Prom. Nr. 3402
Berechnung
der kompressiblen, reibungsfreien
Unterschallströmung durch räumliche Gitter
Die
aus
Schaufeln auch grosser Dicke
und starker Wölbung
Von der
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN
HOCHSCHULE IN ZÜRICH
zur
Erlangung
der Würde eines Doktors der technischen Wissenschaften
genehmigte
PROMOTIONSARBEIT
vorgelegt
von
HANS ERNST
JMBACH
dipl. Masch.-Ing.
von
Sursee
ETH
(Kt. Luzem)
Referent:
Herr Prof. Dr. W.
Traupel
Korreferent: Herr Prof. Dr. J. Ackeret
Juris -Verlag Zürich
1964
Die
vorliegende Promotionsarbeit
der Mitteilungen
anderE.T.H.
aus
erscheint als Band Nr.
8
dem Institut für thermische Turbomaschinen
in Zürich.
Vorwort
Die
Boveri &
vorliegende
Cie.,
Arbeit entstand im
Baden im Rahmen eines
Strömungsiaboratorium
umfangreichen Forschungsprogramms über
die Strömung in thermischen Turbomaschinen. Durch besonderes
konnte ich meine theoretischen
der
vorliegenden
der A. G. Brown
Untersuchungen
auf diesem Gebiet
Entgegenkommen
zur
Ausarbeitung
Dissertation verwerten.
Für die wertvollen
Anregungen
Arbeit möchte ich Herrn Prof. Dr.
und
W.
Ratschläge bei der Durchführung dieser
Traupel meinen herzlichen Dank
aus¬
sprechen.
Schliesslich
den,
Dr.
gebührt
mein Dank der Firma
insbesonders den Herren Direktor Dr. h.
H.
Ott und
Dipl.-Ing.
R.
Grütter
c.
A. G. Brown Boveri & Cie., Ba¬
C.
Seippel,
Dr.
E.
Jenny,
für ihr reges Interesse und das gross¬
zügige Entgegenkommen.
Baden,
Februar 1964
H. E.
Jmbach
Leer
-
Vide
-
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5
-
-
Inhaltsverzeichnis
7
Inhaltsübersicht
1.
Bezeichnungen
2.
Einleitung
3.
Theorie, 1.
4.
12
Teil:
Gerade,
Geschwindigkeitsfeld
Das
3.2
Die verfeinerte
3.3
Das
3.4
Aufteilung: Einzelflügel-Restgitter
3. 5
Die kinematische
3.6
Der Existenzbeweis einer
3.7
Die
Integration
3.8
Die
Auflösung
3. 9
Bemerkungen
Theorie,
der
Das
4. 2
Der
Spezialfall
zur
Wirbelreihe
Spezialfall
zur
Wirbelreihe
ebenen
Schaufelgitters
den
29
Lösung
33
35
Stelle
37
Voraussetzungen
des
für die Schaufelkontur
Schaufelgitter
des
45
Grenzübergang
und
Grenzübergang
Wirbelbelegung
Die kontinuierliche
4. 5
Die kinematische
4.6
Das rotierende Gitter
Bedingung
Das
5.3
Die kinematische
5. 4
Die 2.
65
72
72
Geschwindigkeitsfeld der kompressiblen, räumlichen
Gitterströmung
6.
Die
7.
Beispiele
55
63
Grundlagen des Berechnungsverfahrens
Die
5.2
53
60
Kompressible Gitterströmung
5.1
40
42
Wirbelkegels
Wirbelzylinders
4. 4
25
27
des Wirbelsterns und
Der
Teil:
geraden,
singulare
Geschwindigkeitsfeld
Theorie, 3.
des
Integralgleichung
2. Teil: Räumliche
4.1
23
der Wirbellinien
Bedingung
über die
zu
17
der Wirbelreihe
Anordnung
Geschwindigkeitsfeld
16
Schaufelgitter
ebene
3.1
4. 3
5.
8
und Definitionen
Bedingung
Bestimmungsgleichung
Bedeutung des vorliegenden
Gitterberechnung
73
79
für
^ (s)
und
q(!Ç
,1? )
Verfahrens in einer erweiterten
81
86
88
7.1
Beispiele
von
geraden,
7.2
Beispiele
von
räumlichen Gittern
ebenen
Schaufelgittern
88
92
Zusammenfassung
Anhang
Schrifttum
<,<
125
14g
7
-
-
Inhalt sübersicht
In der
Berechnung
felgitter
vorliegenden Arbeit
der
wird im ersten Teil ein
inkompressiblen Potentialströmung
Singularitätenverfahren
beschrieben. Das Verfahren stützt sich auf die
digkeitsfeldes
von
gebundenen Potentialwirbeln,
turen des Gitters verteilt
sind,
mit einer
zur
gerades,
ebenes Schau¬
Ueberlagerung
des Geschwin¬
durch ein
die kontinuierlich auf den Schaufelkon¬
gegebenen Grundströmung.
gegebenen
Die
Schaufelkonturen müssen dabei Stromlinien des resultierenden Geschwindigkeitsfeldes
Diese
sein.
schinen,
Forderung
keine
Integralgleichung.
führt auf eine
Integralgleichung bereitet,
sung der
Eine näherungsweise Auflö¬
besonders beim Einsatz
grundsätzlichen Schwierigkeiten.
Die
von
digitalen
Rechenma¬
Lösung der Integralgleichung ergibt
die Zirkulationsverteilung und damit den gesuchten Geschwindigkeitsverlauf
an
den Schau¬
felkonturen. Mit dem vor liegenden Verfahr en lassen sich auch die technisch wichtigen
Fälle
von
Profilen mit starker
Wölbung
und grosser Dicke berechnen.
Singularitätenverfahren
Das beschriebene
wird im zweiten Teil auf die Umströ¬
mung der Profile eines konischen Gitters in einer
Bezugsfläche
und radialen
nen
Schaufelgitters
teilung
nachgewiesen,
Grenzfall des
radialen Gitters ist.
um
gezeigt, dass
Daraus
ter anwenden.
dass das
Geschwindigkeitsfelder
dass die
des
geraden,
ebe¬
sowohl des axialen wie des
Berechnung
Gitteranordnungen
der axialen
des konischen Git¬
Geschwindigkeitsfeld
Geschwindigkeitsfeldes
folgt dann,
die Profile der genannten
fahren durchführbar ist.
gegebenen, rotationssymmetrischen
die
Geschwindigkeitsfeldes
des
Schaufelgitter Spezialfälle
Ferner wird
ters sind.
Es wird
erweitert.
der
Geschwindigkeitsver¬
mit ein und demselben Ver¬
Das Verfahren lässt sich uuch auf
rotierende, konische
Git¬
Dazu werden die Zirkulationsverhältnisse im rotierenden Gitter unter¬
sucht.
Die
kompressible Strömung
im Unterschallbereich
konischen Gitters wird im dritten Teil der
Ueberlagerung
der
Geschwindigkeitsfelder
vorliegenden
Bestimmung der 2
deren
Auflösung
Schaufelprofile
mit einer
Singularitätenverteilungen
die gesuchte
Belegung
vorliegenden
dreidimensionalen
Gitterströmung
Grenzschicht- und
Verlustrechnimg hergestellt.
von
Schaufelprofile
dargestellt
eines
durch die
Wirbelverteilung auf
räumlichen Quellen und
vorgegebenen Grundströmung.
werden 2
Zur
Integralgleichungen formuliert,
Geschwindigkeitsverteilung
Ferner wird der Anschluss des
die
der kontinuierlichen
den Schaufelkonturen und einer kontinuierlichen
Senken ausserhalb der
um
Arbeit
an
den Schaufelkonturen liefert.
Verfahrens
zwischen 2 koaxialen
an
die Berechnung der
Begrenzungswänden
und
an
die
1.
Bezeichnungen und Definitionen
A
B
Koeffizienten
>
C
D
F
Fläche
Fq
Bereich mit
L
abgewickelte Länge
Ma
=
c/cs
Quellen-
u.
der
Senkenbelegung
Profilumrandung
lokale Mach'sehe Zahl
N
Schaufelzahl
O
Schnittpunkt der Wirbellinien
mit der
Symmetrie¬
achse
Ursprung
0*
P
=
Q
=
P(Z)
Punkt in der
Jq(Ç,T7)dFq
Fq
R
der vektoriellen Koordinaten
und Z
Bezugsfläche
Ergiebigkeit pro Längeneinheit
Abstand in der Gleichung
von
kürzester Abstand zwischen
Ro
^
Biot-Savart
P(Z)
und der Wir¬
bellinie
Abstand zwischen O und
R*
Y
=
Y
P(Z)
Bernoulli'sehe Zahlen
2X-1
b
Breite zwischen 2 resultierenden Stromflächen
c
Absolutgeschwindigkeit
c
=
s
V(k-l)j
f
=
ï/kp/C;'
lokale
Schallgeschwindigkeit (bez.
auf stat.
Funktion
X'
Komponentenbeiwerte
V
L/m
Intervall für Euler'sche Summenformel
Zustand)
-
9
-
imaginäre
Einheit
Normalenthalpie
Isentropenexponent
Strecke
Strecke
ganze Zahl
statischer Druck
Quellendichte
Strecke
Strecke
Radius, Zylinderkoordinate
Radius der Wirbellinien im
Radialgitter
Strecke
laufende Koordinate auf dem Profil
Schaufelsehne
Teilung
Umfangsgeschwindigkeit
Relativgeschwindigkeit
Zylinderkoordinate
Koordinate auf der Symmetrieachse
rechtwinklige
Koordinaten
transformierte Koordinaten
Koordinate auf der Wirbellinie
Zirkulation
-
10
-
vektorielle Koordinate
z
=
Ar sinn
x*/r
Substitution
=
Ar sinh
x
/r
Substitution
e
e
o'
0
halber
oc„
=(i(2)
(3
Oeffnungswinkel
Winkel der
von
des
O' bis
P(Z)
Kegels
Geschwindigkeit gegenüber
der
Umfangsrichtung
Ï
y(s)=dr(s)/ds
=
Zirkulationsdichte
s
Winkel
5o
Winkel
£
beliebig kleiner Abstand
*,
vektorielle Koordinate
Tj'.
T?.
T?", 17'"
rechtwinklige
•*
vom
von
Profil
O' bis d V
bzw.
dQ
Koordinaten
Polarwinkel, Zylinderkoordinate
X
o
<
"K.
X
o
£
X
u
o
<. u
V
-00
c
*,.
é. V
<+oo
ganze Zahl
é
m
ganze Zahl
é
m
ganze Zahl
<
?,': r
+
00
ganze Zahl
rechtwinklige
Koordinaten
?
Dichte
¥
Potential
"V
Winkel des Meridianschnittes
x*-Achse
Winkelgeschwindigkeit
CO
Indices:
c
Absolutgeschwindigkeit
m
Meridiankomponente
n
Kormalkomponente
gegenüber der
11
-
-
herrührend
der Quellen-
von
u.
Senkenverteilung
Radialkomponente
über die Schaufelkontur
integriert
Staffelungswinkel
Tangentialkomponente
Umfangsgeschwindigkeit
Relativgeschwindigkeit
Komponente
in
herrührend
von
Richtung
der
x, y
Wirbelbelegung
Bernoulli'sehe Zahl
Euler'sehen Summenformel
zur
Funktionswert
sehr weit
dem Gitter
vor
sehr weit hinter dem Gitter
zur
Grundströmung
c
Absolut system
Relativsystem
ungefähr,
a
)
—~~T~
3
a(
x
,
a2(
)
—T~
3 y
Centre d'Etude de
51,
rue
)
Leblanc,
d?
a(
'idyi
a y
-idxi
x
a2(
gleicher Grössenordnung
von
g
)
a(
,
az
a2(
)
d?
"
idzi
)
—~~T~
3
z
Mécanique des Fluides,
Paris
XVe
12
-
2.
Die
Schaufelgitters
angewandte
Einleitung
des Abströmwinkels und des Energieverlustes eines
Berechnung
in
Abhängigkeit
vom
Zuströmwinkel
Grenzschichttheorie üblichen
schichten in zwei
der
zum
Voraussetzung
Teilaufgaben aufgetrennt
(1) Ermittlung
-
beliebigen
Gitter kann mit der für die
von
hinreichend dünnen Grenz¬
werden:
Geschwindigkeitsverteilung
um
die Schaufelkontur für die
reibungsfreie Strömung.
(2) Grenzschichtrechnung
zur
Bestimmung des Abströmwinkels
und des
Energie¬
verlustes.
Die
vorliegende Arbeit
nungen, also die
Berechnung
Das Problem der
grundsätzlich
1.
der
Teil der
Geschwindigkeitsverteilung
Potentialströmung
einer
die Profile eines
um
genannten Rech¬
Potentialströmung.
Schaufelgitters kann
auf 2 Arten formuliert werden:
Hauptaufgabe:
ten
behandelt hauptsächlich den 1.
vorgegebenen
Zu
Zu- und Abströmwinkeln und einer
Geschwindigkeitsverteilung wird
das
gewähl¬
Schaufelgitter gesucht (indirekte
Methode).
Hauptaufgabe:
2.
Zuströmung
Zu einem
zum
vorgegebenen Schaufelgitter
Gitter wird die
und einer bestimmten
Abströmgeschwindigkeit gesucht (direkte
Methode).
geeignete
Die
aufgabe)
oder eines
Wahl einer
Geschwindigkeitsverteilung (zur Lösung
Schaufelgitters (zur
Lösung der 2.
Hauptaufgabe)
wisse Kenntnisse über den Einfluss der Grenzschicht auf die
Ferner erfordert die
Schaufelgitters
Hauptaufgabe.
Ermittlung
in Funktion des Zuströmwinkels
voraus.
Energieverlustes
Gitter stets die
zum
Haupt¬
setzt stets ge¬
Gitterströmung
des Abströmwinkels und des
Aus diesen Gründen wird in der
der 1.
vorliegenden Arbeit
Lösung
die 2.
eines
der 2.
Hauptauf¬
gabe behandelt.
In den letzten Jahren ist
Gittern die 2.
Hauptaufgabe
zu
man
dazu
lösen und mit den
sammenzustellen. Für eine bestimmte
ste Gitter
dem
ausgewählt werden,
Umweg
über die 2.
mitbestimmt,
übergegangen,
Aufgabe
mit anderen
Hauptaufgabe.
dass in zunehmendem Masse
Ergebnissen
kann
Worten,
Diese
für eine genügende Zahl
aus
man
Entwicklung
digitale
einen
diesem
von
Gitterkatalog
Katalog
das
zu¬
günstig¬
löst die 1. Hauptaufgabe auf
wurde entscheidend dadurch
Rechenmaschinen eingesetzt
wer-
13
-
den können.
friedigend
Dadurch ist
zu
es
überhaupt
bearbeiten und eine
-
möglich geworden, die 2. Hauptaufgabe be¬
erst
genügende
Zahl
Gittern in kurzer Zeit durchzu¬
von
rechnen.
Zur
Lösung der 2. Hauptaufgabe für räumliche Schaufelgitter hat A.
vorgeschlagen,
und
radialen)
die
schnitt 7. 2 noch
Stromflächen
gen
gezeigt wird,
nur
streng
dann
behandeln,
zu
Abwicklung
der Stromflächen
Gittern konform in
wenn
gerade,
ebene
(konischen,
räumlichen
[1]*
axialen
Schaufelgitter
abzubilden. Wie im Ab¬
in den
Betz
Strömung
ist die
von
Betz
von
A.
verwendeten
zweidimensional und deshalb mit konformen Abbildun¬
diese Stromflächen identisch sind mit den Stromflächen der
vorgegebenen Grundströmung und denjenigen des Wirbelsystems. Unter diesen Vor¬
aussetzungen wird dann die Berechnung der Potentialströmung durch räumliche Schau¬
felgitter
forme
nach A.
Abbildungen
Im
Bedingung
dem
Betz
oder
Gegensatz
zur
zurückgeführt
auf die bekannten
Singuiaritätenmethode)
Berechnungsmethode
für
von
für die Anwendbarkeit der konformen
die 2.
vorliegenden Berechnungsverfahren
gewählte, rotationssymmetrische Bezugsfläche
mit der
Gitter
Singularitätenmethode
behandeln.
Diese
weder mit den Stromflächen der
muss
Berechnungsverfahren (kon¬
gerade,
A.
ebene
Betz,
Schaufelgitter.
die die einschränkende
Abbildung enthält,
Hauptaufgabe
lässt sich mit
für eine willkürlich
durch das räumliche
Bezugsfläche
Schaufelgitter
durch das räumliche
vorgegebenen Grundströmung
noch mit
den Stromflächen des die Schaufeln ersetzenden Wirbelsystems identisch sein.
Um den Anschluss
liegenden
an
Bekanntes
zu
erleichtern,
wird im ersten Teil der vor¬
Arbeit die Singularitätenmethode zunächst auf
gerade,
ebene
Schaufelgitter
angewendet.
Wie schon
lange bekannt, erhält
beschreibende Näherung einer
wenn man
jede Schaufel
keitsfeld dieses
Diese
nur
Strömung
eine
grobe,
durch ein
gerades,
einer
an
den
Schaufelkonturen,
rechnung sucht,
nicht
ebenes
die
man
als
*)
Zahlen in
Geschwindig¬
Strömung
Ausgang
unendlich weit
vor
und hinter
richtige Geschwindigkeitsvertei¬
für die Grenzschicht- und Verlust¬
geben.
ersetzt werden.
eckigen
Schaufelgitter,
Das
Dazu müssen die Schaufeln des Gitters durch eine verfeinerte
Singularitäten
zu
gegebenen Parallelströmung überlagert.
exakte Werte für die
dem Gitter. Jedoch kann diese einfache Theorie die
lung
aber mathematisch einfach
durch einen einzigen Wirbel ersetzt.
Wirbelsystems wird
Näherung ergibt
man
Zur
Lösung
der 2.
Hauptaufgabe
Klammern verweisen auf das Schrifttum.
der
Anordnung
geraden,
von
ebenen
14
-
Schaufelgitter
beliebiger
von
spitzen Hinterkante, stetige
(vorausgesetzt
Form
1.
-
Ableitung
der
wird
eine, mit Ausnahme der
nur
Schaufelkontur)
vorliegen¬
werden beim
den Verfahren die Wirbel kontinuierlich auf den Schaufelkonturen verteilt.
schwindigkeitsfeld
der
Wirbelbelegung
Dazu fordert man,
überlagern.
renden
Geschwindigkeitsfeldes
chung,
deren
Lösung
kulation
eine
um
Schaufel,
sind.
der
aus
Das Ge¬
vorgegebenen Parallelströmung
zu
dass die Schaufelkonturen Stromlinien des resultie¬
Forderung
Diese
führt auf eine Integralglei¬
gesuchte Geschwindigkeitsverteilung
die
Integration
liefert. Die
ren
ist einer
Geschwindigkeitsverteilung
die Schaufelkontu¬
um
ihrerseits
ergibt die
Zir¬
der sich dann der Abströmwinkel des Gitters berech¬
las st.
nen
Ueber die
mit Profilen
Berechnung
von
Strömung
der
durch ein
ebenes
gerades,
Schaufelgitter
starker Wölbung und grosser Dicke sind in der Literatur bisher fol¬
gende Verfahren angegeben worden:
Isay
W.H.
Hauptaufgabe
[2],
6).
deren
all
Martensen
mit der hier verwendeten
Berechnungsverfahren
unter 3.
E.
von
Die Methode
Lösung
W. H.
von
eine überall
E.
Anwendungsfälle,
ren aus
von
ist im
Isay
le der hier verwendeten
geht
Eine
Lösung
für
Ableitung oder,
mit anderen
Hinterkante
oder
sind,
Geschwindigkeitsfelder operiert
Gegenüberstellung
tätenmethode
Profile
mit dem
(vgl.
[6 ]
Murai
im
Anhang enthalten. W.
behandelten dasselbe Problem mit konformen
Aus der Literatur ist noch eine Reihe
Wirbel-, Quellenz.B.: J.
fern
Ackeret
Scholz
z.B. N.
der 1.
und
Senkenverteilungen
[7],
[9],
H.
L.
Meyer
nur
unter
[8],
und
von
zur
Berechnungs¬
unter
eine
Die
3.5).
zu¬
29).
nach der Singulari¬
[5]
und H.
Abbildungen.
geworden,
genannten
der 2.
die
Schaufelprofils,
voraussetzen,
Verfahren
zur
Lösung
Hauptaufgabe [10]
lie¬
Voraussetzung einer schwachen Wölbung der Skelettlinie und einer ge¬
ringen Schaufeldicke einigermassen exakte Resultate. Näheres darüber findet
ter 3.2.
An Stel¬
mit den
Integralgleichung,
oder auf der Schaufelsehne
Behandlung
s
Traupel
Verfahren bekannt
[10].
Kontu¬
Bilder 28 und
auf der Skelettlinie des
Schlichting
Hauptaufgabe [7], [8], [9]
(vgl.
Berechnungsverfahren
der verschiedenen
deren
Oeller
H. J.
Profile" unsicher wird
ist im Schema S. 139
Worten,
aus,
einen über¬
Damit können technische
nicht mehr erfasst werden
"dünnschwänzige
Das
Integralgleichung
einer
von
gehörigen Stromfunktionen. Seine Berechnungsmethode führt auf
deren
lösten die 2.
Anwendungsbereich beschränkt, (vgl.
und Geraden zusammengesetzt
E. Martensen
[4]
s
der Schaufelkonturen.
der Profilkontur fordert.
wie Profile mit spitzer
Kreisbogen
verfahren
H. J. Oeller
Wirbelbelegung
Martensen
stetige 2.
stetigen Krümmung s ver lauf
[3]und
man un¬
-
vorliegenden
Im zweiten Teil der
räumliche
dass die
(konische,
axiale und
Geschwindigkeitsfelder
schwindigkeitsfeldes
digkeitsfeldes
dass die
-
Arbeit wird die
radiale) Schaufelgitter angewendet.
geraden,
des
Singularitätenmethode
der axialen und radialen Gitter
des konischen Gitters sind.
Geschwindigkeitsfeld
das
15
ebenen
Gitterordnungen
der
in einer
Geschwindigkeitsverteilung
um
nachweisen,
Daraus
die Profile der
beliebig vorgegebenen Bezugsfläche
gezeigt,
des Ge¬
dass
Grenzfall des Geschwin¬
sowohl des axialen wie des radialen Gitters ist.
Berechnung
Spezialfälle
Ferner lässt sich
Schaufelgitters
Es wird
auf
folgt dann,
genannten
mit ein und demselben
Verfahren durchführbar ist.
Im dritten Teil wird die
siblen,
räumlichen
tialgleichung
der
Gitterströmungen
Poisson'sehen Typ.
mit
einem
beschleunigter
die
Betrachtet
Quellenterm,
dargestellt
man
schliesst
so
sie als
man
geht
Berechnung
man aus von
und Senken
kompressible
wieder durch eine
an
Verteilung
der
Zuströmgeschwindigkeit
Stellen
von
Strömung
mit
verzögerter Strömung.
von
zu
an
Stellen
von
Demnach ist für
belegen. Die Schaufelkonturen ihrerseits werden
Singularitätenverteilungen
zum
Gitter wird die
mit der Mach'sehen Zahl der
isentrope Zustandsänderung
Dampfes durch das räumliche Gitter betrachtet. Demnach
strenggenommen
nur
im
Unterschallgebiet gültig,
Verdichtungsstösse
den
geringfügigen Ueberschreitungen
schwach,
Quellen
Wirbellinien ersetzt.
rie
so
ist
kompressible Strömung
dass die
len
Bei
kompres-
der Differen¬
Gitterströmung der Bereich ausserhalb der Schaufelkonturen kon¬
Verknüpfung
auftretenden
von
Laplace'sehe Differentialgleichung
daraus,
werden kann als inkompressible
tinuierlich mit Quellen und Senken
Zur
auf die
erweitert. Dazu
kompressiblen Potentialströmung. Diese Differentialgleichung
vom
exakt
Singularitätenmethode
dass die
Abweichung
ist die
eines idea¬
vorliegende
Theo¬
da die im Ueberschallbereich
isentropen Charakter der Strömung zerstören.
der Schallgrenze sind die Stösse indessen noch
vom
Gesetz der
Isentropen
noch unwesentlich ist.
16
-
3.
Theorie,
Gerade,
Im
folgenden
Schaufelgitter
Das
gerade,
Schaufelgitter vorgegeben.
Profilform,
Teilung
Sehne s,
Voraussetzung getroffen,
t und
dass die Profil¬
besteht
aus
unendlich
vielen,
unendlich
langen
Schau¬
Vorausgesetzt wird ferner
stationäre, inkompressible Potentialströmung.
Wie
durch
später noch gezeigt werden soll,
Ueberlagerung
strömung
einer
Die
schwindigkeitsfeldes
trachtet
werden,
einzigen
Verteilung
Zur
jede
Wirbel ersetzt
System
Schaufel statt durch eine
wird,
Bild 1.
man
die
sich
ihrerseits lässt sich
von
Herleitung
soll zunächst ein vereinfachtes
wobei
die
mit einer Zirkulations¬
Zirkulationsströmung
einer kontinuierlichen
Voraussetzungen
Strömung,
vorgegebenen Parallelströmung
entstanden denken kann.
Geschwindigkeitsfeld
kann unter diesen
ersetzt werden durch eine
wirbeln auf den Schaufelkonturen darstellen.
nen
ebenes
stetige 1. Ableitung und eine spitze Hinterkante besitzt. Das
Schaufelgitter
Umströmung der Gitterprofile
als
Teil:
Die Stromflächen sind Normalebenen des Gitters.
feln.
eine
ebene
durch:
Ferner wird die
..
form mindestens eine
gerades,
gekennzeichnet
sei
1.
Schaufelgitter
ebene
wird zunächst ein
Staffelungswinkel ß
-
gebundenen
der
von
Gleichung
Potential¬
dieses Ge¬
Potentialwirbeln be¬
Wirbelbelegung,
nur
durch ei¬
-
17
-
Wirbelreihe
gerades ebenes Schoufelgittcr
Bild 1
Ersatz
jeder Schaufel des geraden, ebenen Schaufelgitters durch
einen
Einzelwirbel
3.1 Das Geschwindigkeitsfeld der Wirbelreihe
Man
che
fragt also nach dem Geschwindigkeitsfeld
Teilung
t
entfernten,
unter sich
Wirbellinien mit der Blattebene
recht
zur
parallelen
liegen
von
unendlich
Wirbellinien. Die
um
auf einer Geraden. Die Wirbellinien
Blattebene beidseitig ins Unendliche reichen. Diese
nien ist unter dem Namen "Wirbelreihe" bekannt. Das
reihe wird der
vielen,
vorgegebenen Parallelströmung
c
Anordnung
dieser
mögen
senk¬
der Wirbelli¬
Geschwindigkeitsfeld
überlagert.
die glei¬
Schnittpunkte
der Wirbel¬
-
Die
Herleitung
besonders
der
übersichtlich,
18
-
Gleichung des Geschwindigkeitsfeldes der Wirbelreihe wird
wenn
plexe Koordinatensystem wird
komplexe
so
gewählt,
Koordinaten verwendet werden.
dass die iy-Achse parallel
zur
Das kom¬
Gitterfront ver¬
läuft und die reelle x-Achse dazu senkrecht steht. Die komplexe Koordinate Z
wird dem Punkt P
der
P(Z)
=
in der Blattebene und die
Singularität dl~ (T, ) zugeordnet.
ordinaten Z und
*,
ist
Der
gegeben durch,
Bild 2
komplexe Koordinate
Zusammenhang
zwischen den
Bild 2:
Koordinatensystem
der Wirbelreihe
=
Ç
x +
=
E,
komplexen
iy
+
ii?
Ko¬
19
-
Z
Die Zirkulation V
jede
um
-
(x-t,)
=
+
Wirbellinie hat denselben
besitzt das Geschwindierkeitsfeld aller Wirbellinien die
c|(Z)
Durch
(Z)-ic
c
=
Multiplikation
für die Summe die
(Z)
=
,.£.
-
Partialbruchzerlegung
von
Betrag.
Im Punkt
Geschwindigkeit
c
*
P(Z)
(Z):
}
2:
2)
Zähler und Nenner in
von
1)
Ky-T?)
mit i erhält
2)
zunächst
man
+ctg[iTT(Z- t,)/t], [11]
*. Die Um-
formung [11]
iïï(Z- t,)
W——
.
ctg
+
ergibt
darauf
aus
2)
—'
/^
=
Vz)
die
Gleichung
T
+^9
y
vJœ
TT(Z-t.)
^'
—v
...
=
-
1
ctgh
Geschwindigkeitsfeld
für das
r
1
t^-O-TTv
=
.
*
ctg
der Wirbelreihe:
iïï(Z-Ç)
—^
=
3)
IT
=
-
TT
.
ctgh
Mit den Additionstheoremen für den
Zusammenhang
der
ctghL-r^
cosh
TF(Z- t)
-t4
hyperbolischen
Sinus und Cosinus und dem
JLfcAi
lTT(y-T?)1
t
]
cosh
C0Sh
=
"T(p>
sinh
L
t
+
t
*)
**)
***)
S.
87,
Pos.
S. 97
S.
96
u.
97
ïï^^
10
cosh
11T
Cy-T >
J
[iLi^ll iHipT]
+
sinh
+
coah
=
+
1^1)
slnh
=
sinh
[11]
hyperbolischen mit den trigonometrischen Funktionen
fTT(x-U
k
*
,
*
<»-V
sinh
"Kr-*)
iÜ^T
20
-
cosh
sinh
-
TT(y-T?)
"TUM?)
TT(y-i?)
ilT(y-T?)
'
"
w,—*-*-
i
=
•
sin
—
.
wird die Funktion
T(z-S)
ctgh
aufgespalten
und der
in Real- und
Imaginärteil
i
die
Imaginärteil.
Die Funktionen f
x
Der Realteil
ïï(zt-S>
und f sind
y
=
-
Ut,, z)
Die Funktionen f
x
Die
.
(Ç
,
sinh2
und f_(t
y
Z)
Geschwindigkeitskomponenten
von c
ergibt
z)
^
.
^>
y;
i
+
durch die
ïï
die x-Komponente f
(^
,
der Funktion:
TKr-T)
sinh2
z)
yç,
gegeben
sin
U«,
(t,, Z)
y-Komponente f
ctgh
ctgh[Tr(x-^)+m(y-^)-
lm
m
z)
folgenden Gleichungen:
UlfSl
cos
+
,
sin^ïEI
TT(xt-V sin21r^-1?)
4)
5)
+
Z)
,
^
v
sind in den Bildern 3 und 4
( Z)
lassen sich
nun
dargestellt.
mit diesen Funktionen
darstellen:
ch'z'
c*y(Z)
Die
Ueberlagerung
des
gebenen Parallelströmung
=
-
it-y^z>
6)
Vfy(^'Z)
7)
Geschwindigkeitsfeldes
der Wirbelreihe mit der vorge¬
Z)
21
¥(y-g)
sm
4
f,.
cos
,
T(v*flj
^^
<
_
JlnlWl-t)
t ji'ftl>-«>
(y-i,)/l -0,05
I.L
\
01
n
s
r
§
2
>-»)'
-^
|
•*
a.i
>
V
\\
i
\
4!
-W
^v
\
5*^
^^
^>
0
0 5M>
^^
OH
I.Ï
(»-t>/t
Bild 3
Darstellung
des Realteils der Fumrtion
c
=
œ
ergibt
nen
die resultierende
cx<Z>
=
+
i
c
n
=
In
Geschwindigkeit <T(
cn
cn- ctgpœ
+
+
cïx<Z>
cïy(Z)
jedem
Z
)
Punkt
P(Z)
des Feldes kön¬
berechnet werden aus:
=cn+V
=
t^)/t
ctgf3„
' oo
•
n
Geschwindigkeit c(Z ).
also die Komponenten der
c(Z)
c
ctgh TT (Z-
cn.
fx<Ç>Z>
ctg(3œ+V fy(t,,Z)
8>
9)
22
-
-
*,i,!fia>.cMhïtHiSi
4
h-
smh'lfcB, jhi'iM.)
1
\
S
V H)/t'
0
sT
i
2
\
J;
rf-
0,1
M
1
1/
V/
/
y
/
,/
\/t
0
%,K
0,5
'//
y
If
1,5
0,»
(«-»)/»
Bild 4
Weit
,
vor
Z)—»•+
Darstellung
des Imaginärteils der Funktion
und hinter dem
Gitter,
Für x—*ï
wird
1.
œ
c
x
d. h.
aus
8)
(Z)|
für x—+ oo,
und
cy(z)|
J
=
X
—I+
streben f
^)/t
( t^, Z)
—•>
0 und
9) erwartungsgemäss:
=
+
|x-»I
ctgh TT (Z-
c
10)
CO
cn
•
ctgß œ-"St
11)
23
-
Das resultierende
grobe Näherung
der
strömung
felgitter.
Die einfache Theorie kann die
nur
Schaufelkonturen,
sucht,
nicht
die
man
Ausgang
als
Strömung
Wirbelreihe und Parallel¬
durch ein
richtige Geschwindigkeitsverteilung
Gegensatz
Anordnung
an
den
Verlustrechnung
vorherigen Abschnitt soll
zum
der Wirbellinien
nun
jede
eine kontinuierliche
Schaufel nicht mehr durch
Belegung
Potentialwirbeln auf den Schaufelkonturen ersetzt werden.
der
ebenes Schau¬
gerades,
geben.
einzigen Wirbel, sondern durch
einen
aus
für die Grenzschicht- und
3. 2 Die verfeinerte
Im
(T( 7 )
Geschwindigkeitsfeld
ist
eine
-
Wirbelbelegung
wird wieder der
Das
von
gebundenen
Geschwindigkeitsfeld
vorgegebenen Parallelströmung überlagert.
Die
Bestimmung der Zirkulationsdichte der Wirbelbelegung ist gegeben durch die Forde¬
rung, dass die Schaufelkonturen Stromlinien jenes Feldes
sind,
das
aus
der Ueberla-
gerung resultiert.
Das
kerne
Geschwindigkeitsfeld
genügt
physikalisch,
dass das
gularitäten quellenfüllt nach
der
Voraussetzung
Potentialwirbel ausserhalb der Wirbel¬
für eine
Geschwindigkeitsfeld
und rotationsfrei ist.
Geschwindigkeitsfeld
der
Die
Potentialströmung.
Wirbelbelegung
Kontrollgebiet,
Diese
Das bedeutet
ausserhalb der Sin¬
vorgegebene Parallelströmung
gleichen Forderungen. Folglich
die
in einem
und rotationsfrei sein.
quellen-
gebundenen
Forderungen
bekanntlich den
das keine
Feststellung gilt
muss
c
er¬
das resultierende
Singularitäten einschliesst,
für
Kontrollgebiete
inner- und
ausserhalb der Schaufelkonturen.
Die
und
Strömung innerhalb
rotationsfrei,
tisch
wenn
verschwindet,
Schaufeln ruht.
die
der Schaufelkonturen ist aber
Geschwindigkeit c( Z) innerhalb
mit anderen
Dann und
tur identisch mit dem
nur
nur
Worten,
wenn
dann ist die
dann zugleich quellen-
der Schaufelkonturen iden¬
Strömungsmedium
das
im Innern der
Zirkulationsverteilung längs
gesuchten Geschwindigkeitsverlauf
aussen am
der Profilkon¬
Profil,
also
y
(s)
c(s).
Der
beit
von
Grundgedanke
L.
lindrischen
Pr andtl
Körpers
keitsfeldes der
der
vorliegenden Wirbelanordnungen findet
[12].
in ebener
Danach lässt sich die
Strömung
durch die
Umströmung
Ueberlagerung
Belegung gebundener Potentialwirbel
auf der
sich in einer Ar¬
eines
des
beliebigen
zy¬
Geschwindig¬
Körperkontur
mit einer
=
24
-
Parallelströmung
I
I
c
Geschwindigkeit
=
c
I. Wegen
I ^ I
Die kontinuierliche
Die
Voraussetzung,
von
L.
gleich
des verschiedenen Drehsinns der
P
ran
Beträge,
auf der
Strömungsmedium
damit
der
Wirbel
Geschwindigkeit
beidseitig
des Stau¬
Bild 5.
Ijrl
Wirbelverteilung
Körpers
dass das
[12]
dt
_
Betrag
dem
gebundenen
auf die
nur
Ici
wurde
Wirbelschicht
zur
ausserhalb der Wirbelschicht. Nach dem Stoke' sehen Satz
punktes bezieht sich die Gleichheit
Bild 5
normal
Geschwindigkeitssprung
ist dann die örtliche Zirkulationsdichte
|
Körpers soll sich das Strömungsmedium
Im Innern des
darstellen.
in Ruhe befinden. Dann beträgt der
=
-
begründet,
Umrandung
des
im Innern des
zylindrischen
Körpers ruht,
dass auf die Oberflächenelemente des
Körpers und auf die entsprechenden Elemente der Wirbelschicht gleiche Kräfte wir¬
ken.
Auf ein Element der
Einheit der
sehen
Körperlänge)
Gleichung
in
Körperoberfläche wirkt nach Bernoulli die Kraft (pro
2
p
=
Analogie
wobei
c
=
c/2. Wegen |)( |
zum
(pro
Element der Wirbelschicht
=|
ds/2,
-c
c
zur
J.
Ackeret
[7],
hier beschriebenen
wählte, aber
von
Körperlänge)
Meyer
von
[8],bei
auf den
denen die
Betrag
=
o
bekannt
Wirbelbelegung,
Schaufelkonturen,
gegebene Skelettlinie
•
zum
c-j-ds,
geworden,
im
Gegensatz
auf eine willkürlich ge¬
verteilt wird. Verschiebt
Skelettlinie,
so
man
die
ist die die Schaufelkontur
weil nicht zugleich die Skelettlinie und die Profilkontur Strom¬
Um die Schaufelkontur
Skelettlinie noch eine Quellen- und
zur
Stromlinie
zu
machen,
Senkenverteilung angeordnet
Das bedeutet nun, dass für die
len- und Senkenstärke 2
vom
Berechnungsverfahren
der Schaufelkontur auf die
Stromlinie,
linie sein können.
sich nach der Euler'-
I stimmen die Kräfte überein.
Anordnung
für das Problem
Wirbelbelegung
nicht mehr
L.
ergibt
Kutta-Joukowski'sehen Satz eine Kraft normal
Einheit der
Aus der Literatur sind eine Reihe
z.B.
andererseits
Bestimmung
muss
werden
dann auf der
[7], [8].
der Zirkulationsdichte und der
physikalische Bedingungen
formuliert werden müssen.
Quel¬
Die
25
-
-
Bedingung fordert, dass die Schaufelkontur Stromlinie der Gitterströmung ist.
1.
Die 2.
Bedingung verlangt,
dass die Skelettlinie Stromlinie der Strömung innerhalb
der Schaufelkontur ist.
Beide
Auflösung
Bedingungen führen auf 2 miteinander gekoppelte Integralgleichungen.
beider
ten verbunden.
teilung
von
Nur
wenn man
Vereinfachungen
Schlichting [10].
mit kleiner
eine
ist mathematisch mit erheblichen
Verlagerung
Wölbung
und
für die
Profile mit starker
darauf,
von
nur
eine
verwenden
zu
(s)ds berechnen,
=
noch unbekannt
für Profile
nun
Die
wesentlich
Aufgabe
einfacher,
nur
beschränkt sich dann
zusammengeschrumpfte Grenzschicht,
geraden,
der kontinuierlichen
Aufintegrieren
c2x(z) -icSy(z)
ist,
wie sie sich
einstellen muss.
ebenen
Schaufelgitters
Wirbelbelegung
auf den Schaufel¬
der Anteile aller Elementarwirbel dr
(s)
=
Bild 6:
Aus der Gleichung
ten der
zulässig
Wirbelschicht auf der Schaufelkontur ist tatsächlich nichts
Geschwindigkeitsfeld
konturen lässt sich durch
c^(z)
nur
mit einzuschliessenden Fall der
ist es
müssen.
3.3 Das Geschwindigkeitsfeld des
y
gewisse
einzige Integralgleichung aufzulösen.
eingeführte
reibungsfreier Strömung
Das
und Senkenver¬
lassen sich
Integralgleichungen erreichen;
der
sind aber
Wichtigkeit
Wölbung und grosser Dicke
anderes als die auf die Dicke null
in
Die
Schwierigkei¬
geringer Dicke.
Singularitäten
Die hier
Wirbel-, Quellen-
durchführt,
s
Auflösung
Vereinfachungen
Diese
Für den wegen seiner technischen
eine Art
der
der Skelettlinie auf die Schaufelsehne
mathematische
H.
Integralgleichungen
12),
können durch
cj (Z)
--Jf ^(s)
•
Aufspalten
II^AMl
ctgh
in der die Zirkulationsdichte
Geschwindigkeit c,(Z)
Cjx(Z)
=
in Real- und
y
(s)
=
d
r(s)/
Imaginärteil
die
ds
12)
ds zunächst
Komponen¬
erhalten werden:
=
yf J(s)
=
^-<j>X(s)
•
•
fx(Z,^(s))
ds
13)
yz,^(a»
ds
14)
26
-
Bild 6
Für
x—
Î
oo
wird f
-
Koordinatensystem für die Wirbelbelegung
(^
,
Z)
—
0 und f
(Ï,
Z)—• ±
,
1 streben. Aus
13)
und
14)
folgen:
Ï
2t
(Z)l
c
Das
einmalige
ds
die Elementarzirkulation d
=
r
r(s)
liefert, unabhängig
=
y
(s)
aller elementarer Potentialwirbel ergibt die Gesamtzirkulation
r
um
<f>Y»
00
Umfahren des elementaren Potentialwirbels
gewählten Integrationsweg,
gration
00
=
|x—Î
d y
vom
lx-+
x
eine Schaufel.
=
f] (s)
ds
ds.
Die Inte¬
27
-
-
Wie auch im Falle der Wirbelreihe wird dem
vorgegebene Parallelströmung
dition wird als resultierende
cy(Z)
=
c~~
=
'
v
+
cn
ctg|3œ
•
Cjx(Z)
+
cn
=
+
die
cT(Z)
co
'
2x
zugehörigen Geschwindigkeitskomponenten
Cj<Z)
( Z)
Geschwindigkeit
c*(Z)
bezeichnet. Die
c-
Die Resultante dieser vektoriellen Ad¬
überlagert.
c
Geschwindigkeitsfeid
cn
=
c?y(Z)
+-^<j)}j(s)
cn
=
sind
ctgpœ
•
gegeben durch:
fx(Z, Ç(s))
•
15)
ds
+4#X(s) fy(Z,ys))
•
ds
16)
Man
überzeugt
sich
Beziehungen 10) und 11) für die
3. 4
Gleichungen 15)
dass die
leicht,
x-
und
und
Theorie des
des
Einzelflügels
lare Stelle
tj
Grenzübergang
Die Funktion
*)
**)
[11]**:
S. 97
S.
87.
co
in die
Arbeit
an
die
ergibt sich die Möglichkeit, das
in den Anteil
Restgitters aufzutrennen. Die Aufteilung des
verwendet,
t
des
die
Integration über die singu¬
geraden, ebenen Schaufelgitters, Gleichung 12),
—»oo
das
Dazu wird zunächst die Funktion
.
werden
Beitrag
des
Daraus
vorliegenden
Wirbelbelegung, Gleichung 12),
wird unter 3. 7 dazu
Geschwindigkeitsfeld
lässt sich mit dem
bestimmen.
±
Z durchzuführen.
=
Aus dem
werden.
der kontinuierlichen
Geschwindigkeitsfeldes
x—•
Aufteilung: Einzelflügel-Restgitter
Einzelflügels hergestellt
und einen
für
y-Komponenten der Gitterströmung übergehen.
In diesem Abschnitt soll zunächst der Anschluss der
Geschwindigkeitsfeld
16)
i
ctgh
ÜZ=J5l
ctg(iïï(Z- Ç)/t)
.
Geschwindigkeitsfeld
-
i
+
ctgh(TT(Z
ctg
-
des
Einzelflügels
Ç)/t) umgeformt,
in
[11]*:
Üü^i
ihrerseits kann durch die
folgende
Reihe
dargestellt
-
28
-
[iTT(Z-S)r
1TT(Z- t,)
iïï(Z-t,)
ctg
TT
iTT(Z- Ç)
17)
Zähler und Nenner in
Reihe
17)
durch 2t
werden
mit i
multipliziert. Nach der Division der
Grenzübergang
darauf der
ergibt
nun
17)
45 t
t
t—«-co das
Geschwindigkeitsfeld
Einzelflügels:
des
c
0
(Z)
=
c
2X
(Z)
-
icx(Z)
=
8
l
Wie im Falle des
18)
von
#?(8
geraden,
Z-^s)
TT(Z-Ç(s))
ctgh
18)
Geschwindigkeitskomponenten
die
ds
ds
ebenen Schaufelgitters lassen sich durch
Imaginärteil
in Real- und
-^ £ y (s)
lim
t-co
und
c
Aufspalten
u.
c
angeben.
Ueberlagerung
Die
strömung
genden
ergibt
c
Geschwindigkeitsfeldes 18)
des
die resultierende
Strömung
grundsätzlich
Verfahren lässt sich
um
auch die
den
mit der
vorgegebenen
Einzelflügel.
Umströmung
Parallel¬
Mit dem vorlie¬
Tragflügels
eines
be¬
handeln.
Von
grösserem
tinuierlichen
dem
nen
Interesse ist die
Wirbelbelegung
Einzelflügel und
chungen 12) und 18) wird
auf den
einen dem
Aufteilung
des Geschwindigkeitsfeldes der kon¬
Schaufelkonturen,
also der
Restgitter entsprechenden
in formeller
Uebereinstimmung
Gleichung 12),
Anteil.
mit N.
in ei¬
Aus den Glei¬
Scholz
[9]
erhal¬
ten:
c7<z> =-i$K(s)ctgh
^z-tMs))ds=.2-4r^(s)—*
ds_
19)
1
4*iw[i["21
In der
,teh
1
1
2TT(Z-TJ(b))
Ctgh
Gleichung 19) entspricht
dem Anteil des
TT<Z-^(»))
das
Integral
Restgitters.
Im Abschnitt 3.7 wird
von
der
Gleichung 19) Gebrauch gemacht.
ds
-
29
-
3. 5 Die kinematische Bedingung
Für das resultierende
fordert
sind,
werden,
Bild
7,
Geschwindigkeitsfeld c(Z)
=
TT*
+ c
(Z)
muss
ge¬
dass die Schaufelkonturen des Gitters Stromlinien dieses Feldes
also:
c
ctgp(Z)
=
(Z)
J^
PUL
Cf,(Z)
C»(z>
<W
kinematische Bedingung
Bild 7
Zur
Herleitung
der kinematischen
Bedingung
30
-
-
Forderung wird als "kinematische Bedingung" bezeichnet. Die Formulie¬
Diese
liefert die
Integralgleichung
digkeitsverlauf
15)
16) folgt
und
sofort für die kinematische
ctgPm+Cïy(Z)
Cn-
cn
2tcn-
(Z)
c
+
gesuchten
und damit den
Zirkulationsverteilung
Auflösung
Die
Integralgleichung.
der
Geschwin¬
Schaufelprofil.
aussen am
Aus den Gleichungen
teßm
1
führt auf eine
Bedingung
rung der kinematischen
ctg
2t
Pqo
cn
+
$
* (s)
Bedingung:
•
fy( Z,
^ (s))ds
<f>î(s) yz,^(s))ds
+
20)
Durch
2t
Umformung
cn[ctg(J(Z)
entsteht die
ctg|3œ]
-
=
Integralgleichung:
$j(s)[fy(Z,
t,(s))
-
ctgß(Z)
fx(Z,ys))]ds
•
21)
Hinzu kommt noch die
Staupunkt
ein
[12],
c(o)
Dann
existiert,
wie
dass
physikalische Bedingung,
vorhanden sein muss
=
der
an
spitzen Hinterkante
also:
}( (o)
=
0
später noch gezeigt wird, eine eindeutige Lösung der Inte¬
gralgleichung 21).
Die
Die
Auflösung
Integration
der
der
Integralgleichung 21) ergibt
Zirkulationsverteilung
die
Zirkulationsverteilung
liefert die Gesamtzirkulation T
Schaufel. Die Gesamtzirkulation ihrerseits lässt sich mit der
ponente
c
?y
T
Für die
(Î.
(
Z
2t
sehr weit
|x-—
=
vor
<J>fl(s)ds
vorgegeben.
21) ergibt
cn[ctg(i(Z)
2t
=
Geschwindigkeitskom¬
dem Gitter darstellen durch:
c
Kv
Die
darauf die
-
(s).
oo
praktische Anwendung
des Gitters
setzen in
i
um
y
eine
ctgßj]
(Z)
der 2.
Auflösung
=
x-»-
Hauptaufgabe
der
$j(B)[f
des
cn[ctgj3oo
nach
vorliegenden
<Z,^(b))
-
-
ctgpx]
22)
ist immer der Zuströmwinkel
Gleichung 22)
Integralgleichung
=
2t
CO
ctg
(i
und das Ein¬
Problems:
ctg(i(Z).fx(Z,^(s))
+l]ds
23)
31
-
Integralgleichung 23)
Der
ist die
-
Nebenbedingung y (o)
(Staupunktsbedin¬
0
=
gung) auferlegt.
Gegensatz
Im
[3]
tensen
seine
zur
Integralgleichung
?(Z)
Die weitere
mit festen
durch die
Bedingung
Berechnung
erhielt E.
Mar¬
Geschwindigkeit ~c(
der
Z
)
Profil:
aussen am
gulärem
hier verwendeten kinematischen
c-;(Z)+ ^-^
+
%
=
Entwicklung
der
Gleichung 24)
24)
Integralgleichung 2. Art
führt auf eine
also auf eine Fredholm'sche
Integrationsgrenzen,
(*>.$,
Ï
-
Integralgleichung
mit
re¬
Kern:
j(Z)
i(j>j(s)[cosß(Z)
=
fy(Z,
•
t,(s))
sin(3(Z).fx(Z,^(s))]ds
+
-
25)
2cœ
-
Die
Funktion,
Integralgleichungen
also in
25) jj (Z),
cos[ß(Z)
•
2. Art sind dadurch
Integralgleichung 25)
holm'schen Theorie
[14]
j(Z)
die
zu
Integrals
machen
zu
dass die
auftritt.
können,
hat
Um
man
gesuchte
Aussagen
über
nach der Fred-
25) transponierte, homogene Integralgleichung
1
i
=
gekennzeichnet,
auch ausserhalb des
die Auflösbarkeit der
pœ]
-
£(s)[cosß(z)
|
•
(z, «;(s))
f
+
o
+
auf die Existenz nicht-trivialer
nügt
es
nach E.
yz, t,(s))]
sinp(z)-
Lösungen
[3]
Martensen
,
]
$
konst.
=
^
0
zu
untersuchen.
Dazu ge¬
die Identität
1
j
[cos|i(Z)
fy(ï,,Z)
nachzuweisen. Dieser Nachweis
von
E.
funktion
wird
[cosß(z)
zweideutig
•
gelingt
eine überall
Martensen,
f .(Ç
y
für den
,
Z)
Fall,
+
+
sinfî(Z)
nur, wenn,
entsprechend
stetig gekrümmte
sinß(z)
dass
yç,Z)]Ç
•
an
der
•
f(^,z)]vonE.
x
singulären
den
Profilkontur
Stelle
^
=
£
=
26)
Voraussetzungen
vorliegt.
Die Kern¬
Martensen[3]
Z
ein
Krümmungs-
32
-
sprung in der Profilkontur vorhanden ist.
-
Daraus schliesst
man
Abschnitt beschriebenen Existenzbeweis auf eine zweideutige
chung
E.
von
Martensen
für eine
Damit können aber technische
terkante oder
sind,
setzt
Profile,
Die
Anwendung
felprofil
mit
spitzer Hinterkante
f\
3
x
b
ß,
i
=
mit der
^
zeigt,
\
0
c(o)
der Schaufelkonturen.
=
spitzer Hin¬
und Geraden zusammenge¬
Martensen
von
folgenden
Integralglei¬
der
E.
nicht mehr erfasst
Martensen
j (o)
Î
=
wird,
oo
auf ein Schau¬
Bild
8,
was
Wirklichkeit steht.
-nr\
1
\~
l
ß,
=
120°
h
/?
—
TW°
i
}
v
N
\
\
-8
dass
physikalischen
n
105"
E.
Berechnungsmethode
_
\
-4
der
von
Lösung
wie Profile mit
Kreisbogen
aus
Berechnungsverfahren
mit dem
Widerspruch
Anwendungsfälle,
deren Konturen
werden.
im
unstetige 2. Ableitung
mit dem im
>
J
°S
<
»
<
\j
/*
>/
)
-W
0
0/,
Oß
1fl
0
Of.
x/L
x/l
Bild 8
Aus: ZFW, 9
Oß
(1961) 1,
1ß
0
S.
2-15
0/
Ofl
ill
w
33
-
-
Lösung
3.6 Der Existenzbeweis einer
Gleichung 23)
Die
lässt sich in die Klasse der linearen
Integralgleichungen
1. Art mit festen Integrationsgrenzen und hyperbolisch singulärem Kern einordnen.
Massgebend für die Existenz einer Lösung sind die Eigenschaften des Kerns [f (ï,
ctgß(Z)-fx(t;
Z)
,
Existenz einer
1]
+
und der Funktion 2t
cjctg
(1(Z)
-
ctgßj].
,
Z)-
Die für die
Lösung notwendigen Eigenschaften dieser Funktionen sollen
im
nun
folgenden beschrieben werden.
gezeigt wird,
Wie unter 3.7 noch
ren
t,
Stelle
Z
=
in der
aussetzung getroffen werden,
Hinterkante, stetige
te ist die
Aussparung
Bedingung
Die
c
(o)
tj
Stelle
=
Ableitung aufweist.
zulässig,
nur
j (o)
-
ctgjî
Symbol X*
=
]
=
wird
X
-£
n
Profil,
für
m
unbekannte Zirkulationsdichten
rechnet.
zienten
von
so
[f(t,Z)
-
singulädie Vor¬
v
6
x
Ostrowski
[13]
Hinterkan¬
/c
u'
f
(t, ,Z) +1J
Umgebung +AÇ
der
^
singulären
die vorangestellte Gleichung
System
von m
linearen
Gleichungen
.
n
eine
eindeutige Lösung, falls
homogenen Gleichungssystems
Bedingung
spitzen
Funktionsgleichung:
ctg(3(Z)-f
man nun
sich ein
Gleichungssystem hat
Diese einschränkende
der
muss
dieser Stelle die physikalische
y
ergibt
Punkte auf dem
te der Matrixelemente des
Dazu
muss.
Formuliert
m
dem Theorem
zugleich
an
dass die unmittelbare
wurde.
für
Das lineare
Für den Sonderfall der
ersetzt durch eine
nun
u=l
deutet an,
ausgespart
Z
wenn
0 erfüllt werden
=
Umgebung
werden.
dass die Profilkontur eine, mit Ausnahme der spitzen
Integralgleichung 23)
£[ctg|MZ)
Das
1.
kann die unmittelbare
Integralgleichung 23) ausgespart
soll
nun
die Determinan¬
nicht verschwindet.
untersucht werden.
Dazu wird nach
eine untere Grenze für diese Determinante be¬
Nach der Division des linearen Gleichungssystems mit dem grössten Koeffi¬
[fy(C,
,
Z)
-
ctgß
(Z)-fx(C,,
Z)
l]max
+
ergibt
sich die untere Grenze der
Determinante zu:
m
iDetl^
1-
£
V=l
m,
Z
u=l
[Ut,,
Z)
-
ctg(MZ)-f (t;, Z)
+
ctgp(Z).UH.Z)
+
[fy(t,,Z)
l]2
5
—
-
!]„„
2
\
L
27>
34
-
Symbol IL' wird wieder darauf hingewiesen, dass die unmittelbare
Mit dem
singulären
Stelle bei der Summation auszusparen ist. Das
Umgebung
der
schon,
auch für den denkbar
um
-
[f (Ç,Z)
-
y
ungünstigsten
ctg(3(Z)
(Ç,Z)
+
yi;,z)
+
f
•
*
l]2
j
_
"
[yt;,z)-ctgß(z)
zu
zeigen, dass |Det|
21)
und damit auch
Das lineare
2At/L>0-
=
i]max
Das bedeutet nun, dass die
Gleichungssystem
könnte darauf mit den Cramer'sehen Formeln
werden.
Isay [2] behandelte das vorliegende Problem ebenfalls mit der Singula¬
W. H.
ritätenmethode und erhielt eine Integralgleichung, die
(3 (
mit sin
wendete
Z
er
) hervorgeht.
Lösung
Bestimmung
schen
in die
nur
Isay
dass für
die
und die
zum
von
Konvergenz
nur
hier
W.
Multiplikation
Schmeidler
[14].
Er kann
beweisen,
wenn
eindeutige Lösungen ergibt.
durchgeführte Auftrennung
spezielle Funktion (die
ganzen Bereich
im Bereich
Z
regulären Zusatzkem,
21)
ver¬
nun
prakti¬
zur
eine bestimmte
Unglei¬
erfüllt ist.
weist E.
Martensen
gewisse Dickenverhältnisse der Ellipse die Ungleichung
durchaus
Isay
von
dargestellten Existenzbeweis
Einzelellipsen
von
der
eines Iterationsverfahrens
Gittergeometrie eingeht,
Umströmung
aus
eindeutige Lösungen ausschliesst, für die die Integralgleichung
tensen
W.H.
Gegensatz
Lösung jedoch
der
Am Beispiel der
nach,
Im
die Methode der Kernmatrix
die Existenz der
chung,
Integralgleichung 23)
eindeutige Lösung besitzen.
eine
[11], [13] aufgelöst
•
genügt
Fall
Man findet
des Kerns seiner
±A^hyperbolisch
eine Willkür
von
von
schliesslich,
W. H.
E.
bezüglich
der
Mar¬
dass die
Integralgleichung
singular wird)
[3]
von
in eine
und einen im
speziellen Funktion,
enthält.
Damit ist das
bereich beschränkt.
von
W. H.
Is ay
vorgeschlagene Lösungsverfahren
im
Anwendungs¬
35
-
-
3.7 Die Integration über die singulare Stelle
Auswertung
Für die numerische
Funktionen f
x
(Ç
(singulare Stelle)
Gleichung 14)
Z), Gleichung4),
,
die Werte ±
co
das Verhalten des
Gleichungen 13)
der
(C
bzw. f
y
,
Im
annehmen.
und
14)
Z), Gleichung 5),
folgenden
Integranden jf (s)
soll
der Stelle
f,
=
Z
Beispiel der
nun am
( Z, ^ (s))
f
•
stört es, dass die
an
Z t A
im Bereich
t,
für 2 Voraussetzungen untersucht werden:
(1)
Die 1.
(2)
An der Stelle Z hat die Schaufelkontur eine
Ableitung
in der 1.
Dazu wird
Z ± A
Ecke,
ist
t,
also eine
stetig.
Unstetigkeit
Ableitung.
für beide
nun
wobei
aufgespalten,
der Schaufelkontur im Bereich
nur
Teilintegral
Umlaufintegral
das
Voraussetzungen
das eine
singulare Stelle
die
in
^
=
14)
Z
in 2 Teile
enthalten
soll:
Z;^
l
VZ>
=
*(S)
*
0
smh
sinh
2tH(8)
Das andere
reich
in
28)
regulär.
In der Nähe der
in
—\
li-1)
,„2TT(x-U
^'
sinh —v
28)
<£
durch
singulären
+
.
sin
eosh
.2
+
I4H
.2TT(y^r
sin
—w
t,
=
+
28)
Ü*J1
TTÇy--,,)
dS
—*j—ti
gekennzeichnet,
Stelle
dS
''
bleibt im ganzen Be¬
Z lässt sich das erste
Integral
darstellen durch:
Z+At,
lim
Teilintegral,
eosh
.
.h2TT(x-U
J
+
li-l)
sinh
^
f
Z
•
j(s)f
(Z,^(s))ds*i
+
AÇ
f
TT
(x- Q
-±
S(s)
ds
29)
z
sinß(Z)
-TTT^
+
At;
f
j
z-AÇ
v,>
Ï«
1
(z-t,(s))
,
ds
36
-
Integral in 29) rechts entspricht bis auf
Das
tungsgemäss (x- Ê )«t, (y- 17)
des
^
=
Einzelflügels.
Z
Gleichung
Uebergang
übergang analytisch integriert werden,
tion darstellen lässt. Wählt
für die
Birnbaum
der unmittelbaren
ponente
c
0 y
integral
(Z)
28)
in
Für die
ergibt
der
zu
konst.,
c
Staupunktsbedingung
jf (s),
durch eine dazu
Integrationsbereich
ergibt
so
der
A
^
der
singulären
y
nach W.
( Z) I
ï
=co.
(o)
=
0
Gegensatz
im
das Vorzeichen wechselt.
Bei der
Das
l/(
(s)
=
Durchführung
werden.
genügt schon,
um
beim
mit der Kernfunktion der
Durchführung
der
formung
von
23)
sind
nun von
Grenzüberganges
dass
zu
mit den beiden
c
's
Bedeutung
für die
Profilkontur,
x
vom
für
muss
daraus, dass
den
Staupunkt
Integral 29) auch
nehmen ist. Das analo¬
erhalten,
Integralgleichung 21)
gleichen Rechnung
selben Resultate wie oben.
Ergebnisse
Teil-
eine Geschwin¬
Man schliesst
zeigen,
zu
Schaufelkontur für die Geschwindigkeitskomponente
Diese
in
die Kom¬
dass das 1.
konst.
des
spitze Hinterkante herum der Cauchy'sehe Hauptwert
Die
dies,
an
Durchgang durch
ge Resultat wird auch für den Fall der runden Hinterkante
Grenzübergang
Beitrag
einer Ecke in der Profilkontur
mit Y
t,(s)),
Z-
f, in 29)
nach W.
Wirbelbelegung
also für eine "Ecke" in der
berücksichtigt
zu
2 A.
verstehen ist.
zu
Birnbaum
Hinterkante,
Integral
geeignete Funk¬
Grenzübergang
dass die
Stelle keinen
(1) entgegengesetzte Voraussetzung
0
die
(s)
kleinen Ab¬
Umweg über diesen Grenz¬
Mathematisch ausgedrückt bedeutet
den Sonderfall der spitzen
um
=
Cauchy'scher Hauptwert
Grenzübergang
die Funktion
+
Umgebung
digkeitskomponente I
die
kann auf dem
falls sich j
beliebig
Grenze null. Das
zur
vorangestellte Voraussetzung (1),
liefert.
als
(s)
erwar-
Geschwindigkeitskomponente
sondern im
£
von
insbesonders den
man
hinreichend klein und setzt j
für die
Profilkontur,
Gleichung 29)
auf der rechten Seite der
Integrationsgrenzen,
die
[15] berechnete für den Einzelflügel im Falle
nicht auf der
Komponente
diese
«t der
Birnbaum
W.
£ davon und bildete darauf den
stand
-
wenn
statt mit
man
14)
den
durchführt.
Voraussetzungen
für die
(Z), Gleichung 13), ergibt
Integralgleichung 23).
die¬
Die Um¬
in:
$*»[fy(z,t,(s))
-
ctgp(z)-fx(z,t;(s))
+
i]ds
=
<£2(s)fy(z, t;(s))«ds
-
30)
-
ctgß(Z)-<j)?(s) fx(Z,ï,(s))
ds
+<$>ï(s)
•
ds
37
-
-
zeigt, dass,
unter Voraussetzung einer stetigen 1.
die ersten 2
Umlaufintegrale
in
30)
Stelle t,
integral
bleiben in ihren Bereichen
Aussparung
sikalische Bedingung
nur
(o)
c
=
zulässig,
^ (o)
0 erfüllt werden
Man untersucht diesen
Dabei stellt sich
Birnbaum.
gelegene Wirbelverteilung
fil
komponente
und
c
Aufgabe
gralgleichung 23)
unmöglich
zu
=
zugleich
weil
auch der
Spezialfall
heraus,
der sin-
Umlauf¬
spitzen Hinter¬
dieser Stelle die
zur
phy¬
gegebenen Gitters,
gegenseitigen Berührung
Grenzübergang
dass die im Abstand £ auf dem
nun
Auflösung
Beitrag
an
die
der
nach W.
Nachbarpro¬
Geschwindigkeits¬
Integralgleichung
die noch unbekannte Funktion
darin,
bestimmen. Eine
Umlaufintegral
bekanntes Verfahren
an
eines
wieder mit dem
zur
der
Berechnung
y
(s)
in der Inte¬
analytische Lösung dieser Gleichung
sein. Deshalb wurde eine sehr genaue
Dazu wird das
t,
liefert.
c
besteht
zu
A
für
muss.
Spezialfall
einen verschwindenden
3.8 Die
Die
Für den Sonderfall der
Verminderung der Teilung die Profile
bei dem durch
kommen.
regulär.
deshalb
Zusammenhang gehört
In diesen
Umgebung î
rechts die unmittelbare
gulären
kante ist die
Profilkontur,
der
ausgespart werden kann. Die Restintegrale und das 3.
Z
=
Ableitung
scheint
Näherungslösung angestrebt.
Gleichung 23)
durch eine Summe ersetzt.
eines bestimmten
Ein
ist die Euler'sehe
Integrals
*
Summenformel [11]
ten
o
Integrals
é. X
ren
in
m
.
Danach wird der
gleiche Intervalle
im. Wenn sich die
lässt,
f
so
kann das
f(s)
ds
=
Integral
h
0
-
Y2
'
*)
S.
116.
•
zu
sr
Integrationsbereich
von
der
Länge
integrierende
durch
folgende
[J f(sQ)
+
tf'<so>
r(sm>]
"
f(8l)
+
-
h
=
Funktion f (s)
Summe
f(s2)
Y4
•
+
é
o
s
é L des bestimm¬
L/m aufgeteilt,
s
=
-
A.
h;
2 K -mal stetig differenzie¬
dargestellt werden:
...
+
f(sm_1)
î [f"'(so>
(2K-3)
(2T<-3)
h2X-2
Y2K-2 Ï2KTSjr ^
-f(sm)]
+
-
+
\ f(sm)]
'"'<«>i
***
-
•••
31)
-
Charakteristisch
und des Endwertes f
auf die
(s
)
der
£[f(so)
+f(sm)]
der
Integrationsbereich
[11]*.
Zahlen
Zusatzgliedern
eckigen
der Funktion f
schriebenen
Funktionswert Y
Eigenschaften
gulären Stellet,
v
m
der
ungeraden Ableitungen
zugehörigen
=
Z
Anwendung
Die
f
(s )
31)
des Abschnittes
Ergebnisses
-
ctgp(Z).fx(Z-At,,Z)
ctg(3(Z).fx(Z+At,,Z)
-
Klammernder
In den
des
P(Z +A'Ç ) beginnt
bei
grationsbereiches auf. Ersetzt
f'(s
Beachtung
^-tfy(Z-A£,,Z)
=
Die Faktoren Y in den
also die
unter
(s).
Gleichung 30):
-4p- [fy(Z+At,,Z)
+
Funktion f
von
Anfangswerte
ist das Auftreten des
integrierenden
Integralgleichung 23) ergibt
3. 7 und insbesonders der
wenn
zu
-
Darstellung
dieser
an
38
man
(Z )
Zusatzglieder
P(Z),
^ (s)
so
-
1]
+
^(Z)
At, )
endet.
sind die Bernoulli'sehen
und
1., 3., 5.,
..,
Endpunkt
des Inte,-
ï A
durch den
im Bereich
t,
lässt sich mit den unter 3.7 be¬
(Ç , Z) und f (t,
x
y
dass die Differenz der 1.
der Funktionen f
nachweisen,
=
treten die
Anfangs-
im
die Funktion
im Punkt
P(Z
und bei
Gleichung 31)
(s)
1]
+
+
,
Z)
in der Nähe der sin-
Ableitungen,
also
[f'(s )
-
)], verschwindet:
'
f'(s0)
f'(sm)
-
y
=
(Z)[g§- Lfy(Z -At,,Z)
-
fx(Z-At,,Z)
ctgp(z)
+
1]
-
32)
-
gJ-tyz
+
A^.Z)
ctg[3(Z)
-
Dasselbe Resultat kann auch für die
•
fx(Z+AÇ,Z)
+
1]]
=
höheren, ungeraden Ableitungen
0
der Funk¬
tion
^(s)[fy(t,,Z)
an
den Stellen
Das
P(Z
Restglied
reichend feiner
+
A
t, )
in der
und
-
ctgß(Z)
P(Z -At,) aufgezeigt
Gleichung 31) dient
Unterteilung
des
S.
86.
zur
+
1]
werden.
Abschätzung
Integrationsbereiches
summierung vernachlässigt werden.
*)
fx(t,,Z)
des Fehlers. Bei hin¬
kann das
Restglied
bei der Auf-
-
eindeutige,
Um eine
wird
erhalten,
geführt,
unabhängige Numerierung
an
Zahlenfolge
der Hinterkante mit
u
=
der Funktionswerte
A
,
die
von
P(Z
t, )
A
+
beginnende Zahlenfolge
o
zu
u
ein¬
o<u im.
Die
ergibt
Z
-
Stelle der oben verwendeten
an
gezählt wurde, die
aus
von
39
Anwendung
der Euler'sehen Summenformel auf die
Integralgleichung 23)
nun:
9f
f
"
m
[ctgß(Z)
]
ctgß
-
v
f£[f(t ,Z)
y
Z
=
u=l
% (o)
An der spitzen Hinterkante soll
0,
=
,
Z)
l]
+
r
also die
Gleichung 33) (m-1)
sein. Demnach sind in der
ctg(i(Z).f (t
-
P
n
Staupunktsbedingung,
unbekannte Funktionswerte
33)
erfüllt
jf
/c
enthalten.
Formulierung
Die
dem Profil
ergibt
kannte Funktionswerte
Tj (s)/c
die
^
Die numerische
.
Aullösung
(m-1)
für
(m-1)
(m-1)
gesuchten Geschwindigkeitsverteilung
der
Näherungslösung
digitalen
dass
Gleichungssystem nähert,
Die numerische
Integralgleichung 23)
der
eines linearen
Gleichungssystems
Rechenmaschine durchführen.
Worten,
mit anderen
2 oder mehr
Gleichungen
grationsbereiches
kann die
Gleichungen
Lösung
dessen
zu
mit mehr
tes der
y
(s)
Behandlung
(m-1)
/c
r
Zur
beliebig
Z formuliert
bildet
Bestimmung
man
n
aus
(m-1)
linearen
S.
ein Minimum
1130-1136.
ferner,
wählen.
Mit
des In¬
einem linearen
neigt [13].
digitalen Rechenmaschine
feiner
Unterteilung
des Inte¬
werden,
als Stützpunkte
ergibt.
y
o u
soll,
t,
Gleichungssystem
des wahrscheinlichsten Wer¬
nach der bekannten Methode der AusDurch
Gleichungen
wahrscheinlichste Wert der Funktionswerte
*)
(m-1)
numerischer Instabilität
gleichsrechnung [11]* (m-1) Normalgleichungen.
Fehlerquadrate
zu
Verteilung
Man erhält damit ein lineares
als Unbekannte.
Funktionswerte ï
systems, bestehend
Das erlaubt
eindeutige Lösung liefert. Wie später noch gezeigt werden
vorhanden sind.
Gleichungen
=
untereinander sehr ähnlich
des Problems auf einer
Gleichung 33) für mehr Aufpunkte
der Funktion
(s)/c
führt also auf
lässt sich beson¬
sehr hoch
mit feinerer
sich mit zunehmendem
man
erfordert also einen Lösungsweg, der auch bei
eine
c
auf
unbe¬
Gleichungssystems.
können
bedeutet,
(m-1)
System
(m-1) oder,
tegrationsbereiches
Gleichungen
(Aufpunkte)
für
/c
der Unbekannten und damit der
zunehmender Zahl
diskrete Punkte
linearen
von
Auflösung
ders schnell mit einer
werden. Das
Gleichung 33)
eines linearen
Die numerische
die Zahl
der
ein
nun
/c
für
so
n
Auflösung dieses Gleichungs¬
(m-1) Unbekannte,
bestimmt,
wird der
dass die Summe der
40
-
-
Die Summendarstellung in der Gleichung
te Rechteckformel
(Trapezregel),
die auch
Wege
zwischen 2 Stützpunkten t
felhinterkante formulieren. Damit wird die
die bekann¬
ist nichts anderes als
H. J.
Einschränkung
Die Rechteckformel lässt sich ohne
te Z auf halbem
von
33)
[4] verwendet wurde.
Oellers
der
doppelte
auch für
Genauigkeit
-j (s)
der Funktion
Aufpunk¬
und für die Schau¬
Gleichungen erhalten, als
Anzahl
Unbekannte vorhanden sind.
Die numerische
Verfahren ist sehr
gelingt
40 Punkten
zu
des
Gleichungssystems nach dem beschriebenen
Durch den Einsatz einer
umfangreich.'
aber in kurzer Zeit
es
gegeben
Auswertung
(12 Minuten),
die
Rechenmaschine
digitalen
Geschwindigkeit c(s)
am
berechnen. Die obere Grenze für die Zahl der Unbekannten
durch die Zahl der
verfügbaren Speicherzellen
Profil in
(50)
ist
in der verwendeten Rechen¬
maschine.
Aus der Gesamtzirkulation:
L
T
9^((s)
=
ds
=
/
c(s)
ds
=
tcn
[ctg
p2
ctgßj]
-
o
folgt der
ebene
3.9
Bemerkungen
Abschnitten 3. 6 und 3.7
spitzen Hinterkante,
zur
leitung
Arbeit
von
E.
Profilen,
setzt sind oder
Zu
tern
den
einer
Voraussetzungen für
Hauptaufgabe
für
Martensen
voraussetzt,
die
Voraussetzung einer,
[3],
deren Konturen
Vergleichszwecken
Ableitung
mit Ausnahme der
der Schaufelkontur. Im
die eine überall mindestens
können mit dem
Bedingungen
Profile mit
die Schaufelkontur
Lösung der Integralgleichung 23) fordert, wie in den
beschrieben,
fahren wegen der milderen
von
zu
mindestens stetigen 1.
der Profilkontur
dungsfälle
ist die 2.
Gitterströmung. Damit
Schaufelgitter gelöst.
Der Existenzbeweis
satz
der
(3,
Abströmwinkel
gerade,
das
Gegen¬
stetige 2.
Ab¬
vorliegenden Berechnungsver¬
für die Profilform auch technische Anwen¬
aus
Kreisbogen
und Geraden zusammenge¬
spitzer Hinterkante behandelt werden.
wurde eine Reihe
durchgerechnet (vergl. Abschnitt 7.1),
Krümmungsverlauf aufweisen.
von
geraden,
ebenen
Schaufelgit¬
deren Profilkonturen einen
Dabei stellte sich
heraus,
besonders grosse Krümmungsänderungen auftreten
(wie
dass
z.
nur an
B. beim
unstetigen
Stellen,
Uebergang
wo
vom
41
-
Kreisbogen
zur
Geraden, vergl.
gradienten entstehen,
die
zu
23),
Bild
Ablösung
der
-
örtlich unendlich grosse
Geschwindigkeits¬
reibungsbehafteten Strömung führen,
Bild
24.
Aus diesem Grunde wurde für die
sonderes Rechenprogramm
Die
Glättung ergibt einen,
mungsverlauf
zur
Neuentwicklung
Glättung
von
vorgegebenen
von
mit Ausnahme der
Schaufelprofilen
spitzen Hinterkante, stetigen Krüm¬
der Schaufelkontur. Ferner werden die Koordinaten des
Profils mit einer dem
vorliegenden
ein be¬
Profilkoordinaten erstellt.
Rechenverfahren angemessenen
geglätteten
Genauigkeit
er¬
mittelt.
Die hier verwendete
[12 ]
zur
in ebener
Berechnung
um
Mit der
Umströmung
an
Körper
noch
der runden Hinterkante.
punktes auszuschliessen,
der Schaufelkontur wurde
eines
abhängig
Um
r an
jede
dt 1
von
der frei
zu
wählenden
Lage
des Stau¬
Willkür bei der Wahl des hinteren Stau¬
vorliegende
Theorie Profile mit spitzer Hin¬
Staupunkt vorausgesetzt.
Vergleichszwecken durchgerechneten Beispiele
mit runder Hinterkante ist der hintere
worden.
P
einer runden Hinterkante ist aber die Zirkulation
wurden für die
zu
L.
beliebig geformten zylindrischen Körpers
terkante und damit exakt definiertem hinteren
Für die im Abschnitt 7.1
von
Körper kann also auch eine runde Hinterkan¬
Der
Voraussetzung
den betrachteten
punktes
Wirbelbelegung
Strömung vorgeschlagen.
te aufweisen.
T
der
Staupunkt
in die Mitte der
Abrundung gelegt
42
-
Räumliche
Schaufelungen
angeordnete
auf
radialen
zum
nicht
Flächen durchströmt
Schaufelgitter
die
symmetrisch.
flächen der
Im
folgenden
später
Wie
allgemeinen
(
werden,
radialen
in erster
dass sie
Näherung
als
Geschwindigkeitskomponenten
Z
)
c
noch gezeigt
(Z)
c
wird,
(
,
Z
Meridian-,
)
Bezugsfläche
sein.
ist auch im Falle des räumlichen
Die resultierende
Wirbelsystems
( Z)
c
und
Schaufelgitters
mit einer Grund¬
Geschwindigkeit c(Z)
liegenden Punkt P
(Z), Normal-,
sei rotations¬
weder mit den Strom¬
noch mit den Stromflächen des die Schau¬
eines räumlichen
Bezugsfläche
c
für eine Bezugsfläche durch
gewählte Bezugsfläche
Die willkürlich
Fall muss diese
überlagern.
zu
in dem in der
nämlich:
Hauptaufgabe
Wirbelsystems identisch
Geschwindigkeitsfeld
strömung
die 2.
vorgegebenen Grundströmung
feln ersetzenden
-v
sondern räumlich
Voraussetzung,
berücksichtigt werden.
ein konisches Gitter behandelt.
c
ebenen,
betrachtet werden. Aber auch in diesem Falle können
Gleichgewicht notwendigen,
Es wird deshalb im
das
Schaufelgitter
in Turbomaschinen sind keine
koaxialen, zylindrischen
ebene
Teil:
Nur axiale Leiträder können unter der
Gitter.
gerade,
2.
Theorie,
4.
Die
-
(Z)
kann in 3
=
c~*(Z)
+
Komponenten,
Umfangskomponente c.( Z)
zur
zugsfläche aufgeteilt werden. Die Komponenten c(Z), c(Z) und ct(Z) setzen sich
Be¬
aus
Bei
trägen des Geschwindigkeitsfeldes des die Schaufeln ersetzenden Wirbelsystems und
der
Grundströmung
Die 2.
zusammen.
Hauptaufgabe
besteht
räumlichen Gitters in dieser
Zirkulation T
ten
zur
c
(Z)
normal
Bestimmung
verteilung
Schaufelprofil.
ein
zur
von
den Abströmwinkel des betrachteten
darin,
bestimmen.
zu
Die oben
Bezugsfläche leisten,
Umfangskomponenten
Zirkulationsverteilung
Normalkomponente berechnet werden
c
(Z)
nx
'
=
an
.
Punkt
P(Z)
(Z)
'
+
(Z)
c
y
nv
'
Die Zirkulations¬
sich demnach mit den
Bezugsfläche bestimmen.
jedem
con*
die
Integrationsweg
zum
die Zirkulation f
aus:
c
man
genannten Geschwindigkeitskomponen¬
Wirbelsystems lässt
in der
kann darauf in
Dazu berechnet
weil sie senkrecht
T stehen, keinen Beitrag
des die Schaufeln ersetzenden
Meridian- und
ten
um
nun
Bezugsfläche
in der
Mit der bekann¬
Bezugsfläche
die
43
-
Wie auch im Falle des
der
Ueberlagerung
Belegung
von
ebenen
geraden,
Schaufelgitters
kann also die Umströ¬
Gitterprofile ersetzt werden durch eine Strömung, die
mung der räumlichen
durch
-
gegebenen Grundströmung
der
gebundenen
mit dem
man
sich
Geschwindigkeitsfeld
Potentialwirbeln auf den Schaufelkonturen entstanden
denken kann.
Allerdings
Strömung
entsteht hier ein zusätzliches
Problem,
gerades Schaufelgitter
Die
durch ein
gebundenen Potentialwirbel
fert im
Diese
allgemeinen
eine
Strömung
grenzungsflächen
zu
Verschwinden
der
die die
bringen.
Eine solche
Geschwindigkeiten
gebundenen Wirbel
Diese
Schwierigkeit
ters, sondern
z.
dem behandelt
mung durch
wäre
nur
Lösung
Zur
ist,
nur
Singularitäten
induziert
wird,
Die
gewöhnlichen
Verteilung
axial durchströmten Leitrad. Trotz¬
h.
man
nimmt an, man dürfe eine solche ebene Strö¬
von
den Wänden
ausgehenden
nun
Zusatzeffekte als
allgemein räumliche
Singularitäten überlagern,
u.a.
so
behandeln,
gewöhnliche
so
können wir
annehmen,
Gittertheorie für das axiale
jede
System
von
dass die so ge¬
gebundenen Potentialwirbeln
wird,
Bild 9.
gut
Kreisgitter.
Schaufel des konischen Gitters statt durch eine
durch einen einzigen Wirbel ersetzt
ge¬
dass
rotationssymmetrische Grundströmung
mindestens für einen mittleren Bereich der Schaufeln ebenso
wie die
die
vernachlässigbar
Gitter
Herleitung des Geschwindigkeitsfeldes der Wirbelbelegung soll
wobei
auch
dieses letztere normalerweise nach der Theorie der ebenen Strö¬
den zunächst ein vereinfachtes
werden,
naturgemäss äusserst verwickelt,
Zylinder aufwickeln. Das bedeutet nichts anderes, als dass
mit dem Feld der
Quell-
zum
im Falle des konisch durchströmten Git¬
wir ohne Rücksicht auf diese Wandeffekte eine
brauchbar
in ihnen noch besondere
Ort der Schaufelflächen entstehen.
besteht nicht
gerade Gitter, d.
genannten,
sind.
der Schaufelkontur wird also ihrerseits dadurch beeinflusst.
ring betrachtet werden. Wenn wir
fundene
man
Normalkomponenten der Geschwindigkeit
Rechnung
auch schon beim
B.
man
mung auf einen
oben
an
am
drehsymmetrisch
Stromflächen haben. Man kann diese Be¬
das durch diese
Feld,
des Feldes der
gegebenen drehsymmetrischen Begrenzungs¬
zu
Stromflächen machen, indem
umsomehr als durch das
zusätzliche
deren Stromflächen nicht
Strömungsraumes
Senkbelegungen anbringt,
und
das im Falle der ebenen
Ueberlagerung
rotationssymmetrischen Grundströmung lie¬
mit einer
Strömung,
wird daher auch nicht die
flächen des wirklichen
fehlt.
im
folgen¬
betrachtet
Wirbelbelegung,
-
44
konisches Gitter
-
—-
Wirbelkegel
ct0-^o
axiales Gitter
—
Wirbelstern
radiales Gitter-~Wirbelzylmder
^
W
do-
J/2/&
<*o-0
gerades, ebenes Schaufeigitter
-—
Wirbelreihe
t- Äonsf
Bild 9
Ersatz
jeder Schaufel durch
einen
einzigen Wirbel
45
-
4.1 Das
Man
fragt
Geschwindigkeitsfeld
also nach dem
Die N Wirbellinien
nien mit einer Normalebene
regelmässigen
endliche,
Wirbelsatz
[11]*.
Anordnung
Der halbe
Bild 10
Wie
komponenten
zur
Kegels liegen
der Wirbellinien
Oeffnungswinkel
des
Zylinderkoordinaten
dem Unendlichen und verzwei¬
aus
Hälfte auf der
Symmetrieachse wieder ins Un¬
genügt
Kegels
des
der Wirbelli¬
in den Ecken eines
dem 3. Helmholtz'sehen
sei oc
,
Bild 10.
Wirbelkegels
des beschriebenen
der
Grundströmung
Wirbelsystems mit den gegebenen Geschwindigkeits¬
in der
Bezugsfläche
alle typischen
Eigenschaften
ei¬
Gitterströmung.
Das
gewählte Wirbelsystem wird
chy [16] bestimmte
der 3
S.
das
466.
hier als
Geschwindigkeitsfeld
Geschwindigkeitskomponenten.
Geschwindigkeitsfeld
*)
des
folgenden Wirbelsystems:
Schnittpunkte
später noch gezeigt werden soll, ergibt die Ueberlagerung des Geschwin¬
digkeitsfeldes
ner
Symmetrieachse
Kegels je
gen sich in der Spitze des
Bild 10. Diese
zur
des
Die
Kegelmantel.
Die Wirbellinien kommen
N-Eckes.
Wirbelkegels
des
Geschwindigkeitsfeld
auf einem
liegen
-
Dazu ist
eines Wirbelfadens
von
"Wirbelkegel"
des
er
bezeichnet. W.
Wirbelkegels
durch
davon ausgegangen,
beliebiger
Tou¬
Berechnung
dass sich das
Form und der Stärke T durch
46
-
ein über die ganze
Der
des Wirbelfadens erstrecktes
eines Elementes der Wirbellinie von der
Beitrag
digkeit c(Z)
sche
Länge
-
im Punkt
P(Z)
ist durch die
Integral
Länge
dz'
ausdrücken lässt.
zu
der Geschwin¬
folgende Beziehung gegeben (Biot-Savart'-
Gleichung ) [11]*:
de
jL_ ^-
=
•
•
34)
sin S
H
Der
Geschwindigkeitsvektor
und das Element dz' bestimmten
Bild 11
W.
Ebene,
Erläuterungen
Bild 11.
zur
Gleichung
von
Biot-Savart
Touchy berechnete durch Integration der Gleichung 34) die Beiträge je¬
des Astes des
Wirbelsystems
verwendete dazu die
und
summierung
der
Geschwindigkeit cT ( Z)
Zylinderkoordinaten P(x*,
Tangentialkomponente
der
zu
Beiträge
der
r, tJ>
),
Geschwindigkeit c~T (Z )
der N Aeste des
2 Aeste auf der Symmetrieachse. Die dazu
Mit den
S.
467.
von
W.
im Punkte
Bild 10.
Die
ermittelte
Wirbelkegels
auf dem
er
P(Z).
Axial-,
Er
Radial
Touchy eingeführten Substitutionen:
-
darauf durch Auf-
Kegelmantel und der
notwendigen, langwierigen Rechnungen
hier nicht wiederholt werden.
*)
P(Z)
de steht senkrecht auf der durch den Punkt
sollen
47
-
6
-
x*
Ar sinh
=
—
r
x
9
Ar sinh
=
—
o
ergeben
folgenden Geschwindigkeitskomponenten:
sich die
^
r
1
Nl"
x<(Z)
=
-
sin N-»
4T1
cosh 6
r
NI"
tr,\
[cosh N(e
c.t(Z)
-
cos
N4l]
cos
N
Oß\
6
o
)
-
37)
—
*"r
[cosh N(6
6
-
)-
cos
N%3-]
Rechnungsschritt soll auf die Geschwindigkeit
fläche des
führen. Dazu bestimmt
Wirbelkegels
35) und 36)
die Meridianstromlinien und schliesst darauf auf die
Aus den Gleichungen
*]
sinhN(e-e)
•
Tjf7
ll
Der nächste
[cosh N(6
Nr
=
.
_
Sin Nl>
O
t„ï,
4TTr
,,>
35>
•
-
35)
und
36)
=
sinhe
erhält
man
man
zunächst
mit den
c
aus
„
(
Z
den
)
in der Strom¬
Gleichungen
gesuchten Stromflächen.
Bezeichnungen
des Bildes
12:
yd^
Aus der Integration der
Die Meridianstromlinien des
Bild
10,
Neigungtg Y(Z)
unabhängig
ist
also x*
=
0;
r
=
2
+
der Koordinate
r2
=
-tg^(Z)
0. Aus der
$>
in
--£,
38)
darauf:
39)
konst
Wirbelkegels
der Meridianstromlinie
von
=
Differentialgleichung 38) folgt
x*
punkt 0,
f-
-
sind demnach Kreise mit dem Mittel¬
Gleichung 38) folgt ferner,
gegenüber
der
Symmetrieachsex*,
Umfangsrichtung.
dass die
Bild
12,
Daraus schliesst man, dass
die Stromflächen des Wirbelkegels Kugeln mit dem Zentrum 0 (d.h. dem Verzwei¬
gungspunkt
zu
der
Wirbeläste),
den Stromflächen.
sind.
Die Aeste des
Wirbelkegels
stehen
folglich
normal
48
-
-
fMDMivai
Mtridiankompniwnit
Bild 12
Transformation der
Geschwindigkeitskomponenten
(Z)
( Z ) u. c
Komponenten c
in die
In der
des
kel et
stromlinie
Gleichung 39)
Wirbelkegels,
gehört offenbar
zweigungspunkt
Die
Cm(B. c„(2icaK)-Cir<nMn0
o
für die Meridianstromlinie tritt der halbe
Bild
zu
10,
nicht in
u.
c
ï
r
(Z)
Oeffnungswin-
Eine bestimmte Meridian¬
Erscheinung.
beliebig vielen Wirbelkegeln mit dem gemeinsamen Ver¬
0 der Wirbeläste.
Zusammenfassung der Axial- und Radialkomponente, Gleichungen 35) und
36), ergibt die der
Meridianstromlinie
zugehörige Geschwindigkeitskomponente
^H-tgh2
sin N &
v
(Z)
c
x+rx
4 ïï
r
[cosh N(6
-
6Q)
cos
Ni*]
Vcosh
[cosh N(6
-
e
=
6
40)
sin N4
Nr
4TTr
-
9
)
-
cos
Ni)]
49
-
P(Z)
Der Punkt
ten
zen
Wirbelkegels),
der
bestimmt nicht
sondern auch die
Komponenten
sultierende
Ö7(Z)
(Z)
c
Die
(Z)
c
Geschwindigkeit
-
und
-
cosh N(9
-
Die
o
Anwendung
9
-
6
2 sinh
2 sinh
P(Z)
Tangentialebene
als
4TTr
N(8
Ni>
=
cosh i N ->>
i sin
)
cos
-
.cosh N(9
sinh i N •*
-
re-
9
)
-
i-sin N4
9
)
-
cos
41)
'
=
-
liefert die
komplexen Vektor:
sinh
i NT
sin NJ>
)
sinh
N(9
-
cosh
N(6
-
N4
N tJ
N *
Beziehungen [11]*
9
0
9
-
)
-
sinh
)
-
cosh i N-vJl
i Ni*
der Additionstheoreme für Zähler und Nenner in
)
-
i
-
9
)
N(6
Ni?
•
s
N(9
in der
Das Zusammenset¬
42)
42)
rechts
[11]**:
ergibt darauf
N(9
8
.(Z)
sich noch umformen mit den
cos
N(6
Kugel (als Stromfläche des betrachte¬
Punkt
c
.(z)
i-c
i
sinh
eine
zugehörige Tangentialebene.
(Z)im
c
Gleichung 41) lässt
nur
-
-
N(9
•
)
+
N£
i
N<6
x
i N4
^5
9
-
cosh
9
-
sinh
)
+
ctgh
i N-*
-
V
IN»
+
ö
«
*
43)
Mit der
Einführung
der
Teilung
t
(Z )
=
2 T1
r(
Z
)/N
wird aus
41)
und
43)
er¬
halten:
n(o
v
ct(Z)
SfzT
ctgh
-
e )
o'
N»Q
XT
.
44)
Durch die einfache Koordinatentransformation:
N<9
ïï(x'- y)
-
9o>
1
1
45)
1T(y'
-
t
*)
**)
S. 97
S. 96
t?')
_
NiS>
~2~
50
-
lässt sich die
ter noch
nungen
den,
Gleichung 44)
in
-
Form
jene allgemeine
bringen,
sich,
der
aus
wie
spä¬
gezeigt wird, die Gleichungen der Geschwindigkeitsfelder der Wirbelanord¬
die aus dem Ersatz
ergeben,
Schaufelgitters durch
ebenen
Auf dem gleichen
Imaginärteil
tenbeiwerte f
keitsfeld des
ctgh
(x'- ^ ', y'- ij')
schwindigkeit et ( Z )
können
beschrieben,
+
i TT
(x'- ^ ', y'- 17 ')
lässt sich der Real- und
die
formal mit dem
Komponen-
Geschwindig¬
Schaufelgitters verknüpfen. Die Komponenten der Ge¬
nun
mit den Funktionen f
*
Wzt" coshVz)
=
radialen und gera¬
(y'- rç'J/tjdurch
0
V(z)
axialen,
des
einzigen Wirbel entstehen:
[TT(x'- \')/t
und f
ebenen
geraden,
einen
wie unter 3.1
Wege,
der Funktion i
jeder Schaufel
und f
y
ausgedrückt
y^'-v,
•
werden:
47)
y-v)
48)
C*t<Z>
Die
werden
Bild 12.
=
2tTzV
fy(x,-V.y'-V)
Geschwindigkeitskomponente
nun
in das
Koordinatensystem
Die Meridian- und
(Z)
c
=
c
c
x
j
der
(Z)
und
49)
c
j
r
(
Z
), Gleichungen 47)
und
48),
vorgegebenen Bezugsfläche transformiert,
Normalkomponenten sind
(Z) cos>v(Z)
-
bestimmt durch:
(Z)
c
•
sin-i|>(Z)
50)
kl
fx(x'-
w
cïn(Z)
=
c
V. r-^
(Z)
•
[^lofzT
shn|)(Z)
+
"
sin^(z)
(Z)
c
.
tgh
'
costv(Z)
e(z)l
=
51)
=
Stfzr yx'-^y'-y)[S%)
Nun soll das
Grundströmung
c
Geschwindigkeitsfeld
(
Z
) überlagert
c
y
werden.
+
cosT,,(z).
(Z )
des
Die
Ueberlagerung
Wirbelkegels
tghe(Z)]
der
vorgegebenen
wird zunächst für den
51
-
-
allgemeinen Fall der willkürlich gewählten Bezugsfläche durchgeführt. Darauf folgt
eine
Spezialisierung
chen des
vorgegebene Grundströmung
für den die Grundströmung in die Stromflä¬
sei im
Koordinatensystem der willkürlich ge¬
Bezugsfläche gegeben:
(P( Z
ar
Die
cT ( Z )
Sonderfall,
Wirbelkegels gelegt wird.
Die
wählten
auf den
Ueberlagerung
des
)
c~" ( Z
=
'
oonr
der
)
'
+
Grundströmung
Wirbelkegels ergibt
c~~
(
conv
Z )'
c~~( Z )
die resultierende
c~~. ( Z
cotv
+
mit dem
)
'
Geschwindigkeitsfeld
Geschwindigkeit
c
(Z)
im Punkt
P(Z):
7(Z)
In
jedem
Punkt P
(Z)
nenten der resultierenden
cm<Z>
=
in der
=
H^(Z) +c^(Z)
vorgegebenen Bezugsfläche
Geschwindigkeit
cf(
Z
) angegeben
können
nun
die
Kompo¬
werden.
cœm(Z)+^-yX'^''y'-^{^h4fzl
-
sin„( Z) tgh 9( Z)
]
52)
Cn<Z>
=
WZ> +2tTTT-
yx'-?^'-V'){S^T
+
oost(Z)tgh9(Z)]
53)
ct(Z)
Weit
und f
vor
und hinter dem
(x1- V, y'- 17')
für die
c^Z)*^-
=
—-
Gitter,
d.h.
für x'—»
Bilder 3 und 4.
1,
(Z)|
nv
'I
=
,
,
_
c
+
und
V, Y'- t,')
oo, strebenf
+
Für x'—.
Geschwindigkeitskomponenten 52), 53)
c
fy(x'-
co
(x'- É,',y'- Y)-»0
aus
den
54) erwartungsgemäss
(Z)|
00m'
wird
54)
Gleichungen
erhalten
55)
'
'
,
.
56)
Ix'—»I
CO
52
-
Die
Ueberlagerung
Für die
Einfluss der seitlichen
ten
Belegung
Wirbelkegels
betrachtet.
ein
vereinfachtes,
Wie unter 6 noch
Begrenzungswände
der seitlichen
des
mit einer
typischen Gittereigenschaften.
bisherigen Rechnungen wurde
Begrenzungswände
seitliche
Geschwindigkeitsfeldes
des
also alle
Grundströmung ergibt
-
mit der
Begrenzungswände
W.
von
mit
konisches Gitter ohne
gezeigt wird,
kann der
Touchy [16] eingeführ¬
geeigneten Quellen- und Senken¬
verteilungen berücksichtigt werden. Die nachträgliche Berücksichtigung des Wand¬
einflusses entfällt für den
Wirbelkegels
den Stromflächen des
der beiden
Jede
Strömungen
werden.
von
Näherungslösung
dass die Stromflächen der
identisch
-
also
Kugeln
-
Grundströmung mit
sind.
liefert daher keine Normalkomponenten
deren Zentrum die
Kugelfläche,
zungswand gemacht
als
Sonderfall,
zu
kann daher
Kegelspitze ist,
Dieser Sonderfall hat eine
Die
Ueberlagerung
diesen
zur
Kugelflächen.
festen
Begren¬
gewisse praktische Bedeutung
für konische und axiale Gitter mit hinreichend kleinem Verhältnis
Gitterbreite/Schaufelhöhe.
Für die
Spezialisierung
Sonderfall führt
in diese
man
Gleichungen
die
ein.
cm<Z>
der
Gleichungen 52), 53) und 54) auf den betrachteten
Differentialgleichung 38)
Darauf erhält
"
man:
W^sfzT"
cn(Z)
ct(z)
c
(
Z
)
zur
V*'"^^')
0
=
coot(z)+^r.
=
Normalkomponente
Die
für das Meridianstromlinienbild
yX'-v,
Stromfläche des
y'-V)
Wirbelkegels
verschwindet
definitionsgemäss.
Im
feld des
Gegensatz
Wirbelkegels
Gleichung
lässt sich
ordnungen,
einen
zur
die
aus
Arbeit
von
durch eine
nun
W.
Touchy [16 ]wurde hier das Geschwindigkeits¬
einzige Gleichung, nämlich 48), angegeben. Mit dieser
nachweisen,
dass die
Geschwindigkeitsfelder
der Wirbelan¬
dem Ersatz jeder Schaufel der axialen und radialen Gitter durch
einzigen Wirbel
entstehen, Spezialfälle
des
Geschwindigkeitsfeldes
des Wirbel-
53
-
kegeis
Ferner wir
sind.
ist,
einfachten radialen Gitters
4. 2 Der
Lässt
nehmen,
Spezialfall
man
wie des
ver¬
Bild 9.
Grenzübergang
Oeffnungswinkel
Wirbelkegels
den halben
der Wirbelreihe
sowohl des vereinfachten axialen
des Wirbelsterns und
des
Wirbelreihe
zur
den Wert TT
oc
/2
an¬
sind die die Schaufel ersetzenden Wirbellinien in der durch den Punkt 0
so
bestimmten Normalebene
Wirbelsystem
10, sternförmig angeordnet.
Bild
x*-Achse,
zur
ergibt
soll als "Wirbelstern" bezeichnet werden. Damit
[16] angegebene
Touchy
Geschwindigkeitsfeld
dass das
aufgezeigt,
Geschwindigkeitsfeldes
Grenzfall des
-
Substitution 6
wegen
Ein solches
die
von
W.
=0:
x
X
A
Ar sinh
=
—
0
Die
Gleichungen 45)
r
für die Koordinatentransformation lauten demnach für den
Wirbelstern:
T1(x"-
—v
E")
^ '
N
=
,
Tt-
t
N
_
0
=
it2
2
.
.
Ar
x*
.
sinn
—
r
58)
TT(y"- t?")
N^.
_
"
2
t
Die
—
,w.
c*(z)
Gleichung
des
Geschwindigkeitsfeldes des Wirbelsterns
ir
fN.
2t[zT- Ctghke
"
n .1
.
..
=
+
1F*J
ir
=
-
.
2tTz7
'
.
ctgh
ist
gegeben durch:
r TUx"- e")
1
t
+
59)
iziy^l]
+
Der
Geschwindigkeitsvektor
c
~
(
Z
)
lässt sich wieder in die
Komponenten
(Z), c
c
(Z)undc ,( Z ) auf spalten. Die Geschwindigkeitskomponenten c Y (Z)
jx
Jxïr]ft
Z
werden in die Komponenten c
ihrerseits
und c
( Z ) der Bezugs( Z ) und c
( )
flächen transformiert.
Zu der
einer
vorgegebenen Bezugsfläche wird
nun
vorgegebenen Grundströmung überlagert.
die
Diese
Strömung
des
Wirbelkegels
Ueberlagerung
liefert die
mit
re-
54
-
cT(
sultierende Geschwindigkeit
cm<Z>
Z
)
mit den
-
zugehörigen Komponenten:
cœm(Z)+^-yx',^^y"-V0-[^rtfzl-sin^(Z)tgh9(Z)]
=
60)
cn<Z>
cœn<Z>
*
+
^- V*"-r,7«-1°){£j$fe1 co.yflZ)t&9(Z)]
+
61)
ct (Z)
Die
stern
Voraussetzung
bedeutet,
diesen
wird
(Z)
c
von
=
'
m
aus
=
Spezialfall
'
2t(Z)
+
WTf
cœt(z)
+
=0
und
tÀ/H-s
cosh
'
Bezugsflächen
59) ly
Gleichungen 58), 59)
coon(Z)
=
^"-V.r-V")
koaxialen
und
(Zj+öJwx-
c
ct(z)
dem
den
oonv
cn(Z)
Eine weitere
zylindrischen,
Gleichungen 58)
dass in den
Spezialfall
caA{Z)+^T1-
=
.
erhalten:
t
'
y*""*"'
y"" "*")
xv
Wirbelsterns,
wenn
in
man
58)
x*
63)
'
'
64)
v', y"-v")
65)
Spezialisierung, nämlich die ebene Wirbelreihe, erhält
des
Für
muss.
y)
f (x"-£ ",' y"'
'
•
'
afgy fy(x"-
für den Wirbel¬
gesetzt werden
60)
9(Z)
^ 9(Z)
62)
konst. hält und
=
man aus
r-»ao
stre¬
ben lässt:
rTT(x"-V)l
lun
[
=
rN
,.
hm
\j
r-»co
r—co
a
Ar
.x*l
•
sinh
=
-
*-
2TTr
x*
-^
r
=
TT(x-^)
-^
.
lim
r—oo
Die
[*fr';-V>]=
Gleichung
des
g4
lim
=
2^r (y^L)
Geschwindigkeitsfeldes
66)
TT(y-7)
=
der Wirbelreihe ist demnach gege¬
ben durch:
67)
Wegen
tisch mit
3).
der
Die
Beziehung 1):
Z
-
t,
=
(x- Ç)
+
i(y-T?)
ist die
Gleichungen der Geschwindigkeitskomponenten
Gleichung 67) iden¬
lassen sich
aus
60),
55
-
61)
und
62) herleiten,
wenn
die
der Wirbelreihe Normalebenen
liefert der
ner
Die erhaltenen
Grenzübergang
Gleichungen
-
Voraussetzung getroffen wird,
zu
den Wirbellinien sind. Daraus
für
und x*
r —»oo
konst.
=
8)
stimmen überein mit
Vergleich
Geschwindigkeitsfeldes
des
Stromflächen, Gleichungen 63), 64)
belreihe, Gleichungen 8)
flächen
nur
und
9), zeigt,
(x"- ^")
im Grenzfall
Geschwindigkeitsfelder
Die
und
« r
des
Geschwindigkeitsfelder
(y"-
tgh
Im
(Z )
c
folgt:
6
=
r/")
Wirbelkegels,
0. Fer¬
=
1.
Geschwindigkeitsfeld
zylindrischen
der Wir¬
der zylindrischen Strom¬
zulässig
r
=
identisch.
Geschwindigkeitsfeld
Abwicklung
«
y
0 und cosh 9
des Wirbelsterns auf
mit dem
dass die
und
reihe lassen sich formal durch dieselbe
die
65),
:
S).
und
der Wirbelreihe verschwindet die Normalkomponente
Der
dass die Stromflächen
ist.
des Wirbelsterns und der Wirbel¬
Gleichung darstellen.
Ferner
zeigt sich, dass
des Wirbelsterns und der Wirbelreihe durch eine einfache
Koordinatentransformation auf das
Geschwindigkeitsfeld
des
Wirbelkegels zurückge¬
führt werden können.
folgenden
Im
soll
chen Zusammenhang
4.3 Der
nun
auch das vereinfachte radiale
Spezialfall
des
Wirbelzylinders
Mit dem unter 4.1 und 4. 2
(an
sich
Schaufelgitter
in den
glei¬
miteinbezogen werden.
angewandten
bekannte) Geschwindigkeitsfeld
im Bild 10 der Punkt 0 ins Unendliche
des
und
Grenzübergang
Formalismus soll
zur
nun
Wirbelreihe
im
Wirbelzylinders hergeleitet
verlegt,
so
entsteht das
Gitter). Bezogen
folgenden
das
werden. Wird
Wirbelsystem des
"Wir¬
P(Z)
belzylinders" (vereinfachtes
radiales
bestimmte Normalebene
x*-Achse ragen die Wirbellinien beidseitig der Normal¬
ebene ins
Zur
geht
Unendliche,
zur
Bild 9.
Herleitung der Gleichung des Geschwindigkeitsfeldes des Wirbelzylinders
man aus von
den
von
W.
Touchy
9
=
[
16
] eingeführten
Ar sinh
—
r
x
8
=
Ar sinh
o
Mit den
*)
S.
97.
auf die durch den Punkt
Umrechnungsbeziehungen [11]*
—
r
Substitutionen:
56
9
-
Ar sinn
=
68)
9
Ar sinh
=
o
lässt sich die in der
In
=
—
r
Gleichung 45)
9
-
auftretende Differenz 9-9
9
In
:*
+
l/ x*2
\\
x
+
o
1/
+
7
+
r
2
x
darstellen durch:
69)
2
o
V
Aus dem Bild 13 kann entnommen werden:
R*
1
Bild 13
Erläuterungen
Mit 1*
=
R*
cos
6
zum
/
*2
I x*
-tf
,
'x
Grenzübergang
kann
2
+
r
+
r
2'
2
vom
69) umgeformt
Wirbelkegel
werden in:
zum
Wirbelzylinder
57
-
e
e
-
'x*
in
=
R*'
+
-
Durch
X
von
70)
Zähler und Nenner in
x*
sin
1*
70)
1
+
<x
und der Ver¬
mit sin et
q*;
x
sin
et
=
a
;
13Bilddemaus
=
13Bilddemaus
geometrischen Beziehungen:
+
0
o
0
Multiplikation
der
6
cos
o
wendung
x*cos S
1
In
=
•
=ocsin1
r'*;
=ocsin1
=a
sinn
=a
1*
r'*;'
o
o
kann
r;
r;'
70) dargestellt
werden
durch:
q*cos
9
e
-
In
cos 6
Der
und
x
Uebergang
—+
co;
cos
vom
6
Wirbelkegel
—!;
co
x —»+
co
-
9 )
o'
+
71)
r
Wirbelzylinder ergibt
r'*—»r*unda
(6
lim
x*-»+
zum
r'*
+
o
q
L
O
6
=
2_£l
in
sich für x*
—»
+
od
r, also:
—
2
=
m
r
El
72)
r
o
Damit ist die Koordinatentransformation
n(xm-«,")
gegeben durch:
n
=
t
J
ïï(y'"-y")
N
•
In
—
r
73)
t
Die
Transformationsgleichungen 73)
bildung des radialen in ein
~
T
sind
••*•
von
A.
Betz
ebenes, gerades Schaufelgitter
[1]
zur
konformen Ab¬
auf anderem
Wege herge¬
leitet worden.
Die
geben
Gleichung
des
Geschwindigkeitsfeldes
des
Wirbelzylinders
ist demnach ge¬
durch:
74)
58
-
V(z)
V(z)
-
=
ÄÄ-V2'**
=
wh-
Zur Bestimmung der Stromflächen des
der
Gleichung 38)
Vz^>
Wirbelzylinders
leitet
man
direkt
aus
ab:
-
6|
sinn
oo
=
tgy(Z)
=
Ix*-»oo
Die Stromflächen des
bellinien.
Für den
Wirbelzylinders
Spezialfall,
dass die
sind demnach Normalebenen
Bezugsflächen
cosh
lassen sich die
aus
den
Komponenten
r
=
konst)
=
8(x*-»co,r
=
konst)
=
Gleichungen
für den
cm<Z>
=
ct(Z)
=
des
ccom<Z>
+
cœt(Z)
+2t^
WTj
Für diesen Sonderfall verschwindet die
Das
Geschwindigkeitsfeld
auf elementarem
Wege
-
N r
/2
Auch aus dem
hält und
regelmässigen
Strömung bestätigt
Spezialfall
des
auf die Wirbelreihe
r—«-oo
•
streben lässt.
und
TT/2
1
oo
54)
V*"'"
+
c~*(z)
75)
y'"-V")
c
(
Z
76)
)
identisch.
radialen Gitters lässt sich auch
Geschwindigkeitsfeld
überlagert.
der Wirbel¬
Geschwindigkeitsfeld
Die daraus erhaltene
des Wir¬
Gleichung
Beziehung 74).
Wirbelzylinders
schliessen,
c"*(Z)
V, *'"- V")
Normalkomponente
N-Eckes dem
die
=
herleiten:
fy(x'"-V",
vereinfachten,
im Zentrum des N-Eckes
für die resultierende
zialisierung
des
"
berechnen. Dazu wird das
linien in den Ecken eines
belastes
=
Geschwindigkeitsfeldes c*(Z)
Wirbelkegel 52), 53)
den Wir¬
mit den Stromflächen von Grund¬
strömung und Wirbelzylinder zusammenfallen, also für 14»
tgh 9(x*—co,
zu
indem
kann
an
À
man
r
=
durch eine weitere
Spe¬
r*-r im Bild 12 konstant
59
-
[TT(x"'- V")]
[—t
lim
r—oo
N
.
lim
_
-
J
-
ln
F
21Tr
r*
_
—
TT
-
TT(x-Q
Ar
_
r
1—
r—oo
77)
iJUt^jFl
lim
r->co
2TTr(y-^)
=
l
TTfr-T,)
=
t
r
Ergebnis des Grenzüberganges stimmt erwartungsgemäss mit den
Das
sprechenden Gleichungen 66)
Damit lassen sich die
ent¬
für den Wirbelstern überein.
Geschwindigkeitsfelder
aller
vereinfachten,
technisch
Gitter durch eine einfache Koordinatentransformation auf das Geschwin¬
wichtigen
digkeitsfeld
des
Wirbelkegels
zurückführen. Daraus
ten Gitter nach ein und demselben
deutet
U
lim
praktisch,
dass für die numerische
Auswertung
einzigen Rechenprogramm
maschine mit einem
folgt,
dass sich alle betrachte¬
Berechnungsverfahren behandeln lassen. Das be¬
mit einer
alle technisch
digitalen
Rechen¬
wichtigen Gitter
er-
fasst werden können.
Für die
schen Gitters
sätzlich
nachfolgenden Betrachtungen geht
Die
aus.
Spezialisierung
gleich durchgeführt,
wie vorher
Transformationsgleichungen 45), 58)
die
f
Geschwindigkeitsfelder
(Ç
,
Z
)
und f
Für die
( Ï,
,
Z
)
nur
der
Gleichung
des
tisch einfach
zu
beschreibende
Strömung
an
den
vor
vor
Geschwindigkeitsfeldes
Worten,
grund¬
mit den
Gleichungen
dass
für
jede
einer
man
als
Diese mathema¬
Gitter, praktisch
Jedoch die
Ausgang
kann diese einfache Theorie nicht
Wirbelkegels
Geschwindigkeitsfeld
Gitterströmung gibt
und hinter dem
die
des
Schaufel des konischen
Grundströmung überlagert.
und hinter dem Gitter.
Schaufelkonturen,
Verlustrechnung sucht,
wird
bestimmen.
getroffen,
Darstellung
unendlich weit
nügender Entfernung
verteilung
mit anderen
durch eine einzige Wirbellinie ersetzt wird. Das
aller Wirbellinien wurde der gegebenen
für die
Anwendungsfälle
lassen sich die in den
Anwendungsfälle
wurde die vereinfachende Voraussetzung
Gitters
73)
Fall des koni¬
aller betrachteten Gitter stets auftretenden Funktionen
für alle
Herleitung
beschrieben,
und
allgemeinen
man vom
auf die anderen
exakte Werte
also auch in ge¬
richtige Geschwindigkeits¬
für die Grenzschicht- und
geben.
60
-
-
4. 4 Die kontinuierliche
Wirbelbelegung
Genau wie schon im Abschnitt 3. 2 für das
wurde,
Wirbel,
soll
nun
jede Schaufel
Belegung
sondern durch eine kontinuierliche
belkegeln)
gerade,
auf den Schaufelkonturen ersetzt werden.
mänteln sind die
Erzeugenden
Schaufelgitter gezeigt
ebene
des konischen Gitters nicht mehr durch einen
von
Potentialwirbeln
(also
Die Wirbeläste auf den
der Schaufeloberfläche.
Zur
Behandlung
einzigen
Wir¬
Kegel¬
der 2.
Haupt¬
aufgabe in der willkürlich gewählten, rotationssymmetrischen Bezugsfläche werden
die Meridian- und
dian- und
Umfangskomponenten
vorgegebenen Grundströmung
Die
Bestimmung
der Zirkulationsdichte der
gegeben durch die Forderung, dass die Schaufelkonturen
Stromlinien des
aus
der
Wie im Falle des
Ueberlagerung
geraden,
resultierenden
ebenen
die
wenn
schwindet
Geschwindigkeit c(Z )
oder,
anders
Wirbelbelegung
Bezugsfläche
ist die
Strömung
wenn
das
Unter dieser
sind.
innerhalb
zugleich quellen- und rotations¬
innerhalb der Schaufelkonturen identisch
ausgedrückt,
Schaufeln sich in Ruhe befindet.
dann
nur
in der
Geschwindigkeitsfeldes
Schaufelgitters
der Schaufelkonturen des konischen Gitters
frei,
den Meri¬
Umfangskomponenten des Geschwindigkeitsfeldes der kontinuierlichen Wir¬
belbelegung überlagert.
ist
der
Strömungsmedium
Voraussetzung
ver¬
im Innern der
ist dann die Zirkula¬
tionsverteilung längs der Schaufelkontur identisch mit dem gesuchten Geschwindig¬
keitsverlauf
aussen am
Profil.
Die Schnittlinie der Schaufelfläche mit der
Schaufelprofil.
toriellen Koordinaten
P(Z)
in der
Bild 14
gegebenen Bezugsfläche ergibt das
Die laufende Koordinate auf dem Profil sei
t,
für die
Singularitäten
Bezugsfläche eingeführt,
Vektorielle Koordinaten
t,
d r
(X)
=
s.
Ferner werden die vek-
y (s) ds und
Z für den Punkt
Bild 14.
und
Z,
laufende Koordinate
s
auf dem Profil
61
-
Das
Geschwindigkeitsfeld
x
(s)
(Z)
ist,
auf den Schaufel¬
der Anteile aller Elementarwirbel d I"
(s)
=
c-jt(z)
•
<f>ï(s)
ctgh(Z,i;(s))
Aufspalten
die
Komponenten
78)
ds
^ (s)
in der die Zirkulationsdichte
wie unter 4.1
)
=
StTzy
<h<s>-
=
2tTzl
^(S)
=
zur
'
Wz?i'
(Z)
ï
beschrieben,
Axialkomponente
Die
analog,
Z
jjfyy
=
der
zunächst
.^
Geschwindigkeit
erhalten werden:
Cvr(Z)
(
-
können durch
V<Z)
c
=
78),
Aus der Gleichung
noch unbekannt
v
Wirbelbelegung
ds berechnen:
^J(Z)
c
der kontinuierlichen
Aufintegrieren
konturen lässt sich durch
-
c
§l{a)
und die
in die
'
'
fx(Z'
79>
ds
cosh6(Z,t,(s))
t,(s))"tgh 9(Z,Ï,(S))
ly(Z,ty(s))
80)
dS
81)
ds
Radialkomponente
c
a
r
(
Z
)
lassen sich
Geschwindigkeitskomponenten
c
(
Z
)
und
Bezugsfläche transformieren:
I
V<z>
gfo**w y^^^tSefz.Ms))
=
•
82)
-
vz)
sin-^(Z)
•
tgh 8(Z,
^(s))]ds
gfe^w-yg.wfa^u,^»
-
83)
+
Die
cos"ip(Z)
Ueberlagerung
des
•
tgh 9(Z,
l,(s))]
ds
Geschwindigkeitsfeldes
c
,
(
Z
)
mit der
strömung:
OZ)
=
c"*
(Z)+c""(Z)+ c~*. ( Z )
gegebenen
Grund¬
62
-
ergibt
in
Punkt
jedem
P(Z)
WZ>
=
+
^(Z)
=
zugehörigen Komponenten
cm(Z>
die resultierende
Bezugsfläche
der
"c(Z)
Ihre
-
2ÎTZT
+
c~J(Z)
Bezugsfläche
zur
^ (s)
'
Geschwindigkeit
fx< Z
'
sind
gegeben
durch:
[cos Je( Z,
*<"»
'
t;(s))
84)
sin^(Z) tgh 6(Z,
-
cn<z)
«w2*
=
t,(s))]
ds
Wzy*'(Z)- yz^(s))[S(8U,t,(s»
+
+
85)
cosiy(Z) tgh 6(Z,
+
ct(Z)
Man
cœm(Z)
=
.
ctg(3œ(Z)
+
t,(s))|
2t^y §l{*yiyez, *,{*))
überprüft leicht, dassdie Gleichungen 85), 86)
Gleichungen 55), 56)
und
57)
für die
ds
und
87)
für x'— ±
86)
ds
oo
in die
entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten
übergehen.
Das
einmalige
liefert, unabhängig
•j (s)
•
ds.
Die
Umfahren in der
vom
Integration
eine Schaufel.
79), 80)
und
aller elementaren Potentialwirbel
<h(s)ds=r.
=
<f>y(s)
Für x'—« t oo wird f
81) folgt
des elementaren Potentialwirbels
gewählten Integrationsweg, die Elementarzirkulation
f
um
Bezugsfläche
sofort:
c
*x
(Z)
ds
(Ç
=
,
0;
<j>c(s)
=
Z
)
—
c
K
(Z)
(s)
=
ds
0 und f
=
ergibt
d r
die Zirkulation
( Ï,
,
Z
)
—
±
0und2t(Z)-c
1 streben.
l
t(Z)
=
Aus
63
-
-
4. 5 Die kinematische Bedingung
Zur
der 2.
Lösung
Bezugsfläche berechnet
komponenten
(Z )
c
genügt es,
+
i c,
(
Z
)
zur
Lösung
der 2.
um
Geschwindigkeitsfeld
zu
Bezugsfläche leisten,
der Zirkulation T
zu
Die Normal¬
weil sie senkrecht
Aus diesem
.
die zweidimensionale
Schaufelgitters
Bezugsfläche
(
c
)
Z
+
i
(
c.
Z
wird für das resultieren¬
) gefordert,
Schaufelkonturen des konischen Gitters Stromlinien dieses Feldes sind.
lierung
der
der kinematischen
Integralgleichung
digkeitsverlauf
c
(s)
aussen am
Die kinematische
führt auf eine
Bedingung
liefert die
Umformung
Gleichungen 84)
86):
=
^^
87)
fy(Z,
•
t,(s))
ds
Integralgleichung:
-
ctgpœ(Z)]
-
-
sin-«y(Z)
tgh
•
8(Z,t,(s))]
physikalische Bedingung,
vorhanden sein muss, also
c(0)
=
-t
(0)
dass
=
88)
ds
an
der
Auflösung
Integration
der
der
Integralgleichung 88) ergibt
Zirkulationsverteilung
Zirkulation T
um
eine Schaufel.
die
liefert die
spitzen Hinterkante
0. Dann existiert,
3. 6 gezeigt wurde, eine eindeutige Lösung der Integralgleichung
benötigte
und
-
entsteht die
Hinzu kommt noch die
Die
Geschwin¬
fx(Z,^(s)){^a^)ti(s)) sin^(Z)tghe(Z,t,(s))]ds
-
Die
Auflösung
gesuchten
fo(8)[yz,t,(B)) ^p(z)-fx(z,Ms))[^h^)t;(s))
=
Staupunkt
Die Formu¬
Die
ct(Z)
=
2t(Z)coom(Z) OePtZ)
ein
den
aus
cœm(Z) ctgpœ(Z) +#ï(s)
2t(Z)Coom(Z)+^(s).
also den
dass die
betrachteten Profil.
ctg|3(Z)
Durch
Integralgleichung.
Zirkulationsverteilung,
Bedingung folgt sofort
2t(Z)
Strömung
bestimmen.
ebenen
geraden,
in der
vorgegebenen
Schaufelprofil.
ein
Hauptaufgabe
Bezugsfläche
in der
Wie auch im Falle des
de
zur
Integrationsweg stehen, keinen Beitrag
auf dem
Grunde
man
die Zirkulation V
(Z ), Gleichung 86),
c
des konischen Gitters in der
Hauptaufgabe
wie unter
88).
Zirkulationsverteilung
zur
Lösung
der 2.
y
(s).
Hauptaufgabe
Die Zirkulation ihrerseits lässt sich mit
-
der
Geschwindigkeitskomponente
c
64
-
sehr weit
.
dem Gitter darstellen
vor
durch:
^(s)ds
T=
2tlC
=
I
0
=
I X1-*-
2t1cooml[ctgßoo-ctgp1]
OD
89)
2t(Z)ca)m(Z)tctg(ia)(Z)
=
Für die
winkel
p
*
ctgßjtZ)]
-
praktische Anwendung der 2. Hauptaufgabe
zum
Gitter
und das Einsetzen in
vorgegeben.
88) ergibt
Die
Auflösung
der
ist immer der Anström¬
Gleichung 89)
Integralgleichung
darauf die
des
nach
ctg ß
vorliegenden
(
)
Z
Prob¬
lems:
2t(Z)coom(Z)[ctgP(Z)
Jim [yz,
-
Der
us»
-
cteMZ)]
ctgß(z) yz, t,(S))
sin\))(Z). tgh 6(Z,
Integralgleichung 90)
"
ist wieder die
*,(s))]
+
=
[gy$t t,(s))
l]
90)
ds
Nebenbedingung y (0)
=
0
(Staupunkts¬
bedingung) auferlegt.
Der Existenzbeweis einer
führen,
wie unter 3. 6 beschrieben.
wie unter 3. 7
ne
Lösung der Integralgleichung 90) lässt sich gleich
Die
dargestellt, durchgeführt.
Auflösungsverfahren
der
Ferner lässt sich das unter 3.8
Integralgleichung 23)
Die für die Schaufelkonturen des
setzungen, Abschnitt 3.9,
Integration über die singulare Stelle wird,
geraden,
ebenen
angegebe¬
in unveränderter Form übernehmen.
Schaufelgitters getroffenen
sind auch für das konische
Schaufelgitter
Voraus¬
zutreffend.
65
-
-
4.6 Das rotierende Gitter
Die reibungsfreie Strömung durch ein rotierendes Gitter ist
system eine Potentialströmung, rot
rot
Die
w
Potentialströmung
rot
=
gegebenen
schwindigkeit
in Funktion der Zeit.
Punkt des
in eine stationäre
überführen,
Abhängigkeit
Ort
und Ort einander
ganzen
weil
man
ersetzt,
die
man
Bezugsfläche,
so
c
-
Im
rot
Relativsystem gilt
u
=
Strömungsfeldes
-
rot
Zeit
=
*/
Absolutströmung
im Absolut¬
wegen
w
=
c
u:
-
sich
an
instationär,
ändern sich Druck und Ge¬
Abhängigkeit
denn für konstante
nur
u
Man kann diese instationäre
indem man die
proportional:
Untersucht
0.
=
durch ein rotierendes Gitter ist
denn in einem
vom
c
von
Potentialströmung
der Zeit durch eine
Winkelgeschwindigkeit
u>
sind Zeit
Co
für einen bestimmten
sind damit auch die Verhältnisse
die dann herrschenden Verhältnisse durch
zu
Zeitpunkt
in der
anderen Zeiten erfasst,
entsprechende Winkelverschie¬
bungen finden kann.
Anschaulich kann
zu
man
sich dieses Verfahren
vorstellen:
so
verschiedenen Zeitpunkten "Momentaufnahmen" der
Alle diese Momentaufnahmen können offenbar
man
sie
nur
Die
zu
wenn
bestimmen.
Absolutströmung
nirgends
tet dies für das
zu
muss
durchdringen.
vorliegende
u(Z)
•
dann die
Bezieht
Problem die
sinß(Z)
=
ct(Z)
Bedingung erfüllen,
man
sich auf das
die
•
sinß(Z)
bewegte Schaufel¬
Absolutsystem,
folgende Randbedingung,
Man könnte auch dadurch eine stationäre
man
Deckung gebracht werden,
geeignet dreht. Es genügt also, die Absolutströmung in einem beliebi¬
gen Zeitpunkt
fläche
zur
Man denke sich
Absolutströmung gemacht.
+cm(Z)
.
von
solcher Stärke
dass die
91)
cosß(Z)
Absolutströmung erreichen,
angebracht denkt,
bedeu¬
Bild 15:
sich das Gitter ruhend vorstellt und sich auf den Schaufelkonturen
Senkenbelegungen
so
dass
Quellen- und
Bedingung 91)
erfüllt
ist.
Zur
Berechnung
den Gitters wird
nun
der
Geschwindigkeitsverteilung
in der
Bezugsfläche
das
um
die Profile eines rotieren¬
Geschwindigkeitsfeld
c
( Z)
+
i
c
,(Z)
-
66
-
<S,iv
Bild 15
Zur
Herleitung
Randbedingung 91)
der
der
Belegung gebundener Potentialwirbel auf den Schaufelkonturen im Absolutsystem
den
gegebenen Geschwindigkeitskomponenten
mung in der
Die
( Z)
c
+
i.
c
.( Z)
der Grundströ¬
Bezugsfläche überlagert.
Bestimmung
ben durch die
der
Zirkulationsverteilung
Bedingung 91).
Die
Umformung
u(Z)
ctgß(Z)
v
von
-
geometrischen Zusammenhängen
der
Wirbelbelegung
ct(Z)
des
Geschwindigkeitsdreiecke
92)
'
Geschwindigkeitsdreiecks,
16:
Bild 16
ist gege¬
führt auf:
(Z)
c
m
Mit den
(s)
91)
des rotierenden Gitters
Bild
67
u(Z)-ct(Z)
u(Z)
=
+
-
cœt(Z)
(Z)
c
c
r
(Z)
(Z)
c
=
+
+
ctgß(Z)
Mit f
=
(j>
ï
(s)
Integralgleichung 90)
=
ctt(Z)
(Z)
+
Gleichungen 81)
ds und nach Einsetzen der
(
c
erhalten.
Z
Dieser
)
und
(
c
94)
(Z)
c
Z
)
94)
in
Integralgleichung
und
82)
für die
wird formal wieder die
ist die
Nebenbedingung
auf¬
spitze Hinterkante Staupunkt der Relativströmung sein muss, also
dass die
(o)
+
±i^
=
Geschwindigkeitskomponenten
i
93)
(Z)
c
^(Z). ctgü1(Z)+-^
c
=
cu(Z) +2fT^-4
(Z)
c
rc
c
erlegt,
-
Gleichung 92) darstellen durch:
iässt sich die
w(o)
1
rc
u(Z)
=
w^ZJ+^
=
(Z)
c
+
0. Die
Auflösung
der
Integralgleichung
liefert die Zirkulationsver¬
teilung fl (s).
Beim rotierenden Gitter ist
die
Zirkulationsverteilung
gesuchten Geschwindigkeitsverlauf
identisch mit dem
wie
nun
nachfolgend gezeigt
werden
soll,
die
w
(s)
y
(s)
nicht mehr
aussen am
Profil, weil,
im Innern der Schau¬
Relativgeschwindigkeit
felkonturen nicht mehr verschwindet. Dazu werden die Zirkulationsverhältnisse im
ruhenden und im rotierenden Gitter untersucht.
Das
einmalige
konischen Gitters
dieses
c
(s)
ergibt die Zirkulation f
identisch mit dem
Ergebnis
aussen am
Umfahren aller Elementarwirbel auf einer Schaufelkontur des
<}>
=
*
Umlaufintegral
(s)
ds.
der
Geschwindigkeitsverteilung
Beim ruhenden Gitter ist
Profil:
L
l"c
=
(f>
jj (s)
ds
=
je (s)
ds
=
t2 c2t
-
95)
tx clt
o
Das
den
Geschwindigkeitsfeld
Forderungen
digkeitsfeldes
für eine
mit der
der
gebundenen
Potentialströmung.
Potentialwirbel genügt bekanntlich
Die
gegebenen Grundströmung
tentialströmung ist, ergibt
wieder eine
Ueberlagerung
c.,
die nach
Potentialströmung.
dieses Geschwin¬
Voraussetzung
eine Po¬
Demnach ist der Wert der
68
-
Zirkulation
T
die betrachteten
Im
c
(s)
unabhängig
Singularitäten
vom
gewählten Integrationsweg,
wenn
nur
Geschwindigkeitsfeld
der
Gitter,
eingangs
mehr.
Das
bedeutet,
dass das
Insbesonders
ergibt
die
in einem
festgestellt wurde,
einmalige
gewählten Integrationsweg abhängige
der Relativströmung liefert.
Relativströmung
dieses Abschnittes
wie
Potentialströmung
vom
einmal umfahren werden.
dazu ist das
konischen
Schaufelkontur
ds
o
Gegensatz
rotierenden,
keine
/
=
c
-
Umfahren der
Werte für die Zirkulation
Integration
unmittelbar
um
Schaufelkontur:
L
Tws
=
/
w(s)
ds
o
und die Integration längs
Teilungen
t.
vor
Bild 17
homologen
und t„ hinter dem
Zusammenhang
rw
=
Kurven zwischen den Schaufeln und über die
Gitter, Bild
17:
zwischen den Zirkulationen
'
t*2
W2t
*
*1 Wltl
T
und T
die
69
-
Tangentialkomponenten
Die
und
w_.
-
lassen sich über das
w-.
Geschwindigkeits¬
dreieck ausdrücken durch:
Da die
ten der
wlt
=
ul
W2t
=
U2
fw
=
"
[t2
c.
C2t
"
Relativströmung
der
Tangentialkomponenten
Absolutströmung
clt
"
w,
entgegengesetzt gerichtet sind,
w2t
"
*1 Wlt^
=
[t2(u2
"
c2t>
"
-
den
Umfangskomponen-
wird
Vul
*
Clt)]
=
96)
(t2 c2t
=
Im
das nach
Absolutsystem,
H Clt>
"
(t2
'
u2
"
*1 Ul>
Voraussetzung einer Potentialströmung entspricht,
ist:
rc
"
42 c2t
*1 clt
"
Mit:
ru
lässt sich die Gleichung
96)
=
h u2
*1 ul
"
für die Zirkulation T
der
Relativströmung
umformen
in:
r
r
=
Der
Integralsatz
von
Gauss
eu
ds
=
175.
Absolutströmung
u
+
w
[11]*
=
J
F
S.
der
der Relativströmung ist wegen:
c
*)
'
u
Zusammenhang zwischen der Zirkulation T
Zirkulation T
und dem
97)
r
-
c
w
I
rot
w
|(dF
.
simy)
und der
70
-
auch
-
gegeben durch:
r
r
-
J
=
Irot vT |(dF
98)
sin-*)
•
F
Die Fläche F umfasst den durch die
Teilungen
feln und den
homologen Kurven
zwischen den Schau¬
abgegrenzten Integrationsbereich,
t„ und t.
Bild 17.
Sie
ein.
schliesst also einen Schaufelquerschnitt F
Aus denselben Gründen gilt für den Zusammenhang zwischen der Zirkulation
T
und dem Umlauf integral der
Absolutströmung
der
w(s):
rwg
=
<J>
w(s)
Geschwindigkeitsverteilung
ds
rr
rw«
"
l.
/
=
WS
lrot
|(dF
w
99)
sin-y)
.
j,
S
Flächenintegral
Das
fils erstreckt.
Aus den
in
99)
wird also über den Querschnitt F
Gleichungen 98)
T
zwischen den Zirkulationen
r
w
und T
r
=
w
und
lässt sich
nun
Schaufelpro¬
sofort die Beziehung
angeben:
ws
f
-
ws
99)
des
I
rot
w
I (dF
ly)
sin
•
100)
F-F
s
Das Gleichsetzen der
97)
und
für die Zirkulation der
Gleichungen
Relativströmung T
,
100), ergibt:
rn
rw«
"
l.
r„
=
WH
/
"
U
IrotwKdF-
Blnip)
101)
j,_j,
S
Im
also für
Spezialfall des rotierenden Radialgitters
y
=
TT
/2
und F
=
S
0, ergibt
dass der Drehsinn der Rotation
demjenigen
mit unendlich dünnen
Flächenintegral
des Laufrades
in
101)
Schaufeln,
unter
Beachtung,
entgegengesetzt
ist:
2wTT(r*-r?)
,
J I
das
_
rot
w
l dF
=
F
Für den betrachteten
Spezialfall
i
1-
r
=
'
N
ist dann:
f
=
r
u
oder:
r
=
6
y
(s)
ds.
71
-
Spezialfall des
Im
Bezugsflächen
t1
Axialgitters
rotierenden
t„, Uj
=
T
u„ bzw.
=
J
|
-
rot "w
=0.
|(dF
mit F
sin-vp)
.
0
>
gilt
auf
Ferner ist wegen
zylindrischen
"\y
=
0:
0
=
F_Fs
Damit
<j>
fl (s)
Die
P
ergibt
sich
aus
101) erwartungsgemäss:
V
Anwendung
auf eine
tierenden,
Gleichung 98) für die Differenz der Zirkulationen f
der
beliebig
kleine Kontrollfläche im Innern der Schaufelkontur eines
konischen Gitters
ergibt
d T
wegen d T
2
+
=
cj
=0 und
dF
.
sin
.
w
^ Ooderw(Z) ^ 0,
dT
bzw.
im Innern der Schauielkontur.
g el
[17] bestätigen,
rad die
Im
Gegensatz
der
zum
ds
=
ruhenden
aus
vT I
=
-
2co
und
ro¬
:
-U)
T
verschwindet nicht
von
E.
Grüna-
allseitig abgeschlossenen
Radial¬
nicht verschwindet.
Gitter,
Geschwindigkeit
Profil
rot
Relativgeschwindigkeit
dass in einem rotierenden und
beim rotierenden Gitter die
aussen am
die
d.h.
I
Die experimentellen Untersuchungen
Relativgeschwindigkeit
belegung gleich
mung
<p w(s)
oder:
V
=
ds.
(s)
c
wo
Profil
gesetzt
gesuchte Geschwindigkeitsverteilung
dem im Bild 15
% (s)
die Zirkulationsdichte
aussen am
w
der Wirbel¬
werden kann,
(s)
muss
der Relativströ¬
dargestellten Geschwindigkeitsdreieck
be¬
stimmt werden:
w(Z)
Mit den
15,
und dem
=
u(Z)
•
cosß(Z)
Geschwindigkeitssprung y (
Gleichung 102)
W<Z>
cm(Z)
sin(3(Z)
-
ct(Z)
•
cosß(Z)
102)
geometrischen Zusammenhängen des Geschwindigkeitsdreiecks, Bild
Punkt unmittelbar aussen
der
+
am
für die
Z
)/2
der
Absolutströmung
Profil und dem Punkt P
(
Z
)
zwischen dem
auf dem Profil
folgt
aus
Relativgeschwindigkeit:
=[<WZ>- ctefri<z>+2ETO citfZ)] C0Bl3<z)+[cœm<Z>
+
cjm
(Z)]
sinß(Z)
+JL2^
+
103)
72
-
5.
-
3.
Theorie,
Kompressible
Teil:
Gitter st
Die in den Abschnitten 3 und 4 dargestellten
volumenbeständigen
Mediums
sind noch hinreichend genau,
vorausgesetzt
wird
le Mach'sehe Zahl
kompressiblen
am
kale Mach'sehe Zahl
genüber
die
dem
inkompressiblen
Dichteänderungen längs
Behandlung
ein schwach
eines
kompressibles Strömungsmedium
ausgedrückt,
1 ist. Wird
dagegen
1,
-
so
wenn
bei der
die
grösste loka¬
Strömung
Fall
zu
eines
grösste lo¬
sind beträchtliche Unterschiede der Ge¬
Profil und damit auch der
am
gesamte Dichteänderung
Bei der
«
Profil Ma
am
Strömung
der
die Schaufeln des betrachteten Gitters die
um
schwindigkeitsverteilung
kalen
um
wenn
Profil Ma
Mediums
Berechnungen
die Schaufeln von ebenen und räumlichen Gittern
mit anderen Worten
oder,
römung
erwarten.
Abströmung
Dies rührt
daher,
des Gitters ge¬
dass die lo¬
des Profils selbst wesentlich grösser ausfallen als
und hinter dem Gitter.
vor
der 2.
Hauptaufgabe
der
Gitterströmungen
von
thermischen
Turbomaschinen kann die Dichteänderung im Gitter oft nicht mehr vernachlässigt
den. In den
folgenden
Abschnitten soll darum das unter 3 und 4 beschriebene
laritätenverfahren auf die
wer¬
Singu¬
reibungsfreie, kompressible Gitterströmung ausgedehnt
werden
5.1 Die Grundlagen des Berechnungsverfahrens
Zur
en,
Herleitung des vorliegenden Verfahrens
kompressiblen
Gitterst römung geht
zur
man aus von
Berechnung
der
u. a.
von
der
reibungsfrei¬
M. H.
Vavr
a
[18] angegebenen Beziehung:
v
Vif
2
Y
=
2
104)
—r
cs
Die
Gleichung 104)
entsteht
aus
der Kontinuitäts- und der
und bestimmt die
stationäre, isentrope Strömung gegenüber
natensystem.
Gleichung 104)
Die
trachtet man die
Quellenterm,
so
Gleichung 104)
schliesst man
ist eine Poisson'sehe
als
Bewegungsgleichung
einem festen Koordi¬
Differentialgleichung.
Laplace'sehe Differentialgleichung
daraus,
dass die
Be¬
mit einem
kompressible Strömung exakt dar¬
gestellt werden kann als inkompressible Strömung mit Quellen
an
Stellen
von
be-
73
-
schleunigter und Senken
an
Stellen
von
-
verzögerter Strömung. Wie später noch ge¬
zeigt wird, ist diese Darstellung auf den Unterschallbereich,
Im
folgenden
verfahren auf die
Dazu
ausgedehnt.
noch näher
wird
nun
Mafflax
<
1,
das in den Abschnitten 3 und 4 entwickelte
Hauptaufgabe
Singularitäten¬
kompressiblen Gitterströmung
Behandlung
der 2.
belegt
den Bereich zwischen den Schaufeln und ein
bezeichnetes)
man
Gebiet
vor
der
inkompressiblen Gitterströmung
Profilkonturen des betrachteten Gitters
gebundene
Geschwindigkeitsfelder
der
Diese kinematische
zu
kommt noch die
renden Feldes ist.
Quellen,
Die
der
teten Gitter
Dampfes
dass die
Forderung,
Eine 2.
y
(s)
ds und
q(l^
aus
der
sind.
Berechnung der Er¬
,
ip) dFq
Zustandsänderung
Voraussetzung
von
betrach¬
Anwendung
grösste Geschwindigkeit
da die im
Schallgeschwindigkeit erreicht,
die
die
zum
eines idealen
Demnach ist die obere Grenze für die
wenn
und Senken.
lassen sich noch mit
Zuströmgeschwindigkeit
Dazu wird die isentrope
Verdichtungsstösse
man
eingeschlossenen Quellen
Mach'sehen Zahl Ma. der
verknüpfen.
Schaufelprofil
<T(Z)
resultierenden Feldes
erhält
vorliegenden Berechnungsverfahren gegeben,
tretenden
Die
spitze Hinterkante Staupunkt des resultie¬
Integralgleichung
im Gitter betrachtet.
die
sind auf den
angeordnet.
Bedingung führt auf die 1. Integralgleichung des Problems. Hin¬
Singularitätenverteilung
vorgegebenen
Quel¬
Dazu fordert man, dass die Schaufel¬
Ueberlagerung
der in einem bestimmten Bereich
giebigkeit
Elementarwirbel
5. 2
Senken und Elementarwirbel werden wieder ei¬
vorgegebenen Grundströmung überlagert.
konturen Stromlinien des aus der
(unter
und hinter dem Gitter kontinuierlich mit
len und Senken. Wie auch im Falle der
ner
beschränkt.
Ueberschallgebiet
des
am
auf¬
isentropen Zustandsänderungen
verletzen.
5.2 Das
Die
Geschwindigkeitsfeld
schen Gitters
nisch
kompressiblen,
räumlichen
Gitterströmung
Behandlung der 2. Hauptaufgabe der kompressiblen Gitterströmung mit der
Singularitätenmethode
siblen,
der
wird hier für die willkürlich
durchgeführt.
Die
Gleichung
für das
räumlichen Gitterströmung lässt sich
wichtige
(wie
gewählte Bezugsfläche
Geschwindigkeitsfeld
unter 4
beschrieben)
eines koni¬
der
Gitter spezialisieren.
Die Schaufeln des konischen Gitters werden durch eine kontinuierliche
von
gebundenen
kompres¬
auf andere tech¬
Potentialwirbeln
(also
Belegung
durch Wirbelkegel) ersetzt. Die Wirbeläste auf den
74
-
Kegelmänteln,
Bild
10,
-
Erzeugenden
sind die
(Abschnitt
keitsfeld des betrachteten Wirbelsystems ist bekannt
^J(z)
=
2ïîW^(s)
-
Ctgh(z'^(s))
Geschwindig¬
der Schaufelfläche. Das
ds
4):
4.
2tfzy ^ï(s)[fx(z,t;(s))
=
'
78)
-
fy( Z
i
,
ï, (s)) ]
Neu hinzu kommt in diesem Abschnitt die
feldes einer räumlichen Quellen- und
der
Gitterströmung
mit
nen
Berechnung
ist. Das
zu
belegen,
bedeutet,
belbelegung
Schaufelkonturen,
mit Normalebenen
3 und 4
entnehmen,
bis|(x-
!•
)/t|
^
zu
den Wirbellinien als
allgemei¬
Geschwindigkeitsfeld
der Wir¬
geraden,
ebenen
Bezugsflächen,
%
aufgezeigt,
dass die Stromflächen des
sich die Stromfläche des
Wirbelkegels
Wirbelkegels Kugeln
Stromflächen, Kugel
und
Ebene,
einander vertauschbar sind. Dann und
einer räumlichen
Gleichung 78)
nur
nachgewiesen
über die Funktion i
konform in die Stromfläche der Wirbelreihe abbilden. Daraus
trachteten
den Bildern
aus
Ivor der vorderen
deren Zentrum die Kegelspitze ist. Wie im Abschnitt 7. 2 noch
wird, lässt
Bezugs¬
Schaufelgitters,
lässt sich
von|(x- ^)/t|
dass sich der Bereich F
oder
im
1 nach der hinteren Gitterfront erstreckt, Bild 18.
Unter 4.1 wurde
sind,
beschleunigte
sondern auch durch die Gestalt der
Nur für den Grenzfall des
fläche bestimmt wird.
in dem
jener Bereich
dass dieser Bereich F
Fall des konischen Gitters nicht allein durch das
auf den
Geschwindigkeits¬
des
Nach 5.1 ist
Senkenverteilung.
Quellen oder Senken
verzögerte Strömung vorhanden
ds
ctgh(
folgt, dass
Z
,
ç)
in den be¬
Stromlinien und Potentiallinien unter¬
dann erhält
Quellenbelegung (Quellenkegels)
man
formal
das
aus
Geschwindigkeitsfeld
der
Multiplikation der
mit i:
Kiz)
~-
W)
$
«i«;^).
ctgh<z,i;(ç,«,))%
=
q
=
Die
legt
man
WZ)
f
l^'^tyZ.V^T?)) +ifx(Z,^(!?,T?))] dFq
Gleichung 105)
lässt sich auch auf elementarem
die N Geraden z' auf dem
tarquellen
+
Q
.
dz' und die
Kegelmantel,
Bild
10,
Wege herleiten.
105)
Dazu be¬
mit räumlichen Elemen¬
Symmetrieachse x* mit räumlichen Elementarsenken
-
75
-
Wirbelreihe
gerades,
Bild 18
-
N
Q
dz'/2.
Setzt
lässt sich darauf die
Fall des
man
Belegung
mit Quellen und Senken
Bereich F
noch die
Ergiebigkeit
Rechnung analog dem
Wirbelkegels
nuierliche
ebenes Schaufelgitter
durchführen. Der
des Bereiches F
führt schliesslich auf die
von
pro
Längeneinheit Q
W.
Touchy
Uebergang
vom
mit elementaren
Vi
Beziehung 105).
belegt
[16]
=
konstant,
so
beschriebenen
Quellenkegel
auf die konti¬
Quellenkegeln q($
,
ij ) dF
4
-
Das
Geschwindigkeitsfeld
76
aller in F
Potentialströmung. Die Integration
einer
abhängig
der in F
6 [i
vom
-
eingeschlossenen Quellenkegel entspricht
fflfi c* ( Z)]
dz
um
den Bereich
r(Z)]dz*
Q
=
=
q
/
q(^>T?)dF 4
F
Andererseits ist das Geschwindigkeitsfeld
strömung vorliegt,
unabhängig
also:
rot^T(Z)
=
2t(Z)
•
c
4
(Z)|
=
cJZ)
Wie auch im Fall der räumlichen
c
Geschwindigkeitsfeld
(
Z
)
und
c
.(
Z
)
0. Die
c
(7.) rotationsfrei,
Integration
<p
c
( Z)
106)
x'-^t
oo
da Potential¬
dz liefert eben¬
gewählten Ihtegrationsweg:
vom
j>
das
un¬
Quellenkegel.
enthaltenen
q
falls
liefert,
gewählten Integrationsweg, die gesamte Ergiebigkeit pro Längeneinheit
der
dz
=
107)
0
Wirbelverteilung (Abschnitt 4. 4)
Quellenkegel, Gleichung 105),
in
lässt sich
Komponenten
c
(Z),
vorgegebenen Bezugsfläche darstellen:
zur
108)
sin-Y(Z) tgh
-
V<Z>
=
e(Z,ï,(Ç,T7))]dFq
WZjS q(^T?)fy(Z,M^^))[coshC60(Sz^%,1?))
+
q
109)
+
cos-U»(Z).
Vz)
=
tgh
Wzl
BfZ,^,^))] dFq
f
iK.y)^,^,^))^
F
110)
q
Die
Ueberlagerung
Geschwindigkeitsfeld
benen
Grundströmung
c
v
des
Geschwindigkeitsfeldes
(
der kontinuierlichen
Z
)
c*"(
Z
)
der
Quellenkegel
Wirbelverteilung
mit dem
und der vorgege¬
77
-
cœ(Z)
ergibt
jedem
in
siblen,
P(Z)
Punkt
cœm<Z)
=
-
cœn<Z>+ca*(Z)
+
die
Bezugsfläche
der
Geschwindigkeit c( Z)
der
kompres-
räumlichen Gitterströmung:
c,(Z)
=
cœ(Z)
Cj(Z) +cq(Z)
+
cœ(Z)
=
-
111)
-
5tTzT^Ï(s)
Spezialisierung
Die
(Axialim
ctgh(Z.^(s))
und
ds
inkompressiblen
chung 111),
sind
cm<Z>
ccom< Z>
=
gegeben
-sin-^(Z)
Cn<Z>
=
+
•
V'Z»
cos^(Z)
ct(Z)
=
•
+
(Abschnitte
+
ctgh(Z'^
"
auf andere technisch
Schaufelgitter)
4. 2 und
4.3)
ist
^,T?))-clFq
wichtige Gitter
grundsätzlich gleich
wie
durchzuführen.
der resultierenden
Geschwindigkeit^ Z),
Glei¬
durch:
StTZl
tgh
111)
ebene
zugehörigen Komponenten
Die
^ q(^ ,1?)
2ÎTZ7
der Gleichung
Radialgitter, gerade,
Fall
+
h
<3>
fx( Z ^ <s»
e(Z,t,(s))]ds
21TZT
tgh 9(
Z
^<S>
,
t, (s))
+^y
yZ- W
] ds
ccon(Z)ctgPco(Z)
[cosn^Z fj (,))
+
J q()Ç ,17)
Fq
(
q(Ç
,
112)
•
[co£V(ZZ.\M)
gtfzy
'
+
113)
T) )
Fq
+Wzl^(s)fy(Z'^(s))
ds
+
114)
Fq
78
-
-
Mit dem Verschwinden der Quellendichte
113)
85)
und
und
114)
über in die dem
q(E,
,
tj ) gehen die Gleichungen 112),
inkompressiblen Fall entsprechenden
Beziehungen 84),
86).
Verteilung der Singularitäten wurde das Innere der Schaufelprofile
Bei der
gespart.
quellen-
Im Innern der
und
ist demnach die
Schaufelprofile
rotationsfrei,
wenn
identisch verschwindet. Ferner schliesst
dass das
Geschwindigkeitsfeld
(
c
)
Z
Strömung
nur
dann zugleich
Geschwindigkeit c(Z), Gleichung 111),
die
Gleichungen 106)
den
man aus
Durchgang
beim
aus¬
und
dort
107),
durch die Schaufelkontur ste¬
tig bleibt. Daraus folgt schliesslich, dass die Zirkulationsdichte j (s) der gesuch¬
ten
Geschwindigkeitsverteilung
aussen am
Profil entspricht. Auch im
kompressiblen
Fall ist die Wirbelverteilung auf den Schaufelkonturen nicht anderes als die auf die
Dicke null
zusammengeschrumpfte Grenzschicht,
reibungsfreien
Die
Fall einstellen
Gitterströmung erfordert
hinter dem
die
Gitter,
also für
zugehörigen Komponenten.
Damit
ergeben
c2m(Z)
x'/t
=
lrr\
Ccon(Z>
c2t(Z)
+
od,
aus
oo
+
—*
2tfc |
den
räumlichen
des
für den Referenzschnitt 2 weit
Gleichungen 112), 113)
streben f
(
Z
,
^)
—0 und f
tgh
.
und
(
Z
,
114)
t,)
die
—
+
1.
2tTz7
Ccom(z)
\
*
(i „(Z)
rechnet werden aus:
der
*))
'
115)
I P
q(^^
[
\
}
SÙ1 TP
cosh
(
Z
)
9(ZI,\(Ç V))
+
,
q
tgh
.
,
9(Z,Ç(ÇfT7))] dFq
f
1
+
cos-uj(Z)
=
[cosh Suffis
^' V )
9(Z,T,(^
ctePœ(z)
Geschwindigkeitskomponenten
Abströmwinkel
man
Fq
siniv(Z)
+
Mit den
x'/t—+
kompressiblen,
Abströmgeschwindigkeit c„(Z)
Dazu berechnet
Für
ccom(Z)
-
lrr\
der
der
sich:
=
c2n(Z)
Hauptaufgabe
Bestimmung
konischen Gitters.
betrachteten,
vorausgesetzten,
muss.
der 2.
vollständige Lösung
wie sie sich im
Gitterströmung
c„
in der
,tj))]
dFq
+Wz7^(s)ds
(Z)
und
116)
c,t(Z)
ihrerseits kann der
vorgegebenen Bezugsfläche be¬
11?)
79
-
CteMZ)
Das
mung,
zwei
?(
Geschwindigkeitsfeld
Gleichung 111),
ist
Singularitätenverteilungen,
gegebenen Grundströmung
unbekannten Funktionen
^ (s)
und
c2t(Z)
ÏÏ^TZT
"
der
räumlichen Gitterströ¬
kompressiblen,
der
Ueberlagerung
nämlich
( Z)
c
)
Z
der
aus
-
Geschwindigkeitsfelder
)j (s) dsundq(£,
Zur
entstanden.
q(Ç ,T))
17)
,
dF
Bestimmung
folgenden
sind im
mit der
,
von
vor¬
der zunächst noch
zwei
Gleichungen
zu
formulieren.
5.3 Die kinematische Bedingung
Zur
Lösung der 2. Hauptaufgabe der kompressiblen, räumlichen Gitterströ¬
mung in der
vorgegebenen Bezugsfläche des betrachteten, konischen Gitters be¬
rechnet
die Zirkulation T
man
(Z), Gleichung 113),
c
tionsweg
zur
undq(Ç
zu
,
Tj)
genügt
es zur
Die
<j>1((s)
=
ds
(j>
=
Normalkomponenten
weil sie senkrecht
c(s)
an
zum
ds
Formulierung der 1. Bestimmungsgleichung
die zweidimensionale
Strömung
c
(Z)
+
Integra¬
die Zirkulation
i
c,(Z)
in der
von
y
(s)
Bezugsfläche
betrachten.
Wie auch im
i
Schaufelprofil.
F stehen, keinen Beitrag
von
T
Deshalb
ein
Bezugsfläche leisten,
zur
Bestimmung
um
c.(Z)
inkompressiblen
Bezugsfläche
in der
Fall ist für das
des konischen Gitters
Geschwindigkeitsfeld
zu
fordern,
Die kinematische
ctgP(Z)
Bedingung ergibt
f^
nr
Für die
=
'
geschwindigkeit cT(Z )
zum
Gitter
Die
Formulierung
Integralgleichung.
+
cvt(z)
+
c°0t(z)+cyt(z)
com*
praktische Bearbeitung
+
sich sofort aus:
cm^Z)
ct(Z)
=
(Z)
dass die Schaufelkon¬
turen des betrachteten Gitters Stromlinien dieses Feldes sind.
dieser kinematischen Bedingung führt auf eine
c
der 2.
'
7(m
Hauptaufgabe
(mit Richtung
und
+
Cat(Z)
1«)
cqt (z)
<lm
ist immer die Zuström¬
Betrag) vorgegeben.
Die Ge-
80
-
schwindigkeitskomponenten
Zuströmgeschwindigkeit
trachtet
man
Für
x'/t
aus
den
,(Z )
c
und
-
(
c
werden f
x
Gleichungen 112)
(Z)
c
com
(Z
,
und
118)
werden deshalb mit der
)
f_( Z
~-0 und
y
,
Gitter,
dem
vor
t
)
-*
-
also:
1 streben.
Dazu be¬
x'/t—-
co.
-
folgt
Damit
114):
(Z)
c.
lnr
=
'
t,
in
Singularitätenverteilungen verknüpft.
und den
den Referenzschnitt 1 sehr weit
—-00
)
Z
(Z)
c
+
'
.
qlnr
(Z)
c,lmv
=
+
'
119)
q
coot(Z)
clt(Z) +Cvlt(Z)
=
Setzt
man
noch in
.(Z)
118)
(Z)
und
hält
man
nach elementarer
die
für die
ctgß(Z)
Geschwindigkeitskomponenten
Umformung diel. Integralgleichung
2t(Z)clm(Z) [ctgß(Z)
-
2ÎTZ7^Ï(S)
+
zugehörigen Gleichungen 82), 81), 108)
c
c
clm(Z) ctgPl(Z)
=
-
dgßjtZ)]
yz,t,(s))[C0Shc08S(l(Zt;(s))
=
für
),
Z
so er¬
undq(Ç
$5f(s)[fy(Z,t;(s))
.( Z ),
c
110) ein,
}j (s)
,
tj):
-
t;(s))]
sin^(z) tgh e(z,
-
(
c
und
120)
^
+
i]ds
+
121)
+
/ ^,V)[UZ,^(^,V))
-
ctgß(Z)-[£(Z,!^,Trj))
+
Fc
+
1] [cosh
COST^(Z)
9(Z,
Hinzu kommt einerseits die
kante
Staupunkt
des
riimi(7l,hrh
t,^,!?))
ist
,
17 ).
analog,
Geschwindigkeitsfeldes
Der Existenzbeweis einer
wie unter 3.6
die dem
inkompressiblen
zu
Quellendichte
Fall
c
(
Z
) ist,
Il
J
J
HT?
dFq
dass die spitze Hinter¬
c(0)
also:
=
Bestimmungsgleichung
eindeutigen Lösung
beschrieben,
Mit verschwindender
(f
-.-, H
MV T? »
Y>
8U,
physikalische Bedingung,
andererseits die unter 5.4 beschriebene 2.
q(^
f> 1 7
-"»^UMBli
der
-»(0)
für
-y
=
(s)
0,
und
und
Integralgleichung 121)
erbringen.
q(% ,*}) geht
die
Gleichung 121)
entsprechende Beziehung 90).
über in
81
-
5. 4 Die 2.
Betrachtet
Bestimmungsgleichung
für
strömung als Laplace'sehe Differentialgleichung
sich die
Ueberlagerung
der
chung 104)
chung
Geschwindigkeitsfelder
sind
Ausgangspunkte
die
nun
eines noch näher
einem konischen Gitter
Das
dessen
die
(s)
v
zu
und
,
rj
Quellenterm,
zurückführen. Die
so
lässt
).
und Senkenbele¬
Differentialglei¬
Bewegungsgleichung.
der 2.
Dazu wird die
Dampf [19]
sei ein idealer
nur von
sondern auch auf Gitter im
Hinzu kommt
noch,
fes die mathematische Struktur der
als
Potential¬
Diese Glei¬
Bestimmungsglei¬
isentrope Zustandsänin
vorausgesetzt.
Kompressibilitätsfaktor
gestaltet
mit einem
Herleitung
der
,
[20],
Entropie abhängt.
Gültigkeit der vorliegenden Theorie nicht
Dampfverdichtern.
kompressiblen
bezeichnenden, kompressiblen Strömungsmediums
Strömungsmedium
Maschinen,
q(E,, T?)
Wirbel-, Quellen-
von
für die
q(E,
der
und
kompressiblen Gitterströmung auf die
entsteht aus der Kontinuitäts- und der
für die Funktionen
derung
der
Hauptaufgabe
vorgegebenen Grundströmung
gungen mit einer
chungen
der 2.
Behandlung
(s)
y
Differentialgleichung 104)
die
man
-
nur
auf Gitter in
Heissdampfteil
von
also ein
Stoff,
Damit erstreckt sich
gasverarbeitenden
Dampfturbinen und
in
dass die Voraussetzung eines idealen Damp¬
vorliegenden
Theorie
keineswegs komplizierter
die einschränkende Annahme eines idealen Gases mit konstanten spe¬
zifischen Wärmen.
Wie sich
später herausstellen wird, ist die Durchführung der Berechnung der
reibungsfreien, kompressiblen Gitterströmung
tenverfahren
gleichung
nur
auf iterativem
(s)
für Y
und
q(Ç
17)
,
nach dem
Wege möglich.
geht
man
Zur
darum
vorliegenden Singularitä¬
Herleitung der 2. Bestimmungs¬
aus von
einer 1.
Näherung des
Stromlinienverlaufes in einer Rotationsfläche durch das betrachtete konische Gitter.
Als 1.
Wege
Näherung des Stromlinienverlaufes
erreichbare
(Bezugsfläche)
Lösung
des
kann
beispielsweise die auf direktem
man
inkompressiblen Falles benutzen.
ihrerseits sei als Stromfläche
Die Rotationsfläche
der, unter 6 kurz beschriebenen, rota¬
tionssymmetrischen Meridianströmung gegeben.
Im
folgenden
wird zunächst über die
Massenstromdichte
•
o
(
sinß(Z) hergeleitet.
schen Daten A y
Z
c
(
(
Z
)
Z
Z
).
)
q( \, T}).
vom
Die
Anwendung
der
eine
Beziehung
vor
darauf für die
dem Gitter
2.
)•
geometri¬
Ma^
Kontinuitätsgleichung auf
gesuchte
für die
Querschnitt A b ( Z ) A y( Z
man
und die Zustandsgrössen
tete Stromröhre liefert schliesslich die
und
Energiegleichung
in der Stromröhre
Aus dieser Beziehung erhält
( Z), ß (
ridiankomponente
)
c
k die Me-
die betrach¬
Bestimmungsgleichung
für
y
(s)
82
-
Unter den
-
getroffenen Voraussetzungen
ist die isentrope Enthalpiedifferenz
zwischen einem Punkt innerhalb der Schaufelkontur
genden
mit
*
gekennzeichnet)
und einem
(Stagnationszustand,
im fol¬
beliebigen Punkt P(Z) ausserhalb des
Profils bestimmt durch die Energiegleichung:
k-1
1
J*
Die
Gleichung 122)
c2(^)
P(Z)
122)
p*
wurde ohne Schwere-Glied
angeschrieben,
Term für die hier betrachteten thermischen Turbomaschinen
ren
Gliedern
vernachlässigt
Grössenordnungen
Die
die
werden
kann,
er
gegenüber
den ande¬
selbst in extremen Fällen
um
2
kleiner ist.
Behandlung der 2. Hauptaufgabe
Zustandsgrössen
Zustandsgrössen
da
weil dieser
2
L und c.,/2
erhält
man
vor
kompressiblen Gitterströmung
der
dem Gitter als
gegeben
voraus.
setzt
Aus diesen
(Gesamtenthalpie) j*:
die Totalenthalpie
2
"1
j*
Die herzuleitende
fach,
wenn
die
schwindigkeit
der
Beziehung
123)
für die Massenstromdichte wird besonders ein¬
Lavalgeschwindigkeit (kritische Geschwindigkeit)
in die
Rechnung eingeführt
wird.
Die
c
als
Bezugsge¬
Lavalgeschwindigkeit
c
ist mit
Totalenthalpie j* verknüpft durch:
k
k
-
+
1
124)
r
1
J
Das Druckverhältnis
p(Z)/p*
in
P(Z)
durch das Dichteverhältnis
ç (Z)/
o*
122)
_
kann über die Isentropenbeziehung
Q(Z)
k
ausgedrückt werden.
125)
Das Dichteverhältnis
seinerseits lässt sich darstellen durch:
1
1
1
83
-
-
vorangestellten Gleichungen erhält
Aus den
nach kurzer Zwischenrech¬
man
bezogene Massenstromdichte:
nung die
1
c(z)
9(Z) c(Z)
1
wz
9
Die
Anwendung
k
"
c«(Z)
1
-
-
FTT
c
Kontinuitätsgleichung
der
127)
-^T
c
c
auf die Referenzschnitte 1 und Z
Beziehung für die bezogene
der betrachteten Stromröhre liefert eine weitere
Mas¬
senstromdichte:
<?
AbiAyi
sinß,
Ab(Z)Ay(Z)
sinß(Z)
9lcl
(Z) c(Z)
^
?
sin[31
A
Ab,>1Ay1
'
'
c
sin^(Z)
Ab(Z)Ay(Z)
1
k
Ma,
2
Ersetzt
c(Z)
+
(k-1)
1
+
1
c
+
'
+
(Z)
t(Z)
c
durch die im Abschnitt 5. 2
knüpft
127)
darauf
(wegen 127))
zu
+
(k-1) Ma,
lösen.
]•
c
qm+n
cqt(Z)
+
ren
sinß(Z)
x
'
'
+
[c
u
.(Z)
cor
'
+
]• cosß(Z)
Komponenten und
ver¬
Integralgleichung,
die
so
für die
ergibt sich schliesslich eine
Hinzu
Eine nichtlineare
kommt,
Lösungsweg,
Integralgleichung
dass in dieser
noch die streng genommen unbekannten Grössen A
diesen Gründen wurde als
J
angegebenen Beziehungen
nicht mehr linear ist.
geschlossen
mehr
128),
+
'
^ m+nv
ï
mit
128)
2
Gleichung 127) die Geschwindigkeit
der
[ coom+n(Z)
=
k^T
-
(k-1) Ma*
man in
Ma*
•
y( Z )
wie bereits
ist nicht
Integralgleichung
ß(Z)
und
erwähnt,
immer
auftreten. Aus
ein Iterationsverfah¬
gewählt.
Danach stellt
Näherung
dichte
hältnis
o
von
A
y( Z )
(Z) c(Z)/o
c(
Z
)/c
noch mit den
zu
die
man
und
*c.
Gleichung 127)
[3 (
Z
)
erhält
als Diagramm
man aus
128)
die
dar,
bezogene
Aus dem Bild 19 ist das zugehörige
entnehmen. Die
Gleichungen 124)
und
Bezugsgeschwindigkeit
123)
für
c
und
j*
Bild 19. Für die 1.
c
Massenstrom-
Geschwindigkeitsver¬
ihrerseits lässt sich
ausdrücken durch:
84
-
-
\
N
cm
N
\
NN
S
k
\
t2
IS
S
V
14
\
s
IS
\
•.
V
.
Ns v
S
N
^.N
\
"^^s.
N
'^
K
¥
~A
5<
OS
bezogene
Bild 19
Graphische Darstellung
/
der
Of
0,7
01
9dtc(z)
Massenstrumdichte
Gleichung 127)
1
2
c
Damit
=
2
"2
-r«.- If]]
',k-l
=
L2k+ l
ergibt
sich für die
+
csl L
(k-1)
k
+
Ma
2,
1
1
bezogene Meridiankomponente:
1
cm z)
cln1
rc(z)i
sin
ß(
Ma«
c
Z
sin
2
)
p..
+
(k-i)
k
+
i
m&l
'
2
129)
85
-
-
Die Volumendifferenz zwischen den Referenzschnitten 1 und Z
des Abschnittes 5. 2 der
Darstellungen
nach den
entspricht
der in der betrach¬
Ergiebigkeit
teten Stromröhre zwischen 1 und Z vorhandenen Quellen und Senken:
Ab(Z)Ay(Z)
cm(Z)
Ersetzt man
die
130)
AbxAyi clm
-
(Z)
c
b(Ç
A
,rj )
Beziehung 129),
durch die
gesuchte 2. Bestimmungsgleichung
[
=
y (s)
für
und
q(S,
erhält
so
,
T? )
•
130)
dF^
schliesslich
man
q(^ t?):
,
1
c(Z)
Ab(Z)Ay(Z)
sin
ß(Z)
Ma-
sin
2 .,2
'2
+(k-l)Maj
k
(3-
+
-
1
l
=
131)
Ab^.T?)
Gleichung 131) verknüpft
Die
Das
Ma^
=
Ci/c
j
vor
die
Mit den Grössen
den.
114)
für den Punkt
ponenten
(s)
v
P(Z)
und daraus
c
zugeordneten Dichten
(
o
Näherung
und
in der
Z
)
)
q(
ermitteln,
ß(
und
q(Ç
aus
Z
( É,
>
V ) und damit für
Das
[ 19 ]
vorliegende
ï
(s)
ip).
,
^ 17)
,
können
aus
vorgegebenen Bezugsfläche
Damit
ergibt
dem die 2.
mit der Mach'-
bestimmt
Ay( Z).
werden,
die
der
aus
bestimmt
wer¬
112), 113)
man
Kontinuitätsgleichung
y( Z)
und
und
Geschwindigkeitskom¬
Daraus lässt sich ein
A
über¬
ß ( Z)
zu
neuer
die
eine
Strom¬
beschaffen
Näherungslösung
für
usf.
fie ration s verfahr en ist eine
beschriebenen Netzmethode.
Darauf kann
^ (s)
nun
zunächst die
Gleichung 126) erhält
sich über die
Näherung
man
den Beziehungen
ist. Mit diesen verbesserten Werten kann darauf eine 2.
1
)
löst
der Zirkulationsdichte
genauere Information über die Abstände
linienverlauf
y(
Z
bestimmt werden. Aus der
( Z).
im Bereich F'
kompressible Gitterströmung kann
für die
und erhält daraus die Quellendichte
die 1.
«
Quellenbelegung
blickt werden: Mit der 1. Näherung für A
Integralgleichung 121)
,
dem Gitter.
Berechnungsverfahren
Gleichung 131)
q(g|1?)
Abi-Ayicim
f<
q
schen Zahl
•
Anwendung der
von
W.
T
r
aup
e
1
86
-
6.
Bedeutung
Die
des
-
vorliegenden Verfahrens
Gitterberechnung
erweiterten
In diesem Abschnitt wird der Anschluss des
Berechnung
wänden und
der dreidimensionalen
an
Für die
der
Integralgleichung 90)
genden
werden kann.
der Schaufelfläche die
Gegenteil
geln
von
dem,
die
von aussen
dass das
Wirbelsystem ausschliesslich
Das bedeutet
geometrisch,
aus
dass die Erzeu¬
Bei Axialgittern z.B. wür¬
nach innen
verjüngen.
Festigkeitsgründen angestrebt
was aus
wichtigen Anwendungsfälle
nisch
an
Begrenzungs¬
wurde angenommen,
Symmetrieachse schneiden.
den sich demnach die Laufschaufeln
genau das
zwischen koaxialen
Verlustrechnung hergestellt.
die Schaufeln des konischen Gitters ersetzende
Wirbelkegeln aufgebaut
vorliegenden Verfahrens
Gitterströmung
die Grenzschicht- und
Herleitung
einer
in
Das ist aber
wird.
Die tech¬
lassen sich fast nie ausschliesslich mit Wirbelke-
darstellen.
Man kann
darstellen
nun
lassen,
solche
Schaufelflächen,
die sich nicht mehr mit
durch andere Wirbellinien
ersetzen,
sind und die Symmetrieachse nicht schneiden. Ferner kann
Begrenzungswände
der koaxialen
mit
Quellen
Wirbelkegeln
die keine Geraden mehr
und Senken
man
durch die
[16]
Belegung
den Wandeinfluss
mitberücksichtigen. Das Singularitätenverfahren liesse sich noch weiter ausbauen,
Anordnung
indem durch die
der Schaufelhöhe
felder der genannten
freien Wirbellinien
Singularitäten
geschlossen integrierbar.
tischen
von
zugelassen werden können.
sind nicht
Hinzu kommt
Bedingung (Schaufeloberfläche
gekoppelte Integralgleichungen führt,
zität der
zur
Die
zu
mehr,
noch,
und
Zirkulationsänderungen längs
Gleichungen
der
Geschwindigkeits¬
wie im Falle des
dass die
Formulierung
Begrenzungswände
deren numerischer
Verfügung stehenden Digitalrechner bei
=
Wirbelkegels,
der kinema¬
Stromflächen)
Auswertung
die
auf
Kapa¬
weitem nicht ausreicht.
Aus diesen Gründen wird die Berechnung der dreidimensionalen Gitterströ¬
mung zwischen koaxialen
dimensionalen
Begrenzungswänden auf die Ueberlagerung
Lösungen zurückgeführt,
nämlich auf die
ridianströmung
und die zweidimensionale
einfachung,
Meridianströmung
trachten,
rechnungen
Ch.H.
die
ist
Wu
streng genommen
von
G.O.
[22 ]
Resultate liefert.
Ellis
haben aber
nur
Strömung
für sich als
ergeben,
zwei zwei¬
rotationssymmetrische
in den
Bezugsflächen.
Stanitz
dass dieses
[21]
zu
be¬
zulässig. Vergleichs¬
mit exakten
Vorgehen
Me¬
Die Ver¬
drehsymmetrische Strömung
für unendliche Schaufelzahl
undL.D.
von
Lösungen
von
hinreichend genaue
87
-
Berechnung
Praktisch lässt sich die
vorgegebenes Schaufelgitter
wänden
zugsflächen
Dazu
man
gibt
durch das konische Gitter.
herung für die Meridiankomponenten
setzt
der
reibungsfreien Strömung
rotationssymmetrischen,
mit
iterativ durchführen.
nur
-
In den
der
genügende Zahl
Bezugsflächen
Grundströmung
die Schaufelkonturen zwischen zwei
koaxialen Begrenzungs¬
sich eine
man
beliebig
durch ein
Be¬
von
selbst wird eine 1.
Ferner
angenommen.
nahen
Bezugsflächen
Nä¬
er¬
durch
Wirbelkegel. Darauf wird mit den angenommenen Meridiankomponenten der Grund¬
strömung nach dem vorliegenden Berechnungsverfahren die 1. Näherung für die
und
Zirkulations-
Geschwindigkeitsverteilung
Aus der Zirkulationsverteilung
stimmt.
malkomponenten
zu
ten ihrerseits kann
ermitteln,
zu
aus
ist,
Für die
Verfahren
[21]
nach
Bezugsflächen
Tangential-
be¬
und Nor¬
eine 2.
Näherung für die Meridiankomponenten
Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung
die Schaufeln
um
usf.
dem Iterationsverfahren bestimmten
den Schaufeloberflächen und
schicht- und
ergeben
sich dann die
Bezugsflächen. Mit den Tangential- und Normalkomponen¬
man
mit der die
wiederholen
Die
den
in den einzelnen
Geschwindigkeitsverteilungen
dienen als
Begrenzungswänden
Grundlage
an
für die Grenz¬
Verlustrechnung.
Berechnung
von
E.
der
Becker
dreidimensionalen,
[23]
verwendet.
laminaren Grenzschicht wird das
Die Grössen der
turbulenten Grenzschicht lassen sich mit dem
von
J. P.
dreidimensionalen,
Johnston
[24]
angege¬
benen Verfahren ermitteln.
Im Grenzfall des
geraden,
lung nach H.
Holstein
undT.
lenten Grenzschicht sind nach der
mit den
notwendigen Ergänzungen
kriterium dient der
von
E.
Schaufelgitters
ebenen
laminaren Grenzschicht das Verfahren
von
Bohlen
K.
[26]
von
A.
Kehl
[27]
n
[25]
Berechnung
der
in der Darstel¬
verwendet. Die Grössen der turbu¬
Berechnungsmethode
Gruschwitz
wird für die
Pohlhause
[28]
von
zu
E.
G
ru
schwitz
ermitteln. Als
definierte
[27]
Ablösungs¬
Formparameter
des Ge¬
schwindigkeitsprofils der turbulenten Grenzschicht.
Die
den
Berechnung
des
Grenzschichtgrössen
und N.
Scholz
Energieverlustes
an
und des Abströmwinkels des Gitters
der Schaufelhinterkante wurde
[29] angegeben.
von
H.
aus
Schlichting
88
-
Beispiele
7.
7.1 Beispiele
Die im Abschnitt 3. 8
rens
erfolgte
-
von
geraden,
dargestellte
Auswertung
numerische
Siemens-Digitalrechner 2002.
auf einem
dieser elektronischen Rechenmaschine wurde
zepts
Schaufelgittern
ebenen
von
des Rechenverfah¬
Beschreibung
Eine
W.
Heimann
des Kon¬
[30]
ange¬
geben.
Die
Durchführung
der numerischen
Auswertung
forderte die Erstellung eines besonderen
Rechenprogramms
dieses
Die
einem
ist im
Gitter
zum
Um eine
und einer bestimmten
(gegeben
Schaufelkontur), Teilung t,
.
Das
Flussdiagramm
der Gittertheorie:
Zuströmung
zum
Sehne s,
enthalten,
Staffelungswinkel ß
schritt,
gegenüber
als Abszisse
der die
eingegebenen
felungswinkel ß
Bild 20.
einem
Das
des
Rechenprogramms
enthält
nun
einen Rechen¬
Teilprogramm
c
ausser
(s)
am
Koordinaten transformiert.
einer erweiterten Gitterberech¬
Energieverlust
notwendigen Grenzschichtrechnungen
Geschwindigkeitsverlauf
verlauf
Programm
eingeführten
nung, in der unter anderen Grössen auch der
den
können,
Ableitung
Grössen der Profilform mit dem vorgegebenen Staf¬
Das Rechenverfahren ist ein
wird. Die dazu
zu
rechtwinkligen Koordinatensystem mit der
vermessen.
in die im Abschnitt 3.1
.
Ableitung
sowie den Zuström¬
systematische Variation aller Profilparameter durchführen
s
Schaufelsehne
Zu
Gitter
durch die Profilkoordinaten und die 1.
wurden die ins Rechenprogramm eingehenden Profilkoordinaten und die 1.
der Schaufelkontur
er¬
gesucht. Dazu müssen die Eingaben des Rechenprogramms
die Profilform des Gitters
ß
Digitalrechner
Anhang dargestellt.
vorgegebenen Schaufelgitter
winkel
Rechenprogramms.
vorliegende Arbeit behandelt die 2. Hauptaufgabe
wird der Abströmwinkel
der
auf dem
Profil voraus.
dem Abströmwinkel
im Gitter bestimmt
setzen als
Ausgangsgrösse
Ausgaben
Darum enthalten die
ß
„
auch den
Geschwindigkeits¬
c(s).
Zur
beispiel.
Prüfung
Diese
der exakten
des
Rechenprogramms
Lösung
des
Zahlenbeispiels
Lösung entfernt.
Rechenprogramm
felgittern erprobt,
für die
Ergebnisse wurden
nur
4
an
Anhang dargestellte
Aufpunkten
für die
Beispielen
nach anderen
von
...
Berechnungsverfahren gegenübergestellt.
in
von
wenigen,
Lösung aufzuzeigen.
ebenen, geraden
Berechnungsmethoden,
oder beide Informationen zugleich
in den Bildern 21
Zahlen¬
ist noch weit
Beispiels besteht darin,
Rechnungsgang
wurde darauf
Ergebnisse
Druckverteilungsmessungen
mit
Der Zweck des
leicht überblickbaren Operationen den
Das
diente das im
vorlagen.
48 den Lösungen nach dem
Schau¬
aus
Diese
vorliegenden
-
89
Bild 20
Für die
f. (s)
durchgerechneten Beispiele
-
Bezeichnungen
wurden 39
Stützpunkte
mulierung
von
78 linearen Gleichungen für die 39 unbekannten
jf
des wahrscheinlichsten Wertes der 39 Unbekannten erstellte das
39
^
für die Funktion
vorausgesetzt. Nach der Darstellung im Abschnitt 3. 8 bedeutet dies die For¬
.
Zur
Bestimmung
Rechenprogramm
Normalgleichungen.
In der
Umgebung
Druckmessungen
der Schaufelhinterkante sind
ermittelten und berechneten
Abweichungen
zwischen den
aus
Geschwindigkeitsverteilungen festzu-
90
-
i
-0,SS2.i
Bild 21
Profil: E.
Das überrascht durchaus
stellen.
sen nur um
nicht,
Potentialströmungen (mit
Die beobachteten
-
da
einem
Abweichungen zwischen
Olderin
es
[34]
sich bei den
Staupunkt
den
aus
an
Berechnungsergebnis¬
der
Hinterkante)
Druckmessungen
handelt.
ermittelten und
berechneten Geschwindigkeitsverteilungen sind daher unschwer als Reibungsein¬
flüsse
man
zu
die
gen mit der
von
L.
Die störenden
erkennen.
Reibungseinflüsse
experimentelle Ueberprüfung
von
lassen sich
berechneten
wenn
elektrolytischen Analogie durchführt. Entsprechende Versuche wurden
Meyer [8]
beschrieben.
vorliegenden Verfahren durchgerechneten Beispiele ergaben
Die nach dem
durchwegs befriedigende Uebereinstimmung mit Resultaten
oder nach anderen
aus
Druckmessungen
Berechnungsmethoden.
In den Bildern
gen der
vermeiden,
Geschwindigkeitsverteilun¬
34,
44 und 45 sind 3 Beispiele
kompressiblen Strömung
um
die Profile
von
von
Geschwindigkeitsverteilun¬
geraden,
ebenen
Schaufelgit-
-
91
-
6-
/3,_
C(S)
155°
-*M**~
0-
0,
'
q3
o, !
C
"
f
t
< S
0 I
0, 7
^^
fli »
n
L
y^
Bild 22
tern
dargestellt.
Profil:
aus
-°
vorl.
[34]
Berechnungsverfahren
Wie auch im Falle der
und Rechnung heraus.
Olderin
Druckmessung [34]
--
mungen stellt sich hier eine
E.
Beispiele für inkompressible Gitterströ¬
befriedigende Uebereinstimmung
zwischen Messung
92
7. 2 Beispiele
Im Abschnitt 4 wurde
45), 58)
und
von
räumlichen Gittern
nachgewiesen, dass die Transformationsgleichungen
73):
Wirbelkegel
45)
T
t
TT(x"-V)
N
_
Wirbelstern
58)
TT
fr»-T?")
N
«
=
£
2"
TT(x"'- %"')
N
"
2
t
.
m
rj^
r
Wirbelzylinder
73)
TTfr'"-T)'")
N
_
IT
t
Bild 23
Beispiel
j,
eines älteren
Aktionsprofils
93
ß,m1iS.t°
av
Cn
^-'"l
f,s
Â
r
<t
I
t 1
< I
<
' f
< F
< 7
1 >
1 t
(
t
~nXS2
ssafS^
^'j
/
/
Bild 24
die
Beispiel eines älteren Aktionsprofils. An der Stelle A der grossen Krüm¬
mungsänderung (Uebergang vom Kreisbogen zur Geraden) löst die reibungs¬
behaftete Strömung ab.
Geschwindigkeitsfelder
stern und
Wirbelzylinder)
ictgh
formal mit dem
verknüpfen.
Druckmessung CEMF
Berechnungsverfahren
--
aus
-o
vorl.
von
räumlichen Wirbelsystemen
(Wirbelkegel,
Wirbel¬
über die Funktion
El^Jl
=
Geschwindigkeitsfeld (fx
.
,
yc,z) +ify(ç,z)
f ) des
y
geraden,
ebenen
Schaufelgitters
-
1
o.ais
-
Eine
wenn
Wirbelsystems mit
nen
Profil: W.
Traupel [5]
Ueberprüfung dieses Zusammenhanges lässt sich besonders übersicht¬
durchführen,
10, gelegt
-
s
Bild 25
lich
94
wird.
dem
die
Grundströmung
in die Stromfläche eines räumlichen
gemeinsamen Verzweigungspunkt 0 aller Wirbeläste, Bild
Dazu wird also die
Strömung
in der im Abschnitt 4.1 beschriebe¬
Stromfläche des Wirbelsystems und nicht in der willkürlich
gewählten Bezugs¬
fläche betrachtet.
Dann und
nur
mit der Funktion i
dann kann das räumliche Gitter durch eine konforme
ctgh(TT(Z- t,)/t)
in ein
führt werden. Im allgemeinen Fall sind
den
Bezugsflächen zugelassen,
gerades,
ebenes
Abbildung
Schaufelgitter überge¬
Geschwindigkeitskomponenten
dafür ist aber keine konforme
normal
Abbildung
mehr
zu
mög¬
lich.
Für den
Spezialfall,
dass die Stromflächen des
strömung identisch sind, sollen
tion für die
Gitterströmung
nun
Wirbelsystems
und der Grund¬
einige mathematische Eigenschaften der Funk¬
95
-
CIS)
ß,.usy
^
f
-»..,
\
i
\
i
\
0
0t
0 ?
v'
0
0 S
1
0 ?
0 s
1
0 9
a»
s
/
/
L
*?
'if
/J
Bild 26
Traupel [5]
Profil: W.
Lösung
Traupel [5]
vorl. Berechnungsverfahren
W.
der Punktion für i
Unter 4.1 wurde für die
ctgh( Z)
+
c^(Z)
näher beschrieben werden
Geschwindigkeitindigkeit
Z )
((Z)
hergeleitet:
Beispiel
c^Z)
hergeleitet:
am
=
c
c(Z)
c
o
o
ä
VZ=~
ir
2tTzT"
ctgh
TT(x'-Ç')
.
]
TT(y--7')
-J
-
Bild 27
Beispiel
"Rundkopfprofils", das nach den von
gebenen Richtlinien entworfen wurde.
i
ctgh (TT (
TT(Z-t)
_
Z
-
Ç )/t)
=
f
t
denn
es
existiert in
(Z
-
t, )
der
Punkt
'
V
_
2
t
jedem
Flügel [38]ange-
G.
komplexen Variablen
N(6
TT(y'-T7')
TT(x'-Q
t
analytisch,
-
eines
Die Funktion
ist
96
P(Z)
,
-Nd
134)
der Stromfläche die Ablei¬
tung:
f(z-t; + AO
lim
dZ
AZ-o
Ferner lassen sich mit dem Realteil f
von
134)
die
-
f(z-t.)
(^
,
Z
)
und dem
Imaginärteil
sogenannten Cauchy-Riemann'sehen Differentialgleichungen
am.z)
—r?
135)
AZ
f
(Ç
Z
,
)
erfüllen:
am,z)
+—sy—
136)
ay^.z)
T^-
3fy(^,z)
ax'
97
-
Bild 28
--•
—o
Physikalisch
bedeuten die
-
Rundkopfprofil
Lösung H. J. Oellers [4]
vorl. Berechnungsverfahren
Differentialgleichungen 136)
div
c
)
=
0
rot
c~*(Z)
=
0
«
o
(
Z
137)
98
Bild 29
—•
—°
Mit den
chen des
Gleichungen 137) bestätigt man,
Wirbelsystems
eine
Durch die Funktion
in der
man
x', y'-Ebene
sagt,
Rundkopfprofil
Lösung H. J. Oellers [4 ]
vorl. Berechnungsverfahren
i
Potentialströmung
ctgh(TT (Z
ein Punkt i
-
Ç )/t)
=
ctgh(TT(Z- \)/t)
die beiden Ebenen werden aufeinander
t,)/t) analytisch ist,
dende Kurven der
Kurven der
9,
bilden
an
allen
Stellen,
x', y'-Ebene denselben
Strömung
dass die
wo
Winkel
in den Stromflä¬
ist.
f
(
Z
-
f; )
in der
9,
wird
abgebildet.
df
(
Z
-
jedem
i3> -Ebene
Ç)/d
Weil
Z
miteinander,
Punkt
nun
^ 0,
ictgh(TT(
Z
-
zwei sich schnei¬
wie die
-9> -Ebene in den entsprechenden Punkten (winkeltreue
P(Z)
zugeordnet,
entsprechenden
Abbildung).
-
99
-
t. 0,716.s
Bild 30
Profil: W.
Dettmering [31]
Ausserdem verhalten sich die Linienelemente der beiden Kurven der x', y'-Ebene
an
der betrachteten Stelle zueinander wie die Linienelemente der
Kurven der
sten
8,
Teilen).
forme
Die
ctgh(TI (
Die
-
t, )/t)
die
i
ctgh(Tl(Z
-
%)/t)
in den klein¬
vermittelt also eine kon¬
136).
die
Transformationsgleichungen 45),
Variablen TT
Geschwindigkeiten
in das
(
Z
-
t, )/t
dem
58)
und
73)
als
der Funktion
in den Stromflächen
Wirbelsystemen (mit
Wirbeläste) eindeutig
felgitters
der unter 4.1-4.3
gemeinsamen Verzweigungspunkt
Geschwindigkeitsfeld
des
geraden,
ebenen Schau¬
überführen.
Für den
Spezialfall,
stem identisch
Funktion der
renden
und
folgt nun, dass
betrachteten räumlichen
0 aller
entsprechenden Stelle (Aehnlichkeit
der
Imaginärteil der komplexen
Z
entsprechenden
notwendigen und hinreichenden Bedingungen dazu sind gegeben
Gleichungen 135)
Daraus
Real- und
an
analytische Funktion
Abbildung.
durch die
i
•* -Ebene
sind,
dass die Stromflächen
lassen sich die
Grundströmung c~*( Z)
Strömung, Gleichung 104),
von
Grundströmung und Wirbelsy¬
vorangestellten Betrachtungen
auch auf die
und damit auch auf die Funktion der resultie¬
in der Stromfläche anwenden.
Das
bedeutet,
dass
100
Bild 31
Profil: W.
-
Dettmering [31]
Druckmessung [31]
Lösung H. J. Oellers [4]
vorl. Berechnungsverfahren
aus
o
o
für diesen
die
Spezialfall
die
Integralgleichung 23)
Integralgleichung 90)
für das
gerade,
für das räumliche Gitter direkt in
ebene Schaufelgitter transformiert
wer¬
den kann.
Daraus
ergeben
sich
zwei,
im Hinblick auf
praktische Anwendungen,
interes¬
sante Konsequenzen:
(1)
Aus den unter 7.1 behandelten Beispielen
gittern lassen
von
geraden,
ebenen Schaufel¬
sich durch Rücktransformation räumliche Gitter finden.
-
Bild 32
(2)
Profil: Inst. f. therm.
Bei der konformen
ten
101
Abbildung
-
Turbomaschinen, ETH,
bleibt bekanntlich die Zirkulation T
(Joukowskiprofile-ïiKreiszylinderl ).
sung der 2.
Hauptaufgabe gesuchte
Das
bedeutet,
geraden,
Unter 4. 6 wurde
räumliche Gitter
wird
nur
Abströmwinkel in der Stromfläche des
sofort
aufgezeigt,
angewendet
klar,
w
gabe
abgebildeten,
Schaufelgitters identisch ist.
dass die
werden kann.
Integralgleichung 90)
auch auf
Aus den Voraussetzungen
dass sich die Transformation der
auf Leiträder erstrecken kann.
I rot
der
nun
erhal¬
dass der als Lö¬
räumlichen Leitrades mit dem Abströmwinkel des konform
ebenen
Zürich
136)
rotierende,
und
Integralgleichung 90)
137)
in
23)
Für Laufräder ist die Transformation wegen
|> 0 nicht mehr zulässig. Das bedeutet, dass die Behandlung der 2. Hauptauf¬
der räumlichen Laufräder die
Integration
der berechneten
eine Schaufel. Aus
Lösung der Integralgleichung 90) voraussetzt. Aus
Zirkulationsverteilung folgt
die Zirkulation T
um
102
-
-
1
CCS)
A-»*
~^
VI
/
:
»,
0 1
.
J
a'
0 3
?
0 8
0 7
0 S
° s-
0 9
fJ
y?
M*
Bild 33
Profil: Inst. f. therm.
-o
vorl.
seinerseits kann darauf der
C2n
Zürich
Druckmessung
Berechnungsverfahren
aus
*2
Turbomaschinen, ETH,
CEMF
-•
CtgP2
•
gesuchte
"
*<
1
Ctgf31
C
"In
Abströmwinkel
(3
„
der
Absolutströmung
be¬
stimmt werden.
Als direkte
folgenden
N
=
de,
8, r2
ebene
praktische Anwendung
mit der
=
2
Integralgleichung 90)
rj, (3^
Schaufelgitter
auf das oben
=
60
aus
gekennzeichnete,
und
c^.
der oben
genannten Konsequenzen
der Fall eines radialen
=
0 behandelt werden.
Profilen NACA 0010 mit
radiale
Schaufelgitter
t/s
=
konform
soll im
Pumpengitters
mit
Dazu wird das gera¬
0,980 und 13
abgebildet,
=
,
60°
st
Bild 49.
103
-
CfflJ
Cl,
A-
30°
«»(-0.2)
F^-*'
ar
a
i 3
( 4
I
C '
I S
c 7
~^^\
£ 6
: £
'. ï
4r
t
f-
Bild 34
Profil: Inst. f. therm.
Das Profil NACA 0010 ist
nach der konformen
[33]
vorl.
symmetrisch,
hat bekanntlich für radiale
hängigkeit
retischen
den
-o
zur
von
der
von
Bild 42.
Berechnungsverfahren,
Pumpengitter
c„
Busemann
Bild
Bild 32
Die Skelettlinie dieses Profils wird
aus
N
50, zeigt
Busemann
logarithmischen Spiralen
Minderleistungsfaktoren (Verhältnis
A.
vergl.
CEMF
logarithmischen Spirale. A.
Durchflusskenngrösse
Ergebnisse
-
Druckmessung
Berechnungsverfahren
aus
Abbildung
Schaufeln die sogenannten
Turbomaschinen, ETH, Zürich,
-•
c2tr/c2tN=co^
[32],
als
in Ab~
Au berechnet. Der Vergleich der theo¬
mit den Resultaten nach dem
nicht absolute
vorliegen¬
Uebereinstimmung.
Die Ab¬
weichungen sind darauf zurückzuführen, dass das hier verwendete Profil NACA 0010
104
-
Bild 35
Profil: Inst. f. therm.
eine endliche Schaufeldicke
für seine
Untersuchungen
0010, t/s
weitere radiale
Gitters mit N
=
=
und
ß
=
,
60
Pumpengitter gesucht.
64 und
TT
73)
)
wurden
rVr.
=
darauf die
=
1
zugehörigen
entspricht
0,980
und
ß
.
dem
=
60
dieser Grenzfall mit einem
winkel,
neten
Busemann
festgelegt.
œ
(x1"- E,"')
.
N
2
ebenen
Wie im
vorausgesetzt
ebenen
nun
Gegensatz
dazu
hat.
Schaufelgitter (Profile
durch konforme
Abbildungen
Aus der Transformationsgleichung
Radienverhältnisse
geraden,
im
Zürich
Dazu wurde die Schaufelzahl des radialen
t
folgten
t/s
während A.
dargestellten, geraden,
0,980
16, 32,
Turbomaschinen, ETH,
unendlich dünne Schaufeln
Mit dem im Bild 49
NACA
aufweist,
-
r*
.
to
F
r„/r1.
Schaufelgitter
allgemeinen
Der Grenzfall N
aus
=
Profilen NACA
Fall der radialen
œ
bzw.
0010,
Pumpengitter
ist
Bezugsgitter von demselben Radienverhältnis und Staffelungs¬
aber mit unendlich dicht stehenden Schaufeln
Minderleistungsfaktoren
c„.
zu
vergleichen.
/c„.
wurden im
2/v\
N
=03
Die
so
errech-
Diagramm 51
in
-
Bild 36
Profil: Inst. f. therm.
aus
o
Abhängigkeit
von
der
dem Radienverhältnis
für c„
/u„
=
(3
.
=
60°)
o
*JX\
Druckmessung
Berechnungsverfahren
vorl.
als Parameter
ebenen
Im Bild 52 wird die Zirkulation
c„
/u„)
des
c„
/u,
und mit der Schaufelzahl
aufgetragen.
Es stellt sich
T
N,
bzw.
heraus,
wird mit abnehmendem
Schaufelgitters (Profile NACA 0010, t/s
Minderleistungsfaktor
die Schaufeln der untersuchten
Zürich
CEMF
Minderleistungsfaktor grösser
geraden,
ist der
>
-
Turbomaschinen, ETH,
Durchflusskenngrösse
konst. der
Im Grenzfall des
105
=
dass
r„/r..
0,980,
noch kleiner als 1.
c(r2/ri
Pumpengitter
geraden, ebenen Schaufelgitters
>
*?
c2n//u2^
der
mit der Zirkulation
aus
Profilen NACA
AbsolutströmunK
r
c(ro/ri
0010, t/s
=
=
um
If
0,980
106
-
Bild 37
ß
und
r
(ro/ri
se c„
/u„.
lung,
dass
Im
aus
gitters
y
1; co
folgenden soll
der konformen
aus
ïï
58)
von
0,980
=
16 und
aus
=
co, bzw.
Profilen NACA
und
Aus der
co.
<*;-*">
-
A
£
Ax*/r,
r*/r
0010, t/s
=
=
?
ß
der Zirkulation
Durchflusskenngrös-
Wege gewonnene Feststel¬
rotierendes, räumliches Git¬
gelöst
werden
60°
muss.
untersucht
geraden,
=
.
werden,
ebenen Schaufel¬
auf eine
Pumpengitter
Kugelober¬
ist
gegeben
durch
Transformationsgleichung
*
Ar sinn
r
Bild
53,
der
0, entspricht
0,980
der
Pumpengittern
Die Reihe der konischen
darauf die axialen Breiten
Der Grenzfall N
für ein
konischen
t
folgten
Abhängigkeit
von
des vorhin verwendeten
0010, t/s
4, 8,
r„/r1
und
die auf theoretischem
Hauptaufgabe
eine Reihe
Bild 53.
=
[6]
Murai
für das betrachtete Gitter
Abbildung
Profilen NACA
die Schaufelzahlen N
gitter
der 2.
Behandlung
hervorgehen,
fläche
Radienverhältnis
vom
Ergebnis bestätigt
Das
zur
/uo)
Profil: H.
Dabei zeigt sich eine starke
verglichen.
Integralgleichung 90)
ter die
die
60
=
.
-
und
ß
betrachteten,
dem
,
=
geraden,
60°.
konischen Gitter.
ebenen Schaufel¬
107
-
-
e-
CIS)
ß,.so'
f*~*
«^A
/
*xtr
1
o, t
0 1
3
0,
0,
j
4
^
»
0, »
0, 7
0, 8
1 9
0, 9
v^
Bild 38
Die
der
•
o
o
Profil: H.
Murai
[6]
Druckmessung [61
Lösung H. Murai [6]
vorl. Berechnungsverfahren
aus
Erzeugenden der Schaufeloberflächen des konischen Gitters schneiden sich
im Punkt 0
nach
•
,
also im
Verzweigungspunkt
ringwirbelfrei. Ferner
Grundströmung
Mit diesen
Absolutströmung
Zirkulation T
und der
um
=
Vereinbarung getroffen,
wird
die Schaufeln der
=
0;
0,980
Die
Schaufelung
ist dem¬
dass die Stromflächen
Wirbelsysteme identisch sind.
Voraussetzungen
(Ax*
NACA0010, t/s
wird die
der Wirbellinien.
c„
und
/u„)
ß
.
des
=
nun
die Zirkulation
betrachteten,
geraden,
(A
konischen
ebenen
60° verglichen.
T
x*
>0;
/u„)
Pumpengitter
Schaufelgitters
Die
c„
Ergebnisse
aus
der
mit der
Profilen
sind im Dia-
108
-
Bild 39
gramm 54
/u„)
c„
etil
0;
nur
Profil: NACA 8410
Es stellt sich
/u„)
für hinreichend kleine axiale Breiten A
geraden,
des
Behandlung
der 2.
ebenen
[10]
heraus, dass die Zirkulation T
£t
c„
zur
dargestellt.
-
Schaufelgitters
Hauptaufgabe für
ein
x*/r
mit der Zirkulation
zusammenfällt. Das
rotierendes,
troffenen
Integralgleichung 90)
lassen sich
>
0;
T
bedeutet,
C
(A x*/r
dass
räumliches Gitter die Inte¬
gralgleichung 90) für das betrachtete Gitter gelöst werden
Mit der
(A x*/r
muss.
(unter Beachtung
der unter 3. 9 ge¬
Voraussetzungen für die Schaufelkontur) viel allgemeinere und technisch
interessantere Fälle
Verfahren
von
A.
von
Betz
räumlichen
[1] möglich
Gitterströmungen
ist.
behandeln als dies mit dem
=
-
109
-
ß,.aS°
Cn
\5S
0,
1
0 2
0, *
Bild 40
•—
•
o
o
o,
Î
0,
35S33
e
o,
Profil: NACA 8410
7
^33
0,
[10]
Druckmessung [10]
Lösung H. Schlichting [10]
vorl. Berechnungsverfahren
aus
^3^
9
<
-
Bild 41
•
o
110
-
Profil: NACA 8410
[10]
Druckmessung [10]
Lösung H. Schlichting [10]
vorl. Berechnungsverfahren
aus
-
Ill
-
h^
i
t_ 1,0. s
Bild 42
Profil: NACA 0010 [10]
-
112
-
C(S)
A-
so"
""^a'S
o.
0, '
1
0,
Î
Bild 43
.
.
o
o
o,
4
H
5
0 8
a,
Profil: NACA 0010
7
0, 9
[10]
Drackmessung [10]
Lösung H. Schlichting [10]
vorl. Berechnungsverfahren
aus
q »
<
113
Clï)
A- su-
Cl,
X),.
0.(5
/>«''6U
«'
a
!
a P
c 1
< '
a !
< 7
«8
a
>
1
Bild 44
-•
-
-°
Profil: NACA 0010
[10]
Druckmessung [37]
Lösung E.G. Feindt, H. Schlichting [37]
vorl. Berechnungsverfahren
aus
i »
114
m
Cx
»,- m'
f*>i J3.es
0
-
4/
t !
0>
o 1
(
'
aS
0'
a>
1»
s.
L
=ft*!S5!
4
Bild 45
•
•
--
o
o
Profil: NACA 0010
[10]
Druckmessung [37]
Lösung E.G. Feindt, H. Schlichting [37]
vorl. Berechnungsverfahren
aus
!
-
115
-
as
ß,-'">'
\
\
^£**~*
1'
0
t
fl >
Bild 46
o,
i
[J
J
0, e
Profil: NAC A 0010
0
?
a
>
L
[10]
Druckmessung [10]
Lösung H. Schlichting [10]
•—
•
aus
o
o
vorl.
Berechnungsverfahren
I.
-
116
-
h -W
J.
n
n
Bild 47
Profil: NACA 65-810
[35]
-
117
-
s-
fit-US'
OS)
Cn
< 1
0.
!
<! 1
0
«
J
I
I t
«
7
C 1
a !
I
Bild 48
o——o
Profil: NACA 65-810
[35]
aus Druckmessung [36]
vorl. Berechnungsverfahren
t.1
Bild 49
Profil: NACA 0010
(konforme Abbildung
in ein
Pumpengitter)
Pst-eo
119
-
-
«.
i
n
**
=S5
=**!
V
t
«*
<jl<j
0,1
Sol-
Bild 50
Vergleich
—
-o
mit den theoret.
Ergebnissen
von
A. Busemann
logarithmische Spiralen, Schaufeldicke Null
Berechnungsverfahren, Profil: NACA
vorl.
0010
[32]
-
120
-
0,6
0,5
0,4
Q3
0,2
0,1
0
-)
1
(
1
0.1
0
1
0.2
1
1
1
1
0,4
0,3
1
1
1
1
0,5
0,6
1
0.7
Cut
U2
51
Minderleistungsfaktoren radialer Pumpenräder, deren Schaufelprofile durch
Abbildungen des geraden, ebenen Schaufelgitters aus Profilen NACA
60° erhalten wurden, lin Grenzfall des gera¬
0010 mit t/s
0,980 und ß gt
oo bzw. t/s
den, ebenen Schaufelgitters, d.h. für r2/ri
1, N
0,980,
60° ist der Minderleistungsfaktor immer noch < 1. Wie auch im all¬
ßst
gemeinen Fall der radialen Pumpenräder 0 <N <oo, r2/r^ > 1, ist dieser
Grenzfall mit einem Bezugsgitter von demselben Radienverhältnis und Staf¬
felungswinkel, aber mit unendlich dicht stehenden Schaufeln zu vergleichen.
konforme
=
=
=
=
=
=
-
121
-
"2
0
0,2
0,4
0,6
1.0
U
1S
'*
'•*
2!l
&
7<4
rj_
Bild 52
Radiale
Pumpengitter. Verhältnis
der Zirkulationen der
Absolutströmung
Bild 53
Profil: NACA 0010
(konforme Abbildung
in ein
Pumpengitter)
-
123
-
Cm
u,
/
°°
/
L
/
04
/
01
L
f I
0
0
0*
Qfi
12
is
2*
20
2.8
It'
Bild 54
Konisches
Pumpengitter. Verhältnis
Absolutströmung
der Zirkulationen der
124
-
Zusammenfassung
8.
Die
kompressible Strömung
schen
Schaufelgitters,
liegt,
wird
dargestellt
im Unterschallbereich
das in einer
von
und einer kontinuierlichen
gebundenen
Belegung
halb der Schaufelkonturen mit einer
feld der kontinuierlichen
geben,
aus
fall des
ner
aufgezeigt,
ters Grenzfall des
ters ist.
gegebenen Grundströmung.
Dazu werden 2
ermitteln.
Forderung:
Schaufelkontur
Ergiebigkeit
Die
hergeleitet
des
Geschwindigkeitsfeldes sowohl des
=
Gleichung
geraden,
Spezial¬
werden können.
ebenen
axialen wie
an¬
Fer¬
Schaufelgit¬
des radialen Git¬
kompressible Strömung durch die betrachteten Git¬
Wirbelverteilung
rin die Zirkulationsdichte der
ausser¬
Geschwindigkeits¬
Das
lässt sich mit einer
des konischen Gitters
Demnach lässt sich die
einer
der axialen und radialen Gitter als
ter mit ein und demselben Verfahren bestimmen.
zu
Geschwindigkeitsfelder
räumlichen Quellen und Senken
Geschwindigkeitsfeld
dass das
die Profile eines koni¬
Potentialwirbeln auf den Schaufelkontu¬
Singularitätenverteilungen
Geschwindigkeitsfeldes
wird
von
Geschwindigkeitsfelder
der die
um
gegebenen, rotationssymmetrischen Bezugsfläche
durch die Ueberlagerung der
kontinuierlichen Verteilung
ren
-
Das Verfahren besteht zunächst da¬
und die Quellen- und
Integralgleichungen gelöst,
Stromlinie und andererseits
der in einem bestimmten Bereich
Zirkulationsverteilung entspricht
dem
Schaufelkonturen. Aus der Zirkulation
um
Senkenbelegung
die sich einerseits
aus
der
aus
Berechnung
der
der
eingeschlossenen Quellen ergeben.
gesuchten Geschwindigkeitsverlauf
eine Schaufel erhält
man
um
die
schliesslich den
Abströmwinkel der betrachteten Gitterströmung.
Mit dem
ebenen
vorliegenden Berechnungsverfahren
Schaufelgittern durchgerechnet,
anderen
Berechnungsmethoden
oder
aus
für die die
wurden Beispiele
liess sich eine
digkeitsfeld
den,
ebenen
von
Ueberprüfung
räumlichen
der
mit dem
Schaufelgitters verknüpfen, durchführen.
Die
nach
Vergleichs¬
Mit einer konformen Abbil¬
Transformationsgleichungen,
Wirbelsystemen
geraden,
Geschwindigkeitsverteilung
Druckmessungen vorlagen.
rechnungen ergaben befriedigende Uebereinstimmung.
dung
von
die das Geschwin¬
Geschwindigkeitsfeld
des gera¬
125
-
-
Anhang
Zahlenbeispiel
für das ebene Gitter
nach Bild auf Seite 131
Profil:
_t_
Teilung / Sehne:
600
1,
=
s
Pst
Staffelungswinkel:
Zuströmwinkel
zum
=
4
Anzahl der Unbekannten:
m-1
=
3
Zeichnung,
ctg ß (
Z
)
Komponentenbeiwerte
Seite
( t,
x
,
Z
)
(x- Ç)/t,
Die Werte sind in der Tabelle 1
entnommen.
f
gewählt
wurden die Koordinaten
131,
und f
y
(Ç
Z
,
)
lassen sich mit den
(y-t?)/t
und
eingetragen. Die
Gleichungen 4)
und
berechnen:
TT
sin
5)
116, 6°
m
die Grössen
4)
=
Anzahl der Intervalle:
Aus der
5)
Pl
Gitter:
55, 0°
=
fxU,Z)
y*,z)
Zur numerischen
-
sinh
Sinh
Auswertung
Die Vorzeichen der
wirbel d f und das
Die
2
—\
'
2
..
+
Sln
'
.
+
t
——,—ti
Hyperbelfunktionen,
Komponentenbeiwerte wurden
Koordinatensystem x,
t
"VT(y--n)
2
sin
Gleichungen 4)
Komponentenbeiwerte
H(y-T?)
—
TT(x-t-)
cosh
"n(x-l.)
—'
der
t
TT(x-lQ
sinhi^ii
Vorteil die Tafel 8 der Kreis- und
verwendet werden.
TTfr-T?)
*~"
t
u2
.
fr-«?)
und
5)
Hütte
"von Hand" kann mit
I,
27.
Aufl.,
in die Tabelle 2
S. 47 -50
eingetragen.
sind durch den Drehsinn der Elementar¬
y
gegeben,
Seite 131.
126
-
1
Tabelle
Punkt
X
y_
s
s
-
Koordinaten
t
y
t
ctg|i(Z)
X
1
0,400
0,280
0,250
0,175
+0,700208
2
0,056
0,080
0,035
0,005
-3,00014
3
0,512
0,200
0,320
0,125
+1,0
0,500
0,400
+1,600334
0,800
4
0,640
Komponentenbeiwerte
Tabelle 2
Vektorspitze
im Punkt
für
Z
x-
2
3
W
u'
Z)
Wz) [fy-ctg(i(Z)fx+l]
3
+0,215
-0,070
+0,170
+0,050
-0,555267
-2,098803
+1,141140
-3,084466
1
-0,215
-0,170
+0,555267
-1,141140
+0,025448
+1,0
-0,151726
für
2
2
Ç
+1,0
+2,529948
-0,614868
0
0
0
0
3
-0,285
-0,120
+0,291136
-1,239071
1
+0,070
+0,285
-0,050
+0,120
+2,098803
-0,291136
+3,084466
+1,239071
+1,985663
+2,530206
+1,0
-0,419803
-0,060664
-0,528988
+0,978134
+0,916463
+0,743374
+2,649959
+2,013546
+2,589931
2
3
1
4
'u
t
1
1
?u
t
2
3
+0,250
+0,460
+0,180
Darauf lässt sich
l] bestimmen,
0
0
nun
Tabelle 2.
+0,225
+0,395
+0,275
sofort der Klammerausdruck
[f_(t,
,
Z
)
-
ctg
ß(z )fx(Ç
,
Z)
+
127
-
-
abgewickelte Profilumrandung:
=2,160
-~-
Anzahl Intervalle:
=4
m
iL
Länge des Intervalls:
±
=
^s
Faktor:
des Zuströmwinkels:
^[ctgß(l)
2t
[ctgß(2)
h
2t
Y
[ctgp(3)
Y
tctgß(4)
-
-
-
-
ctgßj]
ctgßj]
ctgpj]
ctgpj]
=
5,925926
=
5,925926
=
5,925926
=
5,925926
Zum Berechnen der
=
ctg
=
*
'
(116,6°)
°.540
g26
=
0,540
ct&ßi
Linke Seite des
^4^
=
s
2^600
=
h/s
Cotangens
4
.
m
s
=-0,500800
Gleichungssystems
•
[+ 0,700208
+
0,5008]
=
+
7,116860
•
[+ 0,300014
+
0,5008]
=
+
1,189619
[+ 1,0
+
0,5008]
=
+
8,893408
[+ 1,600334
+
0,5008]
=
+12,450946
•
•
Zirkulationsverteilung geht
man von
der
Gleichung 33)
aus:
£
33)
[ctgß(Z)
-
ctg(3
^-ü[f(t
]=
u=o
Formulierung
der
'
n
Gleichung 33)
für die
,
r
Aufpunkte 1, 2,
y
+
7,116860
=
'
+
1,000000
'
—
Z)-ctg(3(Z)fx(i;
c
2,529948
'
—
1,189619
=
'
+
0,025448
'
—
c
+
+
8,893408
12,450946
=
=
+
+
1,985663
2,649959
cn
—
n
0,614868
'
—
c
n
+
1,000000
'
J»
-i
"V
-
c
n
+
3 und 4
y
+
Z)
^
—
n
-
0,151726
'
c
+2,530206
+2,013546
c
n
n
i-â
^-
+1,000000
—
n
n
-^
ll
n
+2,589931
n
+
l]
128
-
Normalisierung
4
Di
Gleichungen
=
1
D2
des
21
A,
=
+
—-
1
Gleichungssystems
für 3 Unbekannte
B,
1
c
A2
-
2
n
n
Ï1
^2
„
+B2
—
T>a
=
=
4
+B3
F"
A.
4
[AD]
—
[AA]
^2
+
=
[BA]
h
D
4
=
[CA]
il
n
„
+C2
—
^3
•
„
+C3
+
+
C.
4
c
c
n
nach Hütte I.
[AB]
F"
Ï3
_,
n
ll
27. Aufl. S.
+
[AC]
n
+
[BB]
n
[CD]
Ï3
n
B.
n
[BD]
—
*1
c
il
C
n
^2
n
Gleichungssystem
=
^3
—-
n
n
n
Normalisiertes
1
n
3l
A3
C,
+
c
n
D3
2
—-
p-
[CB]
-^n
il
n
+
[BC]
n
+
1130
il
n
+
[CC]
il
n
-
1136
129
-
-
Operationen
[AD]
A.
[AA]
a:
Dj
+
A2 D2
2
2
+
+
Ag
[BA]
=
A.
Bl
+
A2 B2
+
A3 B3
[AC]
[CA]
=
A.
Cl
+
A2 C2
+
A3 C3
[BD]
B
Dl
+
B2 D2
+
A3 D3
[BB]
B
+
B
Cl
+
B2 C2
+
B3 C3
[CD]
C
Dl
+
C2 D2
+
C3 D3
[CC]
C
+
[BC]
[CB]
=
C2
+
+
+
57,800941
+
11,965788
A4 B4
+
12,915341
A4 C4
+
A4 D4
+
66,767569
+
17,856916
A4 D^
A4
[AB]
B2
+
.2
2
+
A3 D3
B3
+
+
B4
+
Cl
+
+
Normalisiertes
+
B4 C4
+
6,037845
+
C4 D4
+
36,584073
+
8,108826
C4
Gleichungssystem
V
+57,800941
=+11,965788
—
n
=+12,915341
—
8,230145
—
+8,230145
n
+17,856916
—
n
+6,037845
6,037845
—
—
n
V
+
—
t
n
•j
=+
—
t
n
+36,584073
V
V
+12,91534
V
+66,767569
8,230145
Y
+8,108826
—
-
Auflösung
130
-
mit der Eliminationsmethode
=
—
+3,584571
'
c
n
-5-2
=
+
1,137475
+
0,026470
'
c
n
*3
—-
=
'
c
n
Gesamtzirkulation:
4
'
n
Cotangens
u=o
'
n
des Abströmwinkels:
ctgp2
=
f^-
+
ctgßj
=
1,6026-0,5008
n
Abströmwinkel:
ß,
=
42,40°
=
+1,1018
-
Bild
zum
131
-
Zahlenbeispiel
132
Einlesen,
-
KoordinatenfrronsformaHon
Profil eingaben
(t)
N,in
(onderefrefiifomn^
V3'S=1,2
2m
(îVl,2
2m
°5
2m
=t,J
ß»,
h/s
j
2m
Rechnunqsparameter
(fc-M-o*)^
Koordinafetitransformation
auf p»
Drehung
um
die Hinterkante
0
Flussdiagramm
133
o
J"'
^-2
{fUft.,8»
!
>i+2=>/i
1
j—J
k-1
J
+
J^j
k+1=»k
I
v*?=>v
"«"—/m.»/*'
a/k=+l
0
«*-^«
0 0
3,k
=0
©
Gleichungszeilenbildung
134
®0
©
©
a.|<
m
Zeile
I
-/v-2m-2
Nein
Vn
?
-A,=0ood.180°?~V^-
#**>
r
r
S palten weise
Speicherung
in Zeile
1.Ablegeadresse-G<,+ j
k-i
M*2m-ZVAd
Glied in Spalfe
k+t=>k
-(
M
=
2m?
"^
Spaltenweise Speicherung
-2t
-
135
©
k=1
Spalte k
1
=
Spalte
k+1=* k
holen
1
l holen
2v 'y
Ul*l
SliedkljnZeilev.e,
Nein
r
-Spalte
holen
rkin Zeile
T
(
k =2m-2?
©
Normierung
des
Gleichungssystems
F-
-
136
Q>
k-i
HI
l=k»
Abholen Glied Ik
k+1 =>k
1=M
Speichern
/
Nein
in
t
Po&kl
\
<£^j
Lösen des linearen Glei¬
chungssystems der
Ordnung (2m-2)/2
Methode GAUSS-JORDAN
2tCn
«
L.
Qi
#-=^+£;
21a
Ergänzung
der Dreieckmatrix
Nein
/letzte
von
G., Lösung
Rechnung^—-
des Gl.
Syst.
-
137
-
Matrizenschema
Âbkurzunoen
sin
m-i)
cos
T(t-t)
t
t
r*(sz)=,.
sinhlT(X-i>
.
„rfTO-V
t
smh T(K-S)
fy(SZ>.
t
mshïïO-t)
t
t
smh'irüf-S)
,
sm'!<L-!L
t
t
2-5
Verfahren
H E Jmbach
von
Voraussetzung fur
die Schaufelkontur
physikalische
mit Ausnahme der
mindestens stetige 1
W H
der
(x~g)+ Uy-H)
Isay [2]
E Martensen
über den ganzen
spitzen Hinterkante
Ableitung
stetige
der Kontur
verschwindende Normalkomponente
Bedingung
.
längs
verschwindende Normalkomponente
longs
verschwindende
tU)-
Integralgleichung
?tCn[ctgßW-dgß,] =£i<s)[f,t5,z)-ctgß(z)fx<sz} -t-1] ds ZtCh[aaß(zl-unBa)dgß^-fffl[sinß(Z)$si)-a>sptz)t(s z)] de,
lineare Inteqralgleichung I.Art
Typisierung
Grenzen
u
Hinterkante
c(o)
Existenzbeweis
einer
durch
Verwendbarkeit
r(a>-
Rückführung
lineares
fur
technische
=,
runde
anwenabar
u
auf
Grenzen
u
I Art
3X0)
=
0
ein
äquivalentes
ganzen Bereich t/ê alto ouch
fur den Grenz 'all f—» (Einzelflugel)
Erwtiterjng auf räumliche Gitter
mindestens
Konstantsetzen
im
mit
sinßOt) fiff
zj] as
.c„y-c„tx- ±Jr<s)
cosfözj-h]
Fredholmime
Integralgleichung
linear*
Grenzen
regulärem Kern
u
; Art mit festen
logarithmisch singulorem Kern
_
T(0)
_
0
vorhanden
Verfahrens
Iter at 1 on s verfahren
Inj/sinh'mj^sm'ËïM de
lntegralgleichung
c(o)
ergibt Einschränkung fur
Stromfunktion yif
der
auf der Profilkontur
gesetzt
die Anwendbarkeit des
Gleichungssystem
mit festen
hyperbolisch singulorem Kern
vorhanden
spifre Hinterkonten
im
Integralgleichung
lineare
nur
0
vorhanden
Lösung
Lôsungsweg
mit festen
hyperbolisch singulorem Kern
?c„
+
[4]
Schaufelkontur
Geschwindigkeit
Lff(s)[cosß(zl f/s. z)
+
mathcrnatische
der
Oellers
H J
Innern des Profils
der Profilkontur
Profilkontur
Umfang
Ableitung
Z
[J]
durch
Rückführung auf 3
Gleichungssysteme
lineare
beschränkt auf runde Hinterkanten
fur spitze Hinterkante
anwendbor
im
± co
C(oJ-ftoj
ganzen Bereich t 's also auch
fur den Grenzfoll t-»
<*>
_
(Einzel'lûgel)
durch
Rückführung auf
ein
äquivalentes
lineares Gleichungssystem
ungeeignet fur.dûnnschwànzige"Profile
Leer
-
Vide
-
Empty
139
-
Matrizenschema
1)
Ursprüngliches 3l«chunqssystem
*«
,
1, (2m-2)/2
aJ<
-
JJi(2m-2)/2
3tnr2,k
2m-2,t>
I2m-t), VSß
i
2
2) Spaltenweise Speicherunq
%
)
°tk
i
>
i
ai,(2m-2)/2
)
'
v
o-Spalte
1
^
i
v°<k
.
/
i
°Jk
'
/
gtZm2y2)k-
y
a
Spalte
-
V
ri
>
i
.
i
rJ
'
V
'
r2m-2
>
r-Spalte
3) Normiertes 6leichunqssyslem
•«
\
au
«kl
«kl
•aça.i
*ȂM
0|,(2m-2V2
<>k,(2ni-2y2
«îi^-t
r1
rk
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vorgegebenes,
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ebenes
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Schaufelgitter
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Ueber
Gestaltung
DampfS.
S.
und
und
125-132.
Kb
Strö¬
bei hohen
(1958), 5/6,
274-284.
Systematik
Gasturbinen,
neuerer
Forsch.
Schaufelprofile
Ing. Wes.,
16
für
(1949) 5,
Lebenslauf
Am 1.6.
1920 wurde ich in Luzern
geboren,
wuchs im Elternhaus in Arbon
auf und besuchte die Primär- und Sekundärschule in
technische
ner
Abteilung
der Kantonsschule in St.
Maturitätsprüfung
Arbon,
anschliessend die
Gallen und begann nach bestande¬
im Herbst 1941 das Studium
an
der
Abteilung
nen-Ingenieurwesen der Eidgenössischen Technischen Hochschule
Soweit dies neben militärischen Schulen und Aktivdienst
nutzte ich die Semesterferien
der AG
zur
praktischen Ausbildung
für Maschi¬
in Zürich.
möglich
war, be¬
im Betrieb und Bureau
Adolph Saurer, Arbon.
Im Herbst 1946 bestand ich das
Vom 15.12.1946
AG Adolph
-
als
Maschineningenieur.
31.1.1956 arbeitete ich in der Forschungsabteilung der
Saurer, Arbon.
Turbinenfabrik der AG
Diplom-Examen
Seit 1. 2.
Brown,
1956 bin ich in der
Boveri &
Cie.,
Baden
Versuchsabteilung
tätig.
der

Algebra I Aufgabe 29. Es sei K ein Körper. Beweisen oder

1 b) Druck des freien Elektronengases bei (T = 0)

6 Reziprokes Gitter

Vorbereitung Klausur / Aufgaben 1. Analysis / gebrochen rationale

Powerwand (Kraftstab) - Astro

Das Lösen von linearen Gleichungen

Heinz Sauer gez. Stefan Plonka gez. Peter Springwald

Datenblatt 1SH24B

(IAG) der Universität Stuttgart ist eine Stelle im Bereich der

Rechnen mit natürlichen Zahlen