126 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

126
3 Vektoren, Geraden, Ebenen
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
Aufgabe
1 Linearkombinationen von Vektoren geometrisch deuten

$  wie rechts abgebildet.
a)Gegeben sind zwei Vektoren #$a
  und #b

# $  spannen ein Parallelo
#$  und b
Man sagt: Die beiden Vektoren a
gramm auf. Erläutern Sie die Bedeutung dieser Aussage.

#b$. 
 
Konstruieren Sie einen Pfeil des Vektors 1} 
·  #$a + 2·
2
Beschreiben Sie, wie man zeichnerisch zu diesen beiden Vektoren

#b
$  mit r, s ° 0 erhält. Man
$  = r·#$a + s·
 
a und b einen Vektor #c 

$  auch eine Linearkombination von a
#$   und #b$. 
nennt #c 
Spat: schiefes Prisma
mit Parallelogramm als
Grundfläche

$  als Linear
einen Spat auf. Untersuchen Sie, ob sich der Vektor #c 

#
$
  darstellen lässt.
kombination der Vektoren #$a
  und b
Lösung

$  und #c $ 
b)In der nebenstehenden Grafik spannen drei Vektoren a#$ ,  #b
Deuten Sie diesen Sachverhalt geometrisch.

$  spannen ein Parallelogramm auf,
a) Die beiden Vektoren #$
a  und #b

a  parallel zu einem Pfeil des Vektors #b$ 
wenn kein Pfeil des Vektors #$

$ kein Vielfaches des Vektors #$a .
ist. Somit ist der Vektor #b

#b
$  mit r, s ° 0 beschreibt eine Diagonale in
 
Jeder Vektor r·#$a + s·

# $.  Trägt
einem Parallelogramm mit den Seitenvektoren r·#$a  und s·b

$  und r·a + s·
#b
$  mit r, s °  0
#$ 
man je einen Pfeil der Vektoren #$a,  #b
in einem gemeinsamen Punkt an, so liegen alle drei Pfeile in einer
gemeinsamen Ebene.

$ und #c 
$ in einem gemeinsamen Punkt an, so spannen die beiden Vekto
b) Trägt man die drei Vektoren a#$,  #b

#
$
#b
$  mit r, s ° 0 beschreibt
#$  und b  die Grundfläche des Spats auf. Jede Linearkombination r·a + s·
#$ 
ren a

$  und liegt somit in der Ebene, in der
#$  und s·#b
eine Diagonale des Vektorparallelogramms der Vektoren r·a

#
$
#$ 
b  mit r, s ° 0 hat somit auf keinen Fall die Rich
die Grundfläche des Spats liegt. Jeder Vektor r·a + s·

$,  d. h. #c 
$  lässt sich nicht als Linearkombination der beiden Vektoren a
#$   und #b$  darstellen.
tung des Vektors #c 
Information
(1) Linearkombination von Vektoren
Definition 5

2,  …, a###$
n.  Eine Summe von Vielfachen dieser Vektoren der Art
Gegeben sind die Vektoren a###$
1,  a###$

###$n  mit k1, k2, …, kn ∈ R nennt man eine Linearkombination dieser Vektoren.
  2·a###$2 + … + k
 
k1·a###$1 + k
n·a
Eine Linearkombination von Vektoren ist wieder ein Vektor.
Beispiele
_ x +
x
0 
 
 1
 0
 1
 0
 0

_ 0  0  + , _  1  0  +und _ 0  1   + , denn es gilt: _  xx   += x ·_ 0  0  ++ x ·_ 1  0   ++ x ·_ 0  1  +.
x 1
• Jeder Vektor x 2   im dreidimensionalen Raum ist eine Linearkombination der drei Einheitsvektoren
3
1
2
3
1
2

$,  denn es gilt:
$ ist eine Linearkombination von a
#$ und #b
• Der Vektor #c 

#c 
$  = a
#$   + #b
$ 
127
3.1 Punkte und Vektoren im Raum
(2) Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
Um Sachverhalte wie bei der Lösung von Aufgabe 1 einfacher beschreiben zu können, führt man folgende
Begriffe ein:

$  zueinander parallel, so ist Vektor #b
$  ein Vielfaches des Vektors #$a  
Sind die Pfeile zweier Vektoren #$a
  und #b

(oder auch eine Linearkombination von #$a)  . Die beiden Vektoren heißen in diesem Fall voneinander linear
abhängig.

$  und #c $  mindestens
Lässt sich bei drei Vektoren #$a,  #b
einer der drei Vektoren als Linearkombination der
beiden anderen Vektoren darstellen, so sagt man

$  sind von
$  und #c 
ebenfalls, die drei Vektoren #$a ,  #b
einander linear abhängig. Die Pfeile dieser drei
voneinander linear
abhängige Vektoren
Vektoren liegen dann in einer Ebene, wenn man sie
in einem gemeinsamen Punkt anträgt.
Ist einer der Vektoren

der Nullvektor o#$,  so
sind die Vektoren
stets linear abhängig
voneinander.
Definition 6
(1)Vektoren heißen voneinander linear abhängig, falls wenigstens einer dieser Vektoren eine Linear
kombination der übrigen Vektoren ist.
(2)Vektoren heißen voneinander linear unabhängig, falls keiner der Vektoren eine Linearkombina
tion der übrigen ist.
Beispiel
_ – 1 +
_ – 13 +
_ 2 +
1 

 4
 3
##$ in der
    und ##$ 
w  =     6 
  sind voneinander linear abhängig, da sich z. B. w
  
Die Vektoren #u $  =     2     , v #$  =   0 

#u – 5·
$ 
##$ 
#$ 
#$ 
Form w = 3·
v als Linearkombination der Vektoren #u
$  und v
schreiben lässt.
_ 2 +
1 
_ 1 +
 0
#$  0 
#$ 
Übungsaufgaben
2 Gegeben sind die zwei Vektoren u = 

2 
     .
     und v = 

#$ 
a) Begründen Sie, dass #u
$  und v
keine Vielfachen voneinander sind.

#$ 
die folgenden Vektoren erhält.
b)Beschreiben Sie, wie man zeichnerisch aus #u
$  und v

$  u – 
# $  v#$ 
# $  1}   #$ 
$  = 3 #u + 2
$  #$ 
(2)#b = 
v
(3)#c  
v
  u + 
(1) #$a = 2
2
c)
Untersuchen Sie, ob es Werte für den Parameter t gibt, sodass der angegebene Vektor mithilfe von

#u
$  und v
#$ 
beschrieben werden kann.

5
1 
  
(2)    
    
 
(1)  t   
4 
_ 10 + t +
_ 3 +
3

_ 1 +
2

_ 1 +
_ 10 + 2 t +
5
  
(3)    
    
 
2 t 
1
 0 
#$   1 
#$ 
Gegeben sind die Vektoren u = 

     und v = 
    .

# $,  v
####$ 
#$ und ####$ 
#$ und ####$ 
Geben Sie zwei Vektoren ####$ 
w1und w
w1sowie u# $,  v
w2 voneinander
2 an, sodass die drei Vektoren u
linear unabhängig sind. Erläutern Sie Ihr Vorgehen.
4

$  = #####$
Die Vektoren #$a = 
  #####$
AB,  #b = 
$  #####$
AD  und #c  
AE  spannen einen Quader
auf. Die Punkte R, S, T und U sind Kantenmitten des gezeichneten
Quaders.

####$ jeweils als Linearkombination
#####$ und ST
a)Stellen Sie die Vektoren RU

#
$
  und #c $  dar.
der Vektoren #$a ,  b

####$
#####$
 voneinander
b)Untersuchen Sie, ob die beiden Vektoren RU
 und ST
linear abhängig sind.

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