Prof. Dr. Walter Gubler Julius Hertel Universität Regensburg Sommersemester 2015 Diophantische Geometrie II Übungsblatt 3 Abgabe in den Briefkasten 32: Donnerstag, 30.04.2015, bis 13 Uhr Im Folgenden sei K ein Körper mit einer fixierten Einbettung K ,→ K in einen algebraischen Abschluss K. Weiter sei MK eine Menge von Absolutbeträgen auf K so, dass {v ∈ MK | |α|v 6= 1} endlich ist für alle α ∈ K \ {0}. Wir bezeichnen mit M die Menge der Fortsetzungen zu Absolutbeträgen auf K. Aufgabe 1: a) Zeigen Sie, dass die triviale M -Metrik auf OX für jede Varietät über K lokal M beschränkt ist. b) Beweisen Sie, dass die M -Standardmetrik auf OPn (1) lokal M -beschränkt ist. Aufgabe 2: Beweisen Sie, dass jedes Geradenbündel auf einer projektiven Varietät eine lokal M beschränkte Metrik besitzt. Aufgabe 3: Sei D ein Cartierdivisor auf einer Varietät X über K. Wir betrachten lokal beschränkte M -Metriken k·k, k·k0 auf O(D). Zeigen Sie für u ∈ M folgende Gleichung lokaler Höhen: λ(D,k·k0 ) (·, u) − λ(D,k·k) (·, u) = log ρ(·, u), wobei log ρ : X(K) × M → R eine lokal M -beschränkte Funktion ist. Aufgabe 4: Wir nehmen an, dass K perfekt ist und M die Produktformel erfüllt. Zeigen Sie folgende Eigenschaften globaler Höhen von M -metrisierten Geradenbündeln auf einer Varietät über K, deren M -Metriken lokal beschränkt sind: a) hL1 ⊗L2 = hL1 + hL2 . b) Falls ϕ : X 0 → X ein Morphismus von K-Varietäten ist, dann gilt hϕ∗ L = hL ◦ ϕ. c) Falls X eigentlich über K ist, dann hängt hL bis auf beschränkte Funktionen nicht von der Wahl der lokal beschränkten M -Metrik auf L ab.