Klassifikation planarer Systeme

Klassifikation planarer Systeme
Dieser Vortrag thematisiert die Klassifikation planarer Systeme. Man klassifiziert planare Systeme um einen besseren Überblick über die verschiedenen Verhaltensweisen von linearen 2 × 2Systemen zu bekommen. Dazu werden im Folgenden zunächst ein geometrischer Ansatz, das
Spur-Determinanten Diagramm und anschließend noch eine dynamische Klassifikation vorgestellt.
1 Das Spur-Determinanten Diagramm
Der Schlüssel um das System
0 x
a
=
y0
c
b
x
x
=A
d
y
y
zu lösen, liegt in der Bestimmung der Eigenwerte. Möchte man für eine Matrix A die Eigenwerte
bestimmen, so muss man die Gleichung
det(A − λI) = λ2 − (a + d)λ + (ad − bc) = 0
lösen. Es handelt sich hierbei um das charakteristische Polynom von A, von dem man die Nullstellen bestimmt. Dabei entspricht die Konstante ad − bc der Determinante von A, auch det A = D,
und der Koeffizient a + d von λ der Spur von A, auch tr A = T . Damit ergibt sich:
λ2 − (tr A)λ + det A = 0
Löst man nun nach λ auf
λ1,2
1
=
2
tr A ±
q
2
(tr A ) − 4 det A
so sieht man, dass die Determinante das Produkt der Eigenwerte ist, det A = λ1 λ2 , und die Spur
die Summe der Eigenwerte von A, tr A = λ1 + λ2 .
Eine Matrix A mit Determinante D und Spur T entspricht im Spur-Determinanten Diagramm
dem Punkt (T, D). Der Ort des Punktes in dem Diagramm bestimmt die Geometrie des Phasenportraits. Dabei spielt das Vorzeichen der Diskriminante der Eigenwerte eine große Rolle. Es
gibt folgende drei Fälle:
1) Wenn T 2 − 4D = 0, gibt es doppelte reelle Eigenwerte.
2) Wenn T 2 − 4D > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Eigenwerte.
3) Wenn T 2 − 4D < 0, gibt es zwei komplexe Eigenwerte.
1.1 Doppelte reelle Eigenwerte
Wenn die Diskriminante gleich Null ist, also T 2 − 4D = 0, handelt es sich um doppelte Eigen2
werte. Es gilt λ1 = λ2 = T2 . Solche Matrizen entsprechen den Punkten auf der Parabel D = T4 .
1
Abbildung 1: Star (Quelle)1
Ist die Spur ungleich Null, müssen diese Matrizen eine positive Determinante haben, da die Diskriminante nur dann Null werden kann. Ist die Spur gleich Null, so muss auch die Determinante
Null sein und damit sind auch beide Eigenwerte Null. Eine weitere Rolle spielt das Vorzeichen
der Spur. Ist die Spur positiv, so handelt es sich um eine Quelle und damit um einen instabilen
Knoten. Ist sie jedoch negativ, spricht man von einer Senke und der Knoten ist stabil.
1.2 Verschiedene reelle Eigenwerte
Ist die Diskriminante positiv, also T 2 − 4D > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Eigenwerte.
Hierbei unterscheidet man zwei Fälle. Falls D < 0, spricht man von einem Sattel. Dabei läuft
eine Teillösung zum Gleichgewichtspunkt hin und die andere davon weg. Da die Determinante
das Produkt der beiden Eigenwerte ist, ergibt sich, dass ein Eigenwert positiv und der andere
negativ ist.
Abbildung 2: Sattel
Ist D > 0, so können die Eigenwerte entweder beide positiv oder beide negativ sein. Sind beide
positiv, so hat man eine Quelle, und sind beide negativ hat man eine Senke. Falls D = 0 und
T 6= 0, ist ein Eigenwert gleich Null.
1.3 Komplexe Eigenwerte
Wenn T 2 − 4D < 0, gibt es zwei komplexe Eigenwerte λ1,2 = a ± ib, die komplex-konjugiert
zueinander sind und deren Imaginärteil b 6= 0 ist. Der Realteil der Eigenwerte hängt nur von T
1 http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/
borzi/projektST.pdf
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Abbildung 3: links: Quelle, rechts: Senke
ab und damit handelt es sich auch hier für T < 0 um eine Senke und für T > 0 um eine Quelle.
Es ergibt sich für T 6= 0 ein Strudel, welcher auch als spirale Senke oder Quelle bezeichnet wird
und für T = 0 ein Zentrum.
Abbildung 4: links: Strudel (Quelle), rechts: Zentrum
1.4 Aufbau des Spur-Determinanten Diagramms
Das Spur-Determinanten Diagramm liefert eine visuelle Zusammenfassung von allen unterschiedlichen Arten von linearen Systemen, wobei man zum Teil sogar schon Aussagen über das Verhalten der Lösungen treffen kann ohne die Eigenwerte zu berechnen. Im Spur-Determinanten
Diagramm befindet sich der Wert der Spur auf der x-Achse und der Wert der Determinante
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auf der y-Achse. Außerdem ist die Parabel D = T4 eingezeichnet, die Knoten und Sattel von
Strudeln und Zentren trennt. Einem Punkt im Diagramm entsprechen viele unterschiedliche Matrizen, die die gleiche Eigenwert-Struktur aufweisen. Es gibt aber oft kleine Unterschiede in den
Phasenportraits, wie zum Beispiel die Richtung der Drehung von Zentren und Strudeln.
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Abbildung 5: Spur-Determinanten Diagramm
2 Dynamische Klassifikation
Bei der dynamischen Klassifikation planarer Systeme ist man vor allem an dem Langzeitverhalten
der Lösungen der Differentialgleichungen interessiert. Dabei gelten zwei Systeme als äquivalent,
wenn sich ihre Lösungen ähnlich verhalten.
Zunächst benötigt man für die genaue Definition dieser dynamischen Äquivalenz den Begriff des
Flusses, der bereits im ersten Vortrag eingeführt wurde. Um die Abhängigkeit der Lösung vom
Anfangswert und der Zeit zu verdeutlichen, wird die Lösung im Folgenden mit Φ(t, X0 ) = Φt (X0 )
bezeichnet. Diese Funktion Φ : R × R2 → R2 wird als Fluss bezeichnet. Es gilt Φ0 (X0 ) = X0 .
Lässt man die Variable X0 fest, so ist die Funktion
t → Φt (X0 )
nur eine alternative Ausdrucksweise für die Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung X0 erfüllt. Zum Beispiel sei
2
X =
0
0
0
X.
3
Dann ist der Fluss gegeben durch
Φt (x0 , y0 ) = (x0 e2t , y0 e3t ).
Zwei planare Systeme werden als dynamisch äquivalent angesehen, wenn es eine Funktion h gibt,
die die beiden Flüsse ineinander überführt, wobei verlangt wird, dass h ein Homöomorphismus
ist.
Definition 1. Ein Homöomorphismus ist eine Funktion, die injektiv, surjektiv und stetig ist
und deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
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Definition 2. Angenommen X 0 = AX und X 0 = BX haben die Flüsse ΦA und ΦB . Die beiden
Systeme sind (topologisch) konjugiert , wenn es einen Homöomorphismus h : R2 → R2 gibt,
sodass
ΦB (t, h(X0 )) = h(ΦA (t, X0 )).
Der Homöomorphismus h wird als Konjugation bezeichnet. Eine Konjugation überführt die Lösungskurve von X 0 = AX in die von X 0 = BX.
Beispiel 1. Die eindimensionalen linearen Differentialgleichungen
x0 = λ1 x und x0 = λ2 x
haben die Flüsse
Φj (t, x0 ) = x0 eλj t
für j = 1, 2. Angenommen λ1 und λ2 sind nicht Null und haben dasselbe Vorzeichen dann sei
(
h(x) =
xλ2 /λ1
−|x|λ2 /λ1
wenn x ≥ 0
.
wenn x < 0
h ist ein Homöomorphismus in den reellen Zahlen und eine Konjugation zwischen x0 = λ1 x und
x0 = λ2 x. Das lässt sich einfach für x0 > 0 nachrechnen:
h(Φ1 (t, x0 )) = (x0 eλ1 t )λ2 /λ1
λ /λ1 λ2 t
= x0 2
e
2
= Φ (t, h(x0 ))
Der Fall x0 < 0 folgt durch eine analoge Rechnung.
Um zwei Differentialgleichungen durch Konjugation ineinander zu überführen, müssen die Realteile der Eigenwerte, hier λ1 und λ2 , dasselbe Vorzeichen haben, da ansonsten |h(0)| = ∞ ist und
damit wäre h kein Homöomorphismus mehr. Diese Bedingung stimmt mit unserer Vorstellung
von dynamischer Äquivalenz überein, denn wenn die Realteile der Eigenwerte dasselbe Vorzeichen haben, verhalten sich ihre Lösungen ähnlich. Sie tendieren entweder zum Ursprung hin oder
von ihm weg.
Außerdem ist festzustellen, dass, wenn λ2 < λ1 , h im Ursprung nicht differenzierbar ist. Ist
λ1 < λ2 , so ist h−1 (x) = xλ1 /λ2 im Ursprung nicht differenzierbar. Das ist der Grund weshalb
h nur ein Homöomorphismus, also stetig sein muss und kein Diffeomorphismus (ein differenzierbarer Homöomorphismus mit einer differenzierbaren Umkehrabbildung). h ist nur dann auch
differenzierbar, wenn λ1 = λ2 .
Damit ergibt sich eine Klassifikation linearer autonomer Differentialgleichungen erster Ordnung,
die sich mit den bisherigen Beobachtungen deckt. Es gibt drei Konjugationsklassen: die Quellen,
die Senken und den speziellen Fall, dass x0 = 0 ist und daher alle Lösungen Konstanten sind.
Eine Konjugation zwischen planaren Systemen funktioniert ganz ähnlich wie die bei Differentialgleichungen. Zunächst ist festzuhalten, dass man sich nur mit Konjugationen zwischen Systemen
mit Matrizen in kanonischer Form beschäftigen muss. Wie bereits im dritten Vortrag gezeigt
wurde, bringt die lineare Abbildung T : R2 → R2 eine Matrix in kanonische Form.
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Möchte man eine Konjugation zwischen zwei Matrizen Ã und B̃ zeigen, wobei Ã und B̃ noch
nicht in kanonischer Form sind, dann existieren zwei Abbildungen T und S, sodass
T −1 ÃT = A ⇔ Ã = T AT −1 und S −1 B̃S = B ⇔ B̃ = SBS −1
und A und B in kanonischer Form sind. Es ergibt sich, dass ein Homöomorphismus h = S −1 ◦ h̃◦T
existiert, der A und B konjugiert. Daraus folgt, dass es auch einen Homöomorphismus h̃ =
S ◦ h ◦ T −1 gibt, der Ã und B̃ konjugiert, denn die Abbildungen T und S sind bijektiv und stetig
und damit ist h̃ als Komposition stetiger, bijektiver Funktionen ebenfalls stetig und bijektiv.
Im Folgenden wird allerdings nur der Fall betrachtet, in dem der Realteil der Eigenwerte ungleich
Null ist.
Definition 3. Eine Matrix A wird als hyperbolisch bezeichnet, wenn keiner ihrer Eigenwerte
einen Realteil gleich Null hat. Man sagt dann auch, dass das System X 0 = AX hyperbolisch ist.
Satz 1. Seien die 2 × 2-Matrizen A1 und A2 hyperbolisch. Dann sind die linearen Systeme
X 0 = Ai X genau dann konjugiert, wenn beide Matrizen die gleiche Anzahl an Eigenwerten mit
negativem Realteil haben.
Zwei Matrizen bilden also genau dann ein konjugiertes lineares System, wenn ihre Eigenwerte in
dieselbe Kategorie fallen:
1. Ein Eigenwert ist positiv und der andere negativ.
2. Beide Eigenwerte haben einen negativen Realteil.
3. Beide Eigenwerte haben einen positiven Realteil.
Das bedeutet, dass ein System, dessen Phasenportrait einem Strudel zum Ursprung hin entspricht, konjugiert zu einem System mit reellen Eigenwerten ist, falls dessen Phasenportrait
ebenfalls einer Senke entspricht. Denn obwohl die Phasenportraits der beiden Systeme sehr unterschiedlich aussehen, ist das Langzeitverhalten ihrer Lösungen gleich. Sie laufen für t → ∞
zum Ursprung hin.
Beweis 1. “⇐” Ausgehend davon, dass alle Matrizen in kanonischer Form sind, gliedert sich
der Beweis in drei verschiedene Fälle:
Fall 1. Angenommen man hat zwei lineare Systeme X 0 = Ai X (i = 1, 2), sodass jede Matrix Ai
Eigenwerte λi < 0 < µi hat. Beide Systeme haben also einen Sattel im Ursprung. Wie bereits
gezeigt wurde, kann man reelle Differentialgleichungen x0 = λi x mit dem Homöomorphismus
(
h1 (x) =
xλ2 /λ1
−|x|λ2 /λ1
wenn x ≥ 0
wenn x < 0
konjugieren. Analog lässt sich eine Funktion h2 für die Differentialgleichungen y 0 = µi y definieren.
Definiert man nun den Homöomorphismus
H(x, y) = (h1 (x), h2 (y)),
so liefert H eine Konjugation zwischen den beiden Systemen.
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Fall 2. Sei X 0 = AX und A in kanonischer Form mit Eigenwerten mit negativem Realteil. Des
weiteren soll die Matrix A nicht in der Form
λ 1
0 λ
mit λ < 0, sondern in einer der beiden folgenden Formen:
α β
λ
(a)
(b)
−β α
0
0
µ
mit α, β, µ < 0. Im folgenden wird gezeigt, dass sowohl (a) als auch (b) zu dem System X 0 = BX
konjugiert ist, wobei
−1 0
.
B=
0 −1
Damit folgt dann, dass alle Systeme die von Form (a) oder (b) sind, konjugiert zueinander sind.
Dass Matrizen der Form (b) konjugiert zu B sind, folgt ähnlich wie in Fall 1.
Um dies auch für Matrizen der Form (a) zu zeigen, betrachtet man zunächst den Einheitskreis,
der durch die Kurve X(Θ) = (cos Θ, sin Θ), 0 ≤ Θ ≤ 2π dargestellt wird. Dieser Kreis wird auch
als S 1 bezeichnet. Zuerst soll gezeigt werden, dass das Vektorfeld, das durch die Matrix der Form
(a) bestimmt wird, in S 1 hinein zeigt. Das Vektorfeld ist gegeben durch
α cos Θ + β sin Θ
AX(Θ) =
.
−β cos Θ + α sin Θ
Der Normalenvektor von S 1 im Punkt X(Θ), der aus S 1 heraus zeigt, ist gegeben durch
cos Θ
N (Θ) =
.
sin Θ
Bildet man das Skalarprodukt dieser Vektoren, so stellt man fest, dass es negativ ist, womit
gezeigt ist, dass AX(Θ) nach S 1 herein zeigt.
AX(Θ) · N (Θ) = α(cos2 Θ + sin2 Θ) < 0 (da α < 0)
Daraus folgt, dass jede Lösung, die ungleich Null ist, S 1 genau einmal schneidet. Sei ΦA
t (x, y)
1
(x,
y)
S
schneidet.
der Fluss von diesem System und sei τ = τ (x, y) der Zeitpunkt an dem ΦA
t
Dann gilt
|ΦA
τ (x,y) (x, y)| = 1.
0
Sei ΦB
t der Fluss des Systems X = BX, also
−t
−t
ΦB
t (x, y) = (xe , ye ).
Dann ist die Konjugation H zwischen den beiden Systemen für (x, y) 6= (0, 0) definiert durch
A
H(x, y) = ΦB
−τ (x,y) Φτ (x,y) (x, y)
und H(0, 0) = (0, 0). Geometrisch kann man sich den Wert von H(x, y) so vorstellen, als würde
man der Lösungskurve von X 0 = AX genau τ (x, y) Zeiteinheiten folgen(vorwärts oder rückwärts)
bis man S 1 erreicht. Anschließend folgt man der Lösungskurve von X 0 = BX von dem Punkt
auf S 1 aus genau τ (x, y) Zeiteinheiten in die entgegengesetzte Richtung der Zeit.
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Abbildung 6: Definition von τ (x, y)
Außerdem gilt für τ (x, y)
τ (ΦA
s (x, y)) = τ (x, y) − s,
sodass
A
A
1
ΦA
τ −s Φs (x, y) = Φτ (x, y) ∈ S .
Damit folgt
A
A
H(Φs (x, y)) = ΦB
−τ +s Φτ −s (Φs (x, y))
B
A
= ΦB
s Φ−τ Φτ (x, y)
= ΦB
s (H(x, y)).
Es bleibt noch zu zeigen, dass H auch ein Homöomorphismus ist. Eine Umkehrabbildung von
H lässt sich leicht konstruieren, wenn man den Vorgang, der H definiert, umkehrt. Für die
Umkehrabbildung G gilt also
B
G(x, y) = ΦA
−τ1 (x,y) Φτ1 (x,y)
und G(0, 0) = (0, 0). Dabei ist τ1 (x, y) die Zeit nach der die Lösung von X 0 = BX durch (x, y) S 1
erreicht. Es lässt sich leicht nachrechnen, dass τ1 (x, y) = log r, wobei r2 = x2 + y 2 . Da G = H −1 ,
ist H injektiv und surjektiv. G ist außerdem stetig in (x, y) 6= (0, 0), da G geschrieben werden
kann als
x y
,
,
G(x, y) = ΦA
− log r
r r
was als Komposition stetiger Funktionen stetig ist. Um die Stetigkeit in (0, 0) zu zeigen, nimmt
man an, dass (x, y) nah am Ursprung ist, sodass der Wert von r klein ist. Wenn r → 0, gilt
− log r → ∞. ( xr , yr ) ist ein Punkt auf S 1 und wenn r hinreichend klein ist, bildet ΦA
− log r den
Einheitskreis in die Nähe von (0,0) ab. Damit ist gezeigt, dass G stetig in (0, 0) ist. Außerdem
muss H stetig sein, damit es sich um einen Homöomorphismus handelt. Dafür muss gezeigt
werden, dass τ (x, y) stetig ist. τ ist durch folgende Gleichung bestimmt:
|ΦA
t (x, y)| = 1
A
Sei ΦA
t (x, y) = (x(t), y(t)) und sei die Funktion F definiert durch F (τ, x, y) = |Φt (x, y)| − 1 = 0.
Dann gilt für die partielle Ableitung:
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∂ A
∂p
(x(t))2 + (y(t))2
|Φt (x, y)| =
∂t
∂t
1
=p
(x(t)x0 (t) + y(t)y 0 (t))
(x(t))2 + (y(t))2
0 1
x(t)
x (t)
= A
·
y(t)
x0 (t)
|Φt (x, y)|
Das letzte Produkt ist für t = τ (x, y) ungleich Null, da das Vektorfeld, dass durch (x0 (t), y 0 (t))
gegeben ist, in S 1 herein zeigt. Also folgt
∂ A
|Φ (x, y)| =
6 0.
∂t t
Mit dem Satz über implizite Funktionen folgt somit, dass τ differenzierbar im Punkt (x, y) und
damit auch stetig ist. Die Stetigkeit von H im Ursprung folgt analog wie im Fall G = H −1 .
H ist also ein Homöomorphismus und damit gibt es eine Konjugation zwischen X 0 = AX und
X 0 = BX.
Der Beweis von Fall 2 funktioniert nach dem gleichen Prinzip, wenn die Eigenwerte beide einen
positiven Realteil haben.
Fall 3. In diesem Fall werden abschließend noch Matrizen der Form
λ 1
0 λ
mit λ < 0 betrachtet. Das durch diese Matrix bestimmte Vektorfeld muss nicht in S 1 hinein
zeigen. Deswegen konvertiert man die Lösungen von X 0 = AX mit Hilfe der linearen Abbildung
T zu Lösungen des Systems Y 0 = (T −1 AT )Y , wobei
1 0
T =
.
0 Das durch die Matrix
T −1 AT =
λ
0
λ
bestimmte Vektorfeld hat die Eigenschaft, dass es in S 1 hinein zeigt, wenn hinreichend klein
ist. Für das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von S 1 gilt:
cos Θ
cos Θ
T −1 AT
·
= λ + sin Θ cos Θ
sin Θ
sin Θ
Wählt man < −λ, ist das Skalarprodukt negativ, womit man sich wieder in der gleichen
Situation wie in Fall 2 befindet und der Beweis dementsprechend gleich ist. Ist λ > 0 erfolgt der
Beweis von Fall 3 analog zum Fall λ < 0.
Damit ist der Beweis der Rückrichtung komplett. Alle Matrizen lassen sich in kanonische Form
bringen und haben sie dann die gleiche Anzahl an Eigenwerten mit negativem Realteil, folgt,
dass sie konjugiert sind.
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“⇒” Es bleibt zu zeigen, dass, wenn es eine Konjugation zwischen zwei hyperbolischen Matrizen
gibt, sie eine gleiche Anzahl an Eigenwerten mit negativem Realteil haben müssen. Äquivalent
zu dieser Aussage ist, dass, wenn zwei Matrizen eine unterschiedliche Anzahl solcher Eigenwerte
haben, es keine Konjugation zwischen ihnen geben kann. Auch hier gliedert sich der Beweis
in unterschiedliche Fälle, abhängig von den Eigenwerten der Matrizen. Exemplarisch wird die
Aussage in einem Fall bewiesen.
Fall 1. Seien die Eigenwerte reell und verschieden. Für die Eigenwerte der Matrix A1 soll λ1 <
0 < µ1 und für die der Matrix A2 soll λ2 , µ2 < 0 gelten. Außerdem soll für die Flüsse von A1
und A2 folgendes gelten:
λ1 t
1
ΦA
, yeµ1 t )
t (x, y) = (xe
λ2 t
2
ΦA
, yeµ2 t )
t (x, y) = (xe
Angenommen es existiert ein Homöomorphismus H = (h1 , h2 ), sodass
⇔
H
−1
2
ΦA
t (H(x, y))
A2
(Φt (h1 (x), h2 (y)))
1
= H(ΦA
t (x, y))
A1
= Φt (x, y).
Dann müsste H −1 (0, 0) = (0, ∞) und damit h2 (0) = ∞ sein. Es gäbe eine Singularität bei Null
und damit wäre H −1 nicht mehr stetig. Es kommt also zum Widerspruch, womit gezeigt ist, dass
in einem solchen Fall keine Konjugation existieren kann.
Die anderen Fälle funktionieren nach einem ähnlichen Prinzip, weshalb hier nicht näher auf sie
eingegangen wird.
3 Literatur
[1] Differential Equations, Dynamical System and an Introduction to Chards, Mirros W. Hirsch,
Stehen Smale, Robert L. Devaney, Adacemic Press 2012
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