¨Ubungsblatt 1

Abteilung Empirische
Wirtschaftsforschung
Statistik SS 2009
Prof. Fitzenberger, Ph.D.
Übungsblatt 1
Aufgabe 1:
a) Bestimmen Sie das Maximum der Funktion
f (x) = x(1 − x)
b) Bestimmen Sie das Minimum der Funktion
f (x) = (|1 − x|) + (|2 − x|) + (|3 − x|)
Was ist der Unterschied zu dem Aufgabenteil a) ?
Hinweis:
Verwenden Sie die Differentialrechnung und überprüfen Sie die Bedingung zweiter Ordnung.
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie folgende Integrale:
R2
a)
1
2 dx
0
R5
b)
2e−2x dx
0
R∞
c)
2e−2x dx
0
R∞
d)
x2e−2x dx
0
Aufgabe 3:
Veranschaulichen Sie sich die Regeln 1, 2 und 7 zu Summen und Produkten an einem Beispiel:
Setzen Sie die folgenden Zahlen separat in die linke und die rechte Seite der Gleichungen ein und berechnen Sie jeweils das Ergebnis.
xi
yi
i=1
-4
0
i=2
2
1
i=3
2
4
k = 2; N = 3
1
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Aufgabe 4:
Schreiben Sie ausführlich:
n
P
a)
ai xi
i=1
2 P
4
P
b)
xi yj
i=1 j=1
Aufgabe 5:
Berechnen Sie den Wert der folgenden Summen:
11
P
a)
i
i=1
2
P
b)
i=−2
1 2
2i
Aufgabe 6:
Stellen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe des Summenzeichens dar:
a) ”Die Summe der ersten zehn Quadratzahlen.”
b) ”Die Summe der ersten zehn geraden Zahlen.”
c) ”Die Summe der Quadrate aller geraden Zahlen von 100 bis 200.”
Aufgabe 7:
Es seien die folgenden n = 3 Messreihen der Länge m = 4 gegeben:
x1j
x2j
x3j
x4j
j=1
1
2
1
5
j=2
3
4
2
4
j=3
5
6
1
0
Berechnen Sie die folgenden Summen (mit c = 2):
a)
m P
n
P
c
i=1 j=1
b)
m P
n
P
cxij
i=1 j=1
2
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Aufgabe 8:
Fassen Sie mit Hilfe des Summenzeichens zusammen:
a)
a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
b)
1 + 4 + 9 + 16 + 25
Aufgabe 9:
Berechnen Sie den Wert der folgenden Produkte:
a)
5
Q
i
i=1
b)
5
Q
2i2
i=1
Aufgabe 10:
Fassen Sie mit Hilfe des Produktzeichens zusammen:
a)
3·4·5·6·7·8
b)
1 · 4 · 9 · 16 · 25
3
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Zusatzaufgaben
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie das Minimum der Funktion
f (x) =
4
P
(ai − x)2
i=1
für folgende Angaben:
ai
i=1
-1
i=2
0
i=3
1
i=4
6
Hinweis:
Verwenden Sie die Differentialrechnung und überprüfen Sie die Bedingung zweiter Ordnung.
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie das folgende Integral:
R1
−1
(x+1)2
dx
4
Aufgabe 3:
Veranschaulichen Sie sich die Regeln 3, 8 und 10 zu Summen und Produkten an einem Beispiel:
Setzen Sie die folgenden Zahlen separat in die linke und die rechte Seite der Gleichungen ein und berechnen Sie jeweils das Ergebnis.
xi
yi
i=1
-4
0
i=2
2
1
i=3
2
4
k = 2; N = 3
Aufgabe 4:
Berechnen Sie den Wert der folgenden Summe:
2
P
(2i + 7)
i=−2
4
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Aufgabe 5:
Es seien die folgenden n = 3 Messreihen der Länge m = 4 gegeben:
x1j
x2j
x3j
x4j
j=1
1
2
1
5
j=2
3
4
2
4
j=3
5
6
1
0
Berechnen Sie die folgende Summe (mit c = 2):
2 P
n
P
(xij + c)2
i=1 j=1
Aufgabe 6:
Fassen Sie mit Hilfe des Summenzeichens zusammen:
a1 x1 + a2 x1 + a3 x1 + a4 x1 + a1 x2 + a2 x2 + a3 x2 + a4 x2
Aufgabe 7:
Berechnen Sie den Wert des folgenden Produktes:
5
Q
(1 + 1i )2
i=1
5

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