B(ε) B = 1 + 0,692⋅ 
+ ⋅
 0,95 − 3 1 − ε 2  0,95 − 3 1 − ε  


(4.287)
(4.208)
(4.288)
Mit der Partikel-REYNOLDS-Zahl [alt(< 5/2010): Re = dK.u.ρf/η]
( u / ε) ⋅ d ST ⋅ ρf 3 ⋅ u r ⋅ d ε ⋅ ρf ⋅ (1 − ε)
(4.206)
Re = r
=
2 ⋅ ε2 ⋅ ηf
ηf
und Gl.(4.288) erhält man für den Druckverlust des Festbettes, Gl. (4.205):
dp 3 ⋅ ρf ⋅ u 2r ⋅ (1−ε)
=
⋅ Eu B
dh B
4 ⋅ ε2 ⋅ d ST
(4.205)
dp 3 ⋅ ρf ⋅ u 2r ⋅ (1−ε) 24 ⋅ B( ε) 3 24 ⋅ ε ⋅ η ρf 1 − ε 2
=
⋅
= ⋅
⋅
⋅
⋅ ur
dh B
4 ⋅ ε2 ⋅ d ST
Re
4 d ST ⋅ u r ⋅ ρf d ST ε2
dp 18 ⋅ η ⋅ B( ε) ⋅ (1 − ε)
⋅ ur .
=
2
dh B
d ST
⋅ε
(4.289)
Mit dem Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke Gl.(4.279) und der minimale Trichteröffnungsweite Gl. (4.15) folgt die Beschleunigung:
 b
dp / dh B + dp a / dH 
 .
a = g 1 − min
−
∗
b
ρb g


(4.290)
Einsetzen der Gl. (4.194) für die Beschleunigung in die Gl.(4.290) ergibt:
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
157
dv 2( m+1)tan θ 2
+
⋅v
dt
b∗
 b
dp / dh B + dp a / dH 
dv 2(m+1)tan θ 2

+
⋅ v = g 1 − min
−
∗
∗
dt
b
b
g
ρ
b


a=
(4.194)
Damit folgt eine weitere allgemeine Bewegungsgleichung für das beginnende
Ausfließen eines kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter:
 b min dp a / dH 
dv 2(m+1)tan θ 2 dp / dh B

1 − ∗ −
⋅
+
=
+
v
g
ρ
ρb
g
b∗
b
dt
b


(4.291)
Der Druckverlustterm der laminare Durchströmung der kohäsiven Schüttgutbrücke als „Festbett“ ist gemäß der Gl.(4.289)
dp 1 18 ⋅ η ⋅ B( ε) ⋅ (1 − ε)
⋅ =
⋅ ur
2
dh B ρ b
ρ b ⋅ d ST
⋅ε
mit der Packungsdichtefunktion des Festbettes bzw. der Wirbelschicht:
1− ε
ρb
1
=
=
(ρs − ρf ) ⋅ ρ b ρs − ρf
ρb
(4.292)
folgen
dp 1
18 ⋅ η ⋅ B( ε)
⋅ =
⋅ ur
2
dh B ρ b (ρs − ρf ) ⋅ d ST
⋅ε
(4.293)
Der Druckverlust lässt sich auch mit Hilfe des mikroskopischen Beitrages der
Partikelumströmung als stationäre Sinkgeschwindigkeit der Einzelpartikel
v s,St =
(ρs −ρf )⋅ d 2 ⋅ g
18η
(4.277)
und des makroskopischen Widerstandes der Packung als Porositätsfunktion
B(ε)/ε ausdrücken:
dp 1
18 ⋅ η ⋅ g
B( ε)
g B( ε)
⋅ =
⋅
⋅ ur =
⋅
⋅ ur
2
ε
dh B ρ b (ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ g ε
v s,St
18 ⋅ η
g
=
2
(ρs − ρf ) ⋅ d ST v s,St
(4.294)
dp 1
g B( ε)
⋅ =
⋅
⋅ ur
dh B ρ b v s,St
ε
(4.295)
Wenn man ruhende Luft u = 0 voraussetzt, sind die relative Anströmge

schwindigkeit des Fluides u r (im Leerrohr) und die Auslaufgeschwindigkeit v

 
des Schüttgutes u r = u − v betragsmäßig gleich ur = v und es folgt die Differentialgleichung für die Auslaufgeschwindigkeit eines kohäsiven Pulvers
aus einem konvergenten Trichter für laminare Durchströmung eines Festbettes,
siehe Bild F 4.26 (beachte dK ≡ dST und wegen Re = f(ur/ε) folgt nun ε statt ε2):
 b
dv 2( m+1)tan θ 2
18 ⋅ η ⋅ B( ε)
dp / dH 
 (4.296)
+
⋅v +
⋅ v = g1 − min
− a
∗
2
∗
(ρs − ρf ) ⋅ dST ⋅ ε
dt
b
b
ρ b g 

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158
bzw. mit der Partikel-Sinkgeschwindigkeit nach STOKES, Gl.(4.277):
 b
dp / dH 
dv 2(m+1)tan θ 2 g ⋅ B(ε)

+
⋅v +
⋅ v = g 1 − min
− a
∗
∗
dt
b
v s ,St ⋅ ε
b
ρ b g 

(4.297)
4.6.2.5.2 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit v ⇒ vst ergibt sich aus der Gl.(4.296)
für dv/dt = 0 mittels Lösung der quadratischen Gleichung:
 b
2( m+1)tan θ 2
18 ⋅ η ⋅ B( ε)
dp / dH 
=0
⋅ v st +
⋅ v st − g1 − min
− a
∗
2
∗
(ρs − ρf ) ⋅ dST ⋅ ε
b
b
ρ b g 

v st2 +
 b
18 ⋅ η ⋅ b∗ ⋅ B( ε)
g ⋅ b∗
dp / dH 
=0
⋅
v
−
⋅1 − min
− a
st
2
∗
2( m+1)tan θ ⋅ (ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε
2( m+1)tan θ 
b
ρ b g 
9 ⋅ η ⋅ b∗ ⋅ B( ε)
v st = −
+
2
2( m+1)tan θ ⋅ (ρs − ρf )d ST
ε

b∗
⋅
v st =
2( m+1)tan θ 

2


 b
9 ⋅ η ⋅ b∗ ⋅ B( ε)
g ⋅ b∗
dp / dH 



+
⋅1 − min
− a
2
∗

b
ρ b g 
 2( m+1)tan θ ⋅ (ρs − ρf )d ST ε  2( m+1)tan θ 
2

 9 ⋅ η ⋅ B(ε)  g ⋅ 2( m+1)tan θ  b min dpa / dH 
9 ⋅ η ⋅ B(ε) 




+
⋅
−
−
1
−
2
2


ρ b g  (ρs − ρf )d ST
b∗
b∗
ε
 (ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε 


Nur die positive Wurzel liefert sinnvolle positive Werte der stationären Auslaufgeschwindigkeit. Wie wir später sehen werden, entspricht der Wurzelterm
einem reziproken Zeitparameter t76,lam Gl.(4.314).
Damit ergibt sich die stationäre Auslaufgeschwindigkeit eines feinen Pulvers
bei laminarer Durchströmung der kohäsiven Brücke
v st , lam =
 1
b∗
9 ⋅ η ⋅ B( ε) 
⋅
−
,
2
⋅ ε
2( m+1)tan θ  t 76, lam (ρs − ρf ) ⋅ d ST
(4.298)
bzw. mit der Partikel-Sinkgeschwindigkeit nach STOKES, Gl.(4.294), ist:
v st ,lam =
 1
b∗
g ⋅ B(ε) 
⋅
−

2(m+1)tan θ  t 76,lam 2 ⋅ v s ,St ⋅ ε 
(4.299)
Zur Lösung der Differentialgleichung (4.296) werden die Variablen getrennt
 b
dv
dp / dH 
18 ⋅ η ⋅ B( ε)
2( m+1)tan θ 2
−
= g1 − min
− a
⋅v −
⋅v
∗
2

ρ b g  (ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε
dt
b
b∗

und mit der Rand- bzw. Anfangsbedingung, für t = 0 ist v = 0, integriert:
v
t
dv
= dt (4.300)
∫0  bmin dpa / dH  18 ⋅ η ⋅ B(ε)
2( m+1)tan θ 2 ∫0
−
⋅v
v−
g1 − ∗ −
2
⋅ε
ρ b g  (ρs − ρf ) ⋅ d ST
b∗
b

Für eine bequem zu handhabende, analytische Lösung der obigen Integralgleichung (4.300) ist etwas rechnerischer Aufwand notwendig. Zwei Lösungsvarianten sollen hier anschließend vorgestellt werden:
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159
Lösungsvariante 1:
Die linke Seite der Gl.(4.300) entspricht dem Grundintegral Nr. 40 gemäß
BRONSTEIN 32, dessen eine Lösung die Umkehrfunktion (Area Tangens
hyperbolicus) Artanh(x) der tanh(x)-Funktion enthält:
∫ ax
2
 2ax + b 
dx
2
 wenn b 2 − 4ac > 0 (4.301)
=−
⋅ Ar tanh 
2
2
+ bx + c
b − 4ac
 b − 4ac 
Die Parameter a, b, c ergeben sich durch Koeffizientenvergleich:
a=−
2( m+1)tan θ
b∗
(4.302)
b=−
18 ⋅ η ⋅ B( ε)
g ⋅ B( ε)
=−
2
(ρs − ρf )⋅ d ST ⋅ ε
v s ,St ⋅ ε
(4.303)
 b
dp / dH 

c = g 1 − min
− a
∗
b
ρ b g 

(4.304)
Da a negativ ist, werden beide Terme positiv und die obige Bedingung
b 2 − 4ac > 0 ist erfüllt:
2
 18 ⋅ η ⋅ B( ε)  8( m+1)tan θ  b min dp a / dH 
>0
⋅ g 1 − ∗ −
 (ρ − ρ ) ⋅ d 2 ⋅ ε  +
b
b∗
ρ b g 
f
ST

 s

(4.305)
Die Integration ergibt also:
v
 2av + b 
2
dv
∫0 av 2 + bv + c = − b2 − 4ac ⋅ Ar tanh b2 − 4ac 
0
v



 2av + b 
b
dv
2




−
=
−
⋅
tanh
Ar
tanh
Ar

∫0 av 2 + bv + c

 2
 ,
 2
b 2 − 4ac 
 b − 4ac  
 b − 4ac 
1 1 + x 
wobei Ar tanh( x ) = ⋅ ln 
im Bereich − 1 < x < 1 ist.

2 1 − x 
v
Beide Seiten der Integralgleichung (4.300) ergeben zusammen die Lösung:
−

 2av + b 


b
 − Ar tanh 
  = t
⋅ Ar tanh 
2
2
b 2 − 4ac 
 b − 4ac 
 b − 4ac  
2
(4.306)
 2av + b 


b
t
 − Ar tanh 
 = − ⋅ b 2 − 4ac
Ar tanh 
2
2
2
 b − 4ac 
 b − 4ac 
Umformen mit der Summe der Artanh-Funktionen, siehe BRONSTEIN 33
 x−z 
(4.307)
Ar tanh( x ) − Ar tanh( z ) = Ar tanh 

 1 − zx 
und mit dem Parameter f ist die Nebenrechnung:
f = b 2 − 4ac
(4.308)
32
Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1968; neu: S. 1076, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.
33 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 94.
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160
 2av + b 

 − Ar tanh 
Ar tanh 
2
 b − 4ac 

 2av + b b 
− 


b
f
f 
 = Ar tanh 
2
2
av
+
b
b

b − 4ac 
⋅ 
1 −
f
f 

Das Argument der Artanh-Funktion wird umgeformt:
2av + b − b
2av
2av ⋅ f
f
f
=
=
(
2av + b ) ⋅ b f 2 − (2av + b ) ⋅ b f 2 − (2av + b ) ⋅ b
1−
f2
f2
und es folgt für beide Seiten der Lösungsgleichung (4.306):


2av ⋅ f
t
Ar tanh 2
 = − ⋅f
2
 f − (2av + b ) ⋅ b 
(4.309)
Umformen in eine tanh-Funktion:
2av ⋅ f
 t 
= tanh  − ⋅ f 
2
f − (2av + b ) ⋅ b
 2 
Vorzeichenwechsel des Argumentes der tanh-Funktion gemäß BRONSTEIN 34
tanh( − x ) = − tanh( x )
2av ⋅ f
t 
= − tanh  ⋅ f  ,
2
f − (2av + b ) ⋅ b
2 
(4.310)
Umstellen nach v = f(t):
t 
t 
− 2av ⋅ f = f 2 ⋅ tanh  ⋅ f  − (2av + b ) ⋅ b ⋅ tanh  ⋅ f 
2 
2 
t 
t 
t 
2av ⋅ b ⋅ tanh  ⋅ f  − 2av ⋅ f = f 2 ⋅ tanh  ⋅ f  − b 2 ⋅ tanh  ⋅ f 
2 
2 
2 


t 
t 
t 
v ⋅ 2a ⋅ b ⋅ tanh  ⋅ f  − 2a ⋅ f  = f 2 ⋅ tanh  ⋅ f  − b 2 ⋅ tanh  ⋅ f 
2 
2 
2 



t  
t 
v ⋅ 2a ⋅  b ⋅ tanh  ⋅ f  − f  = (f 2 − b 2 ) ⋅ tanh  ⋅ f 
2  
2 

(f
t 
− b 2 ) ⋅ tanh  ⋅ f 
2 
v=

t  
2a ⋅ b ⋅ tanh  ⋅ f  − f 
2  

2
(4.311)
Jetzt müssen die Koeffizienten a, b, c
a=−
2(m+1)tan θ
b∗
(4.302)
b=−
18 ⋅ η ⋅ B( ε)
g ⋅ B( ε)
=−
2
(ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε
v s ,St ⋅ ε
(4.303)
 b
dp / dH 

− a
c = g 1 − min
∗
b
ρ b g 

34
(4.304)
Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 90.
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161
ersetzt werden. Zweckmäßig fängt man mit dem Parameter f an:
f = b 2 − 4ac
(4.308)
2
 18 ⋅ η ⋅ B( ε) 
2( m+1)tan θ  b min dpa / dH 
 + 4 ⋅
 (4.312)
⋅ g1 − ∗ −
f = 
2
ρ b g 
b∗
b
 (ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε 

Daraus folgt die Relaxationszeit der tanh-Funktion t76,lam der beschleunigten
Bewegung für die laminare Durchströmung, siehe auch Gl.(4.242):
t 76,lam =
2
=
f
2
(4.313)
2
 18 ⋅ η ⋅ B( ε) 
2( m+1)tan θ  b min dpa / dH 

 + 4 ⋅

⋅ g1 − ∗ −
2
b∗
b
ρ b g 
 (ρs − ρ f ) ⋅ d ST ⋅ ε 

mit
t 76, lam =
1
2
 9 ⋅ η ⋅ B( ε)  2g( m+1)tan θ  b min dpa / dH 

 +

⋅1 − ∗ −
2
ρ b g 
b
b∗

 (ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε 
(4.314)
bzw. mit der Gl.(4.294) lässt sich auch schreiben:
t 76,lam =
1
2
 g ⋅ B(ε)  2g(m+1)tan θ  b min dp a / dH 



⋅1 − ∗ −
∗
 2⋅v ⋅ε +
ρ
b
b
g
St
b
s
,




(4.315)
Die Auslaufgeschwindigkeit v(t) ergibt sich aus folgenden Umrechnungen:


 t 
2
2
 t 

−
−
⋅
b
4
ac
b
tanh
f 2 − b 2 ⋅ tanh 

t

 76,lam 
 t 76,lam  =
v=





 t  
 − f  2a ⋅ b ⋅ tanh  t  − 2 
2a ⋅ b ⋅ tanh 

t



 76,lam  t 76,lam 
 t 76,lam  
(
)
(
)
 t 



 t 
− 4ac ⋅ tanh 
−
⋅
2
c
tanh

t

 t 76,lam 
 76,lam 
=
v=


 t 
 t 
− 2
 − 2  b ⋅ tanh 
2a ⋅ b ⋅ tanh 




 t 76,lam  t 76,lam
 t 76,lam  t 76,lam 
 t 
 t 
 b min dpa / dH 





tanh
2
g
1
−
⋅
− 2c ⋅ tanh 
−
−
∗




t
b
g
t
ρ
,
lam
76
,
lam
b
76





 =
v=


 t 
2
18 ⋅ η ⋅ B( ε)
t
2
−
−
b ⋅ tanh 
⋅ tanh 
−
2


(ρs − ρf ) ⋅ dST ⋅ ε
 t 76, lam  t 76, lam
 t 76, lam  t 76, lam
Schließlich erhält man mittels der recht aufwändigen analytischen Lösung der
Differentialgleichung (4.296) folgendes Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für das
beginnendes Ausfließen eines feinen kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter bei laminarer Durchströmung:
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162
 t 
 b
dp / dH 

 ⋅ tanh 
g⋅1 − min
− a
∗

b
ρb g 
t
76
,
lam



v( t) =
 t 
9 ⋅ η ⋅ B( ε)
1

+
⋅
tanh
2


(ρs − ρf ) ⋅ dST ⋅ ε
 t 76,lam  t 76,lam
bzw.
 t 
 b
dp / dH 

 ⋅ tanh 
− a
g⋅1 − min
∗
ρb g 
b
t 76,lam 


v( t) =
 t 
g ⋅ B( ε)
1
+
⋅ tanh 

2 ⋅ v s,St ⋅ ε
 t 76,lam  t 76,lam
(4.316)
(4.317)
Die Porositätsfunktion B(ε), Gl.(4.288), stammt von der modifizierten
EULER-Zahl (svw. Widerstandsbeiwert) und ergibt sich für die homogene
laminare Durchströmung der kohäsiven Brücke als Festbett:
2
 3 1− ε
3
 
1 
1− ε
 
+ ⋅
B(ε) = 1 + 0,692⋅ 
 0,95 − 3 1 − ε 2  0,95 − 3 1 − ε  


(4.318)
Zur Vollständigkeit wird hier nochmals die stationäre Auslaufgeschwindigkeit eines feinen Pulvers bei homogener laminarer Durchströmung der kohäsiven Brücke angegeben, siehe Gl.(4.299):
v st ,lam
 1
b∗
g ⋅ B( ε) 
=
⋅
−

2( m+1)tan θ  t 76,lam 2 ⋅ v s,St ⋅ ε 
(4.299)
Durch Umstellen der Gl. (4.299) folgt ebenfalls die Relaxationszeit t76,lam:
g ⋅ B(ε)
1
2(m+1)tan θ
⋅ v st ,lam =
−
∗
t 76,lam 2 ⋅ v s ,St ⋅ ε
b
2( m+1)tan θ
g ⋅ B( ε)
1
⋅ v st , lam +
=
∗
b
2 ⋅ v s,St ⋅ ε t 76, lam
t 76,lam =
1
g ⋅ B(ε)
2(m+1)tan θ
⋅ v st ,lam +
∗
b
2 ⋅ v s ,St ⋅ ε
(4.319)
Mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.(4.317), ergeben sich die zugehörigen Auslaufvolumen- und -massenströme:
 ( t) = A ⋅ v( t)
V
d
d
(4.251)
 d ( t ) = ρb ⋅ Ad ⋅ v( t )
m
(4.252)
Diese neuen Rechenergebnisse vervollständigen die früheren Herleitungen 35.
Lösungsvariante 2:
Als 2. Lösungsmöglichkeit des Grundintegrales(4.300), siehe Grundintegral Nr.
40 gemäß BRONSTEIN32 oder Formelsammlung36,
35
Tomas, J., Modellierung..., S. 128, Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991
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163
 2ax + b − b 2 − 4ac 
1
dx
ln
=
⋅
∫ ax 2 + bx + c b 2 − 4ac  2ax + b + b 2 − 4ac 


wenn b 2 − 4ac > 0
(4.320)
ergibt die Integration:
v
v
∫ av
0
2
dv
=
+ bv + c
 2av + b − b 2 − 4ac 
1
⋅ ln 

2
b 2 − 4ac
 2av + b + b − 4ac  0
  2av + b − b 2 − 4ac 
 b − b 2 − 4ac  
 − ln 

ln 
2
b 2 − 4ac   2av + b + b 2 − 4ac 
 b + b − 4ac  
 2av + b − b 2 − 4ac b + b 2 − 4ac 
1
⋅ ln 
⋅

2
b 2 − 4ac
2
av
b
b
4
ac
b − b 2 − 4ac 
+
+
−

v
dv
∫0 av 2 + bv + c =
=
1
Beide Seiten der Integralgleichung (4.300) ergeben zusammen:
 2av + b − b 2 − 4ac b + b 2 − 4ac 
1
⋅ ln 
⋅
=t
2
2
+
+
−
−
−
b 2 − 4ac
2
av
b
b
4
ac
b
b
4
ac


Mit einer zweckmäßigen Nebenrechnung (Vorsicht bei den Umrechnungen!):
(
(
) (
) (
)(
)(
2av + b − b 2 − 4ac b + b 2 − 4ac 2a ⋅ b + b 2 − 4ac ⋅ v + b − b 2 − 4ac ⋅ b + b 2 − 4ac
⋅
=
2av + b + b 2 − 4ac b − b 2 − 4ac 2a ⋅ b − b 2 − 4ac ⋅ v + b + b 2 − 4ac ⋅ b − b 2 − 4ac
mit
=
(q − s)(q + s) = q 2 + qs − sq − s2 = q 2 − s2
(b −
(
2a ⋅ (b −
)
)(
b
d.h.
b 2 − 4ac ⋅ b + b 2 − 4ac = b 2 − b 2 + 4ac = 4ac
)
− 4ac )⋅ v + b
2a ⋅ b + b 2 − 4ac ⋅ v + b 2 − b 2 + 4ac
2
2
− b + 4ac
2
Das Integral ergibt:
v
dv
∫0 av 2 + bv + c =
(
(
=
(
2a ⋅ (b −
)
(b +
=
− 4ac )⋅ v + 4ac (b −
2a ⋅ b + b 2 − 4ac ⋅ v + 4ac
b
2
)
)
 b + b 2 − 4ac ⋅ v + 2c 
⋅ ln 

2
b 2 − 4ac
 b − b − 4ac ⋅ v + 2c 
1
)
− 4ac )⋅ v + 2c
b 2 − 4ac ⋅ v + 2c
b
2
(4.321)
Beide Seiten der Integralgleichung (4.300) ergeben zusammen:
 b + b 2 − 4ac ⋅ v + 2c 
1
⋅ ln 
=t
2
b 2 − 4ac
 b − b − 4ac ⋅ v + 2c 
(
(
)
)
Auflösen nach v mit dem Parameter f = b 2 − 4ac nach Gl.(4.308):
 (b + f ) ⋅ v + 2c 
ln 
 = t ⋅f
 (b − f ) ⋅ v + 2c 
(4.322)
(b + f ) ⋅ v + 2c = exp(t ⋅ f )
(b − f ) ⋅ v + 2c
(b + f ) ⋅ v + 2c = [(b − f ) ⋅ v + 2c] ⋅ exp(t ⋅ f )
(b + f ) ⋅ v − (b − f ) ⋅ v ⋅ exp(t ⋅ f ) = 2c ⋅ exp(t ⋅ f ) − 2c
v ⋅ [(b + f ) − (b − f ) ⋅ exp(t ⋅ f )] = 2c ⋅ [exp(t ⋅ f ) − 1]
2c ⋅ [exp(t ⋅ f ) − 1]
v=
(b + f ) − (b − f ) ⋅ exp(t ⋅ f )
36
)
)
Papula, L. Mathematische Formelsammlung, S. 441, Vieweg, Wiesbaden 2003.
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164
v=
2c ⋅ [exp(t ⋅ f ) − 1]
2c ⋅ [exp(t ⋅ f ) − 1]
=
f + f ⋅ exp(t ⋅ f ) + b − b ⋅ exp(t ⋅ f ) f ⋅ [exp(t ⋅ f ) + 1] + b ⋅ [1 − exp(t ⋅ f )]
Zweckmäßiges Erweitern des Bruches mit
[exp(t ⋅ f ) + 1]−1
[exp(t ⋅ f ) + 1]−1
liefert:
exp(t ⋅ f ) − 1
exp(t ⋅ f ) − 1
2c ⋅
exp(t ⋅ f ) + 1
exp(t ⋅ f ) + 1
=
v=
1 − exp(t ⋅ f )
exp(t ⋅ f ) − 1
−b⋅
+f
f + b⋅
exp(t ⋅ f ) + 1
exp(t ⋅ f ) + 1
2c ⋅
Mit der tanh-Funktion Gl.(4.237) und ihrem Argument t ⋅ f / 2
exp(2 x ) − 1
folgt
(4.237)
= tanh (x )
exp(2 x ) + 1
exp(t ⋅ f ) − 1
2c ⋅
2c ⋅ tanh (t ⋅ f / 2 )
c ⋅ tanh (t ⋅ f / 2 )
exp(t ⋅ f ) + 1
=
=
v=
exp(t ⋅ f ) − 1
b
f
− b⋅
+ f − b ⋅ tanh (t ⋅ f / 2 ) + f − ⋅ tanh (t ⋅ f / 2 ) +
exp(t ⋅ f ) + 1
2
2
c ⋅ tanh (t ⋅ f / 2 )
f
b
− ⋅ tanh (t ⋅ f / 2 ) +
2
2
Jetzt müssen wiederum die Koeffizienten f, b und c
v=
b=−
18 ⋅ η ⋅ B( ε)
g ⋅ B( ε)
=−
2
(ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε
v s ,St ⋅ ε
(4.323)
(4.303)
 b
dp / dH 

− a
c = g 1 − min
∗
ρ b g 
b

(4.304)
ersetzt werden. Man fängt wiederum mit dem Parameter f an. Die charakteristische Relaxationszeit der tanh-Funktion t76,lam ergibt bei laminarer Durchströmung:
t 76,lam =
2
=
f
1
(4.313)
2
 9 ⋅ η ⋅ B( ε)  2( m+1)tan θ  b min dpa / dH 

 +

⋅ g1 − ∗ −
2
ρ b g 
b∗
b
 (ρs − ρ f ) ⋅ d ST ⋅ ε 

und ist wiederum identisch mit der Gl. (4.314) der Lösungsvariante 1:
t 76, lam =
1
2
 9 ⋅ η ⋅ B( ε)  2g( m+1)tan θ  b min dpa / dH 


 +
⋅1 − ∗ −
2
ρ b g 
b∗
b

 (ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε 
(4.314)
Das ergibt wiederum ein der Gl.(4.316), siehe auch Variante 1, identisches Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz der Auslaufgeschwindigkeit - q.e.d.
 t 
 b
dp / dH 

 ⋅ tanh 
g⋅1 − min
− a
∗
t

b
ρb g 
76 ,lam 


v( t ) =
 t 
9 ⋅ η ⋅ B( ε)
+ 1
⋅ tanh 
2

(ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε
 t 76 ,lam  t 76 ,lam
(4.316)
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165
Anstieg und charakteristische Auslaufgeschwindigkeiten
Der Anstieg des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes im Nullpunkt v = 0 läßt sich
bequem mit Hilfe der Bewegungsgleichung (4.296) berechnen:
 b
2( m+1)tan θ 2
dp / dH 
18 ⋅ η ⋅ B( ε)
dv
 −
= g ⋅1 − min
− a
⋅v −
⋅ v (4.296)
∗
2
b∗
b
dt v=0
ρ b g  (ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε

 b
dv
dp / dH 

= g ⋅1 − min
− a
∗
dt v=0
b
ρ
g
b


(4.324)
Darüber hinaus erfordert die Ermittlung des Anstieges der GeschwindigkeitsZeit-Funktion, Gl.(4.316), bei t = 0 etwas mehr Rechenaufwand:
1
Z'⋅ N − Z ⋅ N'
Z
mit y = → y ' =
y = tanh x → y ' =
cosh( x = 0 ) = 1
2
N
cosh 2 x
N
g  b min dp a / dH 
1
9ηB( ε)
1
1
1 − ∗ −

N(0) − Z(0)
2
2

(ρs − ρf )d ST ε t 76,lam cosh 2 (0)
t 76 ,lam 
b
ρ b g  cosh (0)
dv
=
2
dt t =0
 9 ⋅ η ⋅ B( ε)
1 
⋅ tanh (0 ) +


2
t 76 ,lam 
 (ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε
1
1
g  b min dp a / dH 
1 − ∗ −

−0
2
ρ b g  cosh (0) t 76 ,lam
b
t 76 ,lam 
 b
dp / dH 
dv

=
= g1 − min
− a
2
∗
ρ b g 
b
dt t =0
 1 



 t 76 ,lam 
und liefert erwartungsgemäß ein der Gl.(4.324) identisches Ergebnis:
 b
dv
dp / dH 

= g ⋅ 1 − min
− a
∗
dt t =0
b
ρ b g 

(4.324)
Es ergibt sich wie bei der turbulenten Durchströmung, Gl.(4.241), ebenfalls ein
von beiden Zeit- und Geschwindigkeitsparametern unabhängiger Anstieg, der
jedoch von den kohäsiven Schüttguteigenschaften abhängt.
Die charakteristischen Auslaufgeschwindigkeiten sind wiederum:
 b
dp / dH 

0,76 ⋅ g⋅1 − min
− a
∗
b
ρ b g 

v( t = t 76,lam ) =
(4.325)
6,84 ⋅ η ⋅ B(ε)
1
+
(ρs − ρf ) ⋅ d ST2 ⋅ ε t 76,lam
 b
dp / dH 

− a
0,964 ⋅ g⋅1 − min
∗
ρ b g 
b

v( t = 2 ⋅ t 76,lam ) =
8,676 ⋅ η ⋅ B(ε)
1
+
2
(ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε t 76,lam
(4.326)
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166
 b
dp / dH 

0,995 ⋅ g⋅1 − min
− a
∗
b
ρ b g 

v( t = 3 ⋅ t 76,lam ) =
8,955 ⋅ η ⋅ B(ε)
1
+
2
(ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε t 76,lam
(4.327)
4.6.2.5.3 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz
Wir beginnen diese Herleitung mit der Umformung der Bewegungsgleichung
(4.297) für laminare Durchströmung:
 b
dv 2( m+1)tan θ 2 g ⋅ B( ε)
dp / dH 

+
⋅v +
⋅ v = g ⋅1 − min
− a
∗
∗
dt
b
v s ,St ⋅ ε
b
ρ b g 

(4.297)
Eine elegante Formulierung des Bewegungsgesetzes wird erhalten, wenn man
wiederum das Zeitinkrement dt durch das Weginkrement dh/v ersetzt26:
dt =
v⋅
dh
v
(4.258)
 b
dv 2( m+1)tan θ 2 g ⋅ B( ε)
dp / dH 

+
⋅v +
⋅ v = g ⋅1 − min
− a
∗
∗
dh
b
v s ,St ⋅ ε
b
ρ
g
b


(4.328)
Trennung der Variablen liefert:
v⋅
 b
dv
dp / dH  2( m+1)tan θ 2 g ⋅ B( ε)
−
= g ⋅1 − min
− a
⋅v −
⋅v
∗
ρ b g 
dh
b
b∗
v s ,St ⋅ ε

(4.329)
und mit der Rand- bzw. Anfangsbedingung, für h = 0 ist v = 0, wird integriert:
v
h
v ⋅ dv
= dh (4.330)
∫0  b min dp a / dH  18 ⋅ η ⋅ B(ε)
2( m+1)tan θ 2 ∫0
−
g 1 − ∗ −
v−
⋅v
2
b
b∗
ρ b g  (ρs − ρf ) ⋅ d ST
⋅ε

Für eine analytische Lösung der obigen Integralgleichung(4.330) ist wiederum
rechnerischer Aufwand notwendig:
Die linke Seite entspricht dem Grundintegral Nr. 44 gemäß BRONSTEIN 37,
b
dx
1
x ⋅ dx
(4.331)
= ⋅ ln ax 2 + bx + c − ∫ 2
+ bx + c 2a
2a ax + bx + c
dass das Grundintegral Nr. 40, Gl.(4.320)
 2ax + b − b 2 − 4ac 
dx
1
2
=
⋅
ln
∫ ax 2 + bx + c b 2 − 4ac  2ax + b + b 2 − 4ac  für b − 4ac > 0 (4.320)


∫ ax
2
(
)
und mit Parameter f = b 2 − 4ac nach Gl.(4.308) seine Lösung enthält:
v
∫ av
0
2
dv
1  (b + f ) ⋅ v + 2c 
= ⋅ ln 

+ bv + c f
 (b − f ) ⋅ v + 2c 
(4.321)
37
Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 1077, Verlag Harri
Deutsch, Frankfurt a.M. 2008
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167
Wegen der notwendigen Umrechnungen wird die ln-Funktion gegenüber der
Artanh-Funktion der Gl. (4.301) bevorzugt. Die Parameter a, b, c ergeben sich
durch Koeffizientenvergleich:
a=−
2( m+1)tan θ
b∗
(4.302)
b=−
18 ⋅ η ⋅ B( ε)
g ⋅ B( ε)
=−
2
(ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε
v s ,St ⋅ ε
(4.303)
 b
dp / dH 

c = g 1 − min
− a
∗
b
ρ b g 

(4.304)
Beide Teilintegrale ergeben zusammen für x = v:
b
dv
v ⋅ dx
1
2
∫ av 2 + bv + c = 2a ⋅ ln (av + bv + c ) − 2a ∫ av 2 + bv + c
v ⋅ dv
1   av 2 + bv + c  b  (b + f ) ⋅ v + 2c  
 − ⋅ ln 
=

∫v=0 av 2 + bv + c 2a ⋅ ln c
 (b − f ) ⋅ v + 2c  
 f
v
(4.332)
Beide Seiten der Integralgleichung(4.330) ergeben zusammen:
1   av 2 + bv + c  b  (b + f ) ⋅ v + 2c  
 − ⋅ ln 
⋅ ln 
 = h
2a  
c
 (b − f ) ⋅ v + 2c  
 f
 av 2 + bv + c  b  (b + f ) ⋅ v + 2c 
 − ⋅ ln 
ln 
 = 2a ⋅ h
c
 (b − f ) ⋅ v + 2c 
 f

Diese Gleichung ist explizit nicht nach v = f(h) auflösbar. Physikalisch ist es
sinnvoll, nach einem handhabbaren Ausdruck der Auslaufgeschwindigkeit der
Iterationsgleichung umzustellen:
 av 2 + bv + c 
b  (b + f ) ⋅ v + 2c 

+
=
−
⋅
⋅ ln 
ln
2
a
h



c
f
 (b − f ) ⋅ v + 2c 


 av 2 + bv + c 
 (b + f ) ⋅ v + 2c 
2a ⋅ f ⋅ h f

ln 
=
−
+
⋅
ln


b
b 
c
 (b − f ) ⋅ v + 2c 

2
 av + bv + c 
 (b + f ) ⋅ v + 2c  f 


=
⋅
−
⋅
+
2
a
h
ln
ln 


c
 (b − f ) ⋅ v + 2c  b 


Mit dem zusammengefassten Argument z folgt
 av 2 + bv + c 
f 

z = ⋅ − 2a ⋅ h + ln 
c
b 


(4.333)
(b + f )⋅ v + 2c = exp(z )
(b + f ) ⋅ v + 2c = [(b − f ) ⋅ v + 2c]⋅ exp(z )
(b − f )⋅ v + 2c
(b + f ) ⋅ v − (b − f ) ⋅ v ⋅ exp(z ) = 2c ⋅ exp(z ) − 2c
v ⋅ [(b + f ) − (b − f ) ⋅ exp(z )] = 2c ⋅ [exp(z ) − 1]
2c ⋅ [exp(z ) − 1]
(4.334)
v=
(b + f ) − (b − f ) ⋅ exp(z )
2c ⋅ [exp(z ) − 1]
2c ⋅ [exp(z ) − 1]
v=
=
f + f ⋅ exp(z ) + b − b ⋅ exp(z ) f ⋅ [exp(z ) + 1] + b ⋅ [1 − exp(z )]
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168
Zweckmäßiges Erweitern des Bruches mit
exp(z ) − 1
exp(z ) − 1
2c ⋅
exp(z ) + 1
exp(z ) + 1
=
v=
1 − exp(z )
exp(z ) − 1
− b⋅
+f
f + b⋅
exp(z ) + 1
exp(z ) + 1
[exp(z ) + 1]−1
[exp(z ) + 1]−1
liefert:
2c ⋅
Mit der tanh-Funktion Gl.(4.237) und ihrem Argument z
exp(2 x ) − 1
folgt
= tanh (x )
exp(2 x ) + 1
exp(z ) − 1
2c ⋅
2c ⋅ tanh (z / 2 )
c ⋅ tanh (z / 2 )
exp(z ) + 1
=
v=
=
exp(z ) − 1
b
f
− b⋅
+ f − b ⋅ tanh (z / 2 ) + f − ⋅ tanh (z / 2 ) +
exp(z ) + 1
2
2
(4.237)
c ⋅ tanh (z / 2 )
( 4.335)
f
b
− ⋅ tanh (z / 2 ) +
2
2
Schrittweises Einsetzen der Parameter a, b, c, f und z, siehe Gln.(4.302)(4.304), (4.313) und (4.333), liefert:
 b
dp / dH 
 ⋅ tanh (z / 2 )
g ⋅1 − min
− a
∗
b
ρ b g 

(4.336)
v=
1
g ⋅ B( ε)
⋅ tanh (z / 2 ) +
t 76 ,lam
2 ⋅ v s ,St ⋅ ε
v=
Das Argument z gemäß Gl.(4.333) ergibt eingesetzt:
b
f 
a

z = ⋅ − 2a ⋅ h + ln  ⋅ v 2 + ⋅ v + 1
c
b 
c

2 ⋅ v s ,St ⋅ ε
f
2
mit
=−
=
g ⋅ t 76 ,lam ⋅ B( ε)
g ⋅ t 76 ,lam ⋅ B( ε)
b
−
v s ,St ⋅ ε
(4.333)



g ⋅ B( ε)


⋅
−
v

v s ,St ⋅ ε
2 ⋅ v s ,St ⋅ ε


− 2( m+1)tan θ ⋅ v 2
 4( m+1)tan θ
⋅
⋅ h + ln 
+
+ 1 
z=−
∗
g ⋅ t 76 ,lam ⋅ B( ε) 
b

 b
dp a / dH  
dp a / dH 
 g ⋅ b∗ ⋅1 − b min
 g ⋅1 − min

−
−
∗
∗




ρ
ρ
b
g
b
g
b
b



 


2 ⋅ v s ,St ⋅ ε
 4( m+1)tan θ

(4.337)
z=−
⋅
⋅ h + ln [v' (v ( 0 ) )]
∗
g ⋅ t 76 ,lam ⋅ B( ε) 
b

Mit einer effektiven Geschwindigkeit v‘:
B( ε) ⋅ v ( 0 )
2( m+1)tan θ ⋅ v (20 )
−
v' (v ( 0 ) ) = −
+ 1 (4.338)
 b min dp a / dH 
b min dp a / dH 
∗ 
 v s ,St ⋅ ε ⋅1 − ∗ −

g ⋅ b ⋅1 − ∗ −
ρ b g 
ρ b g 
b
b


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169

v s ,St ⋅ ε
 b
dp / dH 
 4( m+1)tan θ

 ⋅ tanh  −
g 1 − min
− a
⋅
⋅ h + ln [v' (v ( 0 ) )] 
∗
∗

b
ρb g 
b


 g ⋅ t 76 ,lam ⋅ B( ε) 
v=

v s ,St ⋅ ε
g ⋅ B( ε)
1
 4( m+1)tan θ

⋅ tanh  −
⋅
⋅ h + ln [v' (v ( 0 ) )]  +
∗
2 ⋅ v s ,St ⋅ ε
b
  t 76 ,lam
 g ⋅ t 76 ,lam ⋅ B( ε) 
Wegen tanh( − x ) = − tanh( x )
(4.310)
folgt eine recht komplexe Geschwindigkeits-Weg-Funktion (4.339) v = f(h),
die nur iterativ lösbar ist. Die Indizes (0) und (1) kennzeichnen die Vorgängerund Nachfolgewerte:
 v s ,St ⋅ ε  4( m+1)tan θ
 b
dp / dH 

 ⋅ tanh 
− a
⋅ h + ln [v' (v ( 0 ) )] 
g 1 − min

∗
∗

ρb g 
b
b


 g ⋅ t 76 ,lam B( ε) 
v (1) ( h ) =
 v s ,St ⋅ ε
1
g ⋅ B( ε)
 4( m+1)tan θ

⋅
⋅ h + ln [v' (v ( 0 ) )]  −
⋅ tanh 
∗
b
2v s ,St ⋅ ε
  t 76 ,lam
 g ⋅ t 76 ,lam B( ε) 
(4.339)
4.6.2.5.4 Das Weg-Zeit-Gesetz
Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu erhalten muss die obige Zeitfunktion der
instationären Auslaufgeschwindigkeit v(t) für laminare Durchströmung,
Gl.(4.316), erneut integriert werden
 t 
 b
dp / dH 

 ⋅ tanh 
− a
g⋅1 − min
∗
ρb g 
b
t 76, lam 
dh( t )


,
=
v( t) =
dt
 t 
9 ⋅ η ⋅ B( ε)
1
+
⋅ tanh 
2

(ρs − ρf ) ⋅ dST
⋅ε
t
76
,
lam

 t 76, lam
(4.340)
und zwar mit der Anfangsbedingung h(t = 0) = 0:
 t 
 b
dp / dH 

 ⋅ tanh 
− a
g⋅1 − min
∗
ρb g 
b
t 76, lam 


dt
∫ dh = h( t ) = t ∫= 0 9 ⋅ η ⋅ B(ε)
 t 
1
h =0

⋅ tanh 
2
+ t
(ρs − ρf ) ⋅ dST
⋅ε
t
76
,
lam

 76, lam
h(t)
t
(4.341)
Das rechte Integral wird mit den Parametern c, siehe Gl.(4.304), und b’, siehe
auch Gl.(4.303), umgeschrieben
b' =
9 ⋅ η ⋅ B(ε) ⋅ (1−ε)
= −b / 2
2
ρ b ⋅ d ST
⋅ε
h(t) =
t
tanh (t / t 76,lam )
c
dt
⋅∫
1
b' t =0 tanh (t / t
76 ,lam ) +
t 76,lam b'
(4.342)
(4.343)
Die Lösung dieser schwierigen Integralgleichung auf analytischem Wege erscheint ziemlich problematisch. Man könnte es numerisch integrieren.
Variante 1:
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170
Um jedoch eine überschaubare analytische Lösung der obigen Integralgleichung (4.343) zu erhalten, kann man zunächst folgende Vereinfachung vornehmen, und zwar wird zur Abschätzung angenommen 38, dass
1
t 76,lam b'
>> tanh (t / t 76,lam ) sei.
(4.344)
Damit folgt:
t
t
tanh (t / t 76,lam )
c
h(t) ≈ ⋅ ∫
dt = c ⋅ t 76,lam ⋅ ∫ tanh (t / t 76,lam ) dt
1
b' t =0
t =0
t 76,lam b'
Unter Nutzung der bequemen und übersichtlichen Lösung des Integrals für turbulente Umströmung Gl.(4.265)
t
∫ tanh(t / t ) dt = t
76
t =0
76
 t 
⋅ ln cosh 
 t 76 
(4.265)
ergibt sich mit den Gln. (4.304) und (4.314):
 b
dp / dH 

c = g 1 − min
− a
∗
b
ρ b g 

 t 
 t 
 b min dp a / dH 
2
2

 = g ⋅ t 76


 ⋅ ln cosh
h ( t ) ≈ c ⋅ t 76
−
,lam ⋅ ln cosh 
,lam ⋅ 1 −
∗



b
ρb g 

 t 76,lam 
 t 76,lam 
Die angenäherte Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Pulver aus
einem konvergenten Trichter im laminaren Durchströmungsbereich lautet:
 t 
 b min dp a / dH 
2




⋅
h ( t ) ≈ g ⋅ t 76
ln
cosh
−
,lam ⋅ 1 −
∗

t

b
g
ρ
b


 76,lam 
(4.345)
Mit dieser Weg-Zeit-Funktion, Gl.(4.345), lassen sich folgende charakteristische Auslaufhöhen ermitteln:
 b min dp a / dH 
2


h ( t 76,lam ) ≈ 0,433 ⋅ g ⋅ t 76
−
,lam ⋅ 1 −
b∗
ρ b g 

(4.346)
 b min dp a / dH 
2


t 96 = 2 ⋅ t 76,lam , d.h. h ( t 96 ) ≈ 1,33 ⋅ g ⋅ t 76
−
,lam ⋅ 1 −
∗
b
g
ρ
b


(4.347)
 b min dp a / dH 
2


t 99 = 3 ⋅ t 76,lam , d.h. h ( t 99 ) ≈ 2,31 ⋅ g ⋅ t 76
−
,lam ⋅ 1 −
ρ b g 
b∗

(4.348)
Variante 2:
MATLAB 39 bietet für diese schwierige Integralgleichung (4.343)
38
ein Verfahrenstechniker darf das – ein Mathematiker natürlich nicht.
MATLAB, The Math Works Inc., Version 7, siehe auch: Beucher, O., MATLAB und
Simulink, Pearson Studium, München 2008
39
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
171
t
tanh (t / t 76,lam )
c
h(t) = ⋅ ∫
dt
1
b' t =0 tanh (t / t
)
+
76 ,lam
t 76,lam b'
(4.343)
folgende komplizierte analytische Lösung an:


 t  
 t  
c / b'⋅t 76, lam
 − 1 +

 + 1 −
ln
tanh
ln  tanh 


t
t 76, lam  
 

 

1
1
76 , lam 



+ 1
− 1
2
2
 t 76, lam ⋅ b' 
 t 76, lam ⋅ b' 
1
c / b'⋅t 76, lam ⋅


 t 
t 76, lam ⋅ b'
1
+
⋅ ln  tanh 
+


 
 

1
1
 t 76, lam  t 76, lam ⋅ b' 

⋅

−
+
1
1

 
t
 76, lam ⋅ b'   t 76, lam ⋅ b' 
h( t ) = −
c / b'⋅t 76, lam
(4.349)
Die Koeffizienten lassen sich zusammenfassen:
2
c / b'⋅t 76, lam
c / b'⋅t 76, lam
c ⋅ t 76
, lam
=
=


 1 − t 76, lam ⋅ b'  2(1 − t 76, lam ⋅ b' )
1

− 1 2
2

⋅
⋅
t
b
'
t
b
'
76
,
lam
76
,
lam




2
c / b'⋅t 76, lam
c / b'⋅t 76, lam
c ⋅ t 76
, lam
=
=
(
+
2
1
t




1 + t 76, lam ⋅ b'
1
76 , lam ⋅ b' )

+ 1 2
2

 t 76, lam ⋅ b' 
 t 76, lam ⋅ b' 
c ⋅ t 76, lam
c
c
2
2
2
c ⋅ t 76
b'⋅t 76, lam ⋅ b'
, lam
b
'
'
b
=
=
=
2
2
2
  1 − t 76, lam ⋅ b'  1 − t 76, lam ⋅ b'2
 
 

1
1
1

  2
  2
⋅

1
1
1
−
−
+
2
2

  t
 
 
t
  76, lam ⋅ b' 
 76, lam ⋅ b'   t 76, lam ⋅ b'   t 76, lam ⋅ b'
Umordnen der Terme und mit Gl.(4.304) für c:
h( t ) = −
2
2
c ⋅ t 76
c ⋅ t 76
, lam
, lam
⋅ ln[tanh (t / t 76, lam ) + 1] −
⋅ ln[tanh (t / t 76, lam ) − 1] +
2(1 − t 76, lam ⋅ b' )
2(1 + t 76, lam ⋅ b' )
2


c ⋅ t 76
1
, lam
+
⋅ ln  tanh (t / t 76, lam ) +

2
2
1 − t 76, lam ⋅ b'
t 76, lam ⋅ b' 

 

 t 
 t  
1 
+

 + 1
ln
tanh
 ln  tanh 



t

 

 t 76, lam  t 76, lam b' 
 76, lam  
2
h( t ) = c ⋅ t 76, lam 
−
2
2
1 − t 76
2(1 − t 76, lam b' )
, lam b'




 t  
 − 1 
ln  tanh 

t

 76, lam   
− 

2(1 + t 76, lam b' ) 


Schließlich ergibt die Rechnung folgende, ziemlich komplizierte analytische
Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Pulver aus einem konvergenten
Trichter bei homogener laminarer Durchströmung:
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172

 t
 b min dp a / dH 
1
2



h ( t ) = g ⋅ t 76
−
⋅
ln
tanh


, lam ⋅1 −
∗
 1 − t 2 b' 2

ρ
g
b

b
76 , lam


 t 76,lam


 t
1
⋅ ln  tanh 
2(1 − t 76,lam b') 
 t 76,lam


+ 1 −
 t
 76,lam b' 
  
 − 1 

  

 
 t
1
 + 1 −

⋅
ln
tanh


t
(
)
2
1
+
t
b
'
76
,
lam


 
 76,lam

(4.350)
Das kann man auch wie folgt schreiben:

 t 
 b min dpa / dH   
1  1− t
2
+
 ln  tanh 
h( t ) = g ⋅ t 76, lam ⋅1 − ∗ −


b
ρ b g   

 t 76, lam  t 76, lam b' 

1
2
2
76 ,lam b '
−
1
1

2 (1− t 76 ,lam b ' )
2 (1+ t 76 ,lam b ' )




 t 
 t 

 + 1
 − 1
ln  tanh 
− ln  tanh 



t
t

 76, lam  
 76, lam  



1


2
2
1
t
−
76
,lam b '


 t 
1


+
 tanh




 b min dpa / dH  


 t 76, lam  t 76, lam b' 
2



⋅ ln 
h( t ) = gt 76, lam 1 − ∗ −

1
1

ρb g  
b

2 (1− t 76 ,lam b ' ) 
2 (1+ t 76 ,lam b ' ) 



 t 
 t 
 + 1
 − 1

  tanh
⋅  tanh




 
 t 76, lam  
 t 76, lam  

(4.351)
Mit den Gln.(4.314) und (4.342) lautet der dimensionslose Parameter t 76,lam b' :
t 76, lam b' =
9 ⋅ η ⋅ B( ε)
2
(ρs − ρf ) ⋅ dST
⋅ε
2
 9 ⋅ η ⋅ B( ε)  2g( m+1)tan θ  b min dpa / dH 

 +

⋅1 − ∗ −
2
ρ b g 
b∗
b
 (ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε 

(4.352)
Trotz ihres komplizierten Aussehens kann man dieser analytischen Lösung eine
gewisse Eleganz nicht absprechen.
Variante 3:
Lösungsversuch für: h ( t ) =
Mit e =
1
t 76,lam b'
t
tanh (t / t 76,lam )
c
dt
⋅∫
b' t =0 tanh (t / t 76,lam ) + e
, t76,lam = t* und der Substitution:
u = tanh (t / t*)) abgeleitet: du =
dt
t * cosh 2 ( t / t*)
tanh (t / t *)
t * cosh 2 ( t / t*) ⋅ u ⋅ du
=
u+e
tanh (t / t *) + e
1
mit cosh( t / t*) =
siehe BRONSTEIN S. 91
1 − tanh 2 ( t ( t*)
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173
tanh (t / t *)
t * ⋅u ⋅ du
t * ⋅u ⋅ du
t * ⋅u ⋅ du
=
=
=
2
2
tanh (t / t *) + e 1 − tanh ( t / t*) ⋅ (u + e ) 1 − u ⋅ (u + e ) (1 − u ) ⋅ (1 + u ) ⋅ (u + e )
tanh (t / t *)
(
(
)
)
u
∫ tanh(t / t *) + e dt = t * ∫ (1 − u ) ⋅ (1 + u ) ⋅ (u + e) du
mit der Partialbruchzerlegung, siehe BRONSTEIN S. 1080:
1
A
B
C
=
+
+
(a + x ) ⋅ (b + x ) ⋅ (c + x ) a + x b + x c + x


tanh (t / t *)
u
u
u
dt
t
*
A
du
B
du
C
du
=
−
+
+

∫ tanh(t / t *) + e
∫ (− a + u )
∫ (b + u )
∫ (c + u ) 


und mit dem Grundintegral S. 1074:
x
x
b
∫ ax + b dx = a − a
2
ln (ax + b )
….ggf. später ausrechnen (lassen)…
4.6.3 Plausibilitätsprüfung und Spezialfälle
Die allgemeine Differentialgleichung für die Auslaufgeschwindigkeit eines
durchströmten kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter lautet
 b
dp / dH 
dv 2(m+1)tan θ 2 dp / dh

= g 1 − min
− a
⋅v +
+
∗
∗
ρ
ρb
g
b
b
dt
b


(4.291)
und für laminare Durchströmung
 b
dv 2( m+1)tan θ 2
18 ⋅ η ⋅ B( ε)
dp / dH 
 (4.296)
+
⋅v +
⋅ v = g1 − min
− a
∗
2
∗
(ρs − ρf ) ⋅ dST ⋅ ε
dt
b
b
ρ b g 

Für den Fall das der entgegen gerichteten Fluidstrom bei laminarer Durchströmung während des Ausfließens eine homogene Auflockerung bewirkt, muss
die EULER-Zahl einer Wirbelschicht Gl.(4.213)
Eu WS =
 d 1  d  2  
24 
⋅ 1 + 0,341 ⋅  + ⋅    
Re 
 a 2  a   
und die zur Gl.(4.318) analoge Funktion B(ε)WS benutzt werden:
2
 3 1− ε
1  3 1− ε  
 
+ ⋅
B(ε) WS = 1 + 0,341 ⋅ 
 0,9 − 3 1 − ε 2  0,9 − 3 1 − ε  


(4.213)
(4.353)
Für die Sedimentation einer laminar durchströmten, kohäsiven Pulverschicht in einem Behälter mit vertikale Wänden θ = 0 und tanθ = 0 mit bmin
→ Dmin und b* → D sowie ohne äußerem Überdruck dpa = 0 folgt aus der Gl.
(4.296) die Differentialgleichung:

dv 18 ⋅ η ⋅ B( ε) WS
D 
+
⋅ v = g1 − min 
2
dt (ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε
D 

(4.354)
Für ein reibungsfreies freifließendes Schüttgut ist näherungsweise Dmin ≈ 0:
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
174
dv 18 ⋅ η ⋅ B( ε) WS
+
⋅v = g
2
⋅ε
dt (ρs − ρf ) ⋅ d ST
(4.355)
Für die Sedimentation einzelner, laminar umströmter Partikel folgt mit
ε→1 und deshalb B(ε)WS = 1
dv
18 ⋅ η
+
⋅v = g
2
dt (ρs − ρ f ) ⋅ d ST
Mit der stationären Sinkgeschwindigkeit Gl.(4.45) in ../VO_MVT_Neu/MVT_e_4neu.doc#Sinkgeschwindigkeit_STOKES ist (dST = d):
v s ,St =
(ρs −ρ f ) ⋅ d 2 ⋅ g
18⋅ η
(4.277)

dv
18 ⋅ η
18 ⋅ η
g
v 
=g−
⋅v = g−
⋅ ⋅ v = g ⋅ 1 −
2
2

(ρs − ρf ) ⋅ d ST g
(ρs − ρf ) ⋅ d ST
dt
 v s ,St 
Das entspricht wiederum der Differentialgleichung der beschleunigten Sedimentation feiner, laminar umströmter Partikel in einem ruhenden Fluid, siehe
dazu Gl.(4.59) im Manuskript ../VO_MVT_Neu/MVT_e_4neu.doc#Partikelbeschleunigung_Stokes:

dv( t )
v 
= g ⋅ 1 −

dt
 v s ,St 
(4.356)
Damit lassen sich die Differentialgleichungen des Ausfließens und der simultanen Durchströmung kohäsiver Pulver (makroskopische Kontinua) mit der
Sedimentation mikroskopisch kleiner Partikel vergleichen und umrechnen.
Der Plausibilitätstest ist somit gelungen – q.e.d.
4.6.4 Auslaufzeit aus einem Trichter und Verweilzeit
Die experimentelle Überprüfung bisheriger Modellgleichungen wurde gewöhnlich mit Hilfe der Messung der Auslaufzeit td in Abhängigkeit vom Speicherbzw. Füllvolumens des Bunkers VFüll vorgenommen. Daraus wurden Durchsatz
und die Auslaufgeschwindigkeiten ermittelt. Der beschleunigte instationäre
Anlaufvorgang blieb bisher (außer mit Einschränkungen bei Johanson /3/ und
Keller /4/) unberücksichtigt 40. Im Folgenden soll deshalb die Auslaufzeit des
beginnenden Ausfließens in Abhängigkeit von den Fließeigenschaften der
Schüttgüter hergeleitet werden.
Ausgangspunkt ist die allgemeine Formulierung eines Modells verfahrenstechnischer Prozesse in Form einer Komponentenmassenbilanz /63, 64/ für beliebige Stoffsysteme:
40
Tomas, J., Modellierung…, S. 135ff, Diss. B, TU Bergakademie Freiberg 1991
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
175
Änderung der in einem Volumenelement gespeicherten Masse einer beliebigen Komponente i = Gesamtzufluss dieser Komponente – Gesamtabfluss + durch Reaktion (oder andere Quellen) entstandene Komponentenmasse – Senken der Komponente i
Damit folgt die Gesamtmassenbilanz des Speicherbehälters:
dm Füll
d
 =m
 A −m
(4.357)
= ∆m
dt
Die zeitliche Änderung der Speichermasse mFüll ist gleich der Differenz zwi A und dem Auslaufmassenschen dem Aufgabe- oder Einlaufmassenstromes m
 d . Bei angenommen konstanter Schüttgutdichte ρb lässt sich damit die
strom m
zeitliche Änderung des Füllvolumens VF bestimmen:
dVF 

(4.358)
= VA − V
d
dt
In diese einfache Differentialgleichung (4.358) wird die Zeitfunktion des Aus-
laufvolumenstromes gemäß Gl.(4.251) eingesetzt:
 t 
dVF ( t ) 
= VA ( t ) − A d ⋅ v st ⋅ tanh 
dt
 t 76 
(4.359)
Das ergibt die zeitliche (inkrementelle) Änderung des Bunkerfüllstandes bei
ständigem Zu- und Abfluss.
Zur Berechnung der gesamten Auslaufzeit während des Auslaufens eines Bunkers mit gegebenem Füllstand muss die Gl.(4.359) integriert werden. Dazu
werden die folgenden Anfangs- und Randbedingungen formuliert:
- für t = 0 ist VF = VF,max gleich dem gesamten Füllvolumen des Bunkers,
- nach der Auslaufzeit t = td hat der Bunker einen Mindestfüllstand VF =
VF,min,
 = 0 gesetzt, d.h., der Bunker wird diskonti- der Einlaufstrom wird V
A
nuierlich (satzweise) befüllt.
Damit folgt die Integralgleichung
VF , min
∫ dV = V
F ,min
VF , max
td
 ( t ) dt
− VF,max = − ∫ V
d
(4.360)
0
und mit der Gl.(4.251) folgt für die rechte Seite:
d
 ( t ) dt = A ⋅ v ⋅ tanh  t  dt
V
d
st ∫
∫0 d
t 
 76 
0
td
t
(4.361)
Das rechte Integral entspricht der Summe aller Höheninkremente des Auslaufstromes Gl. (4.263)
h(t)
t
 t 
 dt
76 
∫ dh = h (t ) = v ⋅ ∫ tanh t
st
h =0
t =0
(4.362)
und ist schon im Abschnitt 4.6.2.4.4 gelöst worden, siehe dazu den Lösungsweg der erhaltenen Weg-Zeit-Funktion Gl. (4.265):
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
176
 t 
h( t ) = v st ⋅ t 76 ⋅ ln cosh 
 t 76 
(4.265)
Die zeitliche Änderung des Füllvolumens lässt sich ebenfalls mit dieser Funktion berechnen:
VF,max − VF,min = ∆VF = A d ⋅ ∆h ( t d )
(4.363)
t 
∆VF ( t d ) = A d ⋅ v st ⋅ t 76 ⋅ ln cosh d 
 t 76 
(4.364)
Diese Gleichung muss nun für ΔVF(td) ≡ VF(td) nach der Auslaufzeit td umgestellt werden. Die Methode ist schon im Abschnitt 4.6.2.4.5 angewandt worden. Dazu wird die cosh-Funktion in exp-Funktionen umgewandelt:
 exp(2 t d / t 76 ) + 1
VF ( t d )
 exp(t d / t 76 ) + exp(− t d / t 76 ) 
= ln 
= ln 


A d ⋅ v st ⋅ t 76
2


 2 ⋅ exp( t d / t 76 ) 

 exp(2 t d / t 76 ) + 1
VF
 =
exp
A
⋅
v
⋅
t
d
st
76

 2 ⋅ exp( t d / t 76 )
Das wird in eine quadratische Gleichung bezüglich exp(t d / t 76 ) umgewandelt:


VF
 ⋅ exp( t d / t 76 ) + 1 = 0
exp(2 t d / t 76 ) − 2 ⋅ exp
 A d ⋅ v st ⋅ t 76 
(4.365)
mit ihrer Lösung:

 2 ⋅ VF 

VF
 − 1
 + exp
exp(t d / t 76 ) = exp
 A d ⋅ v st ⋅ t 76 
 A d ⋅ v st ⋅ t 76 
(4.366)
Diese Formulierung soll noch umgewandelt und vereinfacht werden:

 2 ⋅ VF  
 −1

exp
A d ⋅ v st ⋅ t 76  
 

VF

 ⋅ 1 +
exp(t d / t 76 ) = exp
⋅
⋅
A
v
t
 2 ⋅ VF  
 d st 76  
 
exp
⋅
⋅
A
v
t

 d st 76  

 


VF
2 ⋅ VF  
 ⋅ 1 + 1 − exp −
 
exp(t d / t 76 ) = exp
 A d ⋅ v st ⋅ t 76  
 A d ⋅ v st ⋅ t 76  
 
 

VF
2 ⋅ VF   
  
 ⋅ 1 + 1 − exp −
t d = t 76 ⋅ ln exp
A
v
t
A
v
t
⋅
⋅
⋅
⋅

d
st
76
d
st
76
  







VF
2 ⋅ VF  
 
+ t 76 ⋅ ln 1 + 1 − exp −
t d = t 76 ⋅
⋅
⋅
A d ⋅ v st ⋅ t 76
A
v
t

d
st
76  


Daraus ergibt sich analog zur Funktion td = f(h*), Gl.(4.274), wiederum eine
td =

 2 ⋅ h*  
h*

+ t 76 ⋅ ln 1 + 1 − exp −

h
v st

R , 76  



(4.274)
vergleichsweise übersichtliche Umkehrfunktion der Auslaufzeit td = f(VF):
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
177
td =


2 ⋅ VF  
VF

+ t 76 ⋅ ln 1 + 1 − exp −
A d ⋅ h R ,76  
A d ⋅ v st




(4.367)
mit der stationären Auslaufgeschwindigkeit
 b
dp / dH 

b ⋅ g ⋅ 1 − min − a
b
ρ b g 

,
v st =

b
dp / dh B 
2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ ⋅ 1 +
⋅
2 
 2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ ρ b ⋅ u r 
(4.231)
der charakteristischen Relaxationszeit t76
t 76 =
b
 b
dp / dH  
dp / dh B 
b
 ⋅ 1 +
2( m+1) tan θ ⋅ g 1 − min − a
b
ρ b g   2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ ρ b ⋅ u 2r 

(4.238)
und mit dem charakteristischen Produkt im Argument der exp-Funktion:
h R ,76 = v st ⋅ t 76 =
v st2
 b
dp / dH 

g ⋅ 1 − min − a
ρ b g 
b

(4.266)
Anhand der Gl. (4.367) kann unmittelbar abgelesen werden, dass sich die Auslaufzeit aus einem Anteil beim stationären Fließen und einem instationären
Anteil infolge des beginnenden (beschleunigten) Ausfließens zusammensetzt.
Für große Füllmengen VF, schnelle Kinetik (kleine charakteristische Auslaufzeit) t76 und geringe stationäre Auslaufgeschwindigkeit vst kann der letzte Term
in der Gl. (4.367) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung
VF
>2,
A d ⋅ h R ,76
(4.368)
die auch in vielen Fällen erfüllt wird, 1 − exp(−4) = 0,98 ≈ 1 und damit
td ≈
VF
+ t 76 ⋅ ln 2
A d ⋅ v st
(4.369)
Der Term VF/(Ad.vst) entspricht der mittleren Verweilzeit tV,st während des
stationären Ausfließens:
VF
V
= F = t V ,st

A d ⋅ v st V
st
(4.370)
t d ≈ t V ,st + t 76 ⋅ ln 2
(4.371)
Diese Abschätzung lässt sich auch als Beweis der Plausibilität der rechnerisch
sehr aufwändigen Herleitung auffassen.
Beim praktischen Bunkerbetrieb mit Massenfluss bestimmen die Auslaufzeit td,
wobei hier die stationäre Auslaufgeschwindigkeit vst des Austraggerätes einzusetzen ist, und die Lagerzeit tL bei Stillstand der Abförderung die mittlere Verweilzeit tV,m des Schüttgutes (siehe auch Abschnitt 2).
t V ,m = t d + t L
(4.372)
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178
Zur Berechnung der Auslaufzeit td des instationären Auslaufprozesses bei laminarer Durchströmung muss die Auslaufgeschwindigkeits-Zeit-Funktion
 t 
 b
dp / dH 

 ⋅ tanh 
g⋅1 − min
− a
∗
t

b
ρ
g
b
76 ,lam 



v( t ) =
 t 
g ⋅ B(ε)
+ 1
⋅ tanh 

2 ⋅ v s ,St ⋅ ε
 t 76,lam  t 76,lam
(4.317)
in das Integral der Gl.(4.360) eingesetzt werden:
td
VF, max − VF, min = A d ⋅ ∫ v ( t ) dt
(4.360)
0
Dieses Integral Gl.(4.343) wurde schon im Abschnitt 4.6.2.5.4 gerechnet,
t
tanh (t / t 76,lam )
c
h(t) = ⋅ ∫
dt
1
b' t =0 tanh (t / t
76 ,lam ) +
t 76,lam b'
(4.343)
um die Weg-Zeit-Funktion, Gln.(4.350) und (4.352), zu erhalten:


 t 
 b min dp a / dH 
1
2
+ 1 −


h ( t ) = g ⋅ t 76
⋅
−
⋅ ln  tanh 
, lam 1 −
∗
2
2


ρ b g 1 − t 76,lam b'
b


 t 76,lam  t 76,lam b' 



 t   
 t  
1
1
 − 1 
 + 1 −
ln  tanh 
⋅
⋅ ln  tanh 

t

2(1 − t 76,lam b') 
 76,lam   
 t 76,lam   2(1 + t 76,lam b') 
(4.350)
t 76, lam b' =
9 ⋅ η ⋅ B( ε)
2
(ρs − ρf ) ⋅ dST
⋅ε
2
 9 ⋅ η ⋅ B( ε)  2g( m+1)tan θ  b min dpa / dH 

 +

⋅1 − ∗ −
2
ρ b g 
b∗
b
 (ρs − ρf ) ⋅ d ST ⋅ ε 

(4.352)

 t 
 b min dp a / dH  
1
1 
2



+
∆VF = A d ⋅ g ⋅ t 76
−
−
⋅
1
ln
tanh

−

,lam ⋅
2
2


t
ρ b g  1 − t 76
b∗
,lam b'


 76,lam  t 76,lam b' 



 t  
 t   
1
1
 + 1 −
 − 1 

ln
tanh
⋅ ln  tanh 
⋅



t
(
)
2(1 − t 76,lam b' ) 
t
2
1
t
b
'
+
76
,
lam
76
,
lam
76
,
lam


 
  



(4.373)
Allerdings ist hier die Berechnung der Umkehrfunktion td = f(VF), wie beispielsweise von der Gl.(4.363) zur Gl.(4.367), auf analytischem Wege nicht
mehr möglich, d.h. es müssen Iterationsrechnungen durchgeführt werden:
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179

 t 
∆VF
1 
1


+
⋅
=
ln
tanh
−

2
2
 t
t
 b min dpa / dH  1 − t 76
76 ,lam b' 
76 ,lam 
,lam b'
2





A d ⋅ g ⋅ t 76,lam ⋅1 − ∗ −
ρ
g
b
b




 t  
 t  
1
1
 − 1

 + 1 −
⋅
⋅ ln  tanh 
tanh
ln


t

(
)
+
'
t
b
2
1
t
2(1 − t 76,lam b' ) 
76 ,lam
 76,lam  
 76,lam  


 t 
1 
∆VF


⋅
ln
tanh
+
+

=
2
2


1 − t 76,lam b'
 b min dpa / dH 
 t 76,lam  t 76,lam b'  A ⋅ g ⋅ t 2

d
76 ,lam ⋅
1 − b∗ − ρ g 
b


1


 t  
 t  
1
1
 + 1 +

 − 1
⋅ ln  tanh 
⋅
ln
tanh


t

(
)
2(1 − t 76,lam b' ) 
t
2
1
+
t
b
'
76
,
lam
76
,
lam
76
,
lam



 

 

…usw.
Diese Rechnung lässt sich für laminare Umströmung näherungsweise auch mit
der Gl. (4.367) durchführen.
Allerdings sind die charakteristischen Auslaufzeiten t76 des beginnenden Ausfließens oftmals so gering (siehe Tab. 9.3) 41, dass die Berücksichtigung des
instationären Anteils bei Messungen der Auslaufzeiten in den meisten Fällen
praktisch nicht notwendig ist. Eine Ausnahme bilden hierbei die beschleunigten
Auslauf- und Füllvorgänge in schnell laufenden Verpackungsmaschinen (s.
Bild 9.2 ebenda).
Die wesentlichen Prozessgrößen zur Modellierung der Dynamik des instationären Auslaufverhaltens kohäsiver Schüttgüter aus konvergenten Trichtern
während ihrer homogenen Durchströmung wurden in der Tabelle 4.3 und in
den Folien F 4.27 und F 4.28 zusammengefasst:
41
Tomas, J., Modellierung…, S. 129, Diss. B, TU Bergakademie Freiberg 1991
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180
Tabelle 4.3: Das beschleunigte Ausfließen kohäsiver Schüttgüter aus konvergenten Trichtern bei homogener Durchströmung (TOMAS 1991, 2010)
Prozessgrößen
Reynolds-Zahlen
Laminare Durchströmung
Stationäre Sinkgeschwindigkeiten
Partikelgrößenbereiche
v s,St =
Re = ( u r / ε) ⋅ d ⋅ ρf / η < Re krit ,St ,B ≈ 1...10
Durchströmungswiderstände nach
Molerus [8]
Bewegungsgleichungen
(ρs −ρf )⋅ d 2 ⋅ g
für Partikelumströmung
18η
Stationäre Auslaufgeschwindigkeiten
(4.206)
(4.277)
d St ≤ 3
18⋅ η2 ⋅ ReSt
für Partikelumströmung ReSt ≈ 1
ρf ⋅ (ρs −ρf ) ⋅ g
(4.278)
(4.353)
B(ε) WS
2
 3 1− ε
1  3 1− ε  
 
+ ⋅
= 1 + 0,341 ⋅ 
 0,9 − 3 1 − ε 2  0,9 − 3 1 − ε  


 b
dp / dH 
dv 2(m+1)tan θ 2 g ⋅ B(ε)

+
⋅v +
⋅ v = g 1 − min
− a
∗
∗
dt
b
v s ,St ⋅ ε
b
ρ b g 

AuslaufgeschwindigkeitsZeit-Gesetze
Charakteristische
Relaxations- und
Auslaufzeiten
Turbulente Durchströmung
 t 
 b
dp / dH 

 ⋅ tanh 
g⋅1 − min
− a
∗
t

ρb g 
b
76
,
lam



v( t ) =
 t 
1
g ⋅ B(ε)
+
⋅ tanh 

2 ⋅ v s ,St ⋅ ε
 t 76,lam  t 76,lam
v st =
t 76,lam =
 1
b∗
g ⋅ B(ε) 
⋅
−

2(m+1)tan θ  t 76,lam 2 ⋅ v s ,St ⋅ ε 
1
2
 g ⋅ B(ε) 

dp a / dH 

 + 2g(m+1∗ )tan θ ⋅1 − b min

−
∗

 2⋅v ⋅ε 
ρ b g 
b
b
s ,St



Re = ( u r / ε) ⋅ d ⋅ ρf / η < Re krit ,N ,B ≈ 10 4
(4.206)
v s, N =
4 ⋅ (ρs −ρf ) ⋅ d ⋅ g
für Partikelumströmung
3 ⋅ c W ⋅ ρf
dN ≥ 3
(4.375)
3 ⋅ c W ⋅ η2 ⋅ Re 2N
für Partikelumströmung ReN = 103
4 ⋅ ρf ⋅ (ρs −ρf ) ⋅ g
(4.374)
2
 3 1− ε
(4.223)
  
24 
1  3 1− ε
4

  +
⋅ 1 + 0,692 ⋅ 
+
⋅
⋅
Eu B =
3
3
Re 
Re
 0,95 − 1 − ε 2  0,95 − 1 − ε   


1, 5

 3 1− ε
 
 3 1− ε
 0,891
  + 0,4 + 

⋅ 1 + 0,12 ⋅ 
3
3

 0,95 − 1 − ε  ⋅ Re 0,1

 0,95 − 1 − ε  


(4.297)
 b
dv 2( m+1)tan θ 2 dp / dh B
dp / dH 

+
⋅v +
= g 1 − min − a
dt
b
ρb
b
ρ b g 

(4.291)
(4.317)
 t 
v( t ) = v st ⋅ tanh  
 t 76 
(4.239)
(4.299)
v st =
(4.315)
t 76 =
 b
dp / dH 

b ⋅ g ⋅ 1 − min − a
b
ρ b g 


b
dp / dh B 
2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ ⋅ 1 +
⋅
2 
 2 ⋅ ( m+1) ⋅ tan θ ρ b ⋅ u r 
(4.231)
b
 b
dp / dH  
dp / dh B 
b
 ⋅ 1 +
2( m+1) tan θ ⋅ g 1 − min − a
⋅

b
ρ b g   2( m+1) tan θ ρ b ⋅ u 2r 

(4.238)
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
181
Anstiege der GeschwindigkeitsZeit-Gesetze*
Charakteristische
Auslaufgeschwindigkeiten
Auslaufgeschwindigkeits-WegGesetze
Differentialgleichungen
Weg-Zeit-Gesetze
 b
dv
dp / dH 

= g ⋅1 − min
− a
∗
dt v=0
b
ρ b g 

(4.324)
 b
dp a / dH 

0,76 ⋅ g⋅1 − min
−
∗
g
b
ρ
b


v( t = t 76,lam ) =
0,38 ⋅ g ⋅ B(ε)
1
+
t 76,lam
v s ,St ⋅ ε
(4.325)
v( t = t 76 ) = v s ⋅ tanh (1) = 0,76 ⋅ v st
(4.243)
 b
dp / dH 

− a
0,964 ⋅ g⋅1 − min
∗
ρ b g 
b

v( t = 2 ⋅ t 76,lam ) =
0,482 ⋅ g ⋅ B(ε)
1
+
v s ,St ⋅ ε
t 76,lam
(4.326)
v( t 96 = 2 ⋅ t 76 ) = v s ⋅ tanh (2 ) = 0,964 ⋅ v st
(4.244)
 b
dp / dH 
dv( t )
v
 wobei b ≡ b *
= s = g ⋅1 − min − a
ρb g 
b
dt t =0 t 76 ,vs

 v s ,St ⋅ ε  4( m+1)tan θ
 b
dp / dH 

 ⋅ tanh 
g 1 − min
⋅ h + ln [v' (v ( 0 ) )] 
− a

∗
∗

b
ρb g 
b


 g ⋅ t 76 ,lam B( ε) 
v (1) ( h ) =
 v s ,St ⋅ ε
g ⋅ B( ε)
1

 4( m+1)tan θ
⋅ tanh 
⋅
⋅ h + ln [v' (v ( 0 ) )]  −
∗
2v s ,St ⋅ ε
b
  t 76 ,lam
 g ⋅ t 76 ,lam B( ε) 
 t 
 b
dp / dH 

 ⋅ tanh 
g⋅1 − min
− a
∗

t

b
ρb g 
dh ( t )
76 ,lam 


=
dt
 t 
g ⋅ B(ε)
+ 1
⋅ tanh 

2 ⋅ v s ,St ⋅ ε
 t 76,lam  t 76,lam
h(t) = g ⋅ t
2
76 , lam
(4.340)

 t
 b
dp a / dH 
1


ln
tanh
⋅1 − min
−
⋅


∗
 1 − t 2 b' 2
t
g
ρ
b
b
76 , lam


 76,lam


 t
1
⋅ ln  tanh 
2(1 − t 76,lam b') 
 t 76,lam
 2⋅h 
 mit
v( h ) = v st ⋅ 1 − exp −

 h R ,76 
Relaxationsweg
h R ,76 = v st ⋅ t 76
 t 
dh ( t )
= v st ⋅ tanh  
dt
 t 76 


+ 1 −
 t
 76,lam b' 

 t
 
1
 + 1 −
ln  tanh 
⋅
t

 76,lam
  2(1 + t 76,lam b') 
(4.339)
(4.350)
 t 
h ( t ) = h R ,76 ⋅ ln cosh 
 t 76 
  
 − 1 

  
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(4.241)
(4.261)
(4.266)
(4.262)
(4.265)
182
Charakteristische
Auslaufhöhen
Auslaufzeiten
 b
dp / dH 

⋅ 1 − min
− a
h ( t 76 ,lam ) ≈ 0,433 ⋅ g ⋅ t
∗
ρ b g 
b

 b min dp a / dH 
2


−
h ( t 96 ) ≈ 1,33 ⋅ g ⋅ t 76
,lam ⋅ 1 −
ρ b g 
b∗

(4.346)
nur numerisch lösbar
-
2
76 ,lam
(4.347)
0,433 ⋅ v st2
h ( t 76 ) = 0,433 ⋅ h 76 =
 b
dp / dH 

g ⋅ 1 − min − a
b
ρ b g 

(4.267)
h ( t 96 ) = 1,33 ⋅ h R ,76
(4.268)


2 ⋅ VF  
VF

+ t 76 ⋅ ln 1 + 1 − exp −
td =
A d ⋅ h R ,76  
A d ⋅ v st




(4.367)
* ergänzt 6/2015
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 27.07.2015
183
4.6.5 Experimentelle Überprüfung der Trichterauslaufmodelle
Diese Modelle lassen sich mit dem Flüssigkeitsbrückenmodell [7]
b min 35⋅ (m + 1) ⋅ sin 2(φw + Θ) ⋅ σlg ⋅ sin φi ρs
=
⋅
⋅ XW
b
ρs ⋅ g ⋅ b ⋅ d ⋅ (1 − sin φi )
ρl
(4.376)
(m Trichterformfaktor, σlg Grenzflächenspannung, φi inneren Reibungswinkel,
ρl Flüssigkeitsdichte, XW Wassergehalt) kombinieren und anhand Meßdaten
von Johanson [3] bei Vernachlässigung von Anlaufvorgängen und Luftwiderstand überprüfen:
...................... Zusätze:
 in Abhängigkeit von der ausgeBild xx: Stationärer Austragsvolumenstrom V
führten Öffnungsweite b eines konischen Trichters (m = 1) und des
Feuchtegehalts X W des Eisenerzkonzentrates; err. - errechnet mit
 = a ⋅ vs; gem. - gemessen [3]
Gl. (4.249) V
 in Abhängigkeit von ausgeführBild xx: Stationärer Austragsvolumenstrom V
ten Öffnungsweite b eines Trichters (m = 0) und des Feuchtegehal =A
tes X W des Eisenerzkonzentrates; errechnet mit Gl. (4.249) V
⋅vs; gem. - gemessen
In Anbetracht der Komplexität der Problemstellung und der Stochastik des
Fließverhaltens des feinkörnigen Eisenerzes (d ≈ d50 ≈ 400 µm angenommen,
ρs = 5200 kg⋅m-3, ρb = 2510 kg⋅m-3, φi = 33°, ff = 1,3 [3]) kann die Anpassung
als gut eingeschätzt werden.
.........................
4.6.6 Einfluß der kohäsiven Fließeigenschaften
Generell lassen sich im Term bmin/b bzw. bmin,st/b die gemessenen oder die mit
den Haftkraftmodellen [7] abgeschätzten Fließeigenschaften der Schüttgüter
berücksichtigen (φst stationärer innerer Reibungswinkel, σ0 dreiaxiale Zugfestigkeit der unverfestigten Partikelkontakte, φw Wandreibungswinkel, ρb Schüttgutdichte, siehe auch Schüttec_3.doc#sigma_c_sigma_1):
2(m + 1) ⋅ sin 2(φ w + Θ ) ⋅ (1 + sin φi ) ⋅ sin φst ⋅ σ 0
b min
=
ρ b ⋅ g ⋅ b ⋅ [1 − sin φst ⋅ sin φi − (sin φst − sin φi ) ⋅ (2 ⋅ ff − 1)]
b
b min,st
b
=
2 ⋅ (m + 1) ⋅ sin φst ⋅ σ 0 ⋅ sin 2(φ w + Θ )
1− n
ρ b , 0 ⋅ g ⋅ b ⋅ (1 − sin φst )
( 4.377)
( 4.378)
Hinsichtlich des Einflusses des instationären Anlaufvorganges soll auch auf
den Beitrag von Keller [4] verwiesen werden, bzw. siehe auch [7].
Ein Vergleich mit Meßwerten für freifließenden Sand [5] zeigt, daß ab etwa
Partikelgrößen d < 500 µm der Luftwiderstand bei der voraussetzungsgemäß
laminaren Durchströmung zunehmend in Rechnung gestellt werden muß, Bild
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F 4.29 (Stationärer Austragsvolumenstrom vs in Abhängigkeit von der Partikelgröße d für Sand; errechnet mit Gl.(4.296); gemessen [5] konischer Massenflußtrichter kb = 3, ε = 1, ffc > 10)
Die Vorteile der vorgestellten Modelle gegenüber bisher bekannten sind ihre
vielseitige Anwendungsmöglichkeiten, wie z.B. die Beschreibung der
instationären Fließgeschwindigkeit kohäsiver Güter bei der Wirkung eines
Luftwiderstandes in senkrechten Rohren bzw. Schurren [7] oder hinsichtlich
der Auslegung von Dosier- und Portioniergeräten.
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
Neddermann, R. M., u.a.: Chem. Engng. Sci. 37 (1982) 11, 1597-1609;
Chem. Engng. Sci. 37 (1982) 12; 1691-1709; Chem. Engng. Sci. 38
(1983) 1, 189-195.
Beverloo, W. A., u.a.: Chem. Engng. Sci. 15 (1961) 260-269.
Johanson, J. R.: Trans. Amer. Inst. Min. Metallurg. Petrol. Engrs. 232
(1965) 3, 69-79.
Keller, H., u. Gjacek, L. V.: Freiberger Forsch.-H., Reihe A 703 (1985)
129-139.
Carleton, A. J.: Powder Technology 6 (1972) 91-96.
Crewdson, J. B., u.a.: Powder Technology 16 (1977) 197-207.
Tomas, J.: Dissertation B, Bergakademie Freiberg 1991.
Molerus, O.: Fluid-Feststoff-Strömungen, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1982.
Kache, G., Verbesserung des Schwerkraftflusses kohäsiver Pulver durch
Schwingungseintrag, docupoint Verlag, Magdeburg 2010
4.7 Zusammenfassung wesentlicher Dimensionierungsgleichungen
⇒ siehe Bilder F 4.30, F 4.31
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185
Zusatzkapitel:
4.8 Wärmetransportprobleme in Silos
4.8.1 praktische Probleme
• Nachtrocknung von Schüttgütern, die aus Trocknern eingefüllt werden, in
den Silos verbunden mit Brüdenkondensation an den kalten Wänden,
• dem folgen Aufbau von Anbackungen oder Verhärtungen von Schüttgütern
mit leichtlöslichen Inhaltsstoffen,
• oder Ansammlung größerer kondensierter Wassermengen am Auslauf;
• Berücksichtigung von Zusatzlasten (passiver Wandnormaldruck) notwendig
bei Abkühlung (Kontraktion) der Wand
∆l(T)
( 4.379)
∆p n ,T = E ⋅ ε(T) = E ⋅
= E ⋅ α l ⋅ ∆T
l0
und folgender Verdichtung des sich durch die Temperaturwechsel - eine
Wandausdehnung bewirkt das Nachrutschen des Schüttgutes, eine Wandkontraktion die Schüttgutverdichtung - zunehmend versteifenden Schüttgutes;
4.8.2 Wärmeübergang zwischen Wand und ruhendem Schüttgut
Gewöhnlich ist hier ein scharfer Unterschied zwischen der Wandtemperatur Tw
und der Guttemperatur an der Wand zu beobachten. Stark vereinfacht lassen
sich die möglichen Temperaturdifferenzen über eine quasi-stationäre Wärmebilanz aus dem von einer Quelle abfließenden Wärmestrom (Wärmedurchgang
zwischen Schüttgut und Außenwand) abschätzen:
dQ
≈ −Q = − k⋅ A⋅ ∆T ,
dt
mit dem Durchgangswiderstand als Summe der Teilwiderstände
1
1
s
1
1
=
+ w +
+
k αg , aw λ w α w , b + g α b + g
( 4.380)
( 4.381)
αg,aw
Wärmeübergangskoeffizient, Außenluft - Außenwand, ≈ 23 W/(m2 K)
(siehe MARTENS 1987)
λw
Wärmeleitkoeffizient der Wand, ≈ (30...60) W/(m K) für Stahl
αw,b+g Wärmeübergangskoeffizient, Schüttgut und Porenluft - Innenwand,
αb+g Wärmeeindringkoeffizient in das Schüttgut (und Porenluft),
Problematisch sind die Wärmeübergangskoeffizienten von Schüttgut und Porenluft (jeweils parallel geschaltet) zur Innenwand und im Inneren der Schüttung.
Wenn nur der Anteil der Porenluft betrachtet wird, läßt sich etwa αw,g ≈ 8
W/(m2 K) abschätzen (siehe MARTENS 1987).
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4.8.3 Modellierung d. Wärmeüberganges zw. Wand & Schüttgut
Es soll hier auf ein zweckmäßiges Modell von TSOTSAS (1988) zurückgegriffen werden:
Für die modifizierte freie Weglänge der Gasmoleküle zwischen den PartikelWand-Kontaktflächen gilt:
λg
2−γ 2πRT
( 4.382)
l g , mod = 2⋅
⋅
⋅
R
γ
M

p⋅  2c p, g − 
M

M
R
T
γ
Molmasse des Gases
allgemeine Gaskonstante
Temperatur
Anpassungskoeffizient (sog. Akkomodationskoeffizient), 1-γ ist der
Anteil an Gasmolekülen mit vollelastischer Wandreflexion ohne molekulare Energieübertragung, ≈ 0,9
spezifische Wärmekapazität des Gases bei konstantem Druck, ≈1,006
J/(g K) für Luft
Der lokale Wärmeübertragungskoeffizient im Partikel-Wand-Kontakt (Index
pwk,lok) ist definitionsgemäß mit der KNUDSEN-Zahl Kn = l g , mod / a lok :
cp,g
α pwk , lok =
λg
λg
=
a lok +l g , mod a lok ⋅ (1+Kn )
( 4.383)
Bei großen lokalen Partikelabständen alok und kleinen KNUDSEN-Zahlen (Kn
< 1, Kontinuumsbereich) überwiegen die Molekülkollisionen; bei kleinen
Partikelabständen und großen KNUDSEN-Zahlen (KNUDSEN-Bereich) die
Molekül-Wand-Kollisionen.
Nach Integration unter Berücksichtigung der Kugel-Platte-Kontaktgeometrie
wird erhalten:
α pwk =
 
4λ g   2(l g , mod +d r ) 
d
ln
1
⋅
+

 −1
 1+

d
d  
  2(l g , mod +d r ) 
( 4.384)
dr
mittlere Rauhigkeitsabmessung
d
Partikelgröße
Für den Wärmeübertragungskoeffizienten zwischen Wand und Schüttung gilt
nun mit Berücksichtigung der Wärmestrahlung αrad:
α wb = α pwk ⋅ ϕ HF + (1−ϕ HF ) ⋅
2λ g / d
2 +2⋅ (l g , mod +d r ) / d
+ α rad ≈ α pwk ⋅ ϕ HF
( 4.385)
ϕHF
Bedeckungsgrad der Heizfläche mit Schüttgut, ≈ 0,8
Der zweite Summand berücksichtigt die Wärmeleitung von der Wand an die
zweite Partikelschicht.
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187
4.8.3.1 Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender Schüttung
Mit dem sog. Plattenmodell nach KRISCHER (siehe TSOTSAS 1988) läßt sich
insbesondere der Einfluß der
1
1
1
bzw.
Porosität ε der Schüttung dar- k = k + k +k
ges
1
1
2
stellen.
−1


Es gilt für parallel ( k1 +k 2 ) und
−1 

k ges 
k1  
1 
in Reihe (1 / k 1 +1 / ...) geschal

= 1+
= 1+
k1  k1 +k 2   1+ k 2 
tete Durchflußkoeffizienten kk

k1 

oder reziprok für die Widerstände 1/kk der festen und Porengasphase:




λ b  1−ξ
ξ 
=
+
λ II 
λg  λI
λ
λ g 
 g
λI
λ
= ε+ (1−ε) ⋅ s
λg
λg




λ II  1−ε 
= ε+
λs 
λg 

λ g 

ξ
λs
λg
−1
mit
( 4.386)
und
( 4.387)
−1
( 4.388)
Anteil der Reihenschaltung (= Maximalwiderstand), ≈ 0,2 gute Anpassung, 1-ξ = Anteil der Parallelschaltung (= Minimalwiderstand)
Wärmeleitfähigkeit des Feststoffpartikels, ≈ 1,2 W/(m K) für Silikate
u.ä. mineralische Stoffe
Wärmeleitfähigkeit des Gases, ≈ 0,245 W/(m K) für Luft T = 273 K,
wobei λ g ∝ T ⋅ M −7 / 6
Problematisch für praktische Aufgaben ist allerdings hier die Quantifizierung
des Anteiles ξ.
4.8.3.2 Instation. Partikel-Partikel-Wärmeübergang im Festbett
Für den instationären Energietransport innerhalb der ruhenden Schüttung
(Festbett) gilt in Zylinderkoordinaten:
∂T
1 ∂ (rq r ) ∂q y
 0 c p, g
( 4.389)
[(1−ε)⋅ ρs cp,s +ε ⋅ ρg cp,g ]⋅ dT
=− ⋅
−
−m
∂y
∂y
dt
r ∂r
mit den kinetischen Ansätzen für die Wärmestromdichten q in radialer und
axialer Richtung
q r = −Λ r
∂T
∂r
( 4.390)
und
q y = −Λ ax
∂T
∂y
( 4.391)
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Λr, Λax
radialer und axialer Transportkoeffizient (effektive Wärmeleitfähigkeit)
erhält man die allgemeine Bilanz
 1 ∂T ∂ 2T 
∂ 2T
∂T
[(1−ε)⋅ ρs cp,s + ε ⋅ ρg cp,g ]⋅ dT
= Λ r ⋅  ⋅
+ 2  +Λ ax ⋅ 2 − u 0 ρ g c p, g
∂y
∂y
dt
 r ∂r ∂r 
( 4.392)
sowie analog dazu für den Stofftransport in der Gasphase
ε⋅
 1 ∂c ∂ 2 c 
dc
∂ 2c
∂c
= D r ⋅  ⋅ + 2  + D ax ⋅ 2 − u 0
dt
∂y
∂y
 r ∂r ∂r 
( 4.393)
radialer und axialer Dispersionskoeffizient
Dr, Dax
Die gewöhnlich unter Beachtung bestimmter Randbedingungen numerisch gelöst werden.
Vereinfachend gilt für den zeitlich gemittelten Wärmeübergang aus Messungen
in einer Schüttung, siehe TSOTSAS S. 167 ff:
αb =
t
cp,b
ρb
λb
ρc λ
q
= 2⋅ b p, b b
∆T
π⋅t
( 4.394)
Kontaktzeit
spezifische Wärmekapazität der Schüttung
Schüttgutdichte
wirksame Wärmeleitfähigkeit der Schüttung, z.B. nach Gl.( 4.386)
4.9 Befüllung und Füllstandsmessung
Befülleinrichtungen
Die Einspeisung von Schüttgütern in Bunker geschieht gewöhnlich durch Abwurf von Stetigförderern. Bei geringeren Füllständen sollte das Gut als Folge
der Abwurfparabel nicht auf die Bunkerwand auftreffen, da dann dort starker
Verschleiß auftreten kann. Weiterhin können größere Abwurfhöhen infolge der
kinetischen Energie der fallenden Partikeln zu einer erhöhten Schüttgutverfestigung führen.
Den in Abschnitt 1.4 Schüttec_1.doc beschriebenen Entmischungserscheinungen am aufgeworfenen Schüttgutkegel kann einerseits durch reversierbaren
Bandabwurf, wobei das Schüttgut lagenweise eingespeichert wird, oder andererseits durch Mehrpunktbeschickung mittels einfacher Einbauten begegnet
werden. Dadurch entstehen mehrere kleinere Schüttgutkegel, und die
Entmischungen halten sich Grenzen, siehe Bild F 4.32.
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189
Bunkerfüllstandsmessung
Im Zusammenhang mit der Automatisierung verfahrenstechnischer Prozesse
kommt der Bunkerfüllstandsmessung wachsende Bedeutung zu. Vielfach genügen Grenzstandsmessungen. Es kann aber auch ein periodisches oder kontinuierliches Messen des tatsächlichen Füllstandes erforderlich sein. In
Abgängigkeit von der Art des Bunkers, den Schüttguteigenschaften und von
meßtechnischen Erfordernissen ist eine größere Zahl von Meßmethoden und geräten entwickelt worden, Bild F 4.33:
1) Die wahrscheinlich genaueste Messung wird erreicht, wenn der gesamte
Bunker auf Druckmeßdosen gestellt wird, wodurch das Bunkergesamtgewicht unmittelbar gemessen wird.
2) Die einfachste Methode ist das Ausloten der Füllhöhe entweder elektromechanisch oder von Hand.
3) Elektromechanische Drehflügelgeräte werden als Grenzschalter zur Volloder Leeranzeige benutzt. Diese einfache Meßmethode ist sehr robust und
preiswert, Bild F 4.34.
4) Zur Grenzstandsüberwachung dienen auch Membranschalter, die in der
Silowand eingesetzt auf den Schüttgutdruck ansprechen.
5) Bei der konduktiven Füllstandsmessung dienen Sonden zur Signalisierung
von Grenzzuständen elektrisch leitfähiger Schüttgüter.
6) Bei der kapazitiven Messung bilden eine in den Behälter eingebaute Stabsonde oder eingehängte Teilsonde mit der Behälterwand einen Kondensator.
7) Die Absorption von β- oder γ-Strahlen kann für alle Schüttgüter zur Kontrolle von Grenzfüllständen oder zur kontinuierlichen radiometrischen Messung benutzt werden. Diese Methoden sind unempfindlich, aber vergleichsweise aufwendig und kostspielig.
8) Die Echolotung mit Ultraschall bietet sich zu Kontrolle von Grenzzuständen sowie zur kontinuierlichen Messung von Füllständen feinkörniger und
auch belüfteter Schüttgüter an.
4.10 Bunkerverschlüsse
− wesentliche Bauarten, Bild F 4.35
a) waagerechter Flachschieber
b) senkrechter Flachschieber
c) waagerechter Drehschieber
d) Doppeldrehschieber
e) Kugelbahn
f) Drehklappe
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190
g) Austragschurre mit Klauenhebelverschluß
h) Stauverschluß mit Schwenkschurre
− Anwendung
• a) bis f) für mittel- bis feinkörnige Schüttgüter, z.B. Zement, Sand, Kies
• e) Kugelhahn für feinkörnige Güter in Druck- bzw. pneumatische Förderanlagen (Richtpreis 23000.- DM!)
• g) und h) für grobstückiges Gut, z. B. Rohhaufwerke
− Beispiel: Absperrschieber mit Handrad bzw. Elektroantrieb, F 4.36
− grundsätzliche Forderungen
• keine Steuerung des Massenstromes durch halbgeöffnete Schieber, Klappen oder Hähne bei kohäsiven Gütern ⇒ Kernflußgefahr!, d.h. kein
"Wasserhahn-Prinzip"
• Verschlüsse vollständig öffnen bzw. schließen
• Mengenstromsteuerung bzw. -regelung ist Aufgabe der Austrags- bzw.
Dosiergeräte!
4.11 Normsilos
kurze Diskussion der Abmessungen und Einzelheiten siehe Bild F 4.37
....
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Blatt 14

Einstieg: (Umkehrfunktion) Anna behauptet: „Wie am Einheitskreis

Übung 1 - Workgroup Prof. Saalfrank

Logik, Geometrie

Übungsblatt 5 - Mathematisches Institut der Universität Bonn

Wichtige Werte von Sinus und Kosinus

Sinus, Kosinus und Tangens im Einheitskreis

Kurve in Parameterform x(t)

Blatt 6 (Stichtag 18.01.2015, 14:30)

Mathematik 3 für Informatik