Aufgabenblatt 2

WS 2006/07
Aufgabenblatt 2
Elementare Zahlentheorie (C. Mohr)
Teilermengen und Primzahlen
10. Bestimmen Sie folgende Teilermengen, indem Sie jeweils Teiler und Komplementärteiler zugleich ermitteln: T225 , T423 , T980 , T1024 , T1120 .
11. Beweisen Sie: Eine Zahl n ∈ N ist Quadratzahl genau dann, wenn |Tn | ungerade ist.
Hinweis: Ergebnisse aus Aufgabe 10.
12. In einem Gefängnis sind n = 20 Häftlinge in 20 Zellen inhaftiert. Es wird eine
Teilamnestie erlassen, die nach folgendem Prinzip durchgeführt wird: Beim ersten
Durchgang werden die Schlüssel an allen Schlössern einmal gedreht. Dadurch werden alle Zellen der Reihe nach aufgeschlossen. Somit sind jetzt alle Zellen entriegelt.
Durch jedes weitere Drehen eines Schlüssels ändert sich der Zustand eines Schlosses. Ein Schloss, das geschlossen war, wird durch Drehen des Schlüssels geöffnet,
ein Schloss, das geöffnet war, wird durch Drehen des Schlüssels geschlossen. Beim
zweiten Durchgang werden die Schlüssel an jedem zweiten Schloss, d. h. an den
Schlössern der Zellen 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 gedreht. Dadurch werden die
Zellen 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 verriegelt, die Zellen 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,
19 sind weiterhin entriegelt. Beim dritten Durchgang werden die Schlüssel an jedem
dritten Schloss, d.h. an den Schlössern der Zellen 3, 6, 9, 12, 15, 18 gedreht. Dadurch
werden die Zellen 3, 9, 15 verriegelt und die Zellen 6, 12, 18 entriegelt. Beim vierten,
fünften usw. Durchgang wird der Schlüssel an jedem vierten, fünften usw. Schloss
gedreht. Beim neunten Durchgang wird also z. B. nur an den Schlössern der Zellen
9 und 18 gedreht. Insgesamt gibt es 20 Durchgänge, wobei beim letzten Durchgang
lediglich das Schloss an der Zelle 20 gedreht wird.
a) Wieviele Häftlinge profitieren von der Teilamnestie?
b) Wir betrachten nun n = 1020 = 100000000000000000000 = 100 Trillionen
Häftlinge und 1020 Durchgänge. Wieviele Häftlinge profitieren nun von der
Teilamnestie?
13. Beweisen Sie: Falls d | a und d | b, so gilt: d | ra + sb für alle r, s ∈ Z.
14. Beweisen Sie: Das Produkt von 3 (4) aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist
durch 6 (24) teilbar.
15. Beweisen Sie: Für jede Primzahl p > 2 ist z = p3 − p durch 24 teilbar.
Hinweis: Faktorisieren Sie z (3. binomische Formel)!
Erweitern Sie die Gültigkeit der Aussage, indem Sie außer Primzahlen weitere Werte
für p zulassen.
16. Beweisen Sie den euklidischen Primzahlsatz nach Kummer. Nehmen Sie hierzu an,
es gäbe nur endlich viele Primzahlen. Betrachten Sie nun deren Produkt m und
die Zahl m − 1. Suchen Sie einen Primteiler von m − 1 und führen Sie dies zum
Widerspruch.
17. Weisen Sie für das Eulersche Trinom f (n) = n2 − n + 41 und das Legendresche
Trinom g(n) = n2 + n + 41 (n ∈ N0 ) die Funktionalgleichungen f (n + 1) = g(n)
sowie g(−n) = f (n) nach.

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