ei | 1

Wurzelsysteme irreduzibler endlicher Spiegelungsgruppen
Notation:
• Der R-Vektorraum Rn sei mit der Standardbasis {ei | 1 ≤ i ≤ n} versehen.
• ±ei ± ej ist Kurzform für die 4 Vektoren ei + ej , ei − ej , −ei + ej und −ei − ej .
Vorbemerkungen:
• Soweit möglich werden explizite explizite kristallographische Wurzelsysteme ange∈ Z für alle
geben. Ein Wurzelsystem Φ heißt kristallographisch, wenn 2hv,wi
hw,wi
v, w ∈ Φ gilt. Die assoziierte Spiegelungsgruppe W wird dann auch Weylgruppe
genannt. Sie ist eine kristallographische Gruppe, da sie das Gitter spanZ (Φ) stabilisiert. Letzteres folgt aus der Tatsache, dass w − sv (w) stets ein ganzzahliges
Vielfaches von v ist.
• Für ein kristallographisches Wurzelsystem Φ mit einfachen Wurzeln ∆ definieren
wir folgendermaßen eine partielle Ordnung:
v ≤ w :⇔ w − v ist nichtnegative Z-Linearkombination von Vektoren aus ∆.
• Das (eindeutig bestimmte) maximale Element α
e ∈ Φ bezüglich dieser partiellen
Ordnung ≤ (eines kristallographischen Wurzelsystems) ist die höchste Wurzel.
1. Spiegelungsgruppe vom Typ An
Coxetergraph:
(n Knoten)
Die symmetrische Gruppe Σn+1 wirkt durch Koordinatenpermutation auf Vektoren
des Rn+1 . Für eine
schränken wir uns auf den Unter PGruppenwirkung
wesentliche
x
=
0
ein.
Wir
erhalten das kristallographishe
vektorraum U = x ∈ Rn+1 n+1
i=1 i
Wurzelsystem
Φ = {ei − ej | 1 ≤ i 6= j ≤ n + 1}
mit einfachen Wurzeln
∆ = {δi := ei − ei+1 | 1 ≤ i ≤ n} .
Alle Wurzeln haben die gleiche Länge und die höchste Wurzel ist α
e = e1 − en .
2. Spiegelungsgruppe vom Typ Bn
4
Coxetergraph:
(n ≥ 2 Knoten)
Die Hyperoktaedergruppe ist isomorph zum semidirekten Produkt Σn n (Z2 )n . Sie
wirkt auf dem Standardgitter Zn des Rn wesentlich und besitzt zwei kristallographische
Wurzelsysteme, die Bn und Cn genannt werden.
i) Das kristallographische Wurzelsystem Bn ist
Φ = {±ei | 1 ≤ i ≤ n} ∪ {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ n}
mit einfachen Wurzeln
∆ = {δi := ei − ei+1 | 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {δn = en } .
Die Wurzeln haben zwei verschiedene Längen: ±ei sind kurze Wurzeln, während
±ei ± ej lange Wurzeln genannt werden. Die höchste Wurzel ist α
e = e1 + e2 .
ii) Das kristallographische Wurzelsystem Cn ist
Φ = {±2ei | 1 ≤ i ≤ n} ∪ {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ n}
mit einfachen Wurzeln
∆ = {δi := ei − ei+1 | 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {δn = 2en } .
Die Wurzeln haben zwei verschiedene Längen: ±ei ± ej sind kurze Wurzeln und
±2ei sind lange Wurzeln. Die höchste Wurzel ist α
e = 2e1 .
1
2
3. Spiegelungsgruppe vom Typ Dn
Coxetergraph:
(n ≥ 4 Knoten)
Die Gruppe vom Typ Dn ist isomorph zum semidirekten Produkt Σn n (Z2 )n−1 . Sie
wirkt auf dem Standardgitter Z n des Rn wesentlich und besitzt das folgende kristallographische Wurzelsystem
Φ = {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ n + 1}
mit einfachen Wurzeln
∆ = {δi := ei − ei+1 | 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {δn = en−1 + en } .
Alle Wurzeln sind haben die gleiche Länge und die höchste Wurzel ist α
e = e1 + e2 .
4. Spiegelungsgruppe vom Typ I2 (6) (alternativ auch: vom Typ G2 )
6
Coxetergraph:
Die Diedergruppe der Ordnung 12 wirkt auf dem Standardgitter Z3 des R3 . Für eine
wesentliche Gruppenwirkung schränken wir uns wiederum auf den Untervektorraum
U = {x ∈ Rn+1 | x1 + x2 + x3 = 0} ein und erhalten das kristallographische Wurzelsystem
Φ = {±(ei − ej ) | 1 ≤ i < j ≤ 3} ∪ {±(2ei − ej − ek ) | {i, j, k} = {1, 2, 3}}
mit einfachen Wurzeln
∆ = {δ1 := e1 − e2 , δ2 := −2e1 + e2 + e3 } .
Auch hier haben die Wurzeln zwei verschiedene Längen: die sechs Wurzeln ±(ei − ej )
sind kurze Wurzeln, während die sechs Wurzeln ±(2ei −ej −ek ) mit {i, j, k} = {1, 2, 3}
lange Wurzeln sind. Die höchste Wurzel ist α
e = 2e3 − e1 − e2 .
5. Spiegelungsgruppe vom Typ I2 (m) mit m = 5 oder m ≥ 7
Coxetergraph: m
Für die Diedergruppen I2 (m) mit m = 5 oder m > 6 gibt es kein kristallographisches Wurzelsystem, und ein Wurzelsystem ist von einem regelmäßigen Polygon (mit
Ursprung als Symmetriezentrum) abgeleitet.
6. Spiegelungsgruppe vom Typ F4
4
Coxetergraph:
Die Symmetriegruppe des 24-Zells wirkt auf dem R4 und stabilisiert das Gitter
Z4 + spanZ 12 (e1 + e2 + e3 + e4 ) .
Wir erhalten das kristallographische Wurzelsystem
Φ = {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ 4} ∪ {±ei | 1 ≤ i ≤ 4} ∪
1
(±e
±
e
±
e
±
e
)
1
2
3
4
2
mit einfachen Wurzeln
∆ = δ1 := e2 − e3 , δ2 := e3 − e4 , δ3 := e4 , δ4 := 12 (e1 − e2 − e3 − e4 ) .
Auch hier haben die Wurzeln zwei verschiedene Längen: die 24 Wurzeln ±ei und
1
(±e1 ± e2 ± e3 ± e4 ) sind kurze Wurzeln, die 24 Wurzeln ±ei ± ej sind lange
2
Wurzeln. Die höchste Wurzel ist α
e = e1 + e2 .
7. Spiegelungsgruppe vom Typ E8
Coxetergraph:
Diese sporadische endliche Spiegelungsgruppe wirkt auf R8 und stabilisiert das Gitter
P8
ci ∈ Z und P8 ci gerade + spanZ 1 P8 ei .
c
e
i
i
i=1
i=1
i=1
2
Wir erhalten das kristallographische Wurzelsystem
3
Φ = {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ 8} ∪
1 P8
2
gerade Anzahl von ‘−’
±e
i
i=1
mit einfachen Wurzeln
P
∆ = δ1 := 12 (e1 − 7i=2 ei + e8 ), δ2 := e1 + e2 ∪ {δi := ei−1 − ei−2 | 3 ≤ i ≤ 8} .
Das Wurzelsystem Φ enthält 240 Wurzeln gleicher Länge und die höchste Wurzel
ist α
e = e7 + e8 .
8. Spiegelungsgruppe vom Typ E7
Coxetergraph:
Diese sporadische endliche Spiegelungsgruppe wirkt auf span(δ1 , . . . , δ7 ) ⊂ R8 der einfachen Wurzeln des Wurzelsystems E8 und stabilisiert das von diesen Vektoren aufgespannte Gitter. Wir erhalten das kristallographische Wurzelsystem
o
n
P6
Φ = {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ 6} ∪ {±(e7 − e8 )} ∪ ± 21 ( i=1 ±ei + e7 − e8 ) gerade Anzahl von ‘−’ .
Die einfachen Wurzeln sind eine Teilmenge der einfachen Wurzeln für E8 :
∆ = {δ1 , . . . , δ7 } .
Das Wurzelsystem Φ enthält 126 Wurzeln gleicher Länge und die höchste Wurzel
ist α
e = e8 − e7 .
9. Spiegelungsgruppe vom Typ E6
Coxetergraph:
Diese sporadische endliche Spiegelungsgruppe wirkt auf span(δ1 , . . . , δ6 ) ⊂ R8 der einfachen Wurzeln des Wurzelsystems E8 und stabilisiert das von diesen Vektoren aufgespannte Gitter. Wir erhalten das kristallographische Wurzelsystem
n
o
P5
Φ = {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ 5} ∪ ± 21 ( i=1 ±ei − e6 − e7 + e8 ) gerade Anzahl von ‘−’ .
Die einfachen Wurzeln sind eine Teilmenge der einfachen Wurzeln für E8 :
∆ = {δ1 , . . . , δ6 } .
Das Wurzelsystem Φ enthält 72 Wurzeln gleicher Länge und die höchste Wurzel ist
α
e = 21 (e1 + e2 + e3 + e4 + e4 + e5 − e6 − e7 + e8 ).
10. Spiegelungsgruppe vom Typ H4
4
Coxetergraph:
Die Symmetriegruppe des 120- und 600-Zells wirkt auf dem R4 und ist keine kristallographische Gruppe. Wir betrachten die Vektoren

π 
± cos( )
±1 ±1 5
1


1
±
±1
0
2
, 2 ±1 , und 

0
0
2π
± cos( )
5
0
0
und erhalten aus dieses Vektoren ein Wurzelsystem Φ durch Koordinatenpermutation
mit geraden Permatutationen. Ein einfaches Wurzelsystem ∆ ist durch die Vektoren


 1 


π 
π 
1
δ1 =
cos( )
5
 −1 
2
 2π  ,
cos( )
5
0
gegeben.
δ2 =
− cos( )
5
 1 
2

,
2π
cos( )
5
0

δ3 = 
2
2π
cos( ) 
5 ,
π
− cos( )
5
0
−
2
π 

und δ4 =  − cos( 5 ) 
0
cos(
2π
)
5
4
11. Spiegelungsgruppe vom Typ H3
4
Coxetergraph:
Die Symmetriegruppe des Ikosaeders und Dodekaeders wirkt auf dem R3 und ist keine
kristallographische Gruppe. Ein Wurzelsystem ist durch die Wurzeln des Wurzelsystems H4 gegeben, die auf e4 senkrecht stehen. Ein dazu gehöriges einfaches Wurzelsystem ∆ ist die Teilmenge {δ1 , δ2 , δ3 } der einfachen Wurzeln für H4 .

Download Report