4000 Jahre Knobelaufgaben Martin Kreuzer Universität Passau [email protected] Lehrerfortbildung “Geschichte(n) der Mathematik” Universität Passau, 16.12.2015 1 Inhaltsübersicht 2 Inhaltsübersicht 1. 20000 v. Chr. 2-a Inhaltsübersicht 1. 20000 v. Chr. 2. 1500 v. Chr. 2-b Inhaltsübersicht 1. 20000 v. Chr. 2. 1500 v. Chr. 3. 250 v. Chr. 2-c Inhaltsübersicht 1. 20000 v. Chr. 2. 1500 v. Chr. 3. 250 v. Chr. 4. 800 n. Chr. 2-d Inhaltsübersicht 1. 20000 v. Chr. 2. 1500 v. Chr. 3. 250 v. Chr. 4. 800 n. Chr. 5. 1200 n. Chr. 2-e Inhaltsübersicht 1. 20000 v. Chr. 2. 1500 v. Chr. 3. 250 v. Chr. 4. 800 n. Chr. 5. 1200 n. Chr. 6. 2000 n. Chr. 2-f 1 – 20000 v. Chr. - Der Ishango Knochen Das Kennzeichen der Steinzeitmenschen ist die schlaue Verwendung primitiver Werkzeuge. 3 1 – 20000 v. Chr. - Der Ishango Knochen Das Kennzeichen der Steinzeitmenschen ist die schlaue Verwendung primitiver Werkzeuge. Den modernen Menschen erkennt man an der primitiven Verwendung schlauer Werkzeuge. 3-a 1 – 20000 v. Chr. - Der Ishango Knochen Das Kennzeichen der Steinzeitmenschen ist die schlaue Verwendung primitiver Werkzeuge. Den modernen Menschen erkennt man an der primitiven Verwendung schlauer Werkzeuge. Im Jahre 1959 wurde in der Nähe des Flusses Semliki in Kongo ein Knochen mit Einritzungen gefunden, der später als ca. 22000 Jahre alt datiert wurde. 3-b 1 – 20000 v. Chr. - Der Ishango Knochen Das Kennzeichen der Steinzeitmenschen ist die schlaue Verwendung primitiver Werkzeuge. Den modernen Menschen erkennt man an der primitiven Verwendung schlauer Werkzeuge. Im Jahre 1959 wurde in der Nähe des Flusses Semliki in Kongo ein Knochen mit Einritzungen gefunden, der später als ca. 22000 Jahre alt datiert wurde. Er hat auf seinen beiden Seiten Zahlen eingeritzt. 3-c 4 Bemerkungen: (a) Ganz rechts stehen die Primzahlen 11, 13, 17, 19 zwischen 10 und 20. 5 Bemerkungen: (a) Ganz rechts stehen die Primzahlen 11, 13, 17, 19 zwischen 10 und 20. (b) Links oben stehen drei Verdopplungspaare: (3,6), (4,8), (5,10). 5-a Bemerkungen: (a) Ganz rechts stehen die Primzahlen 11, 13, 17, 19 zwischen 10 und 20. (b) Links oben stehen drei Verdopplungspaare: (3,6), (4,8), (5,10). (c) Daneben stehen links noch die Zahlen 6 ± 1. Die Zahlen rechts sind 12 ± 1 und 18 ± 1. 5-b Bemerkungen: (a) Ganz rechts stehen die Primzahlen 11, 13, 17, 19 zwischen 10 und 20. (b) Links oben stehen drei Verdopplungspaare: (3,6), (4,8), (5,10). (c) Daneben stehen links noch die Zahlen 6 ± 1. Die Zahlen rechts sind 12 ± 1 und 18 ± 1. (d) In der Mitte stehen die Zahlen 10 ± 1 und 20 ± 1. 5-c Bemerkungen: (a) Ganz rechts stehen die Primzahlen 11, 13, 17, 19 zwischen 10 und 20. (b) Links oben stehen drei Verdopplungspaare: (3,6), (4,8), (5,10). (c) Daneben stehen links noch die Zahlen 6 ± 1. Die Zahlen rechts sind 12 ± 1 und 18 ± 1. (d) In der Mitte stehen die Zahlen 10 ± 1 und 20 ± 1. Der Ishango-Knochen deutet auf die Verwendung gemischter Zahlsysteme (Basis 6/12 und Basis 10) hin, wie sie auch heute noch in manchen Gegenden Afrikas üblich ist. 5-d Bemerkungen: (a) Ganz rechts stehen die Primzahlen 11, 13, 17, 19 zwischen 10 und 20. (b) Links oben stehen drei Verdopplungspaare: (3,6), (4,8), (5,10). (c) Daneben stehen links noch die Zahlen 6 ± 1. Die Zahlen rechts sind 12 ± 1 und 18 ± 1. (d) In der Mitte stehen die Zahlen 10 ± 1 und 20 ± 1. Der Ishango-Knochen deutet auf die Verwendung gemischter Zahlsysteme (Basis 6/12 und Basis 10) hin, wie sie auch heute noch in manchen Gegenden Afrikas üblich ist. Aufgabe: Finde heraus, wie dieser Knochen verwendet wurde! 5-e Der zweite Ishango-Knochen Lange unbekannt war, dass 1959 gleichzeitig in der gleichen Schicht ein zweiter Knochen mit Einritzungen gefunden wurde. 6 Der zweite Ishango-Knochen Lange unbekannt war, dass 1959 gleichzeitig in der gleichen Schicht ein zweiter Knochen mit Einritzungen gefunden wurde. 6-a Bemerkungen: (a) 6 lange Kerben, 2 kurze um Kerbe 3 (b) 30 Kerben (24 lange, 6 kurze) (c) 6 Kerben (d) 18 Kerben (e) 6 Kerben (f ) 20 Kerben (14 lange, 6 kurze, davon je 2 um Kerbe 3 und 4) 7 Folgerungen: Die Ishango Knochen deuten auf die Verwendung eines Zahlsystems zur Basis 6 oder 12 hin. 8 Folgerungen: Die Ishango Knochen deuten auf die Verwendung eines Zahlsystems zur Basis 6 oder 12 hin. Fragen: (1) Wozu wurden diese Knochen verwendet? (Einfaches Rechnen, Mondkalender, Umrechnung zwischen den Zahlbasen 12 und 10, Messung des Menstruationszyklus, . . . ) 8-a Folgerungen: Die Ishango Knochen deuten auf die Verwendung eines Zahlsystems zur Basis 6 oder 12 hin. Fragen: (1) Wozu wurden diese Knochen verwendet? (Einfaches Rechnen, Mondkalender, Umrechnung zwischen den Zahlbasen 12 und 10, Messung des Menstruationszyklus, . . . ) (2) Wenn die Knochen zum Rechnen dienten, wie können sie nutzbringend eingesetzt werden? 8-b 2 – 1500 v. Chr. - Der Papyrus Rhind Nicht einmal der größte Meister kann auch nur einen Schritt für seinen Schüler gehen. 9 2 – 1500 v. Chr. - Der Papyrus Rhind Nicht einmal der größte Meister kann auch nur einen Schritt für seinen Schüler gehen. Man selbst muss jede Phase der geistigen Entwicklung durchleben. (Ägyptische Sprichwort) 9-a 2 – 1500 v. Chr. - Der Papyrus Rhind Nicht einmal der größte Meister kann auch nur einen Schritt für seinen Schüler gehen. Man selbst muss jede Phase der geistigen Entwicklung durchleben. (Ägyptische Sprichwort) Das Papyrus Rhind wurde ca. 1550 v. Chr. von dem ägyptischen Schreiber Ahmose angefertigt und ist eine Kopie eines über 200 Jahre älteren Manuskripts. Es besteht aus einer über 5 Meter langen und ca. 32 cm breiten Schriftrolle, die beidseitig beschrieben ist. 9-b 10 Der Papyrus enthält 84 Knobelaufgaben, die wie folgt eingeteilt sind: 11 Der Papyrus enthält 84 Knobelaufgaben, die wie folgt eingeteilt sind: (a) 40 Aufgaben aus der Zahlentheorie und der Algebra. Dazu liefert Ahmose auch die Zerlegungen von n2 als Summe von Stammbrüchen für n ∈ {3, . . . , 101}. 11-a Der Papyrus enthält 84 Knobelaufgaben, die wie folgt eingeteilt sind: (a) 40 Aufgaben aus der Zahlentheorie und der Algebra. Dazu liefert Ahmose auch die Zerlegungen von n2 als Summe von Stammbrüchen für n ∈ {3, . . . , 101}. (b) 20 Aufgaben aus der Geometrie. 11-b Der Papyrus enthält 84 Knobelaufgaben, die wie folgt eingeteilt sind: (a) 40 Aufgaben aus der Zahlentheorie und der Algebra. Dazu liefert Ahmose auch die Zerlegungen von n2 als Summe von Stammbrüchen für n ∈ {3, . . . , 101}. (b) 20 Aufgaben aus der Geometrie. (c) 24 Aufgaben aus der praktischen Mathematik 11-c Die Tabelle des Papyrus Rhind 2 3 2 5 2 7 2 9 2 11 2 13 2 15 2 17 2 19 2 21 2 23 2 25 2 27 2 29 2 31 2 33 = = = = = = = = = = = = = = = = 1 1 2 + 6 1 1 3 + 15 1 1 4 + 28 1 1 6 + 18 1 1 6 + 66 1 1 1 8 + 52 + 104 1 1 10 + 30 1 1 1 12 + 51 + 68 1 1 1 12 + 76 + 114 1 1 14 + 42 1 1 12 + 276 1 1 15 + 75 1 1 18 + 54 1 1 1 1 24 + 58 + 174 + 232 1 1 1 20 + 124 + 155 1 1 22 + 66 2 35 2 37 2 39 2 41 2 43 2 45 2 47 2 49 2 51 2 53 2 55 2 57 2 59 2 61 2 63 2 65 12 = = = = = = = = = = = = = = = = 1 30 1 24 1 26 1 24 1 42 1 30 1 30 1 28 1 34 1 30 1 30 1 38 1 36 1 40 1 42 1 39 + + + + + + + + + + + + + + + + 1 42 1 1 111 + 296 1 78 1 1 246 + 328 1 1 1 86 + 129 + 301 1 90 1 1 141 + 470 1 196 1 102 1 1 318 + 795 1 330 1 114 1 1 236 + 531 1 1 1 244 + 488 + 610 1 126 1 195 2 67 2 69 2 71 2 73 2 75 2 77 2 79 2 81 2 83 = = = = = = = = = 1 40 1 46 1 40 1 60 1 50 1 44 1 60 1 54 1 60 + + + + + + + + + 1 335 1 138 1 568 1 219 1 150 1 308 1 237 1 162 1 332 + + + + + 1 536 1 710 1 292 1 316 1 415 + + + 1 365 1 790 1 498 2 85 2 87 2 89 2 91 2 93 2 95 2 97 2 99 2 101 13 = = = = = = = = = 1 1 51 + 255 1 1 58 + 174 1 1 1 1 60 + 356 + 534 + 890 1 1 70 + 130 1 1 62 + 186 1 1 1 60 + 380 + 570 1 1 1 56 + 679 + 776 1 1 66 + 198 1 1 1 1 101 + 202 + 303 + 606 2 67 2 69 2 71 2 73 2 75 2 77 2 79 2 81 2 83 = = = = = = = = = 1 40 1 46 1 40 1 60 1 50 1 44 1 60 1 54 1 60 + + + + + + + + + 1 335 1 138 1 568 1 219 1 150 1 308 1 237 1 162 1 332 + + + + + 1 536 1 710 1 292 1 316 1 415 + + + 1 365 1 790 1 498 2 85 2 87 2 89 2 91 2 93 2 95 2 97 2 99 2 101 = = = = = = = = = 1 1 51 + 255 1 1 58 + 174 1 1 1 1 60 + 356 + 534 + 890 1 1 70 + 130 1 1 62 + 186 1 1 1 60 + 380 + 570 1 1 1 56 + 679 + 776 1 1 66 + 198 1 1 1 1 101 + 202 + 303 + 606 Aufgabe 1: Zeige, dass man die Zerlegungen in 3 oder 4 Stammbrüche jeweils schon durch eine Zerlegung in 2 Stammbrüche ersetzen kann! 13-a 2 67 2 69 2 71 2 73 2 75 2 77 2 79 2 81 2 83 = = = = = = = = = 1 40 1 46 1 40 1 60 1 50 1 44 1 60 1 54 1 60 + + + + + + + + + 1 335 1 138 1 568 1 219 1 150 1 308 1 237 1 162 1 332 + + + + + 1 536 1 710 1 292 1 316 1 415 + + + 1 365 1 790 1 498 2 85 2 87 2 89 2 91 2 93 2 95 2 97 2 99 2 101 = = = = = = = = = 1 1 51 + 255 1 1 58 + 174 1 1 1 1 60 + 356 + 534 + 890 1 1 70 + 130 1 1 62 + 186 1 1 1 60 + 380 + 570 1 1 1 56 + 679 + 776 1 1 66 + 198 1 1 1 1 101 + 202 + 303 + 606 Aufgabe 1: Zeige, dass man die Zerlegungen in 3 oder 4 Stammbrüche jeweils schon durch eine Zerlegung in 2 Stammbrüche ersetzen kann! Aufgabe 2: Wie viele Zerlegungen und zwei Stammbrüche 1 1 2 = + n a b mit a < b kann man durch eine Zerlegung mit kleinerem b verbessern? 13-b Knobelaufgaben aus der Algebra 14 Knobelaufgaben aus der Algebra Aufgabe 1: 700 Laib Brot sind auf vier Empfänger im Verhältnis 2 1 1 1 : : : 3 2 3 4 aufzuteilen. Wie viele erhält jeder? 14-a Knobelaufgaben aus der Algebra Aufgabe 1: 700 Laib Brot sind auf vier Empfänger im Verhältnis 2 1 1 1 : : : 3 2 3 4 aufzuteilen. Wie viele erhält jeder? Aufgabe 2: (a) Wenn man zu einer Zahl zwei Drittel dieser Zahl addiert und dann ein Drittel des Ergebnisses subtrahiert erhält man 10. Wie lautet die Zahl? 14-b Knobelaufgaben aus der Algebra Aufgabe 1: 700 Laib Brot sind auf vier Empfänger im Verhältnis 2 1 1 1 : : : 3 2 3 4 aufzuteilen. Wie viele erhält jeder? Aufgabe 2: (a) Wenn man zu einer Zahl zwei Drittel dieser Zahl addiert und dann ein Drittel des Ergebnisses subtrahiert erhält man 10. Wie lautet die Zahl? (b) Wenn man zu einer Zahl zwei Drittel dieser Zahl addiert, dann ein Drittel des Ergebnisses addiert und schließlich durch drei teilt, so ergibt sich 10. Wie lautet die Zahl? 14-c Knobelaufgaben aus der Geometrie Aufgabe 1: Zeige, dass eine Kreis vom Durchmesser 9 ungefähr dieselbe Fläche besitzt wie ein Quadrat der Seitenlänge 8. 15 Knobelaufgaben aus der Geometrie Aufgabe 1: Zeige, dass eine Kreis vom Durchmesser 9 ungefähr dieselbe Fläche besitzt wie ein Quadrat der Seitenlänge 8. Tipp: Bestimme die Fläche des folgenden Achtecks: 15-a Knobelaufgaben aus der Geometrie Aufgabe 1: Zeige, dass eine Kreis vom Durchmesser 9 ungefähr dieselbe Fläche besitzt wie ein Quadrat der Seitenlänge 8. Tipp: Bestimme die Fläche des folgenden Achtecks: Aufgabe 2: Zeige, dass hieraus ein approximativer Wert von π folgt, der um weniger als 1% vom wahren Wert abweicht. 15-b 3 – 250 v. Chr. - Archimedes Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, 16 3 – 250 v. Chr. - Archimedes Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben. (Archimedes) 16-a 3 – 250 v. Chr. - Archimedes Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben. (Archimedes) Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.) war ein bedeutender Mathematiker, Physiker und Ingenieur. 16-b 3 – 250 v. Chr. - Archimedes Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben. (Archimedes) Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.) war ein bedeutender Mathematiker, Physiker und Ingenieur. In seinem Buch der Lemmata beschäftigt er sich mit dem Problem der Winkeldreiteilung: ein beliebig vorgegebener Winkel soll mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Winkel geteilt werden. 16-c 3 – 250 v. Chr. - Archimedes Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben. (Archimedes) Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.) war ein bedeutender Mathematiker, Physiker und Ingenieur. In seinem Buch der Lemmata beschäftigt er sich mit dem Problem der Winkeldreiteilung: ein beliebig vorgegebener Winkel soll mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Winkel geteilt werden. 1837 bewies Pierre Wantzel, dass dies für die meisten Winkel nicht geht. 16-d Die Windeldreiteilung nach Archimedes Nach Archimedes genügt es, wenn wir auf dem Lineal zwei Markierungen anbringen. 17 Die Windeldreiteilung nach Archimedes Nach Archimedes genügt es, wenn wir auf dem Lineal zwei Markierungen anbringen. 17-a Beweis der Methode von Archimedes 18 Beweis der Methode von Archimedes Aus 180o − 2γ = 180o − α − β und 180o − 2β = 180o − γ folgt 3β = α. 18-a Der Winkeldreiteiler von Rene Descartes 1619 erfand Rene Descartes einen Gelenkmechanismus, der die Winkeldreiteilung mechanisch löst. 19 Der Winkeldreiteiler von Rene Descartes 1619 erfand Rene Descartes einen Gelenkmechanismus, der die Winkeldreiteilung mechanisch löst. 19-a Aufgabe 1: Erkläre und beweise die Funktionsweise des Winkeldreiteilers von Descartes. 20 Aufgabe 1: Erkläre und beweise die Funktionsweise des Winkeldreiteilers von Descartes. Aufgabe 2: Erkläre und beweise die Funktionsweise weiterer Methoden zur Winkeldreiteilung, z. B. 20-a Aufgabe 1: Erkläre und beweise die Funktionsweise des Winkeldreiteilers von Descartes. Aufgabe 2: Erkläre und beweise die Funktionsweise weiterer Methoden zur Winkeldreiteilung, z. B. (a) Origami 20-b (b) Das Tomahawk 21 (b) Das Tomahawk (c) endliches Lineal 21-a Das Rinderproblem 1773 entdeckte Gotthold Ephraim Lessing einen Brief von Archimedes aus Syrakus an Eratosthenes von Kyrene in Alexandria, der dort die berühmte Bibliothek leitete. Dort formulierte er in 22 Verspaaren folgendes mathematisches Problem: 22 Das Rinderproblem 1773 entdeckte Gotthold Ephraim Lessing einen Brief von Archimedes aus Syrakus an Eratosthenes von Kyrene in Alexandria, der dort die berühmte Bibliothek leitete. Dort formulierte er in 22 Verspaaren folgendes mathematisches Problem: Die Rinderherde des Sonnengotts, die einst in Sizilien graste, bestand aus weissen, braunen, schwarzen und gefleckten Bullen (W,B,S,G) und ebenso gefärbten Kühen (w,b,s,g). Die Anzahlen erfüllen folgende Gleichungen: 22-a W = ( 21 + 13 )S + B w = ( 13 + 41 )(S + s) S = ( 41 + 15 )G + B s = ( 14 + 51 )(B + b) G = ( 16 + 17 )W + B g = ( 51 + 61 )(B + b) b = ( 16 + 17 )(W + w) 23 W = ( 21 + 13 )S + B w = ( 13 + 41 )(S + s) S = ( 41 + 15 )G + B s = ( 14 + 51 )(B + b) G = ( 16 + 17 )W + B g = ( 51 + 61 )(B + b) b = ( 16 + 17 )(W + w) Wer so weit kommt, ist nicht ungeübt oder der Zahlen unkundig, aber er kann noch nicht zu den Weisen gezählt werden. Archimedes gibt noch zwei Zusatzbedingungen: (1) W + S ist eine Quadratzahl m2 . (2) B + G ist eine Dreieckszahl 1 2 n(n + 1). 23-a W = ( 21 + 13 )S + B w = ( 13 + 41 )(S + s) S = ( 41 + 15 )G + B s = ( 14 + 51 )(B + b) G = ( 16 + 17 )W + B g = ( 51 + 61 )(B + b) b = ( 16 + 17 )(W + w) Wer so weit kommt, ist nicht ungeübt oder der Zahlen unkundig, aber er kann noch nicht zu den Weisen gezählt werden. Archimedes gibt noch zwei Zusatzbedingungen: (1) W + S ist eine Quadratzahl m2 . (2) B + G ist eine Dreieckszahl 1 2 n(n + 1). Löst Du auch diese Bedingungen, so sollst Du mit Ruhm gekrönt und als ein Mathematiker von perfekter Weisheit betrachtet werden. 23-b 24 Lösung des Rinderproblems Die ersten 7 Gleichungen liefern ein diophantisches lineares Gleichungssystem: 25 Lösung des Rinderproblems Die ersten 7 Gleichungen liefern ein diophantisches lineares Gleichungssystem: W −6 6 0 0 0 0 0 0 S 0 20 −20 9 0 0 0 0 B −13 0 −42 42 0 0 0 0 G =0 0 −7 0 0 12 −7 0 0 · w 0 0 −9 0 20 0 −9 0 s 0 0 −11 0 0 0 −11 30 b −13 0 0 0 −13 0 42 0 g 25-a Mit einem Computeralgebrasystem findet man leicht die Lösungen W = 10 366 482 · k w = 7 206 360 · k S = 7 460 514 · k s = 4 893 246 · k B = 4 149 387 · k b = 5 439 213 · k G = 7 358 060 · k g = 3 515 820 · k und somit R = 50 389 082 · k mit k ≥ 1. 26 Mit einem Computeralgebrasystem findet man leicht die Lösungen W = 10 366 482 · k w = 7 206 360 · k S = 7 460 514 · k s = 4 893 246 · k B = 4 149 387 · k b = 5 439 213 · k G = 7 358 060 · k g = 3 515 820 · k und somit R = 50 389 082 · k mit k ≥ 1. Die beiden Zusatzbedingungen liefern dann m = 2 · 3 · 11 · 29 · m̃ und 2 · 3 · 7 · 11 · 29 · 353 · m̃2 = n(n + 1). Hieraus kann man entweder eine Pellsche Gleichung x2 − dy 2 = 1 mit d = 4 729 494 ableiten oder ein System von 64 quadratischen Gleichungen der Form pu2 + 1 = qv 2 . 26-a In jedem Fall ergibt sich als kleinste Lösung des Rinderproblems eine Zahl R ≈ 7, 76 · 10206 544 27 In jedem Fall ergibt sich als kleinste Lösung des Rinderproblems eine Zahl R ≈ 7, 76 · 10206 544 Diese Zahl konnte erstmals 1965 mit dem Computer berechnet werden, was 7 Stunden und 49 Minuten dauerte. Heutzutage geht es mit der verbesserten Lösungsmethode und einem schnellen PC in wenigen Sekunden. 27-a 4 – 800 n. Chr. - Alkuin von York 28 4 – 800 n. Chr. - Alkuin von York Der Mensch denkt, Gott lenkt (Alkuin von York) 28-a 4 – 800 n. Chr. - Alkuin von York Der Mensch denkt, Gott lenkt (Alkuin von York) Der Gelehrte Alkuin von York (735-804 n. Chr.) war der wichtigste Berater Karls des Großen. Er leitete ab 782 die Hofschule in Aachen und schrieb 799 das Buch Propositiones ad Acuendos Juvenes (Aufgaben zur Schärfung des Geistes der Jugend) das 53 (oder nach manchen Quellen 56) Knobelaufgaben enthielt. Unter anderem enthält es die ersten publizierten Aufgaben zur diskreten Optimierung. 28-b Flußüberquerungsaufgaben Aufgabe 1: Ein Mann muss mit einem Wolf, einer Ziege und einem Kohlkopf einen Fluss überqueren. Das einzige Boot kann aber neben ihm nur einen weiteren Passagier tragen. Wie kann er den Fluss überqueren, ohne dass dabei der Wolf die Ziege oder die Ziege den Kohl frisst? 29 Flußüberquerungsaufgaben Aufgabe 1: Ein Mann muss mit einem Wolf, einer Ziege und einem Kohlkopf einen Fluss überqueren. Das einzige Boot kann aber neben ihm nur einen weiteren Passagier tragen. Wie kann er den Fluss überqueren, ohne dass dabei der Wolf die Ziege oder die Ziege den Kohl frisst? Lösung: 29-a Aufgabe 2: Drei Männer kommen mit ihren unverheirateten Schwestern an einen Fluss. Jeder Mann begehrte die Schwester seines Freundes. Wie können sie den Fluss in einem Zweierboot überqueren, ohne dass eine der Frauen befürchten muss, in Abwesenheit ihres Bruders von einem anderen Mann geschändet zu werden? 30 Aufgabe 2: Drei Männer kommen mit ihren unverheirateten Schwestern an einen Fluss. Jeder Mann begehrte die Schwester seines Freundes. Wie können sie den Fluss in einem Zweierboot überqueren, ohne dass eine der Frauen befürchten muss, in Abwesenheit ihres Bruders von einem anderen Mann geschändet zu werden? Aufgabe 3: Ein Mann und eine Frau haben jeweils das Gewicht eines beladenen Karrens. Sie haben zwei Kinder, die jeweils einen halben Karren schwer sind. Alle vier wollen einen Fluss überqueren, doch das Boot trägt nur das Gewicht eines Karrens. Finde einen Weg, wie die Familie übersetzen kann, ohne zu sinken. 30-a Wüstendurchquerungen Dieser Aufgabentyp heißt heute manchmal auch Jeep Probleme. 31 Wüstendurchquerungen Dieser Aufgabentyp heißt heute manchmal auch Jeep Probleme. Aufgabe 4: Ein Familienoberhaupt befahl, 90 Beutel Getreide von einem seiner Häuser in ein anderes bringen zu lassen, das 30 Meilen entfernt war. Wenn das Kamel 30 Beutel tragen kann und einen Beutel Getreide pro Meile frisst, wie viele Beutel kommen in dem anderen Haus an? 31-a Wüstendurchquerungen Dieser Aufgabentyp heißt heute manchmal auch Jeep Probleme. Aufgabe 4: Ein Familienoberhaupt befahl, 90 Beutel Getreide von einem seiner Häuser in ein anderes bringen zu lassen, das 30 Meilen entfernt war. Wenn das Kamel 30 Beutel tragen kann und einen Beutel Getreide pro Meile frisst, wie viele Beutel kommen in dem anderen Haus an? Lösung: Der Trick ist, dass man unterwegs ein oder mehrere Zwischenlager anlegen kann. Alkuin schlägt folgende Lösung vor: ein Zwischenlager sei x Meilen vom ersten Haus. Das Kamel verbraucht bis dahin 3x Beutel. Gilt 90 − 3x ≤ 30, so kann es die restlichen 30 − x Meilen alles auf einmal tragen und es kommen 60 − 2x Beutel an. Also ist x = 20 optimal und 20 Beutel kommen an. 31-b Die Lösung von Alkuin ist aber nicht optimal, da man mit zwei Zwischenlagern noch mehr abliefern kann. 32 Die Lösung von Alkuin ist aber nicht optimal, da man mit zwei Zwischenlagern noch mehr abliefern kann. Das erste Zwischenlager sei wieder nach x Meilen. Es kommen 90 − 3x Beutel dort an. Das zweite Zwischenlager sei nach weiteren y Meilen. Dorthin sollte das Kamel zwei Transporte machen, so dass 90 − 3x − 2y Beutel ankommen. 32-a Die Lösung von Alkuin ist aber nicht optimal, da man mit zwei Zwischenlagern noch mehr abliefern kann. Das erste Zwischenlager sei wieder nach x Meilen. Es kommen 90 − 3x Beutel dort an. Das zweite Zwischenlager sei nach weiteren y Meilen. Dorthin sollte das Kamel zwei Transporte machen, so dass 90 − 3x − 2y Beutel ankommen. Nun folgt leicht, dass 60 − 2x − y Beutel am zweiten Haus ankommen und dass x ≥ 10 sowie y ≥ 15 gelten muss. Bei optimaler Wahl der Zwischenlager kommen also 25 Beutel im zweiten Haus an. 32-b 5 – 1200 n. Chr. - Leonardo von Pisa 33 5 – 1200 n. Chr. - Leonardo von Pisa Die vollen Erkenntnisse der Algebra können nicht vermittelt werden ohne etwas Geometrie zu verwenden. (Fibonacci) 33-a 5 – 1200 n. Chr. - Leonardo von Pisa Die vollen Erkenntnisse der Algebra können nicht vermittelt werden ohne etwas Geometrie zu verwenden. (Fibonacci) Der italienische Mathematiker Leonardo von Pisa (ca. 1170 - 1250 n. Chr.), auch bekannt als Fibonacci, schrieb 1202 das wichtigste Mathematikbuch des Mittelalters: Liber Abbaci (Das Buch der Berechnungen) Es enthält nicht nur die Beschreibung der Zahlen und Grundrechenarten mittels hindu-arabischer Ziffern, sondern auch eine riesige Sammlung von Knobelaufgaben. 33-b 34 Symbolische Berechnungen Fibonacci verwendet u.a. die direkte Methode des arabischen Mathematikers Muhammad ibm Musa al-Khwarizmi. Die Unbekannte wird mit das Ding (lat. res) bezeichnet. Durch Umformen der Gleichung(en) löst man nach dieser Unbekannten auf (arab. al-jabr und al-muqabala). 35 Symbolische Berechnungen Fibonacci verwendet u.a. die direkte Methode des arabischen Mathematikers Muhammad ibm Musa al-Khwarizmi. Die Unbekannte wird mit das Ding (lat. res) bezeichnet. Durch Umformen der Gleichung(en) löst man nach dieser Unbekannten auf (arab. al-jabr und al-muqabala). Aufgabe 1: Ein Händler fuhr mit drei Perlen nach Konstantinopel um sie zu verkaufen. Die zweite war doppelt so wertvoll wie die erste, und die dritte war doppelt so wertvoll wie die zweite minus ein Drittel einer Goldmünze. Die Gebühren in Konstantinopel sind ein Zehntel des Gesamtwerts für die Aufbewahrung und die Abwicklung des Handels. Nachdem der Händler die erste Perle verkauft und die gesamten Gebühren entrichtet hatte, blieben ihm 18 des Werts der zweiten Perle plus 21 13 30 Goldmünzen. Wieviel waren die Perlen wert? 35-a Lösung: Nenne den Wert der ersten Perle p. Dann sind die Perlen p, 2p und 4p − 13 Goldmünzen wert und die Händlergebühr ist 1 (7p − 13 ). Wir erhalten die Gleichung h = 10 p−h = p− 1 10 (7p − 13 ) = deren Auflösung p = 428 ergibt. 36 1 8 13 (2p) + 21 30 Lösung: Nenne den Wert der ersten Perle p. Dann sind die Perlen p, 2p und 4p − 13 Goldmünzen wert und die Händlergebühr ist 1 (7p − 13 ). Wir erhalten die Gleichung h = 10 p−h = p− 1 10 (7p − 13 ) = 1 8 13 (2p) + 21 30 deren Auflösung p = 428 ergibt. Aufgabe 2: Ein Mann kauft 30 Vögel, und zwar Rebhühner, Tauben und Spatzen, für 30 Dinare. Ein Rebhuhn kostet drei Dinare, eine Taube zwei, und ein Spatz einen halben. Wie viele Vögel jeder Sorte hat er gekauft? 36-a Lösung: Sei x die Zahl der Rebhühner, y die Zahl der Tauben und z die Zahl der Spatzen. Dann gilt x + y + z = 30 und 3x + 2y + 21 z = 30 Multipliziert man die zweite Gleichung mit 2 und subtrahiert man die erste, so wird z eliminiert und es gilt 5x + 3y = 30. Also ist y durch 5 teilbar. Wegen x ≥ 1 muss y = 5 gelten und somit x = 3 und z = 22. 37 Lösung: Sei x die Zahl der Rebhühner, y die Zahl der Tauben und z die Zahl der Spatzen. Dann gilt x + y + z = 30 und 3x + 2y + 21 z = 30 Multipliziert man die zweite Gleichung mit 2 und subtrahiert man die erste, so wird z eliminiert und es gilt 5x + 3y = 30. Also ist y durch 5 teilbar. Wegen x ≥ 1 muss y = 5 gelten und somit x = 3 und z = 22. Aufgabe 3: Zuerst teile ich 10 in zwei Teile. Dividiere ich den größeren durch den kleineren und dann den kleineren durch den größeren, und addiere ich die Ergebnisse, so erhalte ich die Wurzel aus 5. Wie groß sind die beiden Teile? 37-a Lösung: Seien x und y die beiden Teile. Dann gilt √ y x x + y = 10 und 5 y + x = 38 Lösung: Seien x und y die beiden Teile. Dann gilt √ y x x + y = 10 und 5 y + x = Quadrieren der ersten Gleichung liefert x2 + y 2 + 2xy = 100 und √ 2 2 Ausmultiplizieren der zweiten Gleichung ergibt x + y = 5 xy. 38-a Lösung: Seien x und y die beiden Teile. Dann gilt √ y x x + y = 10 und 5 y + x = Quadrieren der ersten Gleichung liefert x2 + y 2 + 2xy = 100 und √ 2 2 Ausmultiplizieren der zweiten Gleichung ergibt x + y = 5 xy. √ Aus der Differenz erhalten wir ( 5 + 2) xy = 100, und wenn wir nun y = 10 − x einsetzen, so folgt x2 − 10x + √100 5+2 38-b = 0 Lösung: Seien x und y die beiden Teile. Dann gilt √ y x x + y = 10 und 5 y + x = Quadrieren der ersten Gleichung liefert x2 + y 2 + 2xy = 100 und √ 2 2 Ausmultiplizieren der zweiten Gleichung ergibt x + y = 5 xy. √ Aus der Differenz erhalten wir ( 5 + 2) xy = 100, und wenn wir nun y = 10 − x einsetzen, so folgt x2 − 10x + √100 5+2 = 0 Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung ergeben zusammen √ √ mit x > y das Ergebnis x = 125 − 5 und y = 15 − 125. 38-c Wiegeaufgaben Aufgabe: Wie viele Gewichte braucht man, um auf einer Balkenwaage jedes Gewichte von 1 Pfund bis 40 Pfund abwiegen zu können, und wie schwer müssen diese Gewichte sein? 39 Wiegeaufgaben Aufgabe: Wie viele Gewichte braucht man, um auf einer Balkenwaage jedes Gewichte von 1 Pfund bis 40 Pfund abwiegen zu können, und wie schwer müssen diese Gewichte sein? Lösung: Um ein Objekt auf der rechten Seite zu wiegen kann man ein 1-Pfund-Gewicht links platzieren (Beitrag +1), rechts platzieren (Beitrag -1) oder gar nicht verwenden (Beitrag 0). Man muss also alle Zahlen in 1, 2, . . . , 40 im Dreiersystem darstellen können. Dazu braucht man vier Gewichte mit 1,3,9 und 27 Pfund. 39-a 6 – 2000 n. Chr. - Moderne Knobelaufgaben Zu jeder Knobelaufgabe gibt es eine einfache Lösung: 40 6 – 2000 n. Chr. - Moderne Knobelaufgaben Zu jeder Knobelaufgabe gibt es eine einfache Lösung: hübsch, plausibel und falsch. 40-a 6 – 2000 n. Chr. - Moderne Knobelaufgaben Zu jeder Knobelaufgabe gibt es eine einfache Lösung: hübsch, plausibel und falsch. Aufgabe 1: (Hans Freudenthal, 1969) Der Lehrer sagt zu Peter und Sam: “Ich habe mir zwei Zahlen zwischen 1 und 100 ausgedacht und Peter ihr Produkt sowie Sam ihre Summe mitgeteilt.” 40-b 6 – 2000 n. Chr. - Moderne Knobelaufgaben Zu jeder Knobelaufgabe gibt es eine einfache Lösung: hübsch, plausibel und falsch. Aufgabe 1: (Hans Freudenthal, 1969) Der Lehrer sagt zu Peter und Sam: “Ich habe mir zwei Zahlen zwischen 1 und 100 ausgedacht und Peter ihr Produkt sowie Sam ihre Summe mitgeteilt.” Peter: “Ich kenne die Zahlen nicht.” Sam: “Das wusste ich schon.” Peter: “Dann weiss ich die Zahlen jetzt.” Sam: “Ich auch.” Wie lauten die beiden Zahlen? 40-c Aufgabe 2: (Noga Alon, Douglas B. West, 1986) Zwei Diebe erbeuten eine wertvolle Halskette, die aus Perlen besteht welche jeweils eine von t möglichen Farben haben. Die Zahl ai der Perlen der i-ten Farbe sei jeweils gerade. In wieviele Teile muss man die Kette zerschneiden, damit jeder Dieb von jeder Farbe gleich viele Perlen erhält? 41 Aufgabe 2: (Noga Alon, Douglas B. West, 1986) Zwei Diebe erbeuten eine wertvolle Halskette, die aus Perlen besteht welche jeweils eine von t möglichen Farben haben. Die Zahl ai der Perlen der i-ten Farbe sei jeweils gerade. In wieviele Teile muss man die Kette zerschneiden, damit jeder Dieb von jeder Farbe gleich viele Perlen erhält? Lösung: Man kann beweisen, dass es immer mit t Schnitten geht und dass diese Zahl optimal ist. 41-a Aufgabe 3: (Tom Cover, 1986) Paula wählt zwei verschiedene ganze Zahlen, schreibt jeweils eine auf einen Zettel und verbirgt jeweils einen Zettel in einer Hand. Viktor wählt eine der beiden Hände, sieht sich die Zahl an und rät dann, ob es die größere oder kleinere der beiden Zahlen ist. 42 Aufgabe 3: (Tom Cover, 1986) Paula wählt zwei verschiedene ganze Zahlen, schreibt jeweils eine auf einen Zettel und verbirgt jeweils einen Zettel in einer Hand. Viktor wählt eine der beiden Hände, sieht sich die Zahl an und rät dann, ob es die größere oder kleinere der beiden Zahlen ist. Wie kann Viktor in mehr als 50 Prozent der Fälle richtig raten? 42-a Aufgabe 3: (Tom Cover, 1986) Paula wählt zwei verschiedene ganze Zahlen, schreibt jeweils eine auf einen Zettel und verbirgt jeweils einen Zettel in einer Hand. Viktor wählt eine der beiden Hände, sieht sich die Zahl an und rät dann, ob es die größere oder kleinere der beiden Zahlen ist. Wie kann Viktor in mehr als 50 Prozent der Fälle richtig raten? Lösung: Viktor wählt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf 12 + Z bei der jeder Wert eine positive Wahrscheinlichkeit hat. Damit wählt eine Schranke s ∈ 12 + Z und sieht sich die Zahl z in einer zufällig bestimmten Hand an. Ist s > z, so tippt er, dass die andere Zahl größer ist, sonst kleiner. Ist s größer oder kleiner als beide Zahlen, so gewinnt er in 50% der Fälle. Ist s dazwischen, so gewinnt er immer. 42-b THE END 43 THE END Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 43-a THE END Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! In the end, everything is a gag. (Charlie Chaplin) 43-b
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