126 3 Vektoren, Geraden, Ebenen Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren Aufgabe 1 Linearkombinationen von Vektoren geometrisch deuten $ wie rechts abgebildet. a)Gegeben sind zwei Vektoren #$a und #b # $ spannen ein Parallelo #$ und b Man sagt: Die beiden Vektoren a gramm auf. Erläutern Sie die Bedeutung dieser Aussage. #b$. Konstruieren Sie einen Pfeil des Vektors 1} · #$a + 2· 2 Beschreiben Sie, wie man zeichnerisch zu diesen beiden Vektoren #b $ mit r, s ° 0 erhält. Man $ = r·#$a + s· a und b einen Vektor #c $ auch eine Linearkombination von a #$ und #b$. nennt #c Spat: schiefes Prisma mit Parallelogramm als Grundfläche $ als Linear einen Spat auf. Untersuchen Sie, ob sich der Vektor #c # $ darstellen lässt. kombination der Vektoren #$a und b Lösung $ und #c $ b)In der nebenstehenden Grafik spannen drei Vektoren a#$ , #b Deuten Sie diesen Sachverhalt geometrisch. $ spannen ein Parallelogramm auf, a) Die beiden Vektoren #$ a und #b a parallel zu einem Pfeil des Vektors #b$ wenn kein Pfeil des Vektors #$ $ kein Vielfaches des Vektors #$a . ist. Somit ist der Vektor #b #b $ mit r, s ° 0 beschreibt eine Diagonale in Jeder Vektor r·#$a + s· # $. Trägt einem Parallelogramm mit den Seitenvektoren r·#$a und s·b $ und r·a + s· #b $ mit r, s ° 0 #$ man je einen Pfeil der Vektoren #$a, #b in einem gemeinsamen Punkt an, so liegen alle drei Pfeile in einer gemeinsamen Ebene. $ und #c $ in einem gemeinsamen Punkt an, so spannen die beiden Vekto b) Trägt man die drei Vektoren a#$, #b # $ #b $ mit r, s ° 0 beschreibt #$ und b die Grundfläche des Spats auf. Jede Linearkombination r·a + s· #$ ren a $ und liegt somit in der Ebene, in der #$ und s·#b eine Diagonale des Vektorparallelogramms der Vektoren r·a # $ #$ b mit r, s ° 0 hat somit auf keinen Fall die Rich die Grundfläche des Spats liegt. Jeder Vektor r·a + s· $, d. h. #c $ lässt sich nicht als Linearkombination der beiden Vektoren a #$ und #b$ darstellen. tung des Vektors #c Information (1) Linearkombination von Vektoren Definition 5 2, …, a###$ n. Eine Summe von Vielfachen dieser Vektoren der Art Gegeben sind die Vektoren a###$ 1, a###$ ###$n mit k1, k2, …, kn ∈ R nennt man eine Linearkombination dieser Vektoren. 2·a###$2 + … + k k1·a###$1 + k n·a Eine Linearkombination von Vektoren ist wieder ein Vektor. Beispiele _ x + x 0 1 0 1 0 0 _ 0 0 + , _ 1 0 +und _ 0 1 + , denn es gilt: _ xx += x ·_ 0 0 ++ x ·_ 1 0 ++ x ·_ 0 1 +. x 1 • Jeder Vektor x 2 im dreidimensionalen Raum ist eine Linearkombination der drei Einheitsvektoren 3 1 2 3 1 2 3 $, denn es gilt: $ ist eine Linearkombination von a #$ und #b • Der Vektor #c #c $ = a #$ + #b $ 127 3.1 Punkte und Vektoren im Raum (2) Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren Um Sachverhalte wie bei der Lösung von Aufgabe 1 einfacher beschreiben zu können, führt man folgende Begriffe ein: $ zueinander parallel, so ist Vektor #b $ ein Vielfaches des Vektors #$a Sind die Pfeile zweier Vektoren #$a und #b (oder auch eine Linearkombination von #$a) . Die beiden Vektoren heißen in diesem Fall voneinander linear abhängig. $ und #c $ mindestens Lässt sich bei drei Vektoren #$a, #b einer der drei Vektoren als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen, so sagt man $ sind von $ und #c ebenfalls, die drei Vektoren #$a , #b einander linear abhängig. Die Pfeile dieser drei voneinander linear abhängige Vektoren Vektoren liegen dann in einer Ebene, wenn man sie in einem gemeinsamen Punkt anträgt. Ist einer der Vektoren der Nullvektor o#$, so sind die Vektoren stets linear abhängig voneinander. Definition 6 (1)Vektoren heißen voneinander linear abhängig, falls wenigstens einer dieser Vektoren eine Linear kombination der übrigen Vektoren ist. (2)Vektoren heißen voneinander linear unabhängig, falls keiner der Vektoren eine Linearkombina tion der übrigen ist. Beispiel _ – 1 + _ – 13 + _ 2 + 1 4 3 ##$ in der und ##$ w = 6 sind voneinander linear abhängig, da sich z. B. w Die Vektoren #u $ = 2 , v #$ = 0 #u – 5· $ ##$ #$ #$ Form w = 3· v als Linearkombination der Vektoren #u $ und v schreiben lässt. _ 2 + 1 _ 1 + 0 #$ 0 #$ Übungsaufgaben 2 Gegeben sind die zwei Vektoren u = 2 . und v = #$ a) Begründen Sie, dass #u $ und v keine Vielfachen voneinander sind. #$ die folgenden Vektoren erhält. b)Beschreiben Sie, wie man zeichnerisch aus #u $ und v $ u – # $ v#$ # $ 1} #$ $ = 3 #u + 2 $ #$ (2)#b = v (3)#c v u + (1) #$a = 2 2 c) Untersuchen Sie, ob es Werte für den Parameter t gibt, sodass der angegebene Vektor mithilfe von #u $ und v #$ beschrieben werden kann. 5 1 (2) (1) t 4 _ 10 + t + _ 3 + 3 _ 1 + 2 _ 1 + _ 10 + 2 t + 5 (3) 2 t 1 0 #$ 1 #$ Gegeben sind die Vektoren u = und v = . # $, v ####$ #$ und ####$ #$ und ####$ Geben Sie zwei Vektoren ####$ w1und w w1sowie u# $, v w2 voneinander 2 an, sodass die drei Vektoren u linear unabhängig sind. Erläutern Sie Ihr Vorgehen. 4 $ = #####$ Die Vektoren #$a = #####$ AB, #b = $ #####$ AD und #c AE spannen einen Quader auf. Die Punkte R, S, T und U sind Kantenmitten des gezeichneten Quaders. ####$ jeweils als Linearkombination #####$ und ST a)Stellen Sie die Vektoren RU # $ und #c $ dar. der Vektoren #$a , b ####$ #####$ voneinander b)Untersuchen Sie, ob die beiden Vektoren RU und ST linear abhängig sind.
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