Technische Schwingungslehre - WS 15/16 Thema: Lineare

Institut für Mechanik und Fluiddynamik
Prof. Dr.-Ing. Ams
Technische Schwingungslehre - WS 15/16
5. Übungsblatt (2. KW)
Thema: Lineare zeitinvariante Anfangs-Randwert-Probleme, Partielle
Differentialgleichungen. Prinzip von HAMILTON
1. Anfangsrandwertproblem (ARWP):
im Gebiet
-
auf dem Rand
-
Anfangswerte
,
0
(Randbedingungen)
,
-
,
,
,
Bsp.:
(PDgl, Feldgl.)
(Anfangswerte)
,…
Anmerkung: Darstellung hier für eine Koordinate
–
Formulierung für weitere Koordinaten
2. Prinzip von HAMILTON (Prinzip der stationären Wirkung):
zur Herleitung der Feldgleichungen und der (dynamischen) Randbedingungen des ARWP
verallgemeinerte Fassung:
- Lagrange Funktion mit
Energie und
0
– kinetische
- Potential (der
potentialbehafteten inneren und
äußeren Kräfte)
- Virtuelle Arbeit (der potentiallosen
Kräfte)
wird auch als HAMILTON-Funktional bezeichnet.
Anmerkung: Das Funktional
3. Auswertung des Prinzips von HAMILTON (z.B. für 2 Koordinaten
,
,
,
)
3.1 Ausführen der Variation
3.2 Partielle Integration, um Integranden auf die Form
zu führen.
(Dabei entstehende Randterme nicht vergessen!)
3.3
0
⋯
Randterme
i.a. nur erfüllt, wenn jeder Summand verschwindet.
Integrale
1
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somit folgt für die
0,
Randterme:
Integrale:
0, … → Randbedingungen
verschwinden nach Fundamentallemma der Variationsrechnung für beliebige,
unabhängige
,
0,
nur wenn
0 → Feldgleichungen
4. Beispiel für physikalische Problemstellung: Schwingungen (gerader) Stäbe:
,
,
,
,
Längs-
,
Biege-
,
Torsionsschwingungen
,
1
2
1
2
2
,
Sonderfall Saite: ,
,
,
2
,
,
=0
2
,
,
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TSL 5.1
TSL 5.2
Ein Stab mit konstantem Querschnitt
und mit konstanter Massenverteilung
fest eingespannt und kann aufgrund seiner Elastizität
seinem rechten Ende ist über eine Feder
eine Kraft
und einen Dämpfer
angreift. Die Bewegung der Masse
0 und
beschrieben. Für
,
ist am linken Ende
,
Längsschwingungen
eine Masse
ausführen. An
angekoppelt, an der
wird durch die Absolutkoordinate
0 sind Balken und Feder nicht vorgespannt und die Masse
ist in Ruhe.
Ein dünner Balken mit konstantem Querschnitt hat die Länge 2 , die Biegesteife
und die auf die
0 und in seiner Mitte bei
Längeneinheit bezogene Masse . Er ist an seinem linken Ende bei
frei drehbar gelagert. An seinem rechten Ende ist eine masselose Feder angebracht, deren
cos
oberes Ende nach dem harmonischen Weg-Zeit-Gesetz
Die Feder hat die Federkonstante
0 und
und ist für
2,
Prinzips von HAMILTON untersuche man die Biegeschwingungen
auf- und abbewegt wird.
0 spannungslos. Mit Hilfe des
,
für 0
und
,
für
2 , die der linke Balkenteil und das überkragende Ende des Balkens ausführen.
1) Für das beschriebene Schwingungssystem ermittle man der Reihe nach: die kinetische
Energie
, das elastische Potential
virtuelle Arbeit
, das Potential
der äußeren Kräfte und die
der potentiallosen Kräfte.
2) Man schreibe mit den Ergebnissen aus 1) die HAMILTONsche Variationsgleichung auf und
führe die verlangten Variationen und Produktintegrationen einzeln aus.
3) Wie lautet die Bewegungsgleichung für die Längsschwingungen des Stabes?
4) Wie lautet die Bewegungsgleichung der Masse
?
5) Aus den Randbedingungen bestimme man die Längskraft
Stabes.
EA
,
am Ende des
1) Man stelle die kinetische Energie
und das Potential
des Schwingungssystems auf.
2) Man schreibe für das vorgegebene System die HAMILTONsche Variationsgleichung an und
führe die verlangten Variationen und Produktintegrationen einzeln aus.
3) Man gebe die beiden Bewegungsgleichungen für die Biegeschwingungen
,
und
,
des Balkens an.
4) Wie lautet die Übergangsbedingungen in der Mitte des Balkens bei
?
5) Welche Randbedingungen müssen für das vorgegebene System an den Stellen
2 erfüllt werden?
3
4
0 und
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TSL 5.3
TSL 5.4
Ein einseitig eingespannter Balken mit der Biegesteife
und der längenbezogenen Masse
an seinem freien Ende durch die stets vertikal gerichtete Kraft
zu Querschwingungen
wird
Ein Antriebsstrang besteht aus zwei Stäben der Länge
,
und der Massenbelegung
bzw.
bzw.
mit der Dehnsteifigkeit
bzw.
. Alle Stabdaten sind konstant. Zwischen dem rechten
angeregt. Außerdem kann ein an diesem Ende gelenkig befestigtes Pendel, bestehend aus einer
Ende des Ersten und dem linken (zusätzlich mit einer starren Masse
starren masselosen Stange und dem Massenpunkt
zweiten Stabes befindet sich eine Dehnfeder (Federkonstante ). Das Koppelsystem führt unter der
ist über eine Drehfeder (Federkonstante
, Schwingungen
ausführen. Das Pendel
0 spannungslos ist, mit dem
), die für
an
angreifenden Kraft
Längsschwingungen aus, die durch die Verformungen
Balkenende verbunden. Die Bewegungen von Balken und Pendel werden durch die Schwerkraft
ersten Stabes, die Starrkörperbewegung
nicht beeinflusst. Eventuell auftretende Längsschwingungen des Balkens sind zu vernachlässigen.
Verformungen
,
versehenen) Ende des
,
des
des zweiten Stabes mit Fußpunktmasse und die
des zweiten Stabes beschrieben werden.
1) Man berechne die kinetische und die potentielle Energie des Systems sowie die virtuelle
Arbeit der potentiallosen Kräfte.
2) Man formuliere das Prinzip von HAMILTON und führe die verlangten Variationen und
Produktintegrationen aus.
,
3) Man gebe die drei Bewegungsgleichungen in
, das elastische Potential
1) Man gebe die kinetische Energie
sowie die virtuelle Arbeit
, das äußere Potential
der potentiallosen Kräfte des Systems an.
(Für das Geschwindigkeitsquadrat
4) Man
bestimme
die
Randbedingungen
Übergangsbedingungen bei
.
des Massenpunktes darf näherungsweise
gesetzt werden.)
2) Nach Einsetzen in die HAMILTONsche Variationsgleichung führe man die verlangten
Variationen und Produktintegrationen aus.
3) Wie lauten die Bewegungsgleichungen von Balken und Pendel?
Welche Randbedingungen gelten an den Stellen
5
0 und
?
6
bei
,
,
und
0,
0
an.
und
sowie
die
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TSL 5.1
Randbedingungen bei
;
1
;
3
0
0
;
2
0
;
0
0: →
0;
0
0 ⇒
;
0→
0
0
0
:
0
0 ⇒ 0;
→
0
0
0 ⇒ 4
5
0 ⇒
Randbedingungen bei
,
0:
0
0
0:
,
,
,
TSL 5.4
1
;
TSL 5.2
;
1
0;
;
1
2
1
2
2
1
2
3
2
4
Randbedingungen:
0:
Bewegungsgleichung des Balkens:
,
0:
,
0:
:
0
0
4
0;
;
2
3
0;
0
0,
0:
0
0
:
0
0 (Übergangsbedingung)
0;
0;
0;
5
0→
0
0
2 →
2
0; querunverschieblich
0; momentenfrei
0; momentenfrei
2
0: → 2
2,
0
TS 5.3
1
;
;
2
;
;
3
0⇒
4
0⇒
0Bewegungsgleichung des Balkens
0Bewegungsgleichung des Pendels
7
8

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