Prof. Dr. Felix Leinen 15. Dezember 2016 Geometrie, Algebra und Zahlentheorie“ im WS 16-17 ” ÜBlatt 8 Abgabe der Hausaufgaben bis Freitag, 23. Dezember 2016, 13:00 Uhr. Es werden maximal 30 Punkte gewertet. 1. (a) Chiffrieren Sie den Text BALD IST WEIHNACHTEN mit der Vigenère-Verschlüsselung unter Verwendung des Schlüssels STERN. [2 P] (b) Der folgende Geheimtext wurde aus einem deutschen Klartext unter Verwendung der Vigenère-Chiffrierung erstellt. MAFILW RNTWOR VMGHTW AIFFSC OLNWEN NNQHCM BEAGPA AITHYC AGLDLH EVQDCR WHWRNH DVHTWS RGLXAA IELRNN DVUTPE SGHSCI RRCLHR HPPWTR RXWJNQ GUFVEA HPONRQ GVNQWV AWMUIP AIWJMZ VENRQH GPADVU HCMIEL WPMEEG LCRGRQ WKCDNV NEWAPK HYMAFR CMIELR TPEAWZ RNNGNW TAITHY EBEANE ZACUHD ZKEAGL CLHRVE NNGKPK NFSQPC XPSWXR CBEHTC MEANZY CEENLN BOEFSN NROUTL TQHYBT DVHWRP TQHXBT EGGTNA FQDDXR MCIEVI SGHCAA HGJWDE NEOJSB CHYMAF NEOJSB EPPJUF PKPBTR GWZBEA FWRNGR UHYMZH UNQEFW RCLHRV UNQEFW GLBOEF UHDEUO GPWWNV QSRMZH VLVMRQ PASPKH ENRFWT PAZRUO SNSGHC ERMORO DNRZDD WMEEGT Die Zeichenfolge kann auch von der homepage der Vorlesung heruntergeladen werden. Wenden Sie den Friedman-Test auf den Text an und entschlüsseln Sie den Geheimtext. [8 P] 2. Lösen Sie das folgende diskrete Logarithmusproblem: Bestimmen Sie eine natürliche Zahl k mit 3k ≡ 24 . [3 P] 31 3. RSA-Verfahren. Geben Sie bei der Lösung der nachfolgenden Aufgabenteile alle wesentlichen Zwischenergebnisse Ihrer Rechnungen explizit an. (a) Bilden Sie aus den Primzahlen p = 79 und q = 113 gemäß Vorlesung II.3.11 den öffentlichen Schlüssel (n, f ) mit f = 925 , und berechnen Sie den zugehörigen Geheimschlüssel. [3 P] (b) Verschlüsseln Sie nun die Zahl 19 mit dem öffentlichen Schlüssel. [4 P] (c) Verifizieren Sie, daß der in Teil (a) ermittelte Geheimschlüssel die in Teil (b) berechnete Geheimzahl tatsächlich entschlüsselt. [4 P] bitte wenden 4. Es sei n = p2 q 2 für zwei verschiedene Primzahlen p und q . (a) Zeigen Sie, daß gilt: p+q = 1 + n − ϕ(n) √ n [2 P] Nun sei konkret n = 7442219117265006649 und ϕ(n) = 7441909416172873824 . √ (b) Berechnen Sie n unter Verwendung des Heron-Verfahrens. Obwohl das Verfahren eine Intervallschachtelung rationaler Zahlen liefert, soll die Rechnung approximativ in Gleitkommaarithmetik mit hinreichend vielen Stellen ausgeführt werden. √ Wieviele Schritte werden in diesem Fall zur Berechnung von n benötigt ? [3 P] (c) Bestimmen Sie nun p und q unter Verwendung der Formel aus Teil (a). [3 P] Das GAZ-Team wünscht Ihnen allen frohe Weihnachten und einen guten Rutsch!
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