Extremwertaufgaben Inhaltsverzeichnis - Joliot-Curie

ÜBUNG
Mathematik
gk 11
Joliot-Curie-Gymnasium Görlitz
Extremwertaufgaben
Inhaltsverzeichnis
Aufgaben..................................................................................................................................................... 2
Aufgabe 1 (Abstand Ursprung - Kurve)................................................................................................2
Aufgabe 2 (Abstand Punkt - Kurve)......................................................................................................2
Aufgabe 3 (Rechteckfläche unter einer Kurve).....................................................................................2
Aufgabe 4 (Kreiskegel: V → max, geg. AO)...........................................................................................2
Aufgabe 5 (Kreiskegel: V → max, geg. M).............................................................................................2
Aufgabe 6 (gleichschenkliges Dreieck im Kreis)...................................................................................3
Lösungen..................................................................................................................................................... 4
Lösung 1................................................................................................................................................. 4
Lösung 2................................................................................................................................................. 4
Lösung 3................................................................................................................................................. 4
Lösung 4................................................................................................................................................. 5
Lösung 5................................................................................................................................................. 5
Lösung 6................................................................................................................................................. 5
1
AUFGABEN
Aufgabe 1 (Abstand Ursprung - Kurve)
Gegeben ist der Graph der Funktion mit f (x )=−x 2 +5
Berechnen Sie die Koordinaten derjenigen Punkte auf dem Graphen, deren Abstand zum Ursprung
minimal ist und geben Sie den minimalen Abstand an.
Aufgabe 2 (Abstand Punkt - Kurve)
1
Eine Raumsonde bewegt sich auf einer parabelförmigen Bahn mit der Gleichung y=f (x )= x 2
4
a) Ermitteln Sie, in welchem Punkt der Bahnkurve der Raumsonde der geringste Abstand zum Punkt
B(3∣0) erreicht wird?
b) Ermitteln Sie, in welchem Punkt der Bahnkurve der Raumsonde der geringste Abstand zum Punkt
B(3∣1) erreicht wird?
Aufgabe 3 (Rechteckfläche unter einer Kurve)
a) Der Graph der Funktion f mit f (x )=−x 2 +12 und die x-Achse schließen eine Fläche ein. In diese
Fläche wird ein Rechteck so gelegt, dass die Rechteckseiten parallel zu den Koordinatenachsen
verlaufen.
Berechnen Sie die Seitenlängen des Rechtecks mit dem größtmöglichen Flächeninhalt und geben Sie
diesen Flächeninhalt an.
b) Der Graph der Funktion f mit f (x )=−t⋅x 2+12 und die x-Achse schließen eine Fläche ein. In
diese Fläche wird ein Rechteck so gelegt, dass die Rechteckseiten parallel zu den Koordinatenachsen
verlaufen.
Berechnen Sie die Seitenlängen des Rechtecks mit dem größtmöglichen Flächeninhalt in
Abhängigkeit des Parameters t und geben Sie diesen Flächeninhalt an.
Aufgabe 4 (Kreiskegel: V → max, geg. AO)
a) Weisen Sie nach, dass der Radius r desjenigen Kreiskegels, der bei gegebenem Oberflächeninhalt
1 AO
AO das größte Volumen V besitzt, der Gleichung r=
genügt.
2 π
√
b) Ermitteln Sie die Höhe h des Kreiskegels.
√
3
1 A
c) Zeigen Sie rechnerisch, dass das maximale Volumen V = ⋅ O beträgt.
6 2π
Aufgabe 5 (Kreiskegel: V → max, geg. M)
a) Zu bestimmen sind der Radius r und die Höhe h desjenigen Kreiskegels, der bei gegebenem
Flächeninhalt der Mantelfläche M das größte Volumen V besitzt.
Zeigen Sie, dass gilt: r=
√
4
2
√
M
2M
und h=
3 π2
π √3
√
1 M 2M
b) Zeigen Sie rechnerisch, dass das maximale Volumen V = ⋅ ⋅
beträgt.
3 √3 π √ 3
2
Aufgabe 6 (gleichschenkliges Dreieck im Kreis)
Einem Kreis mit dem Radius R sei ein gleichschenkliges Dreieck
einbeschrieben.
a) Zu bestimmen sind die Seitenlängen a und c, desjenigen
Dreiecks, das den maximalen Flächeninhalt A besitzt.
b) Zu bestimmen sind die Seitenlängen a und c, desjenigen
Dreiecks, das den maximalen Umfang u besitzt.
(Hinweis: Nutzen Sie den Satz des EUKLID (Höhensatz) und bei b)
auch den Kathetensatz im rechtwinkligen Dreieck. Weiterhin könnte
Ihnen der Satz des THALES nützen.)
3
LÖSUNGEN
Lösung 1
1. Hauptbedingung: d( x , y)= √ x + y (Satz des PYTHAGORAS)
2. Nebenbedingung: y=−x 2+5
2
2
2
3. Zielfunktion: d( x)=√ x +(−x +5) mit D d : x ∈ ℝ
2
Ergebnis: x 1/2=±
2
3
1
1
2 und y 1/2 = und dmin = √19
√
2
2
2
Lösung 2
a)
√
2
1. Hauptbedingung: d( x , y)= (x −x 0) +( y−y 0)
2
1
2. Nebenbedingungen: I. x 0=3 ; y 0=0 und II. y= x 2
4
√
1 2
3. Zielfunktion: d( x)= ( x−3)2 +( x 2) mit D d : x ∈ ℝ
4
Ergebnis: x =2 und y=1 und dmin =√ 2
b)
√
2
1. Hauptbedingung: d( x , y)= (x −x 0) +( y−y 0)
2
1
2. Nebenbedingungen: I. x 0=3 ; y 0=1 und II. y= x 2
4
√
2
1
3. Zielfunktion: d( x)= ( x−3)2 +( x 2−1) mit D d : x ∈ ℝ
4
Ergebnis: x ≈2,43 und y≈1,47 und d min≈0,74
Lösung 3
Bitte zuerst selbst rechnen, dann die Lösungen zur Hilfe nehmen!
a)
1. Hauptbedingung: A (a ,b)=a⋅b
2. Nebenbedingungen: I. a=2 x und II. b=−x 2+12
3. Zielfunktion: A (x )=2 x⋅(−x 2 +12) mit D A : x ∈ [0 ;2 √ 3]
Ergebnis: x =2 ⇒ a =4 LE und b=8 LE und A=32 FE
b)
1. Hauptbedingung: A (a ,b)=a⋅b
2. Nebenbedingungen: I. a=2 x und II. b=−t⋅x 2 +12
3. Zielfunktion: A (x )=2 x⋅(−t⋅x 2+12) mit D A : x ∈ [0 ;2
Ergebnis: x =
√
3
]
t
2
4
32
⇒ a=
LE und b=8 LE und A =
FE
√t
√t
√t
4

Download Report