Übungsblatt

Karlsruher Institut für Technologie (KIT)
Institut für Experimentelle Kernphysik
Prof. Dr. G. Drexlin
Dr. Iris Gebauer
Übungen zur Einführung in die Kosmologie — WS 2015/16
3. Aufgabenblatt
1. Berechnen Sie das Alter des Universums in folgenden Schritten:
a) Zeigen Sie, ausgehend von der Friedmanngleichung
Ṡ
S
2
H ≡
!2
=
8πG
k
(ρm + ρvac ) − 2
3
S
sowie den Definitionen
ΩM ≡
8πG
ρ0
3H02
,
ΩΛ ≡
Λ
3H02
und ΩK ≡
−k
S02 H02
den Zusammenhang ΩM +ΩΛ +ΩK = 1. ρ0 ist die Materiedichte zum Zeitpunkt
t0 und Λ = 8πGρvac .
b) Leiten Sie aus der Friedmanngleichung und der Definition der Rotverschiebung
den Zusammenhang
h
H 2 = H02 ΩM (1 + z)3 + ΩK (1 + z)2 + ΩΛ
her.
i
c) Zeigen Sie, daß
−1 dz
1 + z dt
aus den Definitionen des Hubbleparameters und der Rotverschiebung folgt und
berechnen Sie dt/dz. Geben Sie das Ergebnis unter Verwendung von ΩK =
1 − ΩM − ΩΛ an.
H=
d) Berechnen Sie das Alter des Universums für ein Einstein de Sitter Universum
(ΩM = 1, ΩΛ = ΩK = 0) durch Integration von dt/dz und zeigen Sie daß
τ = 2/(3H0 ) gilt.
2. Wie ändert sich das Schwarzkörperspektrum
n(ω, T )dω =
ω 2 dω
1
π 2 c3 eh̄ω/kB T − 1
bei einer Expansion des Raumes? Bei der Ausdehnung wird die Frequenz rotverschoben,
gemäß
ω
.
ω0 =
1+z
Wie lautet das differentielle Energiespektrum für die Schwarzkörperstrahlung?
Durch Integration des Energiespektrums erhalten Sie die Energiedichte der Reliktphotonen
aus dem Urknall. Berechnen Sie den Anteil Ωγ den die 3-K Photonen (T = 2.73 K)
zur Gesamtenergiedichte des Universums beitragen. Die kritische Dichte ist gegeben
durch
3H02
ρc =
= 1.1 · 104 h2 eV/cm3 .
8πG
Hinweis: Es ist
Z ∞ 3
π4
h̄ω
ξ dξ
=
und ξ =
ξ
e −1
15
kb T
0
sowie kB = 8.617 · 10−5 eV/K und h̄c = 197.326 MeV fm.
3. Entdeckung der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung
Berechnen sie die mittlere Photonenenergie und die entsprechende Wellenlänge für
Photonen der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung (CMBR) für eine Temperatur
von T = 2,725 K.
Die Entdeckung der CMBR wurde mit Empfängern gemacht, die für Wellenlängen
von 7,3 cm ausgelegt waren. Welcher Anteil der CMBR-Photonen hat eine Wellenlänge
von mindestens
7,3 cm und konnte somit nachgewiesen werden?
R x2
Hinweis: ex −1 dx = 2.404
4. Baryon-Photon Verhältnis
a) Berechnen Sie das Baryon-Photon-Verhältnis nach Ende der Baryon-AntibaryonAnnihilationsphase. Vor der Annihilation soll die Zahl der Baryonen gleich der
der Antibaryonen sein. Nehmen Sie an, dass die Baryonen bzw. Antibaryonen
bei einer Temperatur kT ∼ 20M eV ausfrieren. Hinweis: Die Anzahl an
3 2
Quantenzuständen pro Volumeneinheit ist gegeben durch (4π/h
)p dp. Weiter
√
gilt mc2 >> kT so dass die relativistische Energie E = m2 c4 + p2 c2 durch
eine Taylorentwicklung angenhert werden kann. Folgendes Integral kann von
Nutzen sein:
R∞
0
2
y 2 e−y dy =
sqrtπ
.
4
b) Berechnen Sie das Baryon-Photon-Verhältnis, welches im heutigen Universum
vorherrscht. Nehmen Sie an, dass die Baryonen heute einen Anteil ΩB =
0.02 · h−2 an der Gesamtenergiedichte haben und größtenteils aus Protonen
und Neutronen bestehen. Was folgt daraus für das Baryon-Photon-Verhältnis
nach Ende der Baryon-Antibaryon-Annihilationsphase?
c) Wie lässt sich die Diskrepanz der in a) und b) erhaltenen Werte für das BaryonPhoton-Verhältnis erklären?
Die Aufgaben werden in den Übungen am 25. November 2015 um 14:00 im kl. HS B
besprochen.

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