2 - TU Bergakademie Freiberg

Institut für Mechanik und Fluiddynamik
Prof. Dr.-Ing. Ams
Technische Mechanik (Festigkeitslehre) - WS 14/15
12. Übungsblatt (4. KW)
Thema: Zug-, Druckbeanspruchung
1) Spannungsverteilung im Querschnitt bzgl. Schwerpunktkoordinaten
σ Z = σ Z (z ) =
FL (z )
A(z )
Normalspannung σ Z (z ) über Querschnitt konstant
FL ( z ) Normalkraft
A ( z ) Querschnittsfläche (x, y - Ebene)
z
Längskoordinate
∆l
Längenänderung
E
Elastizitätsmodul
l
Länge des unbelasteten Stabes
2) Verformung
l
∆l = ∫
0
FL (z )
dz
EA(z )
3) Bemessung
Gegeben: zulässige Spannung σ zul und / oder
zulässige Verformung ∆l zul
Gesucht: minimale Querschnittsfläche Amin
Maximale Spannung σ max
1) für direkte Bemessung:
A ≥ Amin =
FL (z )
σ zul
2) für indirekte Bemessung
σ max =
FL (z )
A(z )
≤ σ zul
∆l max =
l
0
max
1
FL (z )
∫ EA(z ) dz
≤ ∆l zul
max
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Aufgabe F2.1
Ein Stab aus Stahl mit der Querschnittsfläche A0 , der Länge
Gewicht
l
und dem spezifischen
γ ist an einer Decke vertikal hängend befestigt.
1) Man bestimme die durch das Eigengewicht hervorgerufene Spannung an beliebiger
Stelle z.
2) Für
l = 5 m,
E = 2 ⋅10 5 N mm 2 und γ = 0 ,0785 ⋅10 −3 N mm 3 berechne man die
Verlängerung des Stabes.
(
3) Bei welcher Länge würde der Stab reißen? σ B = 600 N mm 2
)
4) Der Endquerschnitt des Stabes sei A(l ) = A0 . Die Verbindungslinie aller Querschnittsschwerpunkte entspricht der vertikalen Stabachse z. Für welchen Querschnittsverlauf
A(z ) des Stabes stellt sich eine von der Längskoordinate z unabhängige
Zugspannung σ (z ) = σ 0 ein?
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Aufgabe F2.2
An einem Fachwerk, das in A zweiwertig und in B einwertig gelagert ist, greift in C die Kraft

F an.
1) Man bestimme die Auflagereaktion in A und B.
2) Mit einem Ritterschnitt bestimme man die Kraft im Stab 1.
3) Für
F = 5000 N
und σ zul = 400 N mm 2
bestimme man den erforderlichen
minimalen Stabquerschnitt Amin des Stabes 1.
4) Für einen Stabwerkstoff mit dem Elastizitätsmodul E = 2 ⋅ 10 5 N mm2 bestimme
man für
l = 1m
die Verschiebung des Lagerpunktes B.
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Aufgabe F2.3
Der obere Teil eines Leuchtturms mit dem Gewicht FG sei über einen kreisförmigen
Hohlzylinder mit dem Außenradius ra , der konstanten Wandstärke d, der Höhe h und dem
spezifischen Gewicht γ abgestützt.
1) Man berechne die Normalkraft FL (z ) im Zylinder und skizziere ihren qualitativen
Verlauf.
2) Für FG = 10 6 N , h = 10 m, γ = 23 N dm 3 , d = 20 cm berechne man den Außenradius
ra , min , der mindestens erforderlich ist, damit die maximale Druckspannung im
Hohlzylinder σ zul = 0 ,5
N
nicht übersteigt.
mm2
3) Man berechne über das Kräftegleichgewicht an einem Kreisringelement den
Außenradius ra (z ) , für den überall in der Abstützung die Spannung gerade σ zul
erreicht, wenn der Kreiszylinder durch einen allgemeineren Kreisringkörper ersetzt
wird.
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Aufgabe F2.4
Innerhalb
eines
durch
zwei
starre
Platten
verbundenen
Hohlzylinders
mit
der
Querschnittsfläche A1 ist ein weiterer Hohlzylinder mit der Querschnittsfläche A2 an der
oberen Platte befestigt. An der oberen und der unteren Platte wird die Konstruktion jeweils
durch die Kraft F belastet. Der Werkstoff der beiden Hohlzylinder hat den Elastizitätsmodul
E . Der Abstand zwischen der unteren Platte und dem inneren Hohlzylinder wird mit δ
angegeben.
1) Man berechne die Kraft F * , bei der der innere Hohlzylinder die untere Platte berührt.
2) Für F ≥ F * berechne man die Kräfte FLa und FLi , die auf den äußeren und den
inneren Hohlzylinder wirken (δ <<
l ).
3) Wie groß sind die dabei auftretenden Verschiebungen ∆l i und ∆l a ?
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Aufgabe F2.5
Der in der Skizze dargestellte Brückenpfeiler mit Kreisquerschnitt wird durch die Kraft
F belastet. Die Dichte ρ des Materials beträgt 2 ,3 g cm 3 .
1) Für die Werte F = 2 MN , D = 500 mm und h = 10 m
Spannung σ (z ) im Brückenpfeiler entlang der Koordinate z .
2) Wie groß ist die Spannung
σ ( z = 0 ) und σ (z = h ) .
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berechne man die
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Aufgabe F 2.1
3) =l
1) σ(z) = (l − z)γ
2) =
∆l
1γ 2
=
l
0,0049 mm
2E
σB
= 7643,3 m
γ
+
γ
⋅( l − z )
σ0
4)
A(z)
= A0 ⋅ e
1) FAx =
0, FAy =
2F
−F, FBy =
3)
A min = 12,5 mm2
2) FS1 = −F
4) ∆l =2 mm
Aufgabe F 2.2
Aufgabe F 2.3
(
1) FL (z) = −FG − γπ ( h − z ) ra2 − ri2
)
2) ra min ≈ 305 cm
γ
(h − z)

1  FG
e σzul
+ d

2  σ zul πd

3) ra min
=
Aufgabe F 2.4
1) F * =
δ ⋅ E1 ⋅ A1
l
-F +δ
2) FLi =
3) ∆li =
EA1
l
A1
+1
A2
δ EA1 -Fl
E(A1 +A2 )
F +δ
FLa =-
∆l a =-
EA2
l
A2
+1
A1
Fl +δ EA2
E( A1+A2 )
Aufgabe F 2.5
1) σ ( z ) =
-F -
 z2
z 
1
ρ gπ D 2 z  2 +3 +3 
h 
12
h
2
π 2 z 
D  +1
4
h 
2) σ ( z=0 ) =-10,19
N
N
, σ ( z=h ) =-2,68
2
mm
mm2
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