Stabilität der Ruhelage

R T
Fachgebiet Regelungstechnik
Leiter: Prof. Dr.-Ing. Johann Reger
Adaptive und strukturvariable Regelungssysteme
Beiblatt zur Stabilität im Sinne von Lyapunov
Wir betrachten das freie und autonome nichtlineare, aber zeitinvariante System
ẋ =
f ( x)
(1)
mit f : D → R n , lokal Lipschitz1 in D ⊂ R n und sei x : [0, ∞) → R n eindeutige Lösung2 von (1) mit
Anfangswert x(0) = x0 ∈ D.
D. 1 (Ruhelage) Der Punkt xR ∈ R n für den gilt: 0 = f ( xR ) heißt Ruhelage3 von (1).
D. 2 (Stabilität) Die Ruhelage xR ∈ D heißt stabil, wenn zu jedem ε > 0 ein δ(ε) > 0 existiert, so daß für
alle x0 ∈ D gilt:
k x0 − x R k < δ ( ε )
⇒
k x(t) − xR k < ε,
für alle
t ≥ 0.
Die Ruhelage heißt instabil, wenn sie nicht stabil ist.
D. 3 (Asymptotische Stabilität) Die Ruhelage xR ∈ D heißt asymptotisch stabil, wenn sie stabil ist und
δ(ε) > 0 so gewählt werden kann, daß für alle x0 ∈ D gilt:
k x0 − x R k < δ ( ε )
⇒
lim k x(t) − xR k = 0.
t→∞
Ist xR asymptotisch stabil mit D = R n , so heißt xR global asymptotisch stabil.
D. 4 (Exponentielle Stabilität) Die Ruhelage xR ∈ D heißt exponentiell stabil, wenn Konstanten γ > 0
und λ < 0 existieren, so daß gilt:
k x(t) − xR k ≤ γeλt k x0 − xR k für alle t ≥ 0.
Ist xR exponentiell stabil mit D = R n , so heißt xR global exponentiell stabil.
x2
ε
δ
x(t0 )
x1
Abb. 1: Illustration zur (asymptotischen) Stabilität
1 Lokal
Lipschitz bedeutet: ∃ L > 0 : ∀ x, y ∈ D : k f ( x ) − f (y)k ≤ L k x − yk.
f Lipschitz, so existiert stets eine solche Lösung.
3 Zum Anfangswert x (0) = x , existiert die stationäre Lösung x ( t ) = x für alle t ≥ 0.
R
R
2 Falls
(Dr. Kai Wulff)
21. Oktober 2015
Adaptive und strukturvariable Regelungssysteme
D. 5 (Definitheit) Sei D ⊂ R n eine offene Umgebung des Ursprungs. Die Funktion V : D → R heißt lokal
positiv definit, wenn gilt
a) V ist stetig differenzierbar,
b) V (0) = 0 und
c) V ( x) > 0 für alle x ∈ D \ {0}.
Gilt statt (c) lediglich V ( x) ≥ 0 für alle x ∈ D \ {0}, so heißt V lokal positiv semi-definit.
Die Funktion V heißt lokal negativ definit, wenn statt (c) gilt: V ( x) < 0 für alle x ∈ D \ {0}.
Die Funktion V heißt lokal negativ semi-definit, wenn statt (c) gilt: V ( x) ≤ 0 für alle x ∈ D \ {0}.
Ist D ≡ Rn , so heißen die Eigenschaften global.
Satz 1 (Direkte Methode von Lyapunov) Sei xR = 0 Ruhelage4 von (1) und D ⊂ R n eine offene Umgebung des Ursprungs.
Die Ruhelage xR = 0 ist genau dann lokal asymptotisch stabil, wenn eine Funktion V : D → R existiert,
so dass gilt:
a) V ist positiv definit auf D und
b)
∂V
∂x
f ist negativ definit auf D.
Die Funktion V wird dann als Lyapunovfunktion für das System5 (1) bezeichnet.
Die Ruhelage xR = 0 ist lokal stabil, wenn eine lokal positiv definite Funktion V : D → R existiert,
so dass ∂V
∂x f auf D negativ semi-definit ist. Manchmal wird dann von einer schwachen Lyapunovfunktion gesprochen.
Referenzen
• M. Vidyasagar. Nonlinear Systems Analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
• H. K. Khalil. Nonlinear Systems, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
4 Ohne
Einschränkung der Allgemeingültigkeit wird hier die Ruhelage x R = 0 betrachtet. Falls x R 6= 0, so wählt man:
x̃ = x − x R und betrachtet x̃˙ = f˜( x̃ ) : = f ( x̃ + x R ).
5 Strenggenommen müsste es „Lyapunovfunktion für die Ruhelage x des Systems (1)“ heißen.
R
(Dr. Kai Wulff)
21. Oktober 2015

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